Theorem ascl0 43180

Description: The scalar 0 embedded into a left module corresponds to the 0 of the left module if the left module is also a ring. (Contributed by AV, 31-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ascl0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ascl0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ascl0.l	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ascl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ascl0	⊢ (𝜑 → (𝐴‘(0g‘𝐹)) = (0g‘𝑊))

Proof of Theorem ascl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ascl0.l	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		ascl0.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodfgrp 19264	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
5		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
7	5, 6	grpidcl 17837	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ Grp → (0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
8	4, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
9		ascl0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
10		eqid 2778	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
11		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
12	9, 2, 5, 10, 11	asclval 19732	. . 3 ⊢ ((0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘(0g‘𝐹)) = ((0g‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
13	8, 12	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(0g‘𝐹)) = ((0g‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
14		ascl0.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
15		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
16	15, 11	ringidcl 18955	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
17	14, 16	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
18		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
19	15, 2, 10, 6, 18	lmod0vs 19288	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
20	1, 17, 19	syl2anc 579	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
21	13, 20	eqtrd 2814	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(0g‘𝐹)) = (0g‘𝑊))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  Scalarcsca 16341   ·_𝑠 cvsca 16342  0_gc0g 16486  Grpcgrp 17809  1_rcur 18888  Ringcrg 18934  LModclmod 19255  algSccascl 19708

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-grp 17812  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-lmod 19257  df-ascl 19711

This theorem is referenced by:  assaascl0  43182