Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincresunit3lem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincresunit3lem2 46551
Description: Lemma 2 for lincresunit3 46552. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincresunit.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincresunit.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
lincresunit.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
lincresunit.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lincresunit.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lincresunit.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
lincresunit.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
lincresunit.t Β· = (.rβ€˜π‘…)
lincresunit.g 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘ )))
Assertion
Ref Expression
lincresunit3lem2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)))) = ((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   π‘ˆ,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   Β· ,𝑠   𝑧,𝑠,𝐡   𝑧,𝐸   𝑧,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑁   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆   𝑧,π‘ˆ   𝑧,𝑋   𝑧,𝑍   0 ,𝑠,𝑧
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑠)   Β· (𝑧)   𝐺(𝑠)   𝐼(𝑧)   𝑍(𝑠)

Proof of Theorem lincresunit3lem2
StepHypRef Expression
1 simpl2 1192 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
2 lincresunit.e . . . . . . . . . 10 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
3 lincresunit.r . . . . . . . . . . 11 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
43fveq2i 6845 . . . . . . . . . 10 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
52, 4eqtri 2764 . . . . . . . . 9 𝐸 = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
65oveq1i 7367 . . . . . . . 8 (𝐸 ↑m 𝑆) = ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑆)
76eleq2i 2829 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ↔ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑆))
87biimpi 215 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑆))
983ad2ant1 1133 . . . . 5 ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 ) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑆))
109adantl 482 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑆))
11 difssd 4092 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) βŠ† 𝑆)
12 elmapssres 8805 . . . 4 ((𝐹 ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m 𝑆) ∧ (𝑆 βˆ– {𝑋}) βŠ† 𝑆) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))
1310, 11, 12syl2anc 584 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))
14 elpwi 4567 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ 𝑆 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
1514ssdifssd 4102 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
16 difexg 5284 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
17 elpwg 4563 . . . . . . . 8 ((𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V β†’ ((𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βˆ– {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
1816, 17syl 17 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ ((𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βˆ– {𝑋}) βŠ† (Baseβ€˜π‘€)))
1915, 18mpbird 256 . . . . . 6 (𝑆 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
20 lincresunit.b . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
2120pweqi 4576 . . . . . 6 𝒫 𝐡 = 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)
2219, 21eleq2s 2855 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
23223ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
2423adantr 481 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€))
25 lincval 46480 . . 3 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∧ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ (((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))))
261, 13, 24, 25syl3anc 1371 . 2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ (((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))))
27 simpll 765 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
28 simplr1 1215 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
29 simplr2 1216 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)
30 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))
31 lincresunit.u . . . . . . 7 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
32 lincresunit.0 . . . . . . 7 0 = (0gβ€˜π‘…)
33 lincresunit.z . . . . . . 7 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
34 lincresunit.n . . . . . . 7 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
35 lincresunit.i . . . . . . 7 𝐼 = (invrβ€˜π‘…)
36 lincresunit.t . . . . . . 7 Β· = (.rβ€˜π‘…)
37 lincresunit.g . . . . . . 7 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΌβ€˜(π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))) Β· (πΉβ€˜π‘ )))
3820, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37lincresunit3lem1 46550 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))
3927, 28, 29, 30, 38syl13anc 1372 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)) = ((πΉβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))
40 fvres 6861 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
4140adantl 482 . . . . . . 7 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ ((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
4241eqcomd 2742 . . . . . 6 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = ((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘§))
4342oveq1d 7372 . . . . 5 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ ((πΉβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧) = (((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))
4439, 43eqtrd 2776 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)) = (((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))
4544mpteq2dva 5205 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ (((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)))
4645oveq2d 7373 . 2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)))) = (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ (((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))β€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧))))
47 eqid 2736 . . 3 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
48 eqid 2736 . . 3 ( ·𝑠 β€˜π‘€) = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
49 difexg 5284 . . . . 5 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
50493ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
5150adantr 481 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ V)
523lmodfgrp 20331 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Grp)
53523ad2ant2 1134 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
5453adantr 481 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
55 elmapi 8787 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) β†’ 𝐹:π‘†βŸΆπΈ)
56 ffvelcdm 7032 . . . . . . . . 9 ((𝐹:π‘†βŸΆπΈ ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐸)
5756expcom 414 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ (𝐹:π‘†βŸΆπΈ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐸))
58573ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝐹:π‘†βŸΆπΈ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐸))
5955, 58syl5com 31 . . . . . 6 (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) β†’ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐸))
6059impcom 408 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐸)
612, 34grpinvcl 18798 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ 𝐸) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ 𝐸)
6254, 60, 61syl2anc 584 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ 𝐸)
63623ad2antr1 1188 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹)) ∈ 𝐸)
641adantr 481 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
6520, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37lincresunit1 46548 . . . . . . 7 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))
66653adantr3 1171 . . . . . 6 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))
67 elmapi 8787 . . . . . 6 (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸)
68 ffvelcdm 7032 . . . . . . 7 ((𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸)
6968ex 413 . . . . . 6 (𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸 β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸))
7066, 67, 693syl 18 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸))
7170imp 407 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸)
72 elpwi 4567 . . . . . . . 8 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ 𝑆 βŠ† 𝐡)
73 eldifi 4086 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑧 ∈ 𝑆)
74 ssel2 3939 . . . . . . . . . 10 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
7574expcom 414 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ 𝑆 β†’ (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑧 ∈ 𝐡))
7673, 75syl 17 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ 𝑧 ∈ 𝐡))
7772, 76syl5com 31 . . . . . . 7 (𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡))
78773ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡))
7978adantr 481 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡))
8079imp 407 . . . 4 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝑧 ∈ 𝐡)
8120, 3, 48, 2lmodvscl 20339 . . . 4 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝐡) β†’ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧) ∈ 𝐡)
8264, 71, 80, 81syl3anc 1371 . . 3 ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧) ∈ 𝐡)
83 simp2 1137 . . . . . 6 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
8483, 23jca 512 . . . . 5 ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
8584adantr 481 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)))
8620, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37lincresunit2 46549 . . . . 5 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐺 finSupp 0 )
8786, 32breqtrdi 5146 . . . 4 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ 𝐺 finSupp (0gβ€˜π‘…))
883, 2scmfsupp 46444 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∧ 𝐺 finSupp (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)) finSupp (0gβ€˜π‘€))
8988, 33breqtrrdi 5147 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) ∧ 𝐺 finSupp (0gβ€˜π‘…)) β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)) finSupp 𝑍)
9085, 66, 87, 89syl3anc 1371 . . 3 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)) finSupp 𝑍)
9120, 3, 2, 33, 47, 48, 1, 51, 63, 82, 90gsumvsmul 20386 . 2 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ (𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)))) = ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)))))
9226, 46, 913eqtr2rd 2783 1 (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐡 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ π‘ˆ ∧ 𝐹 finSupp 0 )) β†’ ((π‘β€˜(πΉβ€˜π‘‹))( ·𝑠 β€˜π‘€)(𝑀 Ξ£g (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↦ ((πΊβ€˜π‘§)( ·𝑠 β€˜π‘€)𝑧)))) = ((𝐹 β†Ύ (𝑆 βˆ– {𝑋}))( linC β€˜π‘€)(𝑆 βˆ– {𝑋})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445   βˆ– cdif 3907   βŠ† wss 3910  π’« cpw 4560  {csn 4586   class class class wbr 5105   ↦ cmpt 5188   β†Ύ cres 5635  βŸΆwf 6492  β€˜cfv 6496  (class class class)co 7357   ↑m cmap 8765   finSupp cfsupp 9305  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321   Ξ£g cgsu 17322  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  Unitcui 20068  invrcinvr 20100  LModclmod 20322   linC clinc 46475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-oi 9446  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-seq 13907  df-hash 14231  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-mhm 18601  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-ghm 19006  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-lmod 20324  df-linc 46477
This theorem is referenced by:  lincresunit3  46552
  Copyright terms: Public domain W3C validator