Theorem lincresunit3lem1 49730

Description: Lemma 1 for lincresunit3 49732. (Contributed by AV, 17-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincresunit.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincresunit.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincresunit.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
lincresunit.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lincresunit.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))

Assertion

Ref	Expression
lincresunit3lem1	⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = ((𝐹‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   𝑈,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   · ,𝑠   𝑧,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝑅(𝑧, 𝑠)   𝑆(𝑧)   · (𝑧)   𝑈(𝑧)   𝐸(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝐺(𝑧, 𝑠)   𝐼(𝑧)   𝑀(𝑧)   𝑁(𝑧)   𝑋(𝑧)   0 (𝑧, 𝑠)   𝑍(𝑧, 𝑠)

Proof of Theorem lincresunit3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lincresunit.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))
2		fveq2 6893	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑧))
3	2	oveq2d 7443	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))
4		simpr3 1215	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
5		ovexd 7462	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)) ∈ V)
6	1, 3, 4, 5	fvmptd3 7025	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐺‘𝑧) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))
7	6	oveq1d 7442	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧) = (((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
8	7	oveq2d 7443	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))
9		simp2 1155	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
10	9	adantr 486	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑀 ∈ LMod)
11		lincresunit.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
12	11	lmodfgrp 21156	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
13	12	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
14		lincresunit.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
15		lincresunit.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16	14, 15	unitcl 20617	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸)
17	16	3ad2ant2 1152	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸)
18		lincresunit.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
19	14, 18	grpinvcl 19210	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸) → (𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸)
20	13, 17, 19	syl2an 608	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸)
21		3simpa 1166	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈))
22	21	anim2i 629	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)))
23		eldifi 4069	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧 ∈ 𝑆)
24	23	3ad2ant3 1153	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧 ∈ 𝑆)
25	24	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑧 ∈ 𝑆)
26		lincresunit.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
27		lincresunit.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
28		lincresunit.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
29		lincresunit.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
30		lincresunit.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
31	26, 11, 14, 15, 27, 28, 18, 29, 30, 1	lincresunitlem2 49727	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐸)
32	22, 25, 31	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐸)
33		elpwi 4566	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
34	33	sseld 3911	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ∈ 𝐵))
35	23, 34	syl5com 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐵))
36	35	3ad2ant3 1153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐵))
37	36	com12 33	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧 ∈ 𝐵))
38	37	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧 ∈ 𝐵))
39	38	imp 412	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
40		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
41	26, 11, 40, 14, 30	lmodvsass 21174	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸 ∧ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧) = ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))
42	41	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸 ∧ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = (((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
43	10, 20, 32, 39, 42	syl13anc 1399	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = (((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
44	11	lmodring 21155	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
45	44	3ad2ant2 1152	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
46	45	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑅 ∈ Ring)
47		elmapi 8880	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶𝐸)
48		ffvelcdm 7089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐸)
49	47, 23, 48	syl2an 608	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐸)
50	49	3adant2 1149	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐸)
51	50	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐸)
52		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
53	52	adantl 487	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
54	14, 15, 18, 29, 30	invginvrid 49618	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐸 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
55	46, 51, 53, 54	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
56	55	oveq1d 7442	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧) = ((𝐹‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
57	8, 43, 56	3eqtrd 2802	1 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = ((𝐹‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2146  Vcvv 3453   ∖ cdif 4047  𝒫 cpw 4559  {csn 4587   ↦ cmpt 5188  ⟶wf 6542  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427   ↑_m cmap 8858  Basecbs 17399  ._rcmulr 17441  Scalarcsca 17443   ·_𝑠 cvsca 17444  0_gc0g 17622  Grpcgrp 19156  inv_gcminusg 19157  Ringcrg 20471  Unitcui 20597  inv_rcinvr 20629  LModclmod 21147

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-1cn 11268  ax-icn 11269  ax-addcl 11270  ax-addrcl 11271  ax-mulcl 11272  ax-mulrcl 11273  ax-mulcom 11274  ax-addass 11275  ax-mulass 11276  ax-distr 11277  ax-i2m1 11278  ax-1ne0 11279  ax-1rid 11280  ax-rnegex 11281  ax-rrecex 11282  ax-cnre 11283  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285  ax-pre-ltadd 11286  ax-pre-mulgt0 11287

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-lim 6373  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-om 7885  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-tpos 8254  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8728  df-map 8860  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359  df-sub 11553  df-neg 11554  df-nn 12346  df-2 12415  df-3 12416  df-sets 17354  df-slot 17372  df-ndx 17384  df-base 17400  df-ress 17421  df-plusg 17453  df-mulr 17454  df-0g 17624  df-mgm 18828  df-sgrp 18920  df-mnd 18936  df-grp 19159  df-minusg 19160  df-cmn 20008  df-abl 20009  df-mgp 20373  df-rng 20387  df-ur 20420  df-ring 20473  df-oppr 20579  df-dvdsr 20599  df-unit 20600  df-invr 20630  df-lmod 21149

This theorem is used by:  lincresunit3lem2  49731