Theorem lkrlsp 39058

Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel (by ellkr 39045) is the whole vector space. (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrlsp.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrlsp.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrlsp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrlsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lkrlsp.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lkrlsp.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlsp.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrlsp	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem lkrlsp

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21128	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2r 1200	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ 𝐹)
4		lkrlsp.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		lkrlsp.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7	4, 5, 6	lkrlss 39051	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8	2, 3, 7	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		simp2l 1199	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lkrlsp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		lkrlsp.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12	10, 6, 11	lspsncl 20998	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13	2, 9, 12	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
14		lkrlsp.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
15	6, 14	lsmcl 21105	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	2, 8, 13, 15	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	10, 6	lssss 20957	. . 3 ⊢ (((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
18	16, 17	syl 17	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
19		simpl1 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
20	19, 1	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
21		simpr 484	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑢 ∈ 𝑉)
22		lkrlsp.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
23	22	lmodring 20888	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
24	20, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ Ring)
25		simpl2r 1227	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
26		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
27	22, 26, 10, 4	lflcl 39020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷))
28	19, 25, 21, 27	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷))
29	22	lvecdrng 21127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
30	19, 29	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ DivRing)
31		simpl2l 1226	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
32	22, 26, 10, 4	lflcl 39020	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
33	19, 25, 31, 32	syl3anc 1371	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
34		simpl3 1193	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
35		lkrlsp.o	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
36		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝐷) = (invr‘𝐷)
37	26, 35, 36	drnginvrcl 20775	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐷))
38	30, 33, 34, 37	syl3anc 1371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐷))
39		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
40	26, 39	ringcl 20277	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))) ∈ (Base‘𝐷))
41	24, 28, 38, 40	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))) ∈ (Base‘𝐷))
42		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
43	10, 22, 42, 26	lmodvscl 20898	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
44	20, 41, 31, 43	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
45		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
46		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
47	10, 45, 46	lmodvnpcan 20936	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))(+g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = 𝑢)
48	20, 21, 44, 47	syl3anc 1371	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))(+g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = 𝑢)
49	6	lsssssubg 20979	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
50	20, 49	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
51	8	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
52	50, 51	sseldd 4009	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐾‘𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑊))
53	13	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
54	50, 53	sseldd 4009	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
55	10, 46	lmodvsubcl 20927	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉) → (𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉)
56	20, 21, 44, 55	syl3anc 1371	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉)
57		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝐷) = (-g‘𝐷)
58	22, 57, 10, 46, 4	lflsub 39023	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑢 ∈ 𝑉 ∧ (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))))
59	20, 25, 21, 44, 58	syl112anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘(𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))))
60	22, 26, 39, 10, 42, 4	lflmul 39024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
61	20, 25, 41, 31, 60	syl112anc 1374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
62	26, 39	ringass 20280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ ((𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))) → (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋))))
63	24, 28, 38, 33, 62	syl13anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋))))
64		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
65	26, 35, 39, 64, 36	drnginvrl 20778	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝐷))
66	30, 33, 34, 65	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝐷))
67	66	oveq2d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋))) = ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(1r‘𝐷)))
68	26, 39, 64	ringridm 20293	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(1r‘𝐷)) = (𝐺‘𝑢))
69	24, 28, 68	syl2anc 583	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(1r‘𝐷)) = (𝐺‘𝑢))
70	67, 69	eqtrd 2780	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋))) = (𝐺‘𝑢))
71	61, 63, 70	3eqtrd 2784	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = (𝐺‘𝑢))
72	71	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑢)))
73	22	lmodfgrp 20889	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
74	20, 73	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ Grp)
75	26, 35, 57	grpsubid 19064	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) = 0 )
76	74, 28, 75	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) = 0 )
77	59, 72, 76	3eqtrd 2784	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘(𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = 0 )
78	10, 22, 35, 4, 5	ellkr 39045	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = 0 )))
79	19, 25, 78	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = 0 )))
80	56, 77, 79	mpbir2and 712	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾‘𝐺))
81	10, 42, 22, 26, 11, 20, 41, 31	ellspsni 21022	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
82	45, 14	lsmelvali 19692	. . . 4 ⊢ ((((𝐾‘𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))(+g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
83	52, 54, 80, 81, 82	syl22anc 838	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))(+g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
84	48, 83	eqeltrrd 2845	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑢 ∈ ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
85	18, 84	eqelssd 4030	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   ⊆ wss 3976  {csn 4648  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  Basecbs 17258  +_gcplusg 17311  ._rcmulr 17312  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17499  Grpcgrp 18973  -_gcsg 18975  SubGrpcsubg 19160  LSSumclsm 19676  1_rcur 20208  Ringcrg 20260  inv_rcinvr 20413  DivRingcdr 20751  LModclmod 20880  LSubSpclss 20952  LSpanclspn 20992  LVecclvec 21124  LFnlclfn 39013  LKerclk 39041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-tpos 8267  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-er 8763  df-map 8886  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-0g 17501  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819  df-grp 18976  df-minusg 18977  df-sbg 18978  df-subg 19163  df-cntz 19357  df-lsm 19678  df-cmn 19824  df-abl 19825  df-mgp 20162  df-rng 20180  df-ur 20209  df-ring 20262  df-oppr 20360  df-dvdsr 20383  df-unit 20384  df-invr 20414  df-drng 20753  df-lmod 20882  df-lss 20953  df-lsp 20993  df-lvec 21125  df-lfl 39014  df-lkr 39042

This theorem is referenced by:  lkrlsp2  39059