Theorem max2 12568

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 10676	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 10676	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax2 12557	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 598	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∈ wcel 2111  ifcif 4425   class class class wbr 5030  ℝcr 10525  ℝ^*cxr 10663   ≤ cle 10665

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670

This theorem is referenced by:  lemaxle  12576  z2ge  12579  ssfzunsnext  12947  uzsup  13226  expmulnbnd  13592  discr1  13596  rexuzre  14704  caubnd  14710  limsupgre  14830  limsupbnd2  14832  rlim3  14847  lo1bdd2  14873  o1lo1  14886  rlimclim1  14894  lo1mul  14976  rlimno1  15002  cvgrat  15231  ruclem10  15584  bitsfzo  15774  1arith  16253  evth  23564  ioombl1lem4  24165  itg2monolem3  24356  itgle  24413  ibladdlem  24423  plyaddlem1  24810  coeaddlem  24846  o1cxp  25560  cxp2lim  25562  cxploglim2  25564  ftalem1  25658  ftalem2  25659  chtppilim  26059  dchrisumlem3  26075  ostth2lem2  26218  ostth2lem3  26219  ostth2lem4  26220  ostth3  26222  knoppndvlem18  33981  ibladdnclem  35113  ftc1anclem5  35134  irrapxlem4  39766  irrapxlem5  39767  rexabslelem  42055  uzublem  42067  max2d  42097  climsuse  42250  limsupubuzlem  42354  limsupmnfuzlem  42368  limsupequzmptlem  42370  limsupre3uzlem  42377  liminflelimsuplem  42417  ioodvbdlimc1lem2  42574  ioodvbdlimc2lem  42576  hoidifhspdmvle  43259