Theorem lincresunit3lem2 48402

Description: Lemma 2 for lincresunit3 48403. (Contributed by AV, 18-May-2019.) (Proof shortened by AV, 30-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincresunit.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincresunit.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincresunit.i	⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
lincresunit.t	⊢ · = (.r‘𝑅)
lincresunit.g	⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))

Assertion

Ref	Expression
lincresunit3lem2	⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))) = ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑠   𝐸,𝑠   𝐹,𝑠   𝑀,𝑠   𝑆,𝑠   𝑋,𝑠   𝑈,𝑠   𝐼,𝑠   𝑁,𝑠   · ,𝑠   𝑧,𝑠,𝐵   𝑧,𝐸   𝑧,𝐹   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑁   𝑧,𝑅   𝑧,𝑆   𝑧,𝑈   𝑧,𝑋   𝑧,𝑍   0 ,𝑠,𝑧

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑠)   · (𝑧)   𝐺(𝑠)   𝐼(𝑧)   𝑍(𝑠)

Proof of Theorem lincresunit3lem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl2 1192	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝑀 ∈ LMod)
2		lincresunit.e	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
3		lincresunit.r	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
4	3	fveq2i 6908	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(Scalar‘𝑀))
5	2, 4	eqtri 2764	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐸 = (Base‘(Scalar‘𝑀))
6	5	oveq1i 7442	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐸 ↑m 𝑆) = ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆)
7	6	eleq2i 2832	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ↔ 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆))
8	7	biimpi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆))
9	8	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 ) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆))
10	9	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆))
11		difssd 4136	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆)
12		elmapssres 8908	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m 𝑆) ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ 𝑆) → (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))
13	10, 11, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))
14		elpwi 4606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑀))
15	14	ssdifssd 4146	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀))
16		difexg 5328	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
17		elpwg 4602	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀)))
18	16, 17	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → ((𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) ↔ (𝑆 ∖ {𝑋}) ⊆ (Base‘𝑀)))
19	15, 18	mpbird 257	. . . . . 6 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 (Base‘𝑀) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
20		lincresunit.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
21	20	pweqi 4615	. . . . . 6 ⊢ 𝒫 𝐵 = 𝒫 (Base‘𝑀)
22	19, 21	eleq2s 2858	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
23	22	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
24	23	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
25		lincval 48331	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋})) ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) = (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))))
26	1, 13, 24, 25	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})) = (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))))
27		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆))
28		simplr1 1215	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
29		simplr2 1216	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)
30		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
31		lincresunit.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
32		lincresunit.0	. . . . . . 7 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
33		lincresunit.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
34		lincresunit.n	. . . . . . 7 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
35		lincresunit.i	. . . . . . 7 ⊢ 𝐼 = (invr‘𝑅)
36		lincresunit.t	. . . . . . 7 ⊢ · = (.r‘𝑅)
37		lincresunit.g	. . . . . . 7 ⊢ 𝐺 = (𝑠 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐼‘(𝑁‘(𝐹‘𝑋))) · (𝐹‘𝑠)))
38	20, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37	lincresunit3lem1 48401	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = ((𝐹‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
39	27, 28, 29, 30, 38	syl13anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = ((𝐹‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
40		fvres 6924	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
41	40	adantl 481	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧) = (𝐹‘𝑧))
42	41	eqcomd 2742	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐹‘𝑧) = ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧))
43	42	oveq1d 7447	. . . . 5 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐹‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧) = (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
44	39, 43	eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) = (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))
45	44	mpteq2dva 5241	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))) = (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))
46	45	oveq2d 7448	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))) = (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ (((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧))))
47		eqid 2736	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
48		eqid 2736	. . 3 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑀) = ( ·𝑠 ‘𝑀)
49		difexg 5328	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
50	49	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
51	50	adantr 480	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ V)
52	3	lmodfgrp 20868	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
53	52	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑅 ∈ Grp)
54	53	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) → 𝑅 ∈ Grp)
55		elmapi 8890	. . . . . . 7 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → 𝐹:𝑆⟶𝐸)
56		ffvelcdm 7100	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹:𝑆⟶𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸)
57	56	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → (𝐹:𝑆⟶𝐸 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸))
58	57	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹:𝑆⟶𝐸 → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸))
59	55, 58	syl5com 31	. . . . . 6 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) → ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸))
60	59	impcom 407	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) → (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸)
61	2, 34	grpinvcl 19006	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝐸) → (𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸)
62	54, 60, 61	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆)) → (𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸)
63	62	3ad2antr1 1188	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑁‘(𝐹‘𝑋)) ∈ 𝐸)
64	1	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑀 ∈ LMod)
65	20, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37	lincresunit1 48399	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈)) → 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))
66	65	3adantr3 1171	. . . . . 6 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))
67		elmapi 8890	. . . . . 6 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸)
68		ffvelcdm 7100	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸)
69	68	ex 412	. . . . . 6 ⊢ (𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
70	66, 67, 69	3syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
71	70	imp 406	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸)
72		elpwi 4606	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → 𝑆 ⊆ 𝐵)
73		eldifi 4130	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧 ∈ 𝑆)
74		ssel2 3977	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → 𝑧 ∈ 𝐵)
75	74	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ 𝑆 → (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐵))
76	73, 75	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → (𝑆 ⊆ 𝐵 → 𝑧 ∈ 𝐵))
77	72, 76	syl5com 31	. . . . . . 7 ⊢ (𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧 ∈ 𝐵))
78	77	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧 ∈ 𝐵))
79	78	adantr 480	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) → 𝑧 ∈ 𝐵))
80	79	imp 406	. . . 4 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝑧 ∈ 𝐵)
81	20, 3, 48, 2	lmodvscl 20877	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸 ∧ 𝑧 ∈ 𝐵) → ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧) ∈ 𝐵)
82	64, 71, 80, 81	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ ((((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧) ∈ 𝐵)
83		simp2 1137	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → 𝑀 ∈ LMod)
84	83, 23	jca 511	. . . . 5 ⊢ ((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
85	84	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)))
86	20, 3, 2, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37	lincresunit2 48400	. . . . 5 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp 0 )
87	86, 32	breqtrdi 5183	. . . 4 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → 𝐺 finSupp (0g‘𝑅))
88	3, 2	scmfsupp 48296	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ 𝐺 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) finSupp (0g‘𝑀))
89	88, 33	breqtrrdi 5184	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ (𝑆 ∖ {𝑋}) ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) ∧ 𝐺 finSupp (0g‘𝑅)) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) finSupp 𝑍)
90	85, 66, 87, 89	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)) finSupp 𝑍)
91	20, 3, 2, 33, 47, 48, 1, 51, 63, 82, 90	gsumvsmul 20925	. 2 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → (𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))) = ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))))
92	26, 46, 91	3eqtr2rd 2783	1 ⊢ (((𝑆 ∈ 𝒫 𝐵 ∧ 𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) ∧ (𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ∧ (𝐹‘𝑋) ∈ 𝑈 ∧ 𝐹 finSupp 0 )) → ((𝑁‘(𝐹‘𝑋))( ·𝑠 ‘𝑀)(𝑀 Σg (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↦ ((𝐺‘𝑧)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑧)))) = ((𝐹 ↾ (𝑆 ∖ {𝑋}))( linC ‘𝑀)(𝑆 ∖ {𝑋})))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  Vcvv 3479   ∖ cdif 3947   ⊆ wss 3950  𝒫 cpw 4599  {csn 4625   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5224   ↾ cres 5686  ⟶wf 6556  ‘cfv 6560  (class class class)co 7432   ↑_m cmap 8867   finSupp cfsupp 9402  Basecbs 17248  +_gcplusg 17298  ._rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·_𝑠 cvsca 17302  0_gc0g 17485   Σ_g cgsu 17486  Grpcgrp 18952  inv_gcminusg 18953  Unitcui 20356  inv_rcinvr 20388  LModclmod 20859   linC clinc 48326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-cnex 11212  ax-resscn 11213  ax-1cn 11214  ax-icn 11215  ax-addcl 11216  ax-addrcl 11217  ax-mulcl 11218  ax-mulrcl 11219  ax-mulcom 11220  ax-addass 11221  ax-mulass 11222  ax-distr 11223  ax-i2m1 11224  ax-1ne0 11225  ax-1rid 11226  ax-rnegex 11227  ax-rrecex 11228  ax-cnre 11229  ax-pre-lttri 11230  ax-pre-lttrn 11231  ax-pre-ltadd 11232  ax-pre-mulgt0 11233

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-supp 8187  df-tpos 8252  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-fsupp 9403  df-oi 9551  df-card 9980  df-pnf 11298  df-mnf 11299  df-xr 11300  df-ltxr 11301  df-le 11302  df-sub 11495  df-neg 11496  df-nn 12268  df-2 12330  df-3 12331  df-n0 12529  df-z 12616  df-uz 12880  df-fz 13549  df-fzo 13696  df-seq 14044  df-hash 14371  df-sets 17202  df-slot 17220  df-ndx 17232  df-base 17249  df-ress 17276  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-0g 17487  df-gsum 17488  df-mgm 18654  df-sgrp 18733  df-mnd 18749  df-mhm 18797  df-grp 18955  df-minusg 18956  df-ghm 19232  df-cntz 19336  df-cmn 19801  df-abl 19802  df-mgp 20139  df-rng 20151  df-ur 20180  df-ring 20233  df-oppr 20335  df-dvdsr 20358  df-unit 20359  df-invr 20389  df-lmod 20861  df-linc 48328

This theorem is referenced by:  lincresunit3  48403