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Theorem lkrlsp 37967
Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel (by ellkr 37954) is the whole vector space. (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlsp.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lkrlsp.o 0 = (0gβ€˜π·)
lkrlsp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lkrlsp.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lkrlsp.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lkrlsp.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lkrlsp.k 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lkrlsp ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉)
Proof of Theorem lkrlsp
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 20716 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
213ad2ant1 1133 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 simp2r 1200 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
4 lkrlsp.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
5 lkrlsp.k . . . . . 6 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
6 eqid 2732 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
74, 5, 6lkrlss 37960 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
82, 3, 7syl2anc 584 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
9 simp2l 1199 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
10 lkrlsp.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
11 lkrlsp.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
1210, 6, 11lspsncl 20587 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
132, 9, 12syl2anc 584 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
14 lkrlsp.p . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
156, 14lsmcl 20693 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
162, 8, 13, 15syl3anc 1371 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1710, 6lssss 20546 . . 3 (((πΎβ€˜πΊ) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† 𝑉)
1816, 17syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† 𝑉)
19 simpl1 1191 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
2019, 1syl 17 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
21 simpr 485 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
22 lkrlsp.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2322lmodring 20478 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
2420, 23syl 17 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
25 simpl2r 1227 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
26 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
2722, 26, 10, 4lflcl 37929 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π·))
2819, 25, 21, 27syl3anc 1371 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π·))
2922lvecdrng 20715 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
3019, 29syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
31 simpl2l 1226 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3222, 26, 10, 4lflcl 37929 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·))
3319, 25, 31, 32syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·))
34 simpl3 1193 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
35 lkrlsp.o . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π·)
36 eqid 2732 . . . . . . . 8 (invrβ€˜π·) = (invrβ€˜π·)
3726, 35, 36drnginvrcl 20378 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ ((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π·))
3830, 33, 34, 37syl3anc 1371 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π·))
39 eqid 2732 . . . . . . 7 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
4026, 39ringcl 20072 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (πΊβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ ((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))) ∈ (Baseβ€˜π·))
4124, 28, 38, 40syl3anc 1371 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))) ∈ (Baseβ€˜π·))
42 eqid 2732 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
4310, 22, 42, 26lmodvscl 20488 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ 𝑉)
4420, 41, 31, 43syl3anc 1371 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ 𝑉)
45 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
46 eqid 2732 . . . . 5 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
4710, 45, 46lmodvnpcan 20525 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ 𝑉) β†’ ((𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) = 𝑒)
4820, 21, 44, 47syl3anc 1371 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) = 𝑒)
496lsssssubg 20568 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
5020, 49syl 17 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
518adantr 481 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
5250, 51sseldd 3983 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
5313adantr 481 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
5450, 53sseldd 3983 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
5510, 46lmodvsubcl 20516 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ 𝑉) β†’ (𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∈ 𝑉)
5620, 21, 44, 55syl3anc 1371 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∈ 𝑉)
57 eqid 2732 . . . . . . . 8 (-gβ€˜π·) = (-gβ€˜π·)
5822, 57, 10, 46, 4lflsub 37932 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑒 ∈ 𝑉 ∧ (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) = ((πΊβ€˜π‘’)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))))
5920, 25, 21, 44, 58syl112anc 1374 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜(𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) = ((πΊβ€˜π‘’)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))))
6022, 26, 39, 10, 42, 4lflmul 37933 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) = (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)))
6120, 25, 41, 31, 60syl112anc 1374 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) = (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)))
6226, 39ringass 20075 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Ring ∧ ((πΊβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ ((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·))) β†’ (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)(((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹))))
6324, 28, 38, 33, 62syl13anc 1372 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)(((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹))))
64 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 (1rβ€˜π·) = (1rβ€˜π·)
6526, 35, 39, 64, 36drnginvrl 20381 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π·))
6630, 33, 34, 65syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π·))
6766oveq2d 7424 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)(((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹))) = ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)(1rβ€˜π·)))
6826, 39, 64ringridm 20086 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (πΊβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)(1rβ€˜π·)) = (πΊβ€˜π‘’))
6924, 28, 68syl2anc 584 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)(1rβ€˜π·)) = (πΊβ€˜π‘’))
7067, 69eqtrd 2772 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)(((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹))) = (πΊβ€˜π‘’))
7161, 63, 703eqtrd 2776 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) = (πΊβ€˜π‘’))
7271oveq2d 7424 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) = ((πΊβ€˜π‘’)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)))
7322lmodfgrp 20479 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Grp)
7420, 73syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ Grp)
7526, 35, 57grpsubid 18906 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (πΊβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) = 0 )
7674, 28, 75syl2anc 584 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) = 0 )
7759, 72, 763eqtrd 2776 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜(𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) = 0 )
7810, 22, 35, 4, 5ellkr 37954 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∈ (πΎβ€˜πΊ) ↔ ((𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜(𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) = 0 )))
7919, 25, 78syl2anc 584 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∈ (πΎβ€˜πΊ) ↔ ((𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜(𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) = 0 )))
8056, 77, 79mpbir2and 711 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∈ (πΎβ€˜πΊ))
8110, 42, 22, 26, 11, 20, 41, 31lspsneli 20611 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
8245, 14lsmelvali 19517 . . . 4 ((((πΎβ€˜πΊ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) ∧ ((𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∈ (πΎβ€˜πΊ) ∧ (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ ((𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∈ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
8352, 54, 80, 81, 82syl22anc 837 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∈ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
8448, 83eqeltrrd 2834 . 2 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑒 ∈ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
8518, 84eqelssd 4003 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βŠ† wss 3948  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  +gcplusg 17196  .rcmulr 17197  Scalarcsca 17199   ·𝑠 cvsca 17200  0gc0g 17384  Grpcgrp 18818  -gcsg 18820  SubGrpcsubg 18999  LSSumclsm 19501  1rcur 20003  Ringcrg 20055  invrcinvr 20200  DivRingcdr 20356  LModclmod 20470  LSubSpclss 20541  LSpanclspn 20581  LVecclvec 20712  LFnlclfn 37922  LKerclk 37950
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8210  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17144  df-ress 17173  df-plusg 17209  df-mulr 17210  df-0g 17386  df-mgm 18560  df-sgrp 18609  df-mnd 18625  df-submnd 18671  df-grp 18821  df-minusg 18822  df-sbg 18823  df-subg 19002  df-cntz 19180  df-lsm 19503  df-cmn 19649  df-abl 19650  df-mgp 19987  df-ur 20004  df-ring 20057  df-oppr 20149  df-dvdsr 20170  df-unit 20171  df-invr 20201  df-drng 20358  df-lmod 20472  df-lss 20542  df-lsp 20582  df-lvec 20713  df-lfl 37923  df-lkr 37951
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