Theorem max2 13214

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11256	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11256	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax2 13203	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 607	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ifcif 4488   class class class wbr 5110  ℝcr 11100  ℝ^*cxr 11243   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-er 8695  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250

This theorem is referenced by:  lemaxle  13222  z2ge  13225  ssfzunsnext  13599  uzsup  13898  expmulnbnd  14273  discr1  14277  rexuzre  15406  caubnd  15412  limsupgre  15534  limsupbnd2  15536  rlim3  15551  lo1bdd2  15577  o1lo1  15590  rlimclim1  15598  lo1mul  15681  rlimno1  15707  cvgrat  15939  ruclem10  16296  bitsfzo  16494  1arith  16988  evth  25099  ioombl1lem4  25701  itg2monolem3  25892  itgle  25950  ibladdlem  25960  plyaddlem1  26351  coeaddlem  26387  o1cxp  27117  cxp2lim  27119  cxploglim2  27121  ftalem1  27215  ftalem2  27216  chtppilim  27617  dchrisumlem3  27633  ostth2lem2  27776  ostth2lem3  27777  ostth2lem4  27778  ostth3  27780  knoppndvlem18  37096  ibladdnclem  38305  ftc1anclem5  38326  irrapxlem4  43532  irrapxlem5  43533  rexabslelem  46112  uzublem  46124  max2d  46152  climsuse  46304  limsupubuzlem  46406  limsupmnfuzlem  46420  limsupequzmptlem  46422  limsupre3uzlem  46429  liminflelimsuplem  46469  ioodvbdlimc1lem2  46626  ioodvbdlimc2lem  46628  hoidifhspdmvle  47314