Theorem max2 13154

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11227	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11227	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax2 13143	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ifcif 4491   class class class wbr 5110  ℝcr 11074  ℝ^*cxr 11214   ≤ cle 11216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221

This theorem is referenced by:  lemaxle  13162  z2ge  13165  ssfzunsnext  13537  uzsup  13832  expmulnbnd  14207  discr1  14211  rexuzre  15326  caubnd  15332  limsupgre  15454  limsupbnd2  15456  rlim3  15471  lo1bdd2  15497  o1lo1  15510  rlimclim1  15518  lo1mul  15601  rlimno1  15627  cvgrat  15856  ruclem10  16214  bitsfzo  16412  1arith  16905  evth  24865  ioombl1lem4  25469  itg2monolem3  25660  itgle  25718  ibladdlem  25728  plyaddlem1  26125  coeaddlem  26161  o1cxp  26892  cxp2lim  26894  cxploglim2  26896  ftalem1  26990  ftalem2  26991  chtppilim  27393  dchrisumlem3  27409  ostth2lem2  27552  ostth2lem3  27553  ostth2lem4  27554  ostth3  27556  knoppndvlem18  36524  ibladdnclem  37677  ftc1anclem5  37698  irrapxlem4  42820  irrapxlem5  42821  rexabslelem  45421  uzublem  45433  max2d  45461  climsuse  45613  limsupubuzlem  45717  limsupmnfuzlem  45731  limsupequzmptlem  45733  limsupre3uzlem  45740  liminflelimsuplem  45780  ioodvbdlimc1lem2  45937  ioodvbdlimc2lem  45939  hoidifhspdmvle  46625