Theorem lkrlsp 40425

Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel (by ellkr 40412) is the whole vector space. (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lkrlsp.d	⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
lkrlsp.o	⊢ 0 = (0g‘𝐷)
lkrlsp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lkrlsp.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lkrlsp.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lkrlsp.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
lkrlsp.k	⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lkrlsp	⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

Proof of Theorem lkrlsp

Dummy variable 𝑢 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lveclmod 21432	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
2	1	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
3		simp2r 1219	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → 𝐺 ∈ 𝐹)
4		lkrlsp.f	. . . . . 6 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		lkrlsp.k	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 = (LKer‘𝑊)
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (LSubSp‘𝑊) = (LSubSp‘𝑊)
7	4, 5, 6	lkrlss 40418	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
8	2, 3, 7	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
9		simp2l 1218	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lkrlsp.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
11		lkrlsp.n	. . . . . 6 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12	10, 6, 11	lspsncl 21303	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
13	2, 9, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
14		lkrlsp.p	. . . . 5 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
15	6, 14	lsmcl 21409	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊)) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
16	2, 8, 13, 15	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊))
17	10, 6	lssss 21262	. . 3 ⊢ (((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSubSp‘𝑊) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
18	16, 17	syl 18	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) ⊆ 𝑉)
19		simpl1 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LVec)
20	19, 1	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
21		simpr 490	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑢 ∈ 𝑉)
22		lkrlsp.d	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 = (Scalar‘𝑊)
23	22	lmodring 21194	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Ring)
24	20, 23	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ Ring)
25		simpl2r 1246	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐺 ∈ 𝐹)
26		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
27	22, 26, 10, 4	lflcl 40387	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷))
28	19, 25, 21, 27	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷))
29	22	lvecdrng 21431	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝐷 ∈ DivRing)
30	19, 29	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ DivRing)
31		simpl2l 1245	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
32	22, 26, 10, 4	lflcl 40387	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
33	19, 25, 31, 32	syl3anc 1399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))
34		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ≠ 0 )
35		lkrlsp.o	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝐷)
36		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (invr‘𝐷) = (invr‘𝐷)
37	26, 35, 36	drnginvrcl 21062	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐷))
38	30, 33, 34, 37	syl3anc 1399	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐷))
39		eqid 2763	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝐷) = (.r‘𝐷)
40	26, 39	ringcl 20528	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))) ∈ (Base‘𝐷))
41	24, 28, 38, 40	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))) ∈ (Base‘𝐷))
42		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
43	10, 22, 42, 26	lmodvscl 21204	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
44	20, 41, 31, 43	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)
45		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
46		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
47	10, 45, 46	lmodvnpcan 21242	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))(+g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = 𝑢)
48	20, 21, 44, 47	syl3anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))(+g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = 𝑢)
49	6	lsssssubg 21284	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
50	20, 49	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (LSubSp‘𝑊) ⊆ (SubGrp‘𝑊))
51	8	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐾‘𝐺) ∈ (LSubSp‘𝑊))
52	50, 51	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐾‘𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑊))
53	13	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSubSp‘𝑊))
54	50, 53	sseldd 3914	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊))
55	10, 46	lmodvsubcl 21233	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑢 ∈ 𝑉 ∧ (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉) → (𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉)
56	20, 21, 44, 55	syl3anc 1399	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉)
57		eqid 2763	. . . . . . . 8 ⊢ (-g‘𝐷) = (-g‘𝐷)
58	22, 57, 10, 46, 4	lflsub 40390	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑢 ∈ 𝑉 ∧ (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))))
59	20, 25, 21, 44, 58	syl112anc 1402	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘(𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))))
60	22, 26, 39, 10, 42, 4	lflmul 40391	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))) ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) → (𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
61	20, 25, 41, 31, 60	syl112anc 1402	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)))
62	26, 39	ringass 20531	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ ((𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷) ∧ ((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷))) → (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋))))
63	24, 28, 38, 33, 62	syl13anc 1400	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋))))
64		eqid 2763	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (1r‘𝐷) = (1r‘𝐷)
65	26, 35, 39, 64, 36	drnginvrl 21065	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝐷) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝐷))
66	30, 33, 34, 65	syl3anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋)) = (1r‘𝐷))
67	66	oveq2d 7467	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋))) = ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(1r‘𝐷)))
68	26, 39, 64	ringridm 20550	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ Ring ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(1r‘𝐷)) = (𝐺‘𝑢))
69	24, 28, 68	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(1r‘𝐷)) = (𝐺‘𝑢))
70	67, 69	eqtrd 2798	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)(((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋))(.r‘𝐷)(𝐺‘𝑋))) = (𝐺‘𝑢))
71	61, 63, 70	3eqtrd 2802	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) = (𝐺‘𝑢))
72	71	oveq2d 7467	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑢)))
73	22	lmodfgrp 21195	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐷 ∈ Grp)
74	20, 73	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝐷 ∈ Grp)
75	26, 35, 57	grpsubid 19284	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ Grp ∧ (𝐺‘𝑢) ∈ (Base‘𝐷)) → ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) = 0 )
76	74, 28, 75	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝐺‘𝑢)(-g‘𝐷)(𝐺‘𝑢)) = 0 )
77	59, 72, 76	3eqtrd 2802	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝐺‘(𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = 0 )
78	10, 22, 35, 4, 5	ellkr 40412	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = 0 )))
79	19, 25, 78	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾‘𝐺) ↔ ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ 𝑉 ∧ (𝐺‘(𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))) = 0 )))
80	56, 77, 79	mpbir2and 726	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾‘𝐺))
81	10, 42, 22, 26, 11, 20, 41, 31	ellspsni 21327	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))
82	45, 14	lsmelvali 19915	. . . 4 ⊢ ((((𝐾‘𝐺) ∈ (SubGrp‘𝑊) ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ (SubGrp‘𝑊)) ∧ ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ (𝐾‘𝐺) ∧ (((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) ∈ (𝑁‘{𝑋}))) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))(+g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
83	52, 54, 80, 81, 82	syl22anc 852	. . 3 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → ((𝑢(-g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋))(+g‘𝑊)(((𝐺‘𝑢)(.r‘𝐷)((invr‘𝐷)‘(𝐺‘𝑋)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)) ∈ ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
84	48, 83	eqeltrrd 2865	. 2 ⊢ (((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) ∧ 𝑢 ∈ 𝑉) → 𝑢 ∈ ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})))
85	18, 84	eqelssd 3934	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (𝐺‘𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐾‘𝐺) ⊕ (𝑁‘{𝑋})) = 𝑉)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  ._rcmulr 17473  Scalarcsca 17475   ·_𝑠 cvsca 17476  0_gc0g 17660  Grpcgrp 19194  -_gcsg 19196  SubGrpcsubg 19380  LSSumclsm 19899  1_rcur 20458  Ringcrg 20510  inv_rcinvr 20668  DivRingcdr 21031  LModclmod 21186  LSubSpclss 21257  LSpanclspn 21297  LVecclvec 21428  LFnlclfn 40380  LKerclk 40408

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-tpos 8281  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-map 8887  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cntz 19582  df-lsm 19901  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-rng 20426  df-ur 20459  df-ring 20512  df-oppr 20618  df-dvdsr 20638  df-unit 20639  df-invr 20669  df-drng 21033  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298  df-lvec 21429  df-lfl 40381  df-lkr 40409

This theorem is used by:  lkrlsp2  40426