Theorem lmodring 21144

Description: The scalar component of a left module is a ring. (Contributed by NM, 8-Dec-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypothesis

Ref	Expression
lmodring.1	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lmodring	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)

Proof of Theorem lmodring

Dummy variables 𝑟 𝑞 𝑤 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
2		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
3		eqid 2760	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
4		lmodring.1	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
5		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝐹) = (Base‘𝐹)
6		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘𝐹) = (+g‘𝐹)
7		eqid 2760	. . 3 ⊢ (.r‘𝐹) = (.r‘𝐹)
8		eqid 2760	. . 3 ⊢ (1r‘𝐹) = (1r‘𝐹)
9	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	islmod 21140	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod ↔ (𝑊 ∈ Grp ∧ 𝐹 ∈ Ring ∧ ∀𝑞 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑟 ∈ (Base‘𝐹)∀𝑥 ∈ (Base‘𝑊)∀𝑤 ∈ (Base‘𝑊)(((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) ∈ (Base‘𝑊) ∧ (𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑤(+g‘𝑊)𝑥)) = ((𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥)) ∧ ((𝑞(+g‘𝐹)𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = ((𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)(+g‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤))) ∧ (((𝑞(.r‘𝐹)𝑟)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = (𝑞( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑟( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤)) ∧ ((1r‘𝐹)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑤) = 𝑤))))
10	9	simp2bi 1164	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Ring)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17388  +_gcplusg 17429  ._rcmulr 17430  Scalarcsca 17432   ·_𝑠 cvsca 17433  Grpcgrp 19145  1_rcur 20408  Ringcrg 20460  LModclmod 21136

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-nul 5259

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-dif 4047  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423  df-lmod 21138

This theorem is used by:  lmodfgrp  21145  lmodmcl  21149  lmod0cl  21164  lmod1cl  21165  lmod0vs  21171  lmodvs0  21172  lmodvsmmulgdi  21173  lmodvsneg  21182  lmodsubvs  21194  lmodsubdi  21195  lmodsubdir  21196  lssvnegcl  21232  islss3  21235  pwslmod  21246  lmodvsinv  21312  islmhm2  21314  lbsind2  21357  lspsneq  21401  lspexch  21408  ip2subdi  21951  isphld  21961  ocvlss  21979  frlmup1  22105  frlmup2  22106  frlmup3  22107  frlmup4  22108  islindf5  22146  lmisfree  22149  assasca  22171  asclghm  22191  ascl1  22194  tlmtgp  24516  clmring  25392  lmodslmd  33808  imaslmod  33957  linds2eq  33979  lindsadd  38612  lfl0  40198  lfladd  40199  lflsub  40200  lfl0f  40202  lfladdcl  40204  lfladdcom  40205  lfladdass  40206  lfladd0l  40207  lflnegcl  40208  lflnegl  40209  lflvscl  40210  lflvsdi1  40211  lflvsdi2  40212  lflvsass  40214  lfl0sc  40215  lflsc0N  40216  lfl1sc  40217  lkrlss  40228  eqlkr  40232  eqlkr3  40234  lkrlsp  40235  ldualvsass  40274  lduallmodlem  40285  ldualvsubcl  40289  ldualvsubval  40290  lkrin  40297  dochfl1  42609  lcfl7lem  42632  lclkrlem2m  42652  lclkrlem2o  42654  lclkrlem2p  42655  lcfrlem1  42675  lcfrlem2  42676  lcfrlem3  42677  lcfrlem29  42704  lcfrlem33  42708  lcdvsubval  42751  mapdpglem30  42835  baerlem3lem1  42840  baerlem5alem1  42841  baerlem5blem1  42842  baerlem5blem2  42845  hgmapval1  43026  hdmapinvlem3  43053  hdmapinvlem4  43054  hdmapglem5  43055  hgmapvvlem1  43056  hdmapglem7b  43061  hdmapglem7  43062  lvecring  43678  prjspertr  43709  lmod0rng  49402  linc0scn0  49611  linc1  49613  lincscm  49618  lincscmcl  49620  el0ldep  49654  lindsrng01  49656  lindszr  49657  ldepsprlem  49660  ldepspr  49661  lincresunit3lem3  49662  lincresunitlem1  49663  lincresunitlem2  49664  lincresunit2  49666  lincresunit3lem1  49667