Theorem lmodring 20789

Description: The scalar component of a left module is a ring. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodring.1	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodring	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)

Proof of Theorem lmodring

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
3		eqid 2729	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		lmodring.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2729	. . 3 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6		eqid 2729	. . 3 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
7		eqid 2729	. . 3 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
8		eqid 2729	. . 3 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islmod 20785	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑟 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘𝐹)𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘𝐹)𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤))))
10	9	simp2bi 1146	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  Basecbs 17138  +_gcplusg 17179  ._rcmulr 17180  Scalarcsca 17182   ·_𝑠 cvsca 17183  Grpcgrp 18830  1_rcur 20084  Ringcrg 20136  LModclmod 20781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-nul 5248

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-dif 3908  df-un 3910  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4479  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-br 5096  df-iota 6442  df-fv 6494  df-ov 7356  df-lmod 20783

This theorem is referenced by:  lmodfgrp  20790  lmodmcl  20794  lmod0cl  20809  lmod1cl  20810  lmod0vs  20816  lmodvs0  20817  lmodvsmmulgdi  20818  lmodvsneg  20827  lmodsubvs  20839  lmodsubdi  20840  lmodsubdir  20841  lssvnegcl  20877  islss3  20880  pwslmod  20891  lmodvsinv  20958  islmhm2  20960  lbsind2  21003  lspsneq  21047  lspexch  21054  ip2subdi  21569  isphld  21579  ocvlss  21597  frlmup1  21723  frlmup2  21724  frlmup3  21725  frlmup4  21726  islindf5  21764  lmisfree  21767  assasca  21787  asclghm  21808  ascl1  21810  ascldimul  21813  tlmtgp  24099  clmring  24986  lmodslmd  33156  imaslmod  33300  linds2eq  33328  lindsadd  37592  lfl0  39043  lfladd  39044  lflsub  39045  lfl0f  39047  lfladdcl  39049  lfladdcom  39050  lfladdass  39051  lfladd0l  39052  lflnegcl  39053  lflnegl  39054  lflvscl  39055  lflvsdi1  39056  lflvsdi2  39057  lflvsass  39059  lfl0sc  39060  lflsc0N  39061  lfl1sc  39062  lkrlss  39073  eqlkr  39077  eqlkr3  39079  lkrlsp  39080  ldualvsass  39119  lduallmodlem  39130  ldualvsubcl  39134  ldualvsubval  39135  lkrin  39142  dochfl1  41455  lcfl7lem  41478  lclkrlem2m  41498  lclkrlem2o  41500  lclkrlem2p  41501  lcfrlem1  41521  lcfrlem2  41522  lcfrlem3  41523  lcfrlem29  41550  lcfrlem33  41554  lcdvsubval  41597  mapdpglem30  41681  baerlem3lem1  41686  baerlem5alem1  41687  baerlem5blem1  41688  baerlem5blem2  41691  hgmapval1  41872  hdmapinvlem3  41899  hdmapinvlem4  41900  hdmapglem5  41901  hgmapvvlem1  41902  hdmapglem7b  41907  hdmapglem7  41908  lvecring  42511  prjspertr  42578  lmod0rng  48201  linc0scn0  48396  linc1  48398  lincscm  48403  lincscmcl  48405  el0ldep  48439  lindsrng01  48441  lindszr  48442  ldepsprlem  48445  ldepspr  48446  lincresunit3lem3  48447  lincresunitlem1  48448  lincresunitlem2  48449  lincresunit2  48451  lincresunit3lem1  48452