Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincresunit3lem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lincresunit3lem1 47248
Description: Lemma 1 for lincresunit3 47250. (Contributed by AV, 17-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincresunit.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincresunit.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
lincresunit.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
lincresunit.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lincresunit.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lincresunit.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
lincresunit.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
lincresunit.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
lincresunit.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘ )))
Assertion
Ref Expression
lincresunit3lem1 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   π‘ˆ,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   Β· ,𝑠   𝑧,𝑠
Allowed substitution hints:   𝐡(𝑧)   𝑅(𝑧,𝑠)   𝑆(𝑧)   Β· (𝑧)   π‘ˆ(𝑧)   𝐸(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝐺(𝑧,𝑠)   𝐼(𝑧)   𝑀(𝑧)   𝑁(𝑧)   𝑋(𝑧)   0 (𝑧,𝑠)   𝑍(𝑧,𝑠)
Proof of Theorem lincresunit3lem1
StepHypRef Expression
1 lincresunit.g . . . . 5 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘ )))
2 fveq2 6891 . . . . . 6 (𝑠 = 𝑧 β†’ (πΉβ€˜π‘ ) = (πΉβ€˜π‘§))
32oveq2d 7428 . . . . 5 (𝑠 = 𝑧 β†’ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘ )) = ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
4 simpr3 1195 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))
5 ovexd 7447 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘§)) ∈ V)
61, 3, 4, 5fvmptd3 7021 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘§)))
76oveq1d 7427 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧) = (((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))
87oveq2d 7428 . 2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)) = ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)))
9 simp2 1136 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
109adantr 480 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
11 lincresunit.r . . . . . 6 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
1211lmodfgrp 20624 . . . . 5 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Grp)
13123ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
14 lincresunit.e . . . . . 6 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
15 lincresunit.u . . . . . 6 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
1614, 15unitcl 20267 . . . . 5 ((πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐸)
17163ad2ant2 1133 . . . 4 ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐸)
18 lincresunit.n . . . . 5 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
1914, 18grpinvcl 18909 . . . 4 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐸) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ 𝐸)
2013, 17, 19syl2an 595 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ 𝐸)
21 3simpa 1147 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ))
2221anim2i 616 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)))
23 eldifi 4126 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
24233ad2ant3 1134 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
2524adantl 481 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
26 lincresunit.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
27 lincresunit.0 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
28 lincresunit.z . . . . 5 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
29 lincresunit.i . . . . 5 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
30 lincresunit.t . . . . 5 Β· = (.rβ€˜π‘…)
3126, 11, 14, 15, 27, 28, 18, 29, 30, 1lincresunitlem2 47245 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝐸)
3222, 25, 31syl2anc 583 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝐸)
33 elpwi 4609 . . . . . . . . 9 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
3433sseld 3981 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ 𝑧 ∈ 𝐡))
3523, 34syl5com 31 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ 𝑧 ∈ 𝐡))
36353ad2ant3 1134 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ 𝑧 ∈ 𝐡))
3736com12 32 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡))
38373ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡))
3938imp 406 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
40 eqid 2731 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
4126, 11, 40, 14, 30lmodvsass 20642 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ 𝐸 ∧ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ (((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) Β· ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘§)))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧) = ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)))
4241eqcomd 2737 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ 𝐸 ∧ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡)) β†’ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)) = (((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) Β· ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘§)))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))
4310, 20, 32, 39, 42syl13anc 1371 . 2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘§))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)) = (((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) Β· ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘§)))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))
4411lmodring 20623 . . . . . 6 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
45443ad2ant2 1133 . . . . 5 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4645adantr 480 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
47 elmapi 8847 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) β†’ 𝐹:π‘†βŸΆπΈ)
48 ffvelcdm 7083 . . . . . . 7 ((𝐹:π‘†βŸΆπΈ ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐸)
4947, 23, 48syl2an 595 . . . . . 6 ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐸)
50493adant2 1130 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐸)
5150adantl 481 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐸)
52 simp2 1136 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
5352adantl 481 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
5414, 15, 18, 29, 30invginvrid 47132 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐸 ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) Β· ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘§))) = (πΉβ€˜π‘§))
5546, 51, 53, 54syl3anc 1370 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) Β· ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘§))) = (πΉβ€˜π‘§))
5655oveq1d 7427 . 2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ (((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) Β· ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘§)))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧) = ((πΉβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))
578, 43, 563eqtrd 2775 1 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945  π’« cpw 4602  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412   ↑m cmap 8824  Basecbs 17149  .rcmulr 17203  Scalarcsca 17205   ·𝑠 cvsca 17206  0gc0g 17390  Grpcgrp 18856  invgcminusg 18857  Ringcrg 20128  Unitcui 20247  invrcinvr 20279  LModclmod 20615
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-0g 17392  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-oppr 20226  df-dvdsr 20249  df-unit 20250  df-invr 20280  df-lmod 20617
This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  47249
  Copyright terms: Public domain W3C validator