Theorem lincresunit3lem1 47730

Description: Lemma 1 for lincresunit3 47732. (Contributed by AV, 17-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincresunit.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincresunit.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincresunit.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
lincresunit.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lincresunit.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))

Assertion

Ref	Expression
lincresunit3lem1	⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = ((𝐹‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   𝑈,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   · ,𝑠   𝑧,𝑠

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑧)   𝑅(𝑧,𝑠)   𝑆(𝑧)   · (𝑧)   𝑈(𝑧)   𝐸(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝐺(𝑧,𝑠)   𝐼(𝑧)   𝑀(𝑧)   𝑁(𝑧)   𝑋(𝑧)   0 (𝑧,𝑠)   𝑍(𝑧,𝑠)

Proof of Theorem lincresunit3lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lincresunit.g	. . . . 5 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))
2		fveq2 6896	. . . . . 6 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → (𝐹‘𝑠) = (𝐹‘𝑧))
3	2	oveq2d 7435	. . . . 5 ⊢ (𝑠 = 𝑧 → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))
4		simpr3 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
5		ovexd 7454	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)) ∈ V)
6	1, 3, 4, 5	fvmptd3 7027	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐺‘𝑧) = ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))
7	6	oveq1d 7434	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧) = (((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
8	7	oveq2d 7435	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))
9		simp2 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
10	9	adantr 479	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑀 ∈ LMod)
11		lincresunit.r	. . . . . 6 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
12	11	lmodfgrp 20764	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
13	12	3ad2ant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
14		lincresunit.e	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
15		lincresunit.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
16	14, 15	unitcl 20326	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸)
17	16	3ad2ant2 1131	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸)
18		lincresunit.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
19	14, 18	grpinvcl 18952	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸) → (𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸)
20	13, 17, 19	syl2an 594	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸)
21		3simpa 1145	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈))
22	21	anim2i 615	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)))
23		eldifi 4123	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧 ∈ 𝑆)
24	23	3ad2ant3 1132	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧 ∈ 𝑆)
25	24	adantl 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑧 ∈ 𝑆)
26		lincresunit.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
27		lincresunit.0	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
28		lincresunit.z	. . . . 5 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
29		lincresunit.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
30		lincresunit.t	. . . . 5 ⊢ · = (.r‘𝑅)
31	26, 11, 14, 15, 27, 28, 18, 29, 30, 1	lincresunitlem2 47727	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐸)
32	22, 25, 31	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐸)
33		elpwi 4611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
34	33	sseld 3975	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑧 ∈ 𝑆 → 𝑧 ∈ 𝐵))
35	23, 34	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐵))
36	35	3ad2ant3 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐵))
37	36	com12 32	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧 ∈ 𝐵))
38	37	3ad2ant1 1130	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧 ∈ 𝐵))
39	38	imp 405	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑧 ∈ 𝐵)
40		eqid 2725	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
41	26, 11, 40, 14, 30	lmodvsass 20782	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸 ∧ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → (((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧) = ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))
42	41	eqcomd 2731	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ ((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸 ∧ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵)) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = (((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
43	10, 20, 32, 39, 42	syl13anc 1369	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = (((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
44	11	lmodring 20763	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
45	44	3ad2ant2 1131	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Ring)
46	45	adantr 479	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → 𝑅 ∈ Ring)
47		elmapi 8868	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶𝐸)
48		ffvelcdm 7090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐸)
49	47, 23, 48	syl2an 594	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐸)
50	49	3adant2 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐸)
51	50	adantl 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐸)
52		simp2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
53	52	adantl 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
54	14, 15, 18, 29, 30	invginvrid 47614	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐸 ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
55	46, 51, 53, 54	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧))) = (𝐹‘𝑧))
56	55	oveq1d 7434	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → (((𝑁‘(𝐹‘𝑋)) · ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑧)))( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧) = ((𝐹‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
57	8, 43, 56	3eqtrd 2769	1 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = ((𝐹‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3461   ∖ cdif 3941  𝒫 cpw 4604  {csn 4630   ↦ cmpt 5232  ⟶wf 6545  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8845  Basecbs 17183  ._rcmulr 17237  Scalarcsca 17239   ·_𝑠 cvsca 17240  0_gc0g 17424  Grpcgrp 18898  inv_gcminusg 18899  Ringcrg 20185  Unitcui 20306  inv_rcinvr 20338  LModclmod 20755

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-lmod 20757

This theorem is referenced by:  lincresunit3lem2  47731