Theorem max2 12574

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 10681	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 10681	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax2 12563	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∈ wcel 2110  ifcif 4466   class class class wbr 5058  ℝcr 10530  ℝ^*cxr 10668   ≤ cle 10670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-op 4567  df-uni 4832  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-po 5468  df-so 5469  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675

This theorem is referenced by:  lemaxle  12582  z2ge  12585  ssfzunsnext  12946  uzsup  13225  expmulnbnd  13590  discr1  13594  rexuzre  14706  caubnd  14712  limsupgre  14832  limsupbnd2  14834  rlim3  14849  lo1bdd2  14875  o1lo1  14888  rlimclim1  14896  lo1mul  14978  rlimno1  15004  cvgrat  15233  ruclem10  15586  bitsfzo  15778  1arith  16257  evth  23557  ioombl1lem4  24156  itg2monolem3  24347  itgle  24404  ibladdlem  24414  plyaddlem1  24797  coeaddlem  24833  o1cxp  25546  cxp2lim  25548  cxploglim2  25550  ftalem1  25644  ftalem2  25645  chtppilim  26045  dchrisumlem3  26061  ostth2lem2  26204  ostth2lem3  26205  ostth2lem4  26206  ostth3  26208  knoppndvlem18  33863  ibladdnclem  34942  ftc1anclem5  34965  irrapxlem4  39415  irrapxlem5  39416  rexabslelem  41685  uzublem  41697  max2d  41727  climsuse  41882  limsupubuzlem  41986  limsupmnfuzlem  42000  limsupequzmptlem  42002  limsupre3uzlem  42009  liminflelimsuplem  42049  ioodvbdlimc1lem2  42210  ioodvbdlimc2lem  42212  hoidifhspdmvle  42896