Theorem lincresunit3lem1 48441

Description: Lemma 1 for lincresunit3 48443. (Contributed by AV, 17-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincresunit.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincresunit.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincresunit.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
lincresunit.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lincresunit.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))

Assertion

Ref	Expression
lincresunit3lem1	⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = ((𝐹‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   𝑈,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   · ,𝑠   𝑧,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝑅(𝑧,𝑠)   𝑆(𝑧)   · (𝑧)   𝑈(𝑧)   𝐸(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝐺(𝑧,𝑠)   𝐼(𝑧)   𝑀(𝑧)   𝑁(𝑧)   𝑋(𝑧)   0 (𝑧,𝑠)   𝑍(𝑧,𝑠)

Proof of Theorem lincresunit3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lincresunit.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))
2		fveq2 6840	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑧))
3	2	oveq2d 7385	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))
4		simpr3 1197	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
5		ovexd 7404	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)) ∈ V)
6	1, 3, 4, 5	fvmptd3 6973	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐺‘𝑧) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))
7	6	oveq1d 7384	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧) = (((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
8	7	oveq2d 7385	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))
9		simp2 1137	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
10	9	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑀 ∈ LMod)
11		lincresunit.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
12	11	lmodfgrp 20751	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
13	12	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
14		lincresunit.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
15		lincresunit.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16	14, 15	unitcl 20260	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸)
17	16	3ad2ant2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸)
18		lincresunit.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
19	14, 18	grpinvcl 18895	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸) → (𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸)
20	13, 17, 19	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸)
21		3simpa 1148	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈))
22	21	anim2i 617	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)))
23		eldifi 4090	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧 ∈ 𝑆)
24	23	3ad2ant3 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧 ∈ 𝑆)
25	24	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑧 ∈ 𝑆)
26		lincresunit.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
27		lincresunit.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
28		lincresunit.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
29		lincresunit.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
30		lincresunit.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
31	26, 11, 14, 15, 27, 28, 18, 29, 30, 1	lincresunitlem2 48438	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐸)
32	22, 25, 31	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐸)
33		elpwi 4566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
34	33	sseld 3942	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ∈ 𝐵))
35	23, 34	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐵))
36	35	3ad2ant3 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐵))
37	36	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧 ∈ 𝐵))
38	37	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧 ∈ 𝐵))
39	38	imp 406	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
40		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
41	26, 11, 40, 14, 30	lmodvsass 20769	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸 ∧ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧) = ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))
42	41	eqcomd 2735	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸 ∧ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = (((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
43	10, 20, 32, 39, 42	syl13anc 1374	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = (((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
44	11	lmodring 20750	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
45	44	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
46	45	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑅 ∈ Ring)
47		elmapi 8799	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶𝐸)
48		ffvelcdm 7035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐸)
49	47, 23, 48	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐸)
50	49	3adant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐸)
51	50	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐸)
52		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
53	52	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
54	14, 15, 18, 29, 30	invginvrid 48328	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐸 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
55	46, 51, 53, 54	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
56	55	oveq1d 7384	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧) = ((𝐹‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
57	8, 43, 56	3eqtrd 2768	1 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = ((𝐹‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∖ cdif 3908  𝒫 cpw 4559  {csn 4585   ↦ cmpt 5183  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ↑_m cmap 8776  Basecbs 17155  ._rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·_𝑠 cvsca 17200  0_gc0g 17378  Grpcgrp 18841  inv_gcminusg 18842  Ringcrg 20118  Unitcui 20240  inv_rcinvr 20272  LModclmod 20742

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-tpos 8182  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-map 8778  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-sets 17110  df-slot 17128  df-ndx 17140  df-base 17156  df-ress 17177  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17380  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-cmn 19688  df-abl 19689  df-mgp 20026  df-rng 20038  df-ur 20067  df-ring 20120  df-oppr 20222  df-dvdsr 20242  df-unit 20243  df-invr 20273  df-lmod 20744

This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  48442