Theorem ascl0 22105

Description: The scalar 0 embedded into a left module corresponds to the 0 of the left module if the left module is also a ring. (Contributed by AV, 31-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
ascl0.a	⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
ascl0.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
ascl0.l	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ascl0.r	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)

Assertion

Ref	Expression
ascl0	⊢ (𝜑 → (𝐴‘(0g‘𝐹)) = (0g‘𝑊))

Proof of Theorem ascl0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ascl0.l	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
2		ascl0.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
3	2	lmodfgrp 21059	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
4		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
5		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
6	4, 5	grpidcl 19095	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ Grp → (0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹))
7		ascl0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (algSc‘𝑊)
8		eqid 2762	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑊) = (1r‘𝑊)
10	7, 2, 4, 8, 9	asclval 22100	. . 3 ⊢ ((0g‘𝐹) ∈ (Base‘𝐹) → (𝐴‘(0g‘𝐹)) = ((0g‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
11	1, 3, 6, 10	4syl 20	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(0g‘𝐹)) = ((0g‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)))
12		ascl0.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ Ring)
13		eqid 2762	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
14	13, 9	ringidcl 20412	. . . 4 ⊢ (𝑊 ∈ Ring → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
15	12, 14	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊))
16		eqid 2762	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑊) = (0g‘𝑊)
17	13, 2, 8, 5, 16	lmod0vs 21085	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (1r‘𝑊) ∈ (Base‘𝑊)) → ((0g‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
18	1, 15, 17	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((0g‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)(1r‘𝑊)) = (0g‘𝑊))
19	11, 18	eqtrd 2797	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴‘(0g‘𝐹)) = (0g‘𝑊))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  Basecbs 17307  Scalarcsca 17351   ·_𝑠 cvsca 17352  0_gc0g 17530  Grpcgrp 19063  1_rcur 20326  Ringcrg 20378  LModclmod 21050  algSccascl 22073

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-plusg 17361  df-0g 17532  df-mgm 18736  df-sgrp 18827  df-mnd 18843  df-grp 19066  df-mgp 20280  df-ur 20327  df-ring 20380  df-lmod 21052  df-ascl 22076

This theorem is used by:  mplascl0  22246  ply1ascl0  22485  ply1scl0  22522  assaascl0  49319