Theorem max2 13298

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11336	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11336	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax2 13287	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 608	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2145  ifcif 4482   class class class wbr 5103  ℝcr 11180  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8701  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is used by:  lemaxle  13306  z2ge  13309  ssfzunsnext  13683  uzsup  13983  expmulnbnd  14359  discr1  14363  rexuzre  15500  caubnd  15506  limsupgre  15628  limsupbnd2  15630  rlim3  15645  lo1bdd2  15671  o1lo1  15684  rlimclim1  15692  lo1mul  15775  rlimno1  15801  cvgrat  16032  ruclem10  16387  bitsfzo  16585  1arith  17085  evth  25260  ioombl1lem4  25862  itg2monolem3  26053  itgle  26110  ibladdlem  26120  plyaddlem1  26512  coeaddlem  26548  o1cxp  27284  cxp2lim  27286  cxploglim2  27288  ftalem1  27382  ftalem2  27383  chtppilim  27784  dchrisumlem3  27800  ostth2lem2  27943  ostth2lem3  27944  ostth2lem4  27945  ostth3  27947  knoppndvlem18  37365  ibladdnclem  38562  ftc1anclem5  38583  irrapxlem4  43785  irrapxlem5  43786  rexabslelem  46372  uzublem  46384  max2d  46412  climsuse  46564  limsupubuzlem  46666  limsupmnfuzlem  46680  limsupequzmptlem  46682  limsupre3uzlem  46689  liminflelimsuplem  46729  ioodvbdlimc1lem2  46886  ioodvbdlimc2lem  46888  hoidifhspdmvle  47574