Theorem lincresunit3lem2 48971

Description: Lemma 2 for lincresunit3 48972. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincresunit.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincresunit.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincresunit.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
lincresunit.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lincresunit.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))

Assertion

Ref	Expression
lincresunit3lem2	⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))) = ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   𝑈,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   · ,𝑠   𝑧,𝑠,𝐵   𝑧,𝐸   𝑧,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑁   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆   𝑧,𝑈   𝑧,𝑋   𝑧,𝑍   0 ,𝑠,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑠)   · (𝑧)   𝐺(𝑠)   𝐼(𝑧)   𝑍(𝑠)

Proof of Theorem lincresunit3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1199	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ LMod)
2		lincresunit.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
3		lincresunit.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
4	3	fveq2i 6830	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
5	2, 4	eqtri 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
6	5	oveq1i 7366	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ↑m 𝑆) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆)
7	6	eleq2i 2831	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ↔ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆))
8	7	biimpi 217	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆))
9	8	3ad2ant1 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆))
10	9	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆))
11		difssd 4067	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆)
12		elmapssres 8804	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆) ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆) → (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))
13	10, 11, 12	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))
14		elpwi 4536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
15	14	ssdifssd 4077	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀))
16		difexg 5257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
17		elpwg 4532	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀)))
19	15, 18	mpbird 258	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
20		lincresunit.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
21	20	pweqi 4545	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝐵 = 𝒫 (Base‘𝑀)
22	19, 21	eleq2s 2857	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
23	22	3ad2ant1 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
24	23	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
25		lincval 48900	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) = (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))))
26	1, 13, 24, 25	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) = (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))))
27		simpll 772	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
28		simplr1 1222	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
29		simplr2 1223	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
30		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
31		lincresunit.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
32		lincresunit.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
33		lincresunit.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
34		lincresunit.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
35		lincresunit.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
36		lincresunit.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
37		lincresunit.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))
38	20, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37	lincresunit3lem1 48970	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = ((𝐹‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
39	27, 28, 29, 30, 38	syl13anc 1380	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = ((𝐹‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
40		fvres 6846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
41	40	adantl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
42	41	eqcomd 2745	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑧) = ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧))
43	42	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐹‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧) = (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
44	39, 43	eqtrd 2774	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
45	44	mpteq2dva 5165	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))
46	45	oveq2d 7372	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))) = (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))))
47		eqid 2739	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
48		eqid 2739	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
49		difexg 5257	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
50	49	3ad2ant1 1139	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
51	50	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
52	3	lmodfgrp 20859	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
53	52	3ad2ant2 1140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
54	53	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
55		elmapi 8786	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶𝐸)
56		ffvelcdm 7022	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸)
57	56	expcom 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐹:𝑆⟶𝐸 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸))
58	57	3ad2ant3 1141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹:𝑆⟶𝐸 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸))
59	55, 58	syl5com 31	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸))
60	59	impcom 408	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸)
61	2, 34	grpinvcl 18954	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸) → (𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸)
62	54, 60, 61	syl2anc 590	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) → (𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸)
63	62	3ad2antr1 1195	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸)
64	1	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑀 ∈ LMod)
65	20, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37	lincresunit1 48968	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) → 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))
66	65	3adantr3 1178	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))
67		elmapi 8786	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸)
68		ffvelcdm 7022	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸)
69	68	ex 413	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
70	66, 67, 69	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
71	70	imp 407	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸)
72		elpwi 4536	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
73		eldifi 4061	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧 ∈ 𝑆)
74		ssel2 3910	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
75	74	expcom 414	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐵))
76	73, 75	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐵))
77	72, 76	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧 ∈ 𝐵))
78	77	3ad2ant1 1139	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧 ∈ 𝐵))
79	78	adantr 481	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧 ∈ 𝐵))
80	79	imp 407	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧 ∈ 𝐵)
81	20, 3, 48, 2	lmodvscl 20868	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧) ∈ 𝐵)
82	64, 71, 80, 81	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧) ∈ 𝐵)
83		simp2 1143	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
84	83, 23	jca 516	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
85	84	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
86	20, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37	lincresunit2 48969	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp 0 )
87	86, 32	breqtrdi 5113	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp (0g‘𝑅))
88	3, 2	scmfsupp 48866	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ 𝐺 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) finSupp (0g‘𝑀))
89	88, 33	breqtrrdi 5114	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ 𝐺 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) finSupp 𝑍)
90	85, 66, 87, 89	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) finSupp 𝑍)
91	20, 3, 2, 33, 47, 48, 1, 51, 63, 82, 90	gsumvsmul 20916	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))) = ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))))
92	26, 46, 91	3eqtr2rd 2781	1 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))) = ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4529  {csn 4555   class class class wbr 5072   ↦ cmpt 5153   ↾ cres 5620  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ↑_m cmap 8763   finSupp cfsupp 9264  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393   Σ_g cgsu 17394  Grpcgrp 18900  inv_gcminusg 18901  Unitcui 20326  inv_rcinvr 20358  LModclmod 20850   linC clinc 48895

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-int 4878  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-se 5572  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-isom 6494  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-supp 8101  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-er 8633  df-map 8765  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-oi 9415  df-card 9854  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-seq 13955  df-hash 14284  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-gsum 17396  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-mhm 18742  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-ghm 19179  df-cntz 19283  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-lmod 20852  df-linc 48897

This theorem is referenced by:  lincresunit3  48972