Theorem max2 13116

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11192	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11192	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax2 13105	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114  ifcif 4481   class class class wbr 5100  ℝcr 11039  ℝ^*cxr 11179   ≤ cle 11181

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5314  ax-pr 5381  ax-un 7692  ax-cnex 11096  ax-resscn 11097  ax-pre-lttri 11114  ax-pre-lttrn 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5529  df-po 5542  df-so 5543  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6458  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-er 8647  df-en 8898  df-dom 8899  df-sdom 8900  df-pnf 11182  df-mnf 11183  df-xr 11184  df-ltxr 11185  df-le 11186

This theorem is referenced by:  lemaxle  13124  z2ge  13127  ssfzunsnext  13499  uzsup  13797  expmulnbnd  14172  discr1  14176  rexuzre  15290  caubnd  15296  limsupgre  15418  limsupbnd2  15420  rlim3  15435  lo1bdd2  15461  o1lo1  15474  rlimclim1  15482  lo1mul  15565  rlimno1  15591  cvgrat  15820  ruclem10  16178  bitsfzo  16376  1arith  16869  evth  24931  ioombl1lem4  25535  itg2monolem3  25726  itgle  25784  ibladdlem  25794  plyaddlem1  26191  coeaddlem  26227  o1cxp  26958  cxp2lim  26960  cxploglim2  26962  ftalem1  27056  ftalem2  27057  chtppilim  27459  dchrisumlem3  27475  ostth2lem2  27618  ostth2lem3  27619  ostth2lem4  27620  ostth3  27622  knoppndvlem18  36757  ibladdnclem  37956  ftc1anclem5  37977  irrapxlem4  43211  irrapxlem5  43212  rexabslelem  45805  uzublem  45817  max2d  45845  climsuse  45997  limsupubuzlem  46099  limsupmnfuzlem  46113  limsupequzmptlem  46115  limsupre3uzlem  46122  liminflelimsuplem  46162  ioodvbdlimc1lem2  46319  ioodvbdlimc2lem  46321  hoidifhspdmvle  47007