Theorem max2 13226

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11305	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11305	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax2 13215	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2106  ifcif 4531   class class class wbr 5148  ℝcr 11152  ℝ^*cxr 11292   ≤ cle 11294

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299

This theorem is referenced by:  lemaxle  13234  z2ge  13237  ssfzunsnext  13606  uzsup  13900  expmulnbnd  14271  discr1  14275  rexuzre  15388  caubnd  15394  limsupgre  15514  limsupbnd2  15516  rlim3  15531  lo1bdd2  15557  o1lo1  15570  rlimclim1  15578  lo1mul  15661  rlimno1  15687  cvgrat  15916  ruclem10  16272  bitsfzo  16469  1arith  16961  evth  25005  ioombl1lem4  25610  itg2monolem3  25802  itgle  25860  ibladdlem  25870  plyaddlem1  26267  coeaddlem  26303  o1cxp  27033  cxp2lim  27035  cxploglim2  27037  ftalem1  27131  ftalem2  27132  chtppilim  27534  dchrisumlem3  27550  ostth2lem2  27693  ostth2lem3  27694  ostth2lem4  27695  ostth3  27697  knoppndvlem18  36512  ibladdnclem  37663  ftc1anclem5  37684  irrapxlem4  42813  irrapxlem5  42814  rexabslelem  45368  uzublem  45380  max2d  45408  climsuse  45564  limsupubuzlem  45668  limsupmnfuzlem  45682  limsupequzmptlem  45684  limsupre3uzlem  45691  liminflelimsuplem  45731  ioodvbdlimc1lem2  45888  ioodvbdlimc2lem  45890  hoidifhspdmvle  46576