Theorem lkrlsp 39125

Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel (by ellkr 39112) is the whole vector space. (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrlsp.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrlsp.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrlsp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrlsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lkrlsp.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lkrlsp.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlsp.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrlsp	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem lkrlsp

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21069	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2r 1201	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ 𝐹)
4		lkrlsp.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		lkrlsp.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7	4, 5, 6	lkrlss 39118	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8	2, 3, 7	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		simp2l 1200	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lkrlsp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		lkrlsp.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12	10, 6, 11	lspsncl 20939	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13	2, 9, 12	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
14		lkrlsp.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
15	6, 14	lsmcl 21046	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	2, 8, 13, 15	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	10, 6	lssss 20898	. . 3 ⊢ (((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
19		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
20	19, 1	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
21		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑢 ∈ 𝑉)
22		lkrlsp.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
23	22	lmodring 20830	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
24	20, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ Ring)
25		simpl2r 1228	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
26		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
27	22, 26, 10, 4	lflcl 39087	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷))
28	19, 25, 21, 27	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷))
29	22	lvecdrng 21068	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
30	19, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ DivRing)
31		simpl2l 1227	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
32	22, 26, 10, 4	lflcl 39087	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
33	19, 25, 31, 32	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
34		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
35		lkrlsp.o	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
36		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝐷) = (invr‘𝐷)
37	26, 35, 36	drnginvrcl 20718	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐷))
38	30, 33, 34, 37	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐷))
39		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
40	26, 39	ringcl 20215	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))) ∈ (Base‘𝐷))
41	24, 28, 38, 40	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))) ∈ (Base‘𝐷))
42		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
43	10, 22, 42, 26	lmodvscl 20840	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
44	20, 41, 31, 43	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
45		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
46		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
47	10, 45, 46	lmodvnpcan 20878	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))(+g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = 𝑢)
48	20, 21, 44, 47	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))(+g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = 𝑢)
49	6	lsssssubg 20920	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
50	20, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
51	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
52	50, 51	sseldd 3964	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐾‘𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑊))
53	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
54	50, 53	sseldd 3964	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
55	10, 46	lmodvsubcl 20869	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉) → (𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉)
56	20, 21, 44, 55	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉)
57		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝐷) = (-g‘𝐷)
58	22, 57, 10, 46, 4	lflsub 39090	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑢 ∈ 𝑉 ∧ (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))))
59	20, 25, 21, 44, 58	syl112anc 1376	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘(𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))))
60	22, 26, 39, 10, 42, 4	lflmul 39091	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
61	20, 25, 41, 31, 60	syl112anc 1376	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
62	26, 39	ringass 20218	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ ((𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))) → (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋))))
63	24, 28, 38, 33, 62	syl13anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋))))
64		eqid 2736	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
65	26, 35, 39, 64, 36	drnginvrl 20721	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝐷))
66	30, 33, 34, 65	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝐷))
67	66	oveq2d 7426	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋))) = ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(1r‘𝐷)))
68	26, 39, 64	ringridm 20235	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(1r‘𝐷)) = (𝐺‘𝑢))
69	24, 28, 68	syl2anc 584	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(1r‘𝐷)) = (𝐺‘𝑢))
70	67, 69	eqtrd 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋))) = (𝐺‘𝑢))
71	61, 63, 70	3eqtrd 2775	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = (𝐺‘𝑢))
72	71	oveq2d 7426	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑢)))
73	22	lmodfgrp 20831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
74	20, 73	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ Grp)
75	26, 35, 57	grpsubid 19012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) = 0 )
76	74, 28, 75	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) = 0 )
77	59, 72, 76	3eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘(𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = 0 )
78	10, 22, 35, 4, 5	ellkr 39112	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = 0 )))
79	19, 25, 78	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = 0 )))
80	56, 77, 79	mpbir2and 713	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾‘𝐺))
81	10, 42, 22, 26, 11, 20, 41, 31	ellspsni 20963	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
82	45, 14	lsmelvali 19636	. . . 4 ⊢ ((((𝐾‘𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))(+g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
83	52, 54, 80, 81, 82	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))(+g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
84	48, 83	eqeltrrd 2836	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑢 ∈ ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
85	18, 84	eqelssd 3985	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2933   ⊆ wss 3931  {csn 4606  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17233  +_gcplusg 17276  ._rcmulr 17277  Scalarcsca 17279   ·_𝑠 cvsca 17280  0_gc0g 17458  Grpcgrp 18921  -_gcsg 18923  SubGrpcsubg 19108  LSSumclsm 19620  1_rcur 20146  Ringcrg 20198  inv_rcinvr 20352  DivRingcdr 20694  LModclmod 20822  LSubSpclss 20893  LSpanclspn 20933  LVecclvec 21065  LFnlclfn 39080  LKerclk 39108

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-int 4928  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-0g 17460  df-mgm 18623  df-sgrp 18702  df-mnd 18718  df-submnd 18767  df-grp 18924  df-minusg 18925  df-sbg 18926  df-subg 19111  df-cntz 19305  df-lsm 19622  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20322  df-unit 20323  df-invr 20353  df-drng 20696  df-lmod 20824  df-lss 20894  df-lsp 20934  df-lvec 21066  df-lfl 39081  df-lkr 39109

This theorem is referenced by:  lkrlsp2  39126