Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincresunit3lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincresunit3lem2 47250
Description: Lemma 2 for lincresunit3 47251. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincresunit.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincresunit.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
lincresunit.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
lincresunit.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lincresunit.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lincresunit.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
lincresunit.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
lincresunit.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
lincresunit.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘ )))
Assertion
Ref Expression
lincresunit3lem2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)))) = ((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   π‘ˆ,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   Β· ,𝑠   𝑧,𝑠,𝐡   𝑧,𝐸   𝑧,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑁   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆   𝑧,π‘ˆ   𝑧,𝑋   𝑧,𝑍   0 ,𝑠,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑠)   Β· (𝑧)   𝐺(𝑠)   𝐼(𝑧)   𝑍(𝑠)

Proof of Theorem lincresunit3lem2
StepHypRef Expression
1 simpl2 1190 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
2 lincresunit.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
3 lincresunit.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
43fveq2i 6895 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
52, 4eqtri 2758 . . . . . . . . 9 𝐸 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
65oveq1i 7423 . . . . . . . 8 (𝐸 ↑m 𝑆) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑆)
76eleq2i 2823 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ↔ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑆))
87biimpi 215 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑆))
983ad2ant1 1131 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑆))
109adantl 480 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑆))
11 difssd 4133 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) βŠ† 𝑆)
12 elmapssres 8865 . . . 4 ((𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑆) ∧ (𝑆 βˆ– {𝑋}) βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))
1310, 11, 12syl2anc 582 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))
14 elpwi 4610 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
1514ssdifssd 4143 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
16 difexg 5328 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
17 elpwg 4606 . . . . . . . 8 ((𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V β†’ ((𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βˆ– {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ ((𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βˆ– {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
1915, 18mpbird 256 . . . . . 6 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
20 lincresunit.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
2120pweqi 4619 . . . . . 6 𝒫 𝐡 = 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)
2219, 21eleq2s 2849 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
23223ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
2423adantr 479 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
25 lincval 47179 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∧ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ (((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))))
261, 13, 24, 25syl3anc 1369 . 2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ (((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))))
27 simpll 763 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
28 simplr1 1213 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
29 simplr2 1214 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
30 simpr 483 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))
31 lincresunit.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
32 lincresunit.0 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘…)
33 lincresunit.z . . . . . . 7 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
34 lincresunit.n . . . . . . 7 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
35 lincresunit.i . . . . . . 7 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
36 lincresunit.t . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜π‘…)
37 lincresunit.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘ )))
3820, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37lincresunit3lem1 47249 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))
3927, 28, 29, 30, 38syl13anc 1370 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))
40 fvres 6911 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
4140adantl 480 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
4241eqcomd 2736 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = ((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘§))
4342oveq1d 7428 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧) = (((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))
4439, 43eqtrd 2770 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)) = (((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))
4544mpteq2dva 5249 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ (((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)))
4645oveq2d 7429 . 2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)))) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ (((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))))
47 eqid 2730 . . 3 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
48 eqid 2730 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
49 difexg 5328 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
50493ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
5150adantr 479 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
523lmodfgrp 20625 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Grp)
53523ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
5453adantr 479 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
55 elmapi 8847 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) β†’ 𝐹:π‘†βŸΆπΈ)
56 ffvelcdm 7084 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘†βŸΆπΈ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐸)
5756expcom 412 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ (𝐹:π‘†βŸΆπΈ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐸))
58573ad2ant3 1133 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝐹:π‘†βŸΆπΈ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐸))
5955, 58syl5com 31 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) β†’ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐸))
6059impcom 406 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐸)
612, 34grpinvcl 18910 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐸) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ 𝐸)
6254, 60, 61syl2anc 582 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ 𝐸)
63623ad2antr1 1186 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ 𝐸)
641adantr 479 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
6520, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37lincresunit1 47247 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))
66653adantr3 1169 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))
67 elmapi 8847 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸)
68 ffvelcdm 7084 . . . . . . 7 ((𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸)
6968ex 411 . . . . . 6 (𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸 β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸))
7066, 67, 693syl 18 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸))
7170imp 405 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸)
72 elpwi 4610 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
73 eldifi 4127 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
74 ssel2 3978 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
7574expcom 412 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑧 ∈ 𝐡))
7673, 75syl 17 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑧 ∈ 𝐡))
7772, 76syl5com 31 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡))
78773ad2ant1 1131 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡))
7978adantr 479 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡))
8079imp 405 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
8120, 3, 48, 2lmodvscl 20634 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧) ∈ 𝐡)
8264, 71, 80, 81syl3anc 1369 . . 3 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧) ∈ 𝐡)
83 simp2 1135 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
8483, 23jca 510 . . . . 5 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
8584adantr 479 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
8620, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37lincresunit2 47248 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐺 finSupp 0 )
8786, 32breqtrdi 5190 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐺 finSupp (0gβ€˜π‘…))
883, 2scmfsupp 47144 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∧ 𝐺 finSupp (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
8988, 33breqtrrdi 5191 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∧ 𝐺 finSupp (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)) finSupp 𝑍)
9085, 66, 87, 89syl3anc 1369 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)) finSupp 𝑍)
9120, 3, 2, 33, 47, 48, 1, 51, 63, 82, 90gsumvsmul 20682 . 2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)))) = ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)))))
9226, 46, 913eqtr2rd 2777 1 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)))) = ((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472   βˆ– cdif 3946   βŠ† wss 3949  π’« cpw 4603  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   β†Ύ cres 5679  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413   ↑m cmap 8824   finSupp cfsupp 9365  Basecbs 17150  +gcplusg 17203  .rcmulr 17204  Scalarcsca 17206   ·𝑠 cvsca 17207  0gc0g 17391   Ξ£g cgsu 17392  Grpcgrp 18857  invgcminusg 18858  Unitcui 20248  invrcinvr 20280  LModclmod 20616   linC clinc 47174
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-er 8707  df-map 8826  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-oi 9509  df-card 9938  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-n0 12479  df-z 12565  df-uz 12829  df-fz 13491  df-fzo 13634  df-seq 13973  df-hash 14297  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-0g 17393  df-gsum 17394  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-mhm 18707  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-ghm 19130  df-cntz 19224  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-oppr 20227  df-dvdsr 20250  df-unit 20251  df-invr 20281  df-lmod 20618  df-linc 47176
This theorem is referenced by:  lincresunit3  47251
  Copyright terms: Public domain W3C validator