Theorem lincresunit3lem1 48667

Description: Lemma 1 for lincresunit3 48669. (Contributed by AV, 17-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincresunit.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincresunit.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincresunit.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
lincresunit.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lincresunit.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))

Assertion

Ref	Expression
lincresunit3lem1	⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = ((𝐹‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   𝑈,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   · ,𝑠   𝑧,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝑅(𝑧,𝑠)   𝑆(𝑧)   · (𝑧)   𝑈(𝑧)   𝐸(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝐺(𝑧,𝑠)   𝐼(𝑧)   𝑀(𝑧)   𝑁(𝑧)   𝑋(𝑧)   0 (𝑧,𝑠)   𝑍(𝑧,𝑠)

Proof of Theorem lincresunit3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lincresunit.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))
2		fveq2 6832	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑧))
3	2	oveq2d 7372	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))
4		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
5		ovexd 7391	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)) ∈ V)
6	1, 3, 4, 5	fvmptd3 6962	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐺‘𝑧) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))
7	6	oveq1d 7371	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧) = (((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
8	7	oveq2d 7372	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))
9		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑀 ∈ LMod)
11		lincresunit.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
12	11	lmodfgrp 20818	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
13	12	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
14		lincresunit.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
15		lincresunit.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16	14, 15	unitcl 20309	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸)
17	16	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸)
18		lincresunit.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
19	14, 18	grpinvcl 18915	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸) → (𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸)
20	13, 17, 19	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸)
21		3simpa 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈))
22	21	anim2i 617	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)))
23		eldifi 4081	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧 ∈ 𝑆)
24	23	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧 ∈ 𝑆)
25	24	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑧 ∈ 𝑆)
26		lincresunit.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
27		lincresunit.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
28		lincresunit.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
29		lincresunit.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
30		lincresunit.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
31	26, 11, 14, 15, 27, 28, 18, 29, 30, 1	lincresunitlem2 48664	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐸)
32	22, 25, 31	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐸)
33		elpwi 4559	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
34	33	sseld 3930	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ∈ 𝐵))
35	23, 34	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐵))
36	35	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐵))
37	36	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧 ∈ 𝐵))
38	37	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧 ∈ 𝐵))
39	38	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
40		eqid 2734	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
41	26, 11, 40, 14, 30	lmodvsass 20836	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸 ∧ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧) = ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))
42	41	eqcomd 2740	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸 ∧ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = (((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
43	10, 20, 32, 39, 42	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = (((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
44	11	lmodring 20817	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
45	44	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
46	45	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑅 ∈ Ring)
47		elmapi 8784	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶𝐸)
48		ffvelcdm 7024	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐸)
49	47, 23, 48	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐸)
50	49	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐸)
51	50	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐸)
52		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
53	52	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
54	14, 15, 18, 29, 30	invginvrid 48555	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐸 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
55	46, 51, 53, 54	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
56	55	oveq1d 7371	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧) = ((𝐹‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
57	8, 43, 56	3eqtrd 2773	1 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = ((𝐹‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3438   ∖ cdif 3896  𝒫 cpw 4552  {csn 4578   ↦ cmpt 5177  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8761  Basecbs 17134  ._rcmulr 17176  Scalarcsca 17178   ·_𝑠 cvsca 17179  0_gc0g 17357  Grpcgrp 18861  inv_gcminusg 18862  Ringcrg 20166  Unitcui 20289  inv_rcinvr 20321  LModclmod 20809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100  ax-pre-mulgt0 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-map 8763  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-xr 11168  df-ltxr 11169  df-le 11170  df-sub 11364  df-neg 11365  df-nn 12144  df-2 12206  df-3 12207  df-sets 17089  df-slot 17107  df-ndx 17119  df-base 17135  df-ress 17156  df-plusg 17188  df-mulr 17189  df-0g 17359  df-mgm 18563  df-sgrp 18642  df-mnd 18658  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-cmn 19709  df-abl 19710  df-mgp 20074  df-rng 20086  df-ur 20115  df-ring 20168  df-oppr 20271  df-dvdsr 20291  df-unit 20292  df-invr 20322  df-lmod 20811

This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  48668