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Theorem lincresunit3 47657
Description: Property 3 of a specially modified restriction of a linear combination in a vector space. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincresunit.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincresunit.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
lincresunit.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
lincresunit.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lincresunit.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lincresunit.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
lincresunit.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
lincresunit.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
lincresunit.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘ )))
Assertion
Ref Expression
lincresunit3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})) = 𝑋)
Distinct variable groups:   𝐡,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   π‘ˆ,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   Β· ,𝑠   0 ,𝑠   𝐺,𝑠   𝑅,𝑠   𝑍,𝑠

Proof of Theorem lincresunit3
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1134 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
213ad2ant1 1130 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
3 simp1 1133 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
4 3simpa 1145 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ))
543ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ))
63, 5jca 510 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)))
7 eldifi 4120 . . . . . . 7 (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑠 ∈ 𝑆)
8 lincresunit.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
9 lincresunit.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
10 lincresunit.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
11 lincresunit.u . . . . . . . 8 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
12 lincresunit.0 . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘…)
13 lincresunit.z . . . . . . . 8 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
14 lincresunit.n . . . . . . . 8 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
15 lincresunit.i . . . . . . . 8 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
16 lincresunit.t . . . . . . . 8 Β· = (.rβ€˜π‘…)
17 lincresunit.g . . . . . . . 8 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘ )))
188, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunitlem2 47652 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)) ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘ )) ∈ 𝐸)
196, 7, 18syl2an 594 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘ )) ∈ 𝐸)
209fveq2i 6893 . . . . . . 7 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
2110, 20eqtri 2753 . . . . . 6 𝐸 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
2219, 21eleqtrdi 2835 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘ )) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
2322, 17fmptd 7117 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ 𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
24 fvex 6903 . . . . 5 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V
25 difexg 5325 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
26253ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
27263ad2ant1 1130 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
28 elmapg 8851 . . . . 5 (((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V ∧ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V) β†’ (𝐺 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) ↔ 𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
2924, 27, 28sylancr 585 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ (𝐺 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) ↔ 𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢(Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
3023, 29mpbird 256 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ 𝐺 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))
31 difexg 5325 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
3231adantl 480 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
33 ssdifss 4129 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
3433a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ (𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
35 elpwi 4606 . . . . . . . . . 10 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
3634, 35impel 504 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
3732, 36elpwd 4605 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
3837expcom 412 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
398pweqi 4615 . . . . . . 7 𝒫 𝐡 = 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)
4038, 39eleq2s 2843 . . . . . 6 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
4140imp 405 . . . . 5 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
42413adant2 1128 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
43423ad2ant1 1130 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
44 lincval 47585 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∧ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})) = (𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))))
452, 30, 43, 44syl3anc 1368 . 2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})) = (𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))))
46 simp1 1133 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡)
47 simp3 1135 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
481, 46, 473jca 1125 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
4948adantr 479 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
50 3simpb 1146 . . . . . . 7 ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
5150adantl 480 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ 𝐹 finSupp 0 ))
52 eqidd 2726 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})) = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})))
53 eqid 2725 . . . . . . 7 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
54 eqid 2725 . . . . . . 7 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
558, 9, 10, 53, 54, 12lincdifsn 47600 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})) = (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = (((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)))
5649, 51, 52, 55syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = (((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)))
5756eqeq1d 2727 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ((𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 ↔ (((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = 𝑍))
58 fveq2 6890 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑧 β†’ (πΊβ€˜π‘ ) = (πΊβ€˜π‘§))
59 id 22 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑠 = 𝑧 β†’ 𝑠 = 𝑧)
6058, 59oveq12d 7431 . . . . . . . . . . . 12 (𝑠 = 𝑧 β†’ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) = ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))
6160cbvmptv 5257 . . . . . . . . . . 11 (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠)) = (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))
6261a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠)) = (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)))
6362oveq2d 7429 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))))
6463oveq2d 7429 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠)))) = ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)))))
658, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit3lem2 47656 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)))) = ((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))
6664, 65eqtr2d 2766 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})) = ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠)))))
6766oveq1d 7428 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = (((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)))
6867eqeq1d 2727 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = 𝑍 ↔ (((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = 𝑍))
69 lmodgrp 20749 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ Grp)
70693ad2ant2 1131 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ Grp)
7170adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑀 ∈ Grp)
721adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
73 elmapi 8861 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) β†’ 𝐹:π‘†βŸΆπΈ)
74733ad2ant1 1130 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ 𝐹:π‘†βŸΆπΈ)
75 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘†βŸΆπΈ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐸)
7674, 47, 75syl2anr 595 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐸)
77 elpwi 4606 . . . . . . . . . . 11 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
7877sselda 3973 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
79783adant2 1128 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
8079adantr 479 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
818, 9, 53, 10lmodvscl 20760 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) ∈ 𝐡)
8272, 76, 80, 81syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) ∈ 𝐡)
839lmodfgrp 20751 . . . . . . . . . 10 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Grp)
84833ad2ant2 1131 . . . . . . . . 9 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
8510, 14grpinvcl 18943 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐸) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ 𝐸)
8684, 76, 85syl2an2r 683 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ 𝐸)
87 lmodcmn 20792 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
88873ad2ant2 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
8988adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑀 ∈ CMnd)
9026adantr 479 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
91 simpll2 1210 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
928, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit1 47653 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))
93923adantr3 1168 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))
94 elmapi 8861 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸)
9593, 94syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸)
9695ffvelcdmda 7087 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (πΊβ€˜π‘ ) ∈ 𝐸)
97 ssel2 3968 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑠 ∈ 𝑆) β†’ 𝑠 ∈ 𝐡)
9897expcom 412 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑠 ∈ 𝑆 β†’ (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑠 ∈ 𝐡))
997, 77, 98syl2imc 41 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑠 ∈ 𝐡))
100993ad2ant1 1130 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑠 ∈ 𝐡))
101100adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑠 ∈ 𝐡))
102101imp 405 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑠 ∈ 𝐡)
1038, 9, 53, 10lmodvscl 20760 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (πΊβ€˜π‘ ) ∈ 𝐸 ∧ 𝑠 ∈ 𝐡) β†’ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ 𝐡)
10491, 96, 102, 103syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠) ∈ 𝐡)
105104fmpttd 7118 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠)):(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐡)
10625adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
107 ssdifss 4129 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) βŠ† 𝐡)
10877, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) βŠ† 𝐡)
109108adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) βŠ† 𝐡)
110109, 8sseqtrdi 4024 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
111106, 110elpwd 4605 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
1121113adant2 1128 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
1131, 112jca 510 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
114113adantr 479 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
1158, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17lincresunit2 47654 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐺 finSupp 0 )
116115, 12breqtrdi 5185 . . . . . . . . . . 11 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐺 finSupp (0gβ€˜π‘…))
1179, 10scmfsupp 47550 . . . . . . . . . . 11 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∧ 𝐺 finSupp (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
118114, 93, 116, 117syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
119118, 13breqtrrdi 5186 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠)) finSupp 𝑍)
1208, 13, 89, 90, 105, 119gsumcl 19869 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))) ∈ 𝐡)
1218, 9, 53, 10lmodvscl 20760 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))) ∈ 𝐡) β†’ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠)))) ∈ 𝐡)
12272, 86, 120, 121syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠)))) ∈ 𝐡)
123 eqid 2725 . . . . . . . 8 (invgβ€˜π‘€) = (invgβ€˜π‘€)
1248, 54, 13, 123grpinvid2 18948 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Grp ∧ ((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) ∈ 𝐡 ∧ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠)))) ∈ 𝐡) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠)))) ↔ (((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = 𝑍))
12571, 82, 122, 124syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠)))) ↔ (((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = 𝑍))
1268, 9, 53, 123, 10, 14, 72, 80, 76lmodvsneg 20788 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ((invgβ€˜π‘€)β€˜((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋))
127126eqeq1d 2727 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠)))) ↔ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))))))
128 simpr2 1192 . . . . . . . . 9 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
1298, 9, 10, 11, 14, 53lincresunit3lem3 47650 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))) ∈ 𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) β†’ (((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠)))) ↔ 𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠)))))
130 eqcom 2732 . . . . . . . . . 10 (𝑋 = (𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))) = 𝑋)
131129, 130bitrdi 286 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))) ∈ 𝐡) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ) β†’ (((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠)))) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))) = 𝑋))
13272, 80, 120, 128, 131syl31anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠)))) ↔ (𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))) = 𝑋))
133132biimpd 228 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋) = ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠)))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))) = 𝑋))
134127, 133sylbid 239 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (((invgβ€˜π‘€)β€˜((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠)))) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))) = 𝑋))
135125, 134sylbird 259 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ((((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = 𝑍 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))) = 𝑋))
13668, 135sylbid 239 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ((((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋}))(+gβ€˜π‘€)((πΉβ€˜π‘‹)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑋)) = 𝑍 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))) = 𝑋))
13757, 136sylbid 239 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ((𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍 β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))) = 𝑋))
1381373impia 1114 . 2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘ )( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑠))) = 𝑋)
13945, 138eqtrd 2765 1 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 ) ∧ (𝐹( linC β€˜π‘€)𝑆) = 𝑍) β†’ (𝐺( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  Vcvv 3463   βˆ– cdif 3938   βŠ† wss 3941  π’« cpw 4599  {csn 4625   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227   β†Ύ cres 5675  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   ↑m cmap 8838   finSupp cfsupp 9380  Basecbs 17174  +gcplusg 17227  .rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·𝑠 cvsca 17231  0gc0g 17415   Ξ£g cgsu 17416  Grpcgrp 18889  invgcminusg 18890  CMndccmn 19734  Unitcui 20293  invrcinvr 20325  LModclmod 20742   linC clinc 47580
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-int 4946  df-iun 4994  df-iin 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-se 5629  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8159  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-fsupp 9381  df-oi 9528  df-card 9957  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-fzo 13655  df-seq 13994  df-hash 14317  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-0g 17417  df-gsum 17418  df-mre 17560  df-mrc 17561  df-acs 17563  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-mhm 18734  df-submnd 18735  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-mulg 19023  df-ghm 19167  df-cntz 19267  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-dvdsr 20295  df-unit 20296  df-invr 20326  df-lmod 20744  df-linc 47582
This theorem is referenced by:  lincreslvec3  47658
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