Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincresunit3lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincresunit3lem1 42869
Description: Lemma 1 for lincresunit3 42871. (Contributed by AV, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0 0 = (0g𝑅)
lincresunit.z 𝑍 = (0g𝑀)
lincresunit.n 𝑁 = (invg𝑅)
lincresunit.i 𝐼 = (invr𝑅)
lincresunit.t · = (.r𝑅)
lincresunit.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)))
Assertion
Ref Expression
lincresunit3lem1 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧)) = ((𝐹𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   𝑈,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   · ,𝑠   𝑧,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝑅(𝑧,𝑠)   𝑆(𝑧)   · (𝑧)   𝑈(𝑧)   𝐸(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝐺(𝑧,𝑠)   𝐼(𝑧)   𝑀(𝑧)   𝑁(𝑧)   𝑋(𝑧)   0 (𝑧,𝑠)   𝑍(𝑧,𝑠)

Proof of Theorem lincresunit3lem1
StepHypRef Expression
1 lincresunit.g . . . . . 6 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)))
21a1i 11 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠))))
3 fveq2 6375 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑧 → (𝐹𝑠) = (𝐹𝑧))
43oveq2d 6858 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑧 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)))
54adantl 473 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) ∧ 𝑠 = 𝑧) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)))
6 simpr3 1252 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
7 ovexd 6876 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)) ∈ V)
82, 5, 6, 7fvmptd 6477 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐺𝑧) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)))
98oveq1d 6857 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧) = (((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧))( ·𝑠𝑀)𝑧))
109oveq2d 6858 . 2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧)) = ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧))( ·𝑠𝑀)𝑧)))
11 simp2 1167 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
1211adantr 472 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑀 ∈ LMod)
13 lincresunit.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
1413lmodfgrp 19141 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
15143ad2ant2 1164 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
16 lincresunit.e . . . . . 6 𝐸 = (Base‘𝑅)
17 lincresunit.u . . . . . 6 𝑈 = (Unit‘𝑅)
1816, 17unitcl 18926 . . . . 5 ((𝐹𝑋) ∈ 𝑈 → (𝐹𝑋) ∈ 𝐸)
19183ad2ant2 1164 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐸)
20 lincresunit.n . . . . 5 𝑁 = (invg𝑅)
2116, 20grpinvcl 17736 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝐸) → (𝑁‘(𝐹𝑋)) ∈ 𝐸)
2215, 19, 21syl2an 589 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝑁‘(𝐹𝑋)) ∈ 𝐸)
23 3simpa 1178 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈))
2423anim2i 610 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)))
25 eldifi 3894 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧𝑆)
26253ad2ant3 1165 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧𝑆)
2726adantl 473 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑧𝑆)
28 lincresunit.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑀)
29 lincresunit.0 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
30 lincresunit.z . . . . 5 𝑍 = (0g𝑀)
31 lincresunit.i . . . . 5 𝐼 = (invr𝑅)
32 lincresunit.t . . . . 5 · = (.r𝑅)
3328, 13, 16, 17, 29, 30, 20, 31, 32, 1lincresunitlem2 42866 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑧𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)) ∈ 𝐸)
3424, 27, 33syl2anc 579 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)) ∈ 𝐸)
35 elpwi 4325 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑆𝐵)
3635sseld 3760 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑧𝑆𝑧𝐵))
3725, 36syl5com 31 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑧𝐵))
38373ad2ant3 1165 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑧𝐵))
3938com12 32 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧𝐵))
40393ad2ant1 1163 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧𝐵))
4140imp 395 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑧𝐵)
42 eqid 2765 . . . . 5 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
4328, 13, 42, 16, 32lmodvsass 19157 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(𝐹𝑋)) ∈ 𝐸 ∧ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)) ∈ 𝐸𝑧𝐵)) → (((𝑁‘(𝐹𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)))( ·𝑠𝑀)𝑧) = ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧))( ·𝑠𝑀)𝑧)))
4443eqcomd 2771 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(𝐹𝑋)) ∈ 𝐸 ∧ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)) ∈ 𝐸𝑧𝐵)) → ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧))( ·𝑠𝑀)𝑧)) = (((𝑁‘(𝐹𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)))( ·𝑠𝑀)𝑧))
4512, 22, 34, 41, 44syl13anc 1491 . 2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧))( ·𝑠𝑀)𝑧)) = (((𝑁‘(𝐹𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)))( ·𝑠𝑀)𝑧))
4613lmodring 19140 . . . . . 6 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
47463ad2ant2 1164 . . . . 5 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
4847adantr 472 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑅 ∈ Ring)
49 elmapi 8082 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) → 𝐹:𝑆𝐸)
50 ffvelrn 6547 . . . . . . 7 ((𝐹:𝑆𝐸𝑧𝑆) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐸)
5149, 25, 50syl2an 589 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐸)
52513adant2 1161 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐸)
5352adantl 473 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐸)
54 simp2 1167 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)
5554adantl 473 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)
5616, 17, 20, 31, 32invginvrid 42749 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹𝑧) ∈ 𝐸 ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈) → ((𝑁‘(𝐹𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧))) = (𝐹𝑧))
5748, 53, 55, 56syl3anc 1490 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧))) = (𝐹𝑧))
5857oveq1d 6857 . 2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (((𝑁‘(𝐹𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑧)))( ·𝑠𝑀)𝑧) = ((𝐹𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧))
5910, 45, 583eqtrd 2803 1 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸𝑚 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧)) = ((𝐹𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  Vcvv 3350  cdif 3729  𝒫 cpw 4315  {csn 4334  cmpt 4888  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑚 cmap 8060  Basecbs 16132  .rcmulr 16217  Scalarcsca 16219   ·𝑠 cvsca 16220  0gc0g 16368  Grpcgrp 17691  invgcminusg 17692  Ringcrg 18814  Unitcui 18906  invrcinvr 18938  LModclmod 19132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-tpos 7555  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-2 11335  df-3 11336  df-ndx 16135  df-slot 16136  df-base 16138  df-sets 16139  df-ress 16140  df-plusg 16229  df-mulr 16230  df-0g 16370  df-mgm 17510  df-sgrp 17552  df-mnd 17563  df-grp 17694  df-minusg 17695  df-mgp 18757  df-ur 18769  df-ring 18816  df-oppr 18890  df-dvdsr 18908  df-unit 18909  df-invr 18939  df-lmod 19134
This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  42870
  Copyright terms: Public domain W3C validator