Theorem max2 12626

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 10730	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 10730	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax2 12615	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 598	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  ifcif 4423   class class class wbr 5035  ℝcr 10579  ℝ^*cxr 10717   ≤ cle 10719

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-cnex 10636  ax-resscn 10637  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-id 5433  df-po 5446  df-so 5447  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724

This theorem is referenced by:  lemaxle  12634  z2ge  12637  ssfzunsnext  13006  uzsup  13285  expmulnbnd  13651  discr1  13655  rexuzre  14765  caubnd  14771  limsupgre  14891  limsupbnd2  14893  rlim3  14908  lo1bdd2  14934  o1lo1  14947  rlimclim1  14955  lo1mul  15037  rlimno1  15063  cvgrat  15292  ruclem10  15645  bitsfzo  15839  1arith  16323  evth  23665  ioombl1lem4  24266  itg2monolem3  24457  itgle  24514  ibladdlem  24524  plyaddlem1  24914  coeaddlem  24950  o1cxp  25664  cxp2lim  25666  cxploglim2  25668  ftalem1  25762  ftalem2  25763  chtppilim  26163  dchrisumlem3  26179  ostth2lem2  26322  ostth2lem3  26323  ostth2lem4  26324  ostth3  26326  knoppndvlem18  34284  ibladdnclem  35419  ftc1anclem5  35440  irrapxlem4  40167  irrapxlem5  40168  rexabslelem  42449  uzublem  42461  max2d  42491  climsuse  42644  limsupubuzlem  42748  limsupmnfuzlem  42762  limsupequzmptlem  42764  limsupre3uzlem  42771  liminflelimsuplem  42811  ioodvbdlimc1lem2  42968  ioodvbdlimc2lem  42970  hoidifhspdmvle  43653