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Theorem eqlkr 37957
Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
eqlkr.k 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
eqlkr.t Β· = (.rβ€˜π·)
eqlkr.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
eqlkr.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
eqlkr.l 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
eqlkr ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘Ÿ,𝐷   π‘₯,𝐹   𝐺,π‘Ÿ,π‘₯   𝐻,π‘Ÿ,π‘₯   𝑉,π‘Ÿ,π‘₯   𝐾,π‘Ÿ   π‘₯,𝐿   Β· ,π‘Ÿ   π‘₯,π‘Š
Allowed substitution hints:   Β· (π‘₯)   𝐹(π‘Ÿ)   𝐾(π‘₯)   𝐿(π‘Ÿ)   π‘Š(π‘Ÿ)

Proof of Theorem eqlkr
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ π‘Š ∈ LVec)
2 lveclmod 20709 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 eqlkr.d . . . . . . 7 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
43lmodring 20471 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
52, 4syl 17 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐷 ∈ Ring)
61, 5syl 17 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
7 eqlkr.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜π·)
8 eqid 2732 . . . . 5 (1rβ€˜π·) = (1rβ€˜π·)
97, 8ringidcl 20076 . . . 4 (𝐷 ∈ Ring β†’ (1rβ€˜π·) ∈ 𝐾)
106, 9syl 17 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ (1rβ€˜π·) ∈ 𝐾)
11 simp11 1203 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
1211, 5syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
13 simp12l 1286 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
14 simp3 1138 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
15 eqlkr.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
16 eqlkr.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
173, 7, 15, 16lflcl 37922 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
1811, 13, 14, 17syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
19 eqlkr.t . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜π·)
207, 19, 8ringridm 20080 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (1rβ€˜π·)) = (πΊβ€˜π‘₯))
2112, 18, 20syl2anc 584 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (1rβ€˜π·)) = (πΊβ€˜π‘₯))
22 simp2 1137 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
23 simp13 1205 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»))
2411, 2syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
25 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . 13 (0gβ€˜π·) = (0gβ€˜π·)
26 eqlkr.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (LKerβ€˜π‘Š)
273, 25, 15, 16, 26lkr0f 37952 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
2824, 13, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΏβ€˜πΊ) = 𝑉 ↔ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
2922, 28mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜πΊ) = 𝑉)
3023, 29eqtr3d 2774 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜π») = 𝑉)
31 simp12r 1287 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
323, 25, 15, 16, 26lkr0f 37952 . . . . . . . . . 10 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) β†’ ((πΏβ€˜π») = 𝑉 ↔ 𝐻 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
3324, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΏβ€˜π») = 𝑉 ↔ 𝐻 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})))
3430, 33mpbid 231 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝐻 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
3522, 34eqtr4d 2775 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 = 𝐻)
3635fveq1d 6890 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (π»β€˜π‘₯))
3721, 36eqtr2d 2773 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (1rβ€˜π·)))
38373expia 1121 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (1rβ€˜π·))))
3938ralrimiv 3145 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (1rβ€˜π·)))
40 oveq2 7413 . . . . . 6 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π·) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (1rβ€˜π·)))
4140eqeq2d 2743 . . . . 5 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π·) β†’ ((π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ) ↔ (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (1rβ€˜π·))))
4241ralbidv 3177 . . . 4 (π‘Ÿ = (1rβ€˜π·) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (1rβ€˜π·))))
4342rspcev 3612 . . 3 (((1rβ€˜π·) ∈ 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (1rβ€˜π·))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ))
4410, 39, 43syl2anc 584 . 2 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 = (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ))
45 simpl1 1191 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ π‘Š ∈ LVec)
46 simpl2l 1226 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
47 simpr 485 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}))
483, 25, 8, 15, 16lfl1 37928 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·))
4945, 46, 47, 48syl3anc 1371 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·))
50 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·))) β†’ π‘Š ∈ LVec)
51 simpl2r 1227 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·))) β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
52 simpr2 1195 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
533, 7, 15, 16lflcl 37922 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐻 ∈ 𝐹 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘§) ∈ 𝐾)
5450, 51, 52, 53syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·))) β†’ (π»β€˜π‘§) ∈ 𝐾)
55 simp11 1203 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
5655, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
57 simp12r 1287 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
58 simp12l 1286 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
59 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
603, 7, 15, 16lflcl 37922 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
6156, 58, 59, 60syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
62 simp22 1207 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝑧 ∈ 𝑉)
63 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
643, 7, 19, 15, 63, 16lflmul 37926 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹 ∧ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (π»β€˜((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘§)))
6556, 57, 61, 62, 64syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘§)))
6665oveq2d 7421 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((π»β€˜π‘₯)(-gβ€˜π·)(π»β€˜((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))) = ((π»β€˜π‘₯)(-gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘§))))
6715, 3, 63, 7lmodvscl 20481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
6856, 61, 62, 67syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)
69 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (-gβ€˜π·) = (-gβ€˜π·)
70 eqid 2732 . . . . . . . . . . . . . 14 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
713, 69, 15, 70, 16lflsub 37925 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)) β†’ (π»β€˜(π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))) = ((π»β€˜π‘₯)(-gβ€˜π·)(π»β€˜((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))))
7256, 57, 59, 68, 71syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜(π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))) = ((π»β€˜π‘₯)(-gβ€˜π·)(π»β€˜((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))))
7315, 70lmodvsubcl 20509 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) ∈ 𝑉)
7456, 59, 68, 73syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) ∈ 𝑉)
753, 69, 15, 70, 16lflsub 37925 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (π‘₯ ∈ 𝑉 ∧ ((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧) ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))) = ((πΊβ€˜π‘₯)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))))
7656, 58, 59, 68, 75syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))) = ((πΊβ€˜π‘₯)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))))
7755, 58, 59, 17syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
783, 7, 19, 15, 63, 16lflmul 37926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ ((πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ 𝑧 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
7956, 58, 77, 62, 78syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘§)))
80 simp23 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·))
8180oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (πΊβ€˜π‘§)) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (1rβ€˜π·)))
8255, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
8382, 77, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (1rβ€˜π·)) = (πΊβ€˜π‘₯))
8479, 81, 833eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) = (πΊβ€˜π‘₯))
8584oveq2d 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))) = ((πΊβ€˜π‘₯)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘₯)))
863lmodfgrp 20472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Grp)
872, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐷 ∈ Grp)
8855, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ Grp)
897, 25, 69grpsubid 18903 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π·))
9088, 77, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘₯)) = (0gβ€˜π·))
9176, 85, 903eqtrd 2776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜(π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))) = (0gβ€˜π·))
9215, 3, 25, 16, 26ellkr 37947 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) ∈ (πΏβ€˜πΊ) ↔ ((π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜(π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))) = (0gβ€˜π·))))
9355, 58, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) ∈ (πΏβ€˜πΊ) ↔ ((π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜(π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))) = (0gβ€˜π·))))
9474, 91, 93mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) ∈ (πΏβ€˜πΊ))
95 simp13 1205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»))
9694, 95eleqtrd 2835 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) ∈ (πΏβ€˜π»))
9715, 3, 25, 16, 26ellkr 37947 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) β†’ ((π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) ∈ (πΏβ€˜π») ↔ ((π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) ∈ 𝑉 ∧ (π»β€˜(π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))) = (0gβ€˜π·))))
9855, 57, 97syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) ∈ (πΏβ€˜π») ↔ ((π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) ∈ 𝑉 ∧ (π»β€˜(π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))) = (0gβ€˜π·))))
9996, 98mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧)) ∈ 𝑉 ∧ (π»β€˜(π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))) = (0gβ€˜π·)))
10099simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜(π‘₯(-gβ€˜π‘Š)((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))) = (0gβ€˜π·))
10172, 100eqtr3d 2774 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((π»β€˜π‘₯)(-gβ€˜π·)(π»β€˜((πΊβ€˜π‘₯)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑧))) = (0gβ€˜π·))
10266, 101eqtr3d 2774 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((π»β€˜π‘₯)(-gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘§))) = (0gβ€˜π·))
1033, 7, 15, 16lflcl 37922 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐻 ∈ 𝐹 ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
10455, 57, 59, 103syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ 𝐾)
105543adant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘§) ∈ 𝐾)
1063, 7, 19lmodmcl 20476 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ (π»β€˜π‘§) ∈ 𝐾) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘§)) ∈ 𝐾)
10756, 77, 105, 106syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘§)) ∈ 𝐾)
1087, 25, 69grpsubeq0 18905 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (π»β€˜π‘₯) ∈ 𝐾 ∧ ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘§)) ∈ 𝐾) β†’ (((π»β€˜π‘₯)(-gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘§))) = (0gβ€˜π·) ↔ (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘§))))
10988, 104, 107, 108syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (((π»β€˜π‘₯)(-gβ€˜π·)((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘§))) = (0gβ€˜π·) ↔ (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘§))))
110102, 109mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·)) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘§)))
1111103expia 1121 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·))) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑉 β†’ (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘§))))
112111ralrimiv 3145 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘§)))
113 oveq2 7413 . . . . . . . . . 10 (π‘Ÿ = (π»β€˜π‘§) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘§)))
114113eqeq2d 2743 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ = (π»β€˜π‘§) β†’ ((π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ) ↔ (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘§))))
115114ralbidv 3177 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = (π»β€˜π‘§) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ) ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘§))))
116115rspcev 3612 . . . . . . 7 (((π»β€˜π‘§) ∈ 𝐾 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘§))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ))
11754, 112, 116syl2anc 584 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) ∧ 𝑧 ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·))) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ))
1181173exp2 1354 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) β†’ (𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)}) β†’ (𝑧 ∈ 𝑉 β†’ ((πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ)))))
119118imp 407 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ (𝑧 ∈ 𝑉 β†’ ((πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ))))
120119rexlimdv 3153 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ (βˆƒπ‘§ ∈ 𝑉 (πΊβ€˜π‘§) = (1rβ€˜π·) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ)))
12149, 120mpd 15 . 2 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) ∧ 𝐺 β‰  (𝑉 Γ— {(0gβ€˜π·)})) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ))
12244, 121pm2.61dane 3029 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝐻 ∈ 𝐹) ∧ (πΏβ€˜πΊ) = (πΏβ€˜π»)) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ 𝐾 βˆ€π‘₯ ∈ 𝑉 (π»β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· π‘Ÿ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  {csn 4627   Γ— cxp 5673  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  0gc0g 17381  Grpcgrp 18815  -gcsg 18817  1rcur 19998  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  LVecclvec 20705  LFnlclfn 37915  LKerclk 37943
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-drng 20309  df-lmod 20465  df-lvec 20706  df-lfl 37916  df-lkr 37944
This theorem is referenced by:  eqlkr2  37958  eqlkr3  37959
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