Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lkrlsp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lkrlsp 36278
Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel (by ellkr 36265) is the whole vector space. (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlsp.d 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrlsp.o 0 = (0g𝐷)
lkrlsp.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrlsp.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lkrlsp.p = (LSSum‘𝑊)
lkrlsp.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlsp.k 𝐾 = (LKer‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
lkrlsp ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem lkrlsp
Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 19853 . . . . 5 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
213ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
3 simp2r 1197 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → 𝐺𝐹)
4 lkrlsp.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 lkrlsp.k . . . . . 6 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6 eqid 2821 . . . . . 6 (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
74, 5, 6lkrlss 36271 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
82, 3, 7syl2anc 587 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9 simp2l 1196 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋𝑉)
10 lkrlsp.v . . . . . 6 𝑉 = (Base‘𝑊)
11 lkrlsp.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
1210, 6, 11lspsncl 19724 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
132, 9, 12syl2anc 587 . . . 4 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
14 lkrlsp.p . . . . 5 = (LSSum‘𝑊)
156, 14lsmcl 19830 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
162, 8, 13, 15syl3anc 1368 . . 3 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
1710, 6lssss 19683 . . 3 (((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
1816, 17syl 17 . 2 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
19 simpl1 1188 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
2019, 1syl 17 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
21 simpr 488 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑢𝑉)
22 lkrlsp.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
2322lmodring 19617 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
2420, 23syl 17 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝐷 ∈ Ring)
25 simpl2r 1224 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝐺𝐹)
26 eqid 2821 . . . . . . . 8 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
2722, 26, 10, 4lflcl 36240 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑢𝑉) → (𝐺𝑢) ∈ (Base‘𝐷))
2819, 25, 21, 27syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐺𝑢) ∈ (Base‘𝐷))
2922lvecdrng 19852 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
3019, 29syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝐷 ∈ DivRing)
31 simpl2l 1223 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑋𝑉)
3222, 26, 10, 4lflcl 36240 . . . . . . . 8 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
3319, 25, 31, 32syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
34 simpl3 1190 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
35 lkrlsp.o . . . . . . . 8 0 = (0g𝐷)
36 eqid 2821 . . . . . . . 8 (invr𝐷) = (invr𝐷)
3726, 35, 36drnginvrcl 19494 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝐷))
3830, 33, 34, 37syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝐷))
39 eqid 2821 . . . . . . 7 (.r𝐷) = (.r𝐷)
4026, 39ringcl 19289 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑢) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))) ∈ (Base‘𝐷))
4124, 28, 38, 40syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))) ∈ (Base‘𝐷))
42 eqid 2821 . . . . . 6 ( ·𝑠𝑊) = ( ·𝑠𝑊)
4310, 22, 42, 26lmodvscl 19626 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑋𝑉) → (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
4420, 41, 31, 43syl3anc 1368 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
45 eqid 2821 . . . . 5 (+g𝑊) = (+g𝑊)
46 eqid 2821 . . . . 5 (-g𝑊) = (-g𝑊)
4710, 45, 46lmodvnpcan 19663 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑢𝑉 ∧ (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))(+g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) = 𝑢)
4820, 21, 44, 47syl3anc 1368 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))(+g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) = 𝑢)
496lsssssubg 19705 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
5020, 49syl 17 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
518adantr 484 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐾𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5250, 51sseldd 3944 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐾𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑊))
5313adantr 484 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
5450, 53sseldd 3944 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
5510, 46lmodvsubcl 19654 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑢𝑉 ∧ (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑉) → (𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉)
5620, 21, 44, 55syl3anc 1368 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉)
57 eqid 2821 . . . . . . . 8 (-g𝐷) = (-g𝐷)
5822, 57, 10, 46, 4lflsub 36243 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (𝑢𝑉 ∧ (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))) = ((𝐺𝑢)(-g𝐷)(𝐺‘(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))))
5920, 25, 21, 44, 58syl112anc 1371 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐺‘(𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))) = ((𝐺𝑢)(-g𝐷)(𝐺‘(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))))
6022, 26, 39, 10, 42, 4lflmul 36244 . . . . . . . . 9 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹 ∧ (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑋𝑉)) → (𝐺‘(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) = (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))(.r𝐷)(𝐺𝑋)))
6120, 25, 41, 31, 60syl112anc 1371 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐺‘(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) = (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))(.r𝐷)(𝐺𝑋)))
6226, 39ringass 19292 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Ring ∧ ((𝐺𝑢) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷))) → (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))(.r𝐷)(𝐺𝑋)) = ((𝐺𝑢)(.r𝐷)(((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))(.r𝐷)(𝐺𝑋))))
6324, 28, 38, 33, 62syl13anc 1369 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))(.r𝐷)(𝐺𝑋)) = ((𝐺𝑢)(.r𝐷)(((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))(.r𝐷)(𝐺𝑋))))
64 eqid 2821 . . . . . . . . . . . 12 (1r𝐷) = (1r𝐷)
6526, 35, 39, 64, 36drnginvrl 19496 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))(.r𝐷)(𝐺𝑋)) = (1r𝐷))
6630, 33, 34, 65syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))(.r𝐷)(𝐺𝑋)) = (1r𝐷))
6766oveq2d 7146 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝐺𝑢)(.r𝐷)(((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))(.r𝐷)(𝐺𝑋))) = ((𝐺𝑢)(.r𝐷)(1r𝐷)))
6826, 39, 64ringridm 19300 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺𝑢) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺𝑢)(.r𝐷)(1r𝐷)) = (𝐺𝑢))
6924, 28, 68syl2anc 587 . . . . . . . . 9 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝐺𝑢)(.r𝐷)(1r𝐷)) = (𝐺𝑢))
7067, 69eqtrd 2856 . . . . . . . 8 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝐺𝑢)(.r𝐷)(((invr𝐷)‘(𝐺𝑋))(.r𝐷)(𝐺𝑋))) = (𝐺𝑢))
7161, 63, 703eqtrd 2860 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐺‘(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) = (𝐺𝑢))
7271oveq2d 7146 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝐺𝑢)(-g𝐷)(𝐺‘(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))) = ((𝐺𝑢)(-g𝐷)(𝐺𝑢)))
7322lmodfgrp 19618 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
7420, 73syl 17 . . . . . . 7 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝐷 ∈ Grp)
7526, 35, 57grpsubid 18161 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺𝑢) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺𝑢)(-g𝐷)(𝐺𝑢)) = 0 )
7674, 28, 75syl2anc 587 . . . . . 6 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝐺𝑢)(-g𝐷)(𝐺𝑢)) = 0 )
7759, 72, 763eqtrd 2860 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝐺‘(𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))) = 0 )
7810, 22, 35, 4, 5ellkr 36265 . . . . . 6 ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹) → ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾𝐺) ↔ ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))) = 0 )))
7919, 25, 78syl2anc 587 . . . . 5 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾𝐺) ↔ ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))) = 0 )))
8056, 77, 79mpbir2and 712 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾𝐺))
8110, 42, 22, 26, 11, 20, 41, 31lspsneli 19748 . . . 4 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
8245, 14lsmelvali 18753 . . . 4 ((((𝐾𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾𝐺) ∧ (((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))(+g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})))
8352, 54, 80, 81, 82syl22anc 837 . . 3 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → ((𝑢(-g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋))(+g𝑊)(((𝐺𝑢)(.r𝐷)((invr𝐷)‘(𝐺𝑋)))( ·𝑠𝑊)𝑋)) ∈ ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})))
8448, 83eqeltrrd 2913 . 2 (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢𝑉) → 𝑢 ∈ ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})))
8518, 84eqelssd 3964 1 ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋𝑉𝐺𝐹) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾𝐺) (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3007  wss 3910  {csn 4540  cfv 6328  (class class class)co 7130  Basecbs 16461  +gcplusg 16543  .rcmulr 16544  Scalarcsca 16546   ·𝑠 cvsca 16547  0gc0g 16691  Grpcgrp 18081  -gcsg 18083  SubGrpcsubg 18251  LSSumclsm 18737  1rcur 19229  Ringcrg 19275  invrcinvr 19399  DivRingcdr 19477  LModclmod 19609  LSubSpclss 19678  LSpanclspn 19718  LVecclvec 19849  LFnlclfn 36233  LKerclk 36261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2178  ax-ext 2793  ax-rep 5163  ax-sep 5176  ax-nul 5183  ax-pow 5239  ax-pr 5303  ax-un 7436  ax-cnex 10570  ax-resscn 10571  ax-1cn 10572  ax-icn 10573  ax-addcl 10574  ax-addrcl 10575  ax-mulcl 10576  ax-mulrcl 10577  ax-mulcom 10578  ax-addass 10579  ax-mulass 10580  ax-distr 10581  ax-i2m1 10582  ax-1ne0 10583  ax-1rid 10584  ax-rnegex 10585  ax-rrecex 10586  ax-cnre 10587  ax-pre-lttri 10588  ax-pre-lttrn 10589  ax-pre-ltadd 10590  ax-pre-mulgt0 10591
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2623  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2892  df-nfc 2960  df-ne 3008  df-nel 3112  df-ral 3131  df-rex 3132  df-reu 3133  df-rmo 3134  df-rab 3135  df-v 3473  df-sbc 3750  df-csb 3858  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4267  df-if 4441  df-pw 4514  df-sn 4541  df-pr 4543  df-tp 4545  df-op 4547  df-uni 4812  df-int 4850  df-iun 4894  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5120  df-tr 5146  df-id 5433  df-eprel 5438  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6121  df-ord 6167  df-on 6168  df-lim 6169  df-suc 6170  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7088  df-ov 7133  df-oprab 7134  df-mpo 7135  df-om 7556  df-1st 7664  df-2nd 7665  df-tpos 7867  df-wrecs 7922  df-recs 7983  df-rdg 8021  df-er 8264  df-map 8383  df-en 8485  df-dom 8486  df-sdom 8487  df-pnf 10654  df-mnf 10655  df-xr 10656  df-ltxr 10657  df-le 10658  df-sub 10849  df-neg 10850  df-nn 11616  df-2 11678  df-3 11679  df-ndx 16464  df-slot 16465  df-base 16467  df-sets 16468  df-ress 16469  df-plusg 16556  df-mulr 16557  df-0g 16693  df-mgm 17830  df-sgrp 17879  df-mnd 17890  df-submnd 17935  df-grp 18084  df-minusg 18085  df-sbg 18086  df-subg 18254  df-cntz 18425  df-lsm 18739  df-cmn 18886  df-abl 18887  df-mgp 19218  df-ur 19230  df-ring 19277  df-oppr 19351  df-dvdsr 19369  df-unit 19370  df-invr 19400  df-drng 19479  df-lmod 19611  df-lss 19679  df-lsp 19719  df-lvec 19850  df-lfl 36234  df-lkr 36262
This theorem is referenced by:  lkrlsp2  36279
  Copyright terms: Public domain W3C validator