Theorem max2 13229

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11307	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11307	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax2 13218	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ifcif 4525   class class class wbr 5143  ℝcr 11154  ℝ^*cxr 11294   ≤ cle 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301

This theorem is referenced by:  lemaxle  13237  z2ge  13240  ssfzunsnext  13609  uzsup  13903  expmulnbnd  14274  discr1  14278  rexuzre  15391  caubnd  15397  limsupgre  15517  limsupbnd2  15519  rlim3  15534  lo1bdd2  15560  o1lo1  15573  rlimclim1  15581  lo1mul  15664  rlimno1  15690  cvgrat  15919  ruclem10  16275  bitsfzo  16472  1arith  16965  evth  24991  ioombl1lem4  25596  itg2monolem3  25787  itgle  25845  ibladdlem  25855  plyaddlem1  26252  coeaddlem  26288  o1cxp  27018  cxp2lim  27020  cxploglim2  27022  ftalem1  27116  ftalem2  27117  chtppilim  27519  dchrisumlem3  27535  ostth2lem2  27678  ostth2lem3  27679  ostth2lem4  27680  ostth3  27682  knoppndvlem18  36530  ibladdnclem  37683  ftc1anclem5  37704  irrapxlem4  42836  irrapxlem5  42837  rexabslelem  45429  uzublem  45441  max2d  45469  climsuse  45623  limsupubuzlem  45727  limsupmnfuzlem  45741  limsupequzmptlem  45743  limsupre3uzlem  45750  liminflelimsuplem  45790  ioodvbdlimc1lem2  45947  ioodvbdlimc2lem  45949  hoidifhspdmvle  46635