MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem max2 13060
Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
max2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max2
StepHypRef Expression
1 rexr 11159 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 11159 . 2 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrmax2 13049 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
41, 2, 3syl2an 596 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2106  ifcif 4484   class class class wbr 5103  cr 11008  *cxr 11146  cle 11148
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7664  ax-cnex 11065  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-er 8606  df-en 8842  df-dom 8843  df-sdom 8844  df-pnf 11149  df-mnf 11150  df-xr 11151  df-ltxr 11152  df-le 11153
This theorem is referenced by:  lemaxle  13068  z2ge  13071  ssfzunsnext  13440  uzsup  13722  expmulnbnd  14092  discr1  14096  rexuzre  15197  caubnd  15203  limsupgre  15323  limsupbnd2  15325  rlim3  15340  lo1bdd2  15366  o1lo1  15379  rlimclim1  15387  lo1mul  15470  rlimno1  15498  cvgrat  15728  ruclem10  16081  bitsfzo  16275  1arith  16759  evth  24274  ioombl1lem4  24877  itg2monolem3  25069  itgle  25126  ibladdlem  25136  plyaddlem1  25526  coeaddlem  25562  o1cxp  26276  cxp2lim  26278  cxploglim2  26280  ftalem1  26374  ftalem2  26375  chtppilim  26775  dchrisumlem3  26791  ostth2lem2  26934  ostth2lem3  26935  ostth2lem4  26936  ostth3  26938  knoppndvlem18  34930  ibladdnclem  36072  ftc1anclem5  36093  irrapxlem4  41057  irrapxlem5  41058  rexabslelem  43558  uzublem  43570  max2d  43598  climsuse  43750  limsupubuzlem  43854  limsupmnfuzlem  43868  limsupequzmptlem  43870  limsupre3uzlem  43877  liminflelimsuplem  43917  ioodvbdlimc1lem2  44074  ioodvbdlimc2lem  44076  hoidifhspdmvle  44762
  Copyright terms: Public domain W3C validator