Theorem max2 13208

Description: A number is less than or equal to the maximum of it and another. (Contributed by NM, 3-Apr-2005.)

Assertion

Ref	Expression
max2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Proof of Theorem max2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11286	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
2		rexr 11286	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
3		xrmax2 13197	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2an 596	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → 𝐵 ≤ if(𝐴 ≤ 𝐵, 𝐵, 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2109  ifcif 4505   class class class wbr 5124  ℝcr 11133  ℝ^*cxr 11273   ≤ cle 11275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280

This theorem is referenced by:  lemaxle  13216  z2ge  13219  ssfzunsnext  13591  uzsup  13885  expmulnbnd  14258  discr1  14262  rexuzre  15376  caubnd  15382  limsupgre  15502  limsupbnd2  15504  rlim3  15519  lo1bdd2  15545  o1lo1  15558  rlimclim1  15566  lo1mul  15649  rlimno1  15675  cvgrat  15904  ruclem10  16262  bitsfzo  16459  1arith  16952  evth  24914  ioombl1lem4  25519  itg2monolem3  25710  itgle  25768  ibladdlem  25778  plyaddlem1  26175  coeaddlem  26211  o1cxp  26942  cxp2lim  26944  cxploglim2  26946  ftalem1  27040  ftalem2  27041  chtppilim  27443  dchrisumlem3  27459  ostth2lem2  27602  ostth2lem3  27603  ostth2lem4  27604  ostth3  27606  knoppndvlem18  36552  ibladdnclem  37705  ftc1anclem5  37726  irrapxlem4  42815  irrapxlem5  42816  rexabslelem  45412  uzublem  45424  max2d  45452  climsuse  45604  limsupubuzlem  45708  limsupmnfuzlem  45722  limsupequzmptlem  45724  limsupre3uzlem  45731  liminflelimsuplem  45771  ioodvbdlimc1lem2  45928  ioodvbdlimc2lem  45930  hoidifhspdmvle  46616