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Theorem lkrlsp 38436
Description: The subspace sum of a kernel and the span of a vector not in the kernel (by ellkr 38423) is the whole vector space. (Contributed by NM, 19-Apr-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lkrlsp.d 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lkrlsp.o 0 = (0gβ€˜π·)
lkrlsp.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lkrlsp.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lkrlsp.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lkrlsp.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
lkrlsp.k 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lkrlsp ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉)
Proof of Theorem lkrlsp
Dummy variable 𝑒 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lveclmod 20950 . . . . 5 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
213ad2ant1 1132 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
3 simp2r 1199 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
4 lkrlsp.f . . . . . 6 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
5 lkrlsp.k . . . . . 6 𝐾 = (LKerβ€˜π‘Š)
6 eqid 2731 . . . . . 6 (LSubSpβ€˜π‘Š) = (LSubSpβ€˜π‘Š)
74, 5, 6lkrlss 38429 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
82, 3, 7syl2anc 583 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
9 simp2l 1198 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
10 lkrlsp.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
11 lkrlsp.n . . . . . 6 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
1210, 6, 11lspsncl 20820 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
132, 9, 12syl2anc 583 . . . 4 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
14 lkrlsp.p . . . . 5 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
156, 14lsmcl 20927 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š)) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
162, 8, 13, 15syl3anc 1370 . . 3 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
1710, 6lssss 20779 . . 3 (((πΎβ€˜πΊ) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† 𝑉)
1816, 17syl 17 . 2 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) βŠ† 𝑉)
19 simpl1 1190 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LVec)
2019, 1syl 17 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
21 simpr 484 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑒 ∈ 𝑉)
22 lkrlsp.d . . . . . . . 8 𝐷 = (Scalarβ€˜π‘Š)
2322lmodring 20710 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Ring)
2420, 23syl 17 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ Ring)
25 simpl2r 1226 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
26 eqid 2731 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
2722, 26, 10, 4lflcl 38398 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π·))
2819, 25, 21, 27syl3anc 1370 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π·))
2922lvecdrng 20949 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LVec β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
3019, 29syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ DivRing)
31 simpl2l 1225 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3222, 26, 10, 4lflcl 38398 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·))
3319, 25, 31, 32syl3anc 1370 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·))
34 simpl3 1192 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
35 lkrlsp.o . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π·)
36 eqid 2731 . . . . . . . 8 (invrβ€˜π·) = (invrβ€˜π·)
3726, 35, 36drnginvrcl 20605 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ ((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π·))
3830, 33, 34, 37syl3anc 1370 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π·))
39 eqid 2731 . . . . . . 7 (.rβ€˜π·) = (.rβ€˜π·)
4026, 39ringcl 20151 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (πΊβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ ((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))) ∈ (Baseβ€˜π·))
4124, 28, 38, 40syl3anc 1370 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))) ∈ (Baseβ€˜π·))
42 eqid 2731 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
4310, 22, 42, 26lmodvscl 20720 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ 𝑉)
4420, 41, 31, 43syl3anc 1370 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ 𝑉)
45 eqid 2731 . . . . 5 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
46 eqid 2731 . . . . 5 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
4710, 45, 46lmodvnpcan 20758 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ 𝑉) β†’ ((𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) = 𝑒)
4820, 21, 44, 47syl3anc 1370 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) = 𝑒)
496lsssssubg 20801 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
5020, 49syl 17 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (LSubSpβ€˜π‘Š) βŠ† (SubGrpβ€˜π‘Š))
518adantr 480 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
5250, 51sseldd 3983 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΎβ€˜πΊ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
5313adantr 480 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘Š))
5450, 53sseldd 3983 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
5510, 46lmodvsubcl 20749 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑒 ∈ 𝑉 ∧ (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ 𝑉) β†’ (𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∈ 𝑉)
5620, 21, 44, 55syl3anc 1370 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∈ 𝑉)
57 eqid 2731 . . . . . . . 8 (-gβ€˜π·) = (-gβ€˜π·)
5822, 57, 10, 46, 4lflsub 38401 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (𝑒 ∈ 𝑉 ∧ (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) = ((πΊβ€˜π‘’)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))))
5920, 25, 21, 44, 58syl112anc 1373 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜(𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) = ((πΊβ€˜π‘’)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))))
6022, 26, 39, 10, 42, 4lflmul 38402 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉)) β†’ (πΊβ€˜(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) = (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)))
6120, 25, 41, 31, 60syl112anc 1373 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) = (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)))
6226, 39ringass 20154 . . . . . . . . 9 ((𝐷 ∈ Ring ∧ ((πΊβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ ((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·))) β†’ (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)(((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹))))
6324, 28, 38, 33, 62syl13anc 1371 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)(((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹))))
64 eqid 2731 . . . . . . . . . . . 12 (1rβ€˜π·) = (1rβ€˜π·)
6526, 35, 39, 64, 36drnginvrl 20608 . . . . . . . . . . 11 ((𝐷 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ (((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π·))
6630, 33, 34, 65syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹)) = (1rβ€˜π·))
6766oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)(((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹))) = ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)(1rβ€˜π·)))
6826, 39, 64ringridm 20165 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ Ring ∧ (πΊβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)(1rβ€˜π·)) = (πΊβ€˜π‘’))
6924, 28, 68syl2anc 583 . . . . . . . . 9 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)(1rβ€˜π·)) = (πΊβ€˜π‘’))
7067, 69eqtrd 2771 . . . . . . . 8 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)(((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))(.rβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘‹))) = (πΊβ€˜π‘’))
7161, 63, 703eqtrd 2775 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) = (πΊβ€˜π‘’))
7271oveq2d 7428 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) = ((πΊβ€˜π‘’)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)))
7322lmodfgrp 20711 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐷 ∈ Grp)
7420, 73syl 17 . . . . . . 7 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝐷 ∈ Grp)
7526, 35, 57grpsubid 18950 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ Grp ∧ (πΊβ€˜π‘’) ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) = 0 )
7674, 28, 75syl2anc 583 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((πΊβ€˜π‘’)(-gβ€˜π·)(πΊβ€˜π‘’)) = 0 )
7759, 72, 763eqtrd 2775 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜(𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) = 0 )
7810, 22, 35, 4, 5ellkr 38423 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) β†’ ((𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∈ (πΎβ€˜πΊ) ↔ ((𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜(𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) = 0 )))
7919, 25, 78syl2anc 583 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∈ (πΎβ€˜πΊ) ↔ ((𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∈ 𝑉 ∧ (πΊβ€˜(𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))) = 0 )))
8056, 77, 79mpbir2and 710 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∈ (πΎβ€˜πΊ))
8110, 42, 22, 26, 11, 20, 41, 31lspsneli 20844 . . . 4 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}))
8245, 14lsmelvali 19566 . . . 4 ((((πΎβ€˜πΊ) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š)) ∧ ((𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∈ (πΎβ€˜πΊ) ∧ (((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) ∈ (π‘β€˜{𝑋}))) β†’ ((𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∈ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
8352, 54, 80, 81, 82syl22anc 836 . . 3 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ ((𝑒(-gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋))(+gβ€˜π‘Š)(((πΊβ€˜π‘’)(.rβ€˜π·)((invrβ€˜π·)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)) ∈ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
8448, 83eqeltrrd 2833 . 2 (((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) ∧ 𝑒 ∈ 𝑉) β†’ 𝑒 ∈ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})))
8518, 84eqelssd 4003 1 ((π‘Š ∈ LVec ∧ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝐺 ∈ 𝐹) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ ((πΎβ€˜πΊ) βŠ• (π‘β€˜{𝑋})) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939   βŠ† wss 3948  {csn 4628  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  0gc0g 17392  Grpcgrp 18861  -gcsg 18863  SubGrpcsubg 19043  LSSumclsm 19550  1rcur 20082  Ringcrg 20134  invrcinvr 20285  DivRingcdr 20583  LModclmod 20702  LSubSpclss 20774  LSpanclspn 20814  LVecclvec 20946  LFnlclfn 38391  LKerclk 38419
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-tpos 8217  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19046  df-cntz 19229  df-lsm 19552  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-rng 20054  df-ur 20083  df-ring 20136  df-oppr 20232  df-dvdsr 20255  df-unit 20256  df-invr 20286  df-drng 20585  df-lmod 20704  df-lss 20775  df-lsp 20815  df-lvec 20947  df-lfl 38392  df-lkr 38420
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