Theorem max2 13166

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11260	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11260	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax2 13155	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 597	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∈ wcel 2107  ifcif 4529   class class class wbr 5149  ℝcr 11109  ℝ^*cxr 11247   ≤ cle 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254

This theorem is referenced by:  lemaxle  13174  z2ge  13177  ssfzunsnext  13546  uzsup  13828  expmulnbnd  14198  discr1  14202  rexuzre  15299  caubnd  15305  limsupgre  15425  limsupbnd2  15427  rlim3  15442  lo1bdd2  15468  o1lo1  15481  rlimclim1  15489  lo1mul  15572  rlimno1  15600  cvgrat  15829  ruclem10  16182  bitsfzo  16376  1arith  16860  evth  24475  ioombl1lem4  25078  itg2monolem3  25270  itgle  25327  ibladdlem  25337  plyaddlem1  25727  coeaddlem  25763  o1cxp  26479  cxp2lim  26481  cxploglim2  26483  ftalem1  26577  ftalem2  26578  chtppilim  26978  dchrisumlem3  26994  ostth2lem2  27137  ostth2lem3  27138  ostth2lem4  27139  ostth3  27141  knoppndvlem18  35405  ibladdnclem  36544  ftc1anclem5  36565  irrapxlem4  41563  irrapxlem5  41564  rexabslelem  44128  uzublem  44140  max2d  44168  climsuse  44324  limsupubuzlem  44428  limsupmnfuzlem  44442  limsupequzmptlem  44444  limsupre3uzlem  44451  liminflelimsuplem  44491  ioodvbdlimc1lem2  44648  ioodvbdlimc2lem  44650  hoidifhspdmvle  45336