Theorem lspsnneg 20268

Description: Negation does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 24-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnneg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnneg.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑊)
lspsnneg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsnneg	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsnneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnneg.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspsnneg.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑊)
3		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lmodvneg1 20166	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = (𝑀‘𝑋))
8	7	sneqd 4573	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)} = {(𝑀‘𝑋)})
9	8	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}) = (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}))
10		simpl 483	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
11	3	lmodfgrp 20132	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
12		eqid 2738	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
13	3, 12, 5	lmod1cl 20150	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
14	12, 6	grpinvcl 18627	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
15	11, 13, 14	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16	15	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		lspsnneg.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
19	3, 12, 1, 4, 18	lspsnvsi 20266	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
20	10, 16, 17, 19	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
21	9, 20	eqsstrrd 3960	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
22	1, 2	lmodvnegcl 20164	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑉)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	lmodvneg1 20166	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑉) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑀‘𝑋)))
24	22, 23	syldan 591	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑀‘𝑋)))
25		lmodgrp 20130	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
26	1, 2	grpinvinv 18642	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
27	25, 26	sylan 580	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
28	24, 27	eqtrd 2778	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
29	28	sneqd 4573	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋))} = {𝑋})
30	29	fveq2d 6778	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋))}) = (𝑁‘{𝑋}))
31	3, 12, 1, 4, 18	lspsnvsi 20266	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}))
32	10, 16, 22, 31	syl3anc 1370	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}))
33	30, 32	eqsstrrd 3960	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}))
34	21, 33	eqssd 3938	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3887  {csn 4561  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Basecbs 16912  Scalarcsca 16965   ·_𝑠 cvsca 16966  Grpcgrp 18577  inv_gcminusg 18578  1_rcur 19737  LModclmod 20123  LSpanclspn 20233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-sets 16865  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-grp 18580  df-minusg 18581  df-sbg 18582  df-mgp 19721  df-ur 19738  df-ring 19785  df-lmod 20125  df-lss 20194  df-lsp 20234

This theorem is referenced by:  lspsnsub  20269  lmodindp1  20276  lspsntrim  20360  baerlem5amN  39730  baerlem5bmN  39731  baerlem5abmN  39732