Theorem max2 13162

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11256	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11256	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax2 13151	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ifcif 4527   class class class wbr 5147  ℝcr 11105  ℝ^*cxr 11243   ≤ cle 11245

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250

This theorem is referenced by:  lemaxle  13170  z2ge  13173  ssfzunsnext  13542  uzsup  13824  expmulnbnd  14194  discr1  14198  rexuzre  15295  caubnd  15301  limsupgre  15421  limsupbnd2  15423  rlim3  15438  lo1bdd2  15464  o1lo1  15477  rlimclim1  15485  lo1mul  15568  rlimno1  15596  cvgrat  15825  ruclem10  16178  bitsfzo  16372  1arith  16856  evth  24466  ioombl1lem4  25069  itg2monolem3  25261  itgle  25318  ibladdlem  25328  plyaddlem1  25718  coeaddlem  25754  o1cxp  26468  cxp2lim  26470  cxploglim2  26472  ftalem1  26566  ftalem2  26567  chtppilim  26967  dchrisumlem3  26983  ostth2lem2  27126  ostth2lem3  27127  ostth2lem4  27128  ostth3  27130  knoppndvlem18  35393  ibladdnclem  36532  ftc1anclem5  36553  irrapxlem4  41548  irrapxlem5  41549  rexabslelem  44114  uzublem  44126  max2d  44154  climsuse  44310  limsupubuzlem  44414  limsupmnfuzlem  44428  limsupequzmptlem  44430  limsupre3uzlem  44437  liminflelimsuplem  44477  ioodvbdlimc1lem2  44634  ioodvbdlimc2lem  44636  hoidifhspdmvle  45322