Theorem max2 13137

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11189	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11189	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax2 13126	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 602	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  ifcif 4461   class class class wbr 5079  ℝcr 11035  ℝ^*cxr 11176   ≤ cle 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183

This theorem is referenced by:  lemaxle  13145  z2ge  13148  ssfzunsnext  13521  uzsup  13820  expmulnbnd  14195  discr1  14199  rexuzre  15313  caubnd  15319  limsupgre  15441  limsupbnd2  15443  rlim3  15458  lo1bdd2  15484  o1lo1  15497  rlimclim1  15505  lo1mul  15588  rlimno1  15614  cvgrat  15846  ruclem10  16204  bitsfzo  16402  1arith  16896  evth  24951  ioombl1lem4  25553  itg2monolem3  25744  itgle  25802  ibladdlem  25812  plyaddlem1  26203  coeaddlem  26239  o1cxp  26963  cxp2lim  26965  cxploglim2  26967  ftalem1  27061  ftalem2  27062  chtppilim  27463  dchrisumlem3  27479  ostth2lem2  27622  ostth2lem3  27623  ostth2lem4  27624  ostth3  27626  knoppndvlem18  36842  ibladdnclem  38050  ftc1anclem5  38071  irrapxlem4  43277  irrapxlem5  43278  rexabslelem  45868  uzublem  45880  max2d  45908  climsuse  46060  limsupubuzlem  46162  limsupmnfuzlem  46176  limsupequzmptlem  46178  limsupre3uzlem  46185  liminflelimsuplem  46225  ioodvbdlimc1lem2  46382  ioodvbdlimc2lem  46384  hoidifhspdmvle  47070