Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  eqlkr Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqlkr 37561
Description: Two functionals with the same kernel are the same up to a constant. (Contributed by NM, 18-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
eqlkr.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
eqlkr.k 𝐾 = (Base‘𝐷)
eqlkr.t · = (.r𝐷)
eqlkr.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
eqlkr.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
eqlkr.l 𝐿 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
eqlkr ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑟,𝐷   𝑥,𝐹   𝐺,𝑟,𝑥   𝐻,𝑟,𝑥   𝑉,𝑟,𝑥   𝐾,𝑟   𝑥,𝐿   · ,𝑟   𝑥,𝑊
Allowed substitution hints:   · (𝑥)   𝐹(𝑟)   𝐾(𝑥)   𝐿(𝑟)   𝑊(𝑟)

Proof of Theorem eqlkr
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl1 1191 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑊 ∈ LVec)
2 lveclmod 20567 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
3 eqlkr.d . . . . . . 7 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
43lmodring 20330 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
52, 4syl 17 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ Ring)
61, 5syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝐷 ∈ Ring)
7 eqlkr.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐷)
8 eqid 2736 . . . . 5 (1r𝐷) = (1r𝐷)
97, 8ringidcl 19989 . . . 4 (𝐷 ∈ Ring → (1r𝐷) ∈ 𝐾)
106, 9syl 17 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (1r𝐷) ∈ 𝐾)
11 simp11 1203 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
1211, 5syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐷 ∈ Ring)
13 simp12l 1286 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐺𝐹)
14 simp3 1138 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥𝑉)
15 eqlkr.v . . . . . . . . 9 𝑉 = (Base‘𝑊)
16 eqlkr.f . . . . . . . . 9 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
173, 7, 15, 16lflcl 37526 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
1811, 13, 14, 17syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
19 eqlkr.t . . . . . . . 8 · = (.r𝐷)
207, 19, 8ringridm 19993 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐾) → ((𝐺𝑥) · (1r𝐷)) = (𝐺𝑥))
2112, 18, 20syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐺𝑥) · (1r𝐷)) = (𝐺𝑥))
22 simp2 1137 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
23 simp13 1205 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻))
2411, 2syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
25 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (0g𝐷) = (0g𝐷)
26 eqlkr.l . . . . . . . . . . . . 13 𝐿 = (LKer‘𝑊)
273, 25, 15, 16, 26lkr0f 37556 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → ((𝐿𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
2824, 13, 27syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐿𝐺) = 𝑉𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
2922, 28mpbird 256 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐿𝐺) = 𝑉)
3023, 29eqtr3d 2778 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐿𝐻) = 𝑉)
31 simp12r 1287 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐻𝐹)
323, 25, 15, 16, 26lkr0f 37556 . . . . . . . . . 10 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹) → ((𝐿𝐻) = 𝑉𝐻 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
3324, 31, 32syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐿𝐻) = 𝑉𝐻 = (𝑉 × {(0g𝐷)})))
3430, 33mpbid 231 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐻 = (𝑉 × {(0g𝐷)}))
3522, 34eqtr4d 2779 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐺 = 𝐻)
3635fveq1d 6844 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) = (𝐻𝑥))
3721, 36eqtr2d 2777 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (1r𝐷)))
38373expia 1121 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝑥𝑉 → (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (1r𝐷))))
3938ralrimiv 3142 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (1r𝐷)))
40 oveq2 7365 . . . . . 6 (𝑟 = (1r𝐷) → ((𝐺𝑥) · 𝑟) = ((𝐺𝑥) · (1r𝐷)))
4140eqeq2d 2747 . . . . 5 (𝑟 = (1r𝐷) → ((𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟) ↔ (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (1r𝐷))))
4241ralbidv 3174 . . . 4 (𝑟 = (1r𝐷) → (∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟) ↔ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (1r𝐷))))
4342rspcev 3581 . . 3 (((1r𝐷) ∈ 𝐾 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (1r𝐷))) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟))
4410, 39, 43syl2anc 584 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 = (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟))
45 simpl1 1191 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝑊 ∈ LVec)
46 simpl2l 1226 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝐺𝐹)
47 simpr 485 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}))
483, 25, 8, 15, 16lfl1 37532 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ∃𝑧𝑉 (𝐺𝑧) = (1r𝐷))
4945, 46, 47, 48syl3anc 1371 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ∃𝑧𝑉 (𝐺𝑧) = (1r𝐷))
50 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷))) → 𝑊 ∈ LVec)
51 simpl2r 1227 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷))) → 𝐻𝐹)
52 simpr2 1195 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷))) → 𝑧𝑉)
533, 7, 15, 16lflcl 37526 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐻𝐹𝑧𝑉) → (𝐻𝑧) ∈ 𝐾)
5450, 51, 52, 53syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷))) → (𝐻𝑧) ∈ 𝐾)
55 simp11 1203 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
5655, 2syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
57 simp12r 1287 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐻𝐹)
58 simp12l 1286 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐺𝐹)
59 simp3 1138 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑥𝑉)
603, 7, 15, 16lflcl 37526 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
6156, 58, 59, 60syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
62 simp22 1207 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝑧𝑉)
63 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
643, 7, 19, 15, 63, 16lflmul 37530 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹 ∧ ((𝐺𝑥) ∈ 𝐾𝑧𝑉)) → (𝐻‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧)))
6556, 57, 61, 62, 64syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐻‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧)))
6665oveq2d 7373 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐻𝑥)(-g𝐷)(𝐻‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = ((𝐻𝑥)(-g𝐷)((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧))))
6715, 3, 63, 7lmodvscl 20339 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐾𝑧𝑉) → ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
6856, 61, 62, 67syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)
69 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g𝐷) = (-g𝐷)
70 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . . 14 (-g𝑊) = (-g𝑊)
713, 69, 15, 70, 16lflsub 37529 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹 ∧ (𝑥𝑉 ∧ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)) → (𝐻‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = ((𝐻𝑥)(-g𝐷)(𝐻‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))))
7256, 57, 59, 68, 71syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐻‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = ((𝐻𝑥)(-g𝐷)(𝐻‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))))
7315, 70lmodvsubcl 20367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥𝑉 ∧ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉) → (𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ 𝑉)
7456, 59, 68, 73syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ 𝑉)
753, 69, 15, 70, 16lflsub 37529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑥𝑉 ∧ ((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧) ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = ((𝐺𝑥)(-g𝐷)(𝐺‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))))
7656, 58, 59, 68, 75syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐺‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = ((𝐺𝑥)(-g𝐷)(𝐺‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))))
7755, 58, 59, 17syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐺𝑥) ∈ 𝐾)
783, 7, 19, 15, 63, 16lflmul 37530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ ((𝐺𝑥) ∈ 𝐾𝑧𝑉)) → (𝐺‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) = ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑧)))
7956, 58, 77, 62, 78syl112anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐺‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) = ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑧)))
80 simp23 1208 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐺𝑧) = (1r𝐷))
8180oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐺𝑥) · (𝐺𝑧)) = ((𝐺𝑥) · (1r𝐷)))
8255, 5syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐷 ∈ Ring)
8382, 77, 20syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐺𝑥) · (1r𝐷)) = (𝐺𝑥))
8479, 81, 833eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐺‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) = (𝐺𝑥))
8584oveq2d 7373 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐺𝑥)(-g𝐷)(𝐺‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = ((𝐺𝑥)(-g𝐷)(𝐺𝑥)))
863lmodfgrp 20331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
872, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ Grp)
8855, 87syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → 𝐷 ∈ Grp)
897, 25, 69grpsubid 18831 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐾) → ((𝐺𝑥)(-g𝐷)(𝐺𝑥)) = (0g𝐷))
9088, 77, 89syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐺𝑥)(-g𝐷)(𝐺𝑥)) = (0g𝐷))
9176, 85, 903eqtrd 2780 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐺‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = (0g𝐷))
9215, 3, 25, 16, 26ellkr 37551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → ((𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ (𝐿𝐺) ↔ ((𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = (0g𝐷))))
9355, 58, 92syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ (𝐿𝐺) ↔ ((𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = (0g𝐷))))
9474, 91, 93mpbir2and 711 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ (𝐿𝐺))
95 simp13 1205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻))
9694, 95eleqtrd 2840 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ (𝐿𝐻))
9715, 3, 25, 16, 26ellkr 37551 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐻𝐹) → ((𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ (𝐿𝐻) ↔ ((𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐻‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = (0g𝐷))))
9855, 57, 97syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ (𝐿𝐻) ↔ ((𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐻‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = (0g𝐷))))
9996, 98mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐻‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = (0g𝐷)))
10099simprd 496 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐻‘(𝑥(-g𝑊)((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = (0g𝐷))
10172, 100eqtr3d 2778 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐻𝑥)(-g𝐷)(𝐻‘((𝐺𝑥)( ·𝑠𝑊)𝑧))) = (0g𝐷))
10266, 101eqtr3d 2778 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐻𝑥)(-g𝐷)((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧))) = (0g𝐷))
1033, 7, 15, 16lflcl 37526 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐻𝐹𝑥𝑉) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐾)
10455, 57, 59, 103syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐾)
105543adant3 1132 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐻𝑧) ∈ 𝐾)
1063, 7, 19lmodmcl 20334 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐺𝑥) ∈ 𝐾 ∧ (𝐻𝑧) ∈ 𝐾) → ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧)) ∈ 𝐾)
10756, 77, 105, 106syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧)) ∈ 𝐾)
1087, 25, 69grpsubeq0 18833 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐻𝑥) ∈ 𝐾 ∧ ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧)) ∈ 𝐾) → (((𝐻𝑥)(-g𝐷)((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧))) = (0g𝐷) ↔ (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧))))
10988, 104, 107, 108syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (((𝐻𝑥)(-g𝐷)((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧))) = (0g𝐷) ↔ (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧))))
110102, 109mpbid 231 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷)) ∧ 𝑥𝑉) → (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧)))
1111103expia 1121 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷))) → (𝑥𝑉 → (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧))))
112111ralrimiv 3142 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷))) → ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧)))
113 oveq2 7365 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = (𝐻𝑧) → ((𝐺𝑥) · 𝑟) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧)))
114113eqeq2d 2747 . . . . . . . . 9 (𝑟 = (𝐻𝑧) → ((𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟) ↔ (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧))))
115114ralbidv 3174 . . . . . . . 8 (𝑟 = (𝐻𝑧) → (∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟) ↔ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧))))
116115rspcev 3581 . . . . . . 7 (((𝐻𝑧) ∈ 𝐾 ∧ ∀𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑧))) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟))
11754, 112, 116syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) ∧ 𝑧𝑉 ∧ (𝐺𝑧) = (1r𝐷))) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟))
1181173exp2 1354 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) → (𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)}) → (𝑧𝑉 → ((𝐺𝑧) = (1r𝐷) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟)))))
119118imp 407 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (𝑧𝑉 → ((𝐺𝑧) = (1r𝐷) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟))))
120119rexlimdv 3150 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → (∃𝑧𝑉 (𝐺𝑧) = (1r𝐷) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟)))
12149, 120mpd 15 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) ∧ 𝐺 ≠ (𝑉 × {(0g𝐷)})) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟))
12244, 121pm2.61dane 3032 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝐺𝐹𝐻𝐹) ∧ (𝐿𝐺) = (𝐿𝐻)) → ∃𝑟𝐾𝑥𝑉 (𝐻𝑥) = ((𝐺𝑥) · 𝑟))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  {csn 4586   × cxp 5631  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  Grpcgrp 18748  -gcsg 18750  1rcur 19913  Ringcrg 19964  LModclmod 20322  LVecclvec 20563  LFnlclfn 37519  LKerclk 37547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lvec 20564  df-lfl 37520  df-lkr 37548
This theorem is referenced by:  eqlkr2  37562  eqlkr3  37563
  Copyright terms: Public domain W3C validator