Theorem ascl0 21748

Description: The scalar 0 embedded into a left module corresponds to the 0 of the left module if the left module is also a ring. (Contributed by AV, 31-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ascl0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ascl0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ascl0.l	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ascl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ascl0	⊢ (𝜑 → (𝐴‘(0g‘𝐹)) = (0g‘𝑊))

Proof of Theorem ascl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ascl0.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		ascl0.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodfgrp 20707	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
5		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
7	5, 6	grpidcl 18887	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Grp → (0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
9		ascl0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
10		eqid 2724	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
12	9, 2, 5, 10, 11	asclval 21744	. . 3 ⊢ ((0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘(0g‘𝐹)) = ((0g‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
13	8, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(0g‘𝐹)) = ((0g‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
14		ascl0.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
15		eqid 2724	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
16	15, 11	ringidcl 20157	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
17	14, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
18		eqid 2724	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
19	15, 2, 10, 6, 18	lmod0vs 20733	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
20	1, 17, 19	syl2anc 583	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
21	13, 20	eqtrd 2764	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(0g‘𝐹)) = (0g‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ‘cfv 6534  (class class class)co 7402  Basecbs 17145  Scalarcsca 17201   ·_𝑠 cvsca 17202  0_gc0g 17386  Grpcgrp 18855  1_rcur 20078  Ringcrg 20130  LModclmod 20698  algSccascl 21717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3960  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-tr 5257  df-id 5565  df-eprel 5571  df-po 5579  df-so 5580  df-fr 5622  df-we 5624  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6291  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-oprab 7406  df-mpo 7407  df-om 7850  df-2nd 7970  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-pnf 11248  df-mnf 11249  df-xr 11250  df-ltxr 11251  df-le 11252  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12211  df-2 12273  df-sets 17098  df-slot 17116  df-ndx 17128  df-base 17146  df-plusg 17211  df-0g 17388  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18858  df-mgp 20032  df-ur 20079  df-ring 20132  df-lmod 20700  df-ascl 21720

This theorem is referenced by:  ply1scl0  22133  ply1ascl0  33122  mplascl0  41619  assaascl0  47274