Theorem ascl0 22225

Description: The scalar 0 embedded into a left module corresponds to the 0 of the left module if the left module is also a ring. (Contributed by AV, 31-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ascl0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ascl0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ascl0.l	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ascl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ascl0	⊢ (𝜑 → (𝐴‘(0g‘𝐹)) = (0g‘𝑊))

Proof of Theorem ascl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ascl0.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		ascl0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodfgrp 21177	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
4		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
6	4, 5	grpidcl 19208	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Grp → (0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
7		ascl0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
8		eqid 2763	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
10	7, 2, 4, 8, 9	asclval 22220	. . 3 ⊢ ((0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘(0g‘𝐹)) = ((0g‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
11	1, 3, 6, 10	4syl 20	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(0g‘𝐹)) = ((0g‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
12		ascl0.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
13		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
14	13, 9	ringidcl 20527	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
15	12, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
16		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
17	13, 2, 8, 5, 16	lmod0vs 21203	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
18	1, 15, 17	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
19	11, 18	eqtrd 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(0g‘𝐹)) = (0g‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  Basecbs 17419  Scalarcsca 17463   ·_𝑠 cvsca 17464  0_gc0g 17642  Grpcgrp 19176  1_rcur 20440  Ringcrg 20492  LModclmod 21168  algSccascl 22193

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-plusg 17473  df-0g 17644  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-grp 19179  df-mgp 20394  df-ur 20441  df-ring 20494  df-lmod 21170  df-ascl 22196

This theorem is used by:  mplascl0  22366  ply1ascl0  22605  ply1scl0  22642  assaascl0  49708