MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  max2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem max2 12573
Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)
Assertion
Ref Expression
max2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max2
StepHypRef Expression
1 rexr 10679 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2 rexr 10679 . 2 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3 xrmax2 12562 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
41, 2, 3syl2an 595 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴𝐵, 𝐵, 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wcel 2107  ifcif 4469   class class class wbr 5062  cr 10528  *cxr 10666  cle 10668
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673
This theorem is referenced by:  lemaxle  12581  z2ge  12584  ssfzunsnext  12945  uzsup  13224  expmulnbnd  13589  discr1  13593  rexuzre  14705  caubnd  14711  limsupgre  14831  limsupbnd2  14833  rlim3  14848  lo1bdd2  14874  o1lo1  14887  rlimclim1  14895  lo1mul  14977  rlimno1  15003  cvgrat  15231  ruclem10  15584  bitsfzo  15776  1arith  16255  evth  23480  ioombl1lem4  24079  itg2monolem3  24270  itgle  24327  ibladdlem  24337  plyaddlem1  24720  coeaddlem  24756  o1cxp  25468  cxp2lim  25470  cxploglim2  25472  ftalem1  25566  ftalem2  25567  chtppilim  25967  dchrisumlem3  25983  ostth2lem2  26126  ostth2lem3  26127  ostth2lem4  26128  ostth3  26130  knoppndvlem18  33754  ibladdnclem  34817  ftc1anclem5  34840  irrapxlem4  39289  irrapxlem5  39290  rexabslelem  41559  uzublem  41571  max2d  41601  climsuse  41756  limsupubuzlem  41860  limsupmnfuzlem  41874  limsupequzmptlem  41876  limsupre3uzlem  41883  liminflelimsuplem  41923  ioodvbdlimc1lem2  42084  ioodvbdlimc2lem  42086  hoidifhspdmvle  42770
  Copyright terms: Public domain W3C validator