Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincresunit3lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincresunit3lem2 48326
Description: Lemma 2 for lincresunit3 48327. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0 0 = (0g𝑅)
lincresunit.z 𝑍 = (0g𝑀)
lincresunit.n 𝑁 = (invg𝑅)
lincresunit.i 𝐼 = (invr𝑅)
lincresunit.t · = (.r𝑅)
lincresunit.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)))
Assertion
Ref Expression
lincresunit3lem2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)(𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧)))) = ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   𝑈,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   · ,𝑠   𝑧,𝑠,𝐵   𝑧,𝐸   𝑧,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑁   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆   𝑧,𝑈   𝑧,𝑋   𝑧,𝑍   0 ,𝑠,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑠)   · (𝑧)   𝐺(𝑠)   𝐼(𝑧)   𝑍(𝑠)

Proof of Theorem lincresunit3lem2
StepHypRef Expression
1 simpl2 1191 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ LMod)
2 lincresunit.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (Base‘𝑅)
3 lincresunit.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
43fveq2i 6910 . . . . . . . . . 10 (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
52, 4eqtri 2763 . . . . . . . . 9 𝐸 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
65oveq1i 7441 . . . . . . . 8 (𝐸m 𝑆) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆)
76eleq2i 2831 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ↔ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆))
87biimpi 216 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆))
983ad2ant1 1132 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆))
109adantl 481 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆))
11 difssd 4147 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆)
12 elmapssres 8906 . . . 4 ((𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆) ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆) → (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))
1310, 11, 12syl2anc 584 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))
14 elpwi 4612 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
1514ssdifssd 4157 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀))
16 difexg 5335 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
17 elpwg 4608 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀)))
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀)))
1915, 18mpbird 257 . . . . . 6 (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
20 lincresunit.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝑀)
2120pweqi 4621 . . . . . 6 𝒫 𝐵 = 𝒫 (Base‘𝑀)
2219, 21eleq2s 2857 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
23223ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
2423adantr 480 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
25 lincval 48255 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) = (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧))))
261, 13, 24, 25syl3anc 1370 . 2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) = (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧))))
27 simpll 767 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆))
28 simplr1 1214 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆))
29 simplr2 1215 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)
30 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
31 lincresunit.u . . . . . . 7 𝑈 = (Unit‘𝑅)
32 lincresunit.0 . . . . . . 7 0 = (0g𝑅)
33 lincresunit.z . . . . . . 7 𝑍 = (0g𝑀)
34 lincresunit.n . . . . . . 7 𝑁 = (invg𝑅)
35 lincresunit.i . . . . . . 7 𝐼 = (invr𝑅)
36 lincresunit.t . . . . . . 7 · = (.r𝑅)
37 lincresunit.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹𝑋))) · (𝐹𝑠)))
3820, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37lincresunit3lem1 48325 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧)) = ((𝐹𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧))
3927, 28, 29, 30, 38syl13anc 1371 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧)) = ((𝐹𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧))
40 fvres 6926 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
4140adantl 481 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧) = (𝐹𝑧))
4241eqcomd 2741 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹𝑧) = ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧))
4342oveq1d 7446 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐹𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧) = (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧))
4439, 43eqtrd 2775 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧)) = (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧))
4544mpteq2dva 5248 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧)))
4645oveq2d 7447 . 2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧)))) = (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧))))
47 eqid 2735 . . 3 (+g𝑀) = (+g𝑀)
48 eqid 2735 . . 3 ( ·𝑠𝑀) = ( ·𝑠𝑀)
49 difexg 5335 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
50493ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
5150adantr 480 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
523lmodfgrp 20884 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
53523ad2ant2 1133 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
5453adantr 480 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
55 elmapi 8888 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) → 𝐹:𝑆𝐸)
56 ffvelcdm 7101 . . . . . . . . 9 ((𝐹:𝑆𝐸𝑋𝑆) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐸)
5756expcom 413 . . . . . . . 8 (𝑋𝑆 → (𝐹:𝑆𝐸 → (𝐹𝑋) ∈ 𝐸))
58573ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → (𝐹:𝑆𝐸 → (𝐹𝑋) ∈ 𝐸))
5955, 58syl5com 31 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐸))
6059impcom 407 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆)) → (𝐹𝑋) ∈ 𝐸)
612, 34grpinvcl 19018 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝐸) → (𝑁‘(𝐹𝑋)) ∈ 𝐸)
6254, 60, 61syl2anc 584 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆)) → (𝑁‘(𝐹𝑋)) ∈ 𝐸)
63623ad2antr1 1187 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → (𝑁‘(𝐹𝑋)) ∈ 𝐸)
641adantr 480 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑀 ∈ LMod)
6520, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37lincresunit1 48323 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈)) → 𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))
66653adantr3 1170 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))
67 elmapi 8888 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸)
68 ffvelcdm 7101 . . . . . . 7 ((𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸)
6968ex 412 . . . . . 6 (𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸))
7066, 67, 693syl 18 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸))
7170imp 406 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸)
72 elpwi 4612 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑆𝐵)
73 eldifi 4141 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧𝑆)
74 ssel2 3990 . . . . . . . . . 10 ((𝑆𝐵𝑧𝑆) → 𝑧𝐵)
7574expcom 413 . . . . . . . . 9 (𝑧𝑆 → (𝑆𝐵𝑧𝐵))
7673, 75syl 17 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → (𝑆𝐵𝑧𝐵))
7772, 76syl5com 31 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧𝐵))
78773ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧𝐵))
7978adantr 480 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧𝐵))
8079imp 406 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧𝐵)
8120, 3, 48, 2lmodvscl 20893 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐺𝑧) ∈ 𝐸𝑧𝐵) → ((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧) ∈ 𝐵)
8264, 71, 80, 81syl3anc 1370 . . 3 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧) ∈ 𝐵)
83 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
8483, 23jca 511 . . . . 5 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
8584adantr 480 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
8620, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37lincresunit2 48324 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp 0 )
8786, 32breqtrdi 5189 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp (0g𝑅))
883, 2scmfsupp 48220 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ 𝐺 finSupp (0g𝑅)) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧)) finSupp (0g𝑀))
8988, 33breqtrrdi 5190 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ 𝐺 finSupp (0g𝑅)) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧)) finSupp 𝑍)
9085, 66, 87, 89syl3anc 1370 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧)) finSupp 𝑍)
9120, 3, 2, 33, 47, 48, 1, 51, 63, 82, 90gsumvsmul 20941 . 2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧)))) = ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)(𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧)))))
9226, 46, 913eqtr2rd 2782 1 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆) ∧ (𝐹𝑋) ∈ 𝑈𝐹 finSupp 0 )) → ((𝑁‘(𝐹𝑋))( ·𝑠𝑀)(𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺𝑧)( ·𝑠𝑀)𝑧)))) = ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  Vcvv 3478  cdif 3960  wss 3963  𝒫 cpw 4605  {csn 4631   class class class wbr 5148  cmpt 5231  cres 5691  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  m cmap 8865   finSupp cfsupp 9399  Basecbs 17245  +gcplusg 17298  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486   Σg cgsu 17487  Grpcgrp 18964  invgcminusg 18965  Unitcui 20372  invrcinvr 20404  LModclmod 20875   linC clinc 48250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-seq 14040  df-hash 14367  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17488  df-gsum 17489  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-mhm 18809  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-ghm 19244  df-cntz 19348  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-lmod 20877  df-linc 48252
This theorem is referenced by:  lincresunit3  48327
  Copyright terms: Public domain W3C validator