Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvsubval 38681
Description: The value of the value of vector subtraction in the dual of a vector space. TODO: shorten with ldualvsub 38679? (Requires 𝐷 to oppr conversion.) (Contributed by NM, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsubval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ldualvsubval.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
ldualvsubval.s 𝑆 = (-gβ€˜π‘…)
ldualvsubval.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
ldualvsubval.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
ldualvsubval.m βˆ’ = (-gβ€˜π·)
ldualvsubval.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
ldualvsubval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsubval.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
ldualvsubval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
ldualvsubval (πœ‘ β†’ ((𝐺 βˆ’ 𝐻)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)𝑆(π»β€˜π‘‹)))

Proof of Theorem ldualvsubval
StepHypRef Expression
1 ldualvsubval.d . . . . 5 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
2 ldualvsubval.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2lduallmod 38677 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ LMod)
4 ldualvsubval.f . . . . 5 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
5 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
6 ldualvsubval.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
74, 1, 5, 2, 6ldualelvbase 38651 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π·))
8 ldualvsubval.h . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
94, 1, 5, 2, 8ldualelvbase 38651 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜π·))
10 eqid 2725 . . . . 5 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
11 ldualvsubval.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π·)
12 eqid 2725 . . . . 5 (Scalarβ€˜π·) = (Scalarβ€˜π·)
13 eqid 2725 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π·) = ( ·𝑠 β€˜π·)
14 eqid 2725 . . . . 5 (invgβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))
15 eqid 2725 . . . . 5 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·))
165, 10, 11, 12, 13, 14, 15lmodvsubval2 20799 . . . 4 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐻) = (𝐺(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)))
173, 7, 9, 16syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐻) = (𝐺(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)))
1817fveq1d 6892 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 βˆ’ 𝐻)β€˜π‘‹) = ((𝐺(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻))β€˜π‘‹))
19 ldualvsubval.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
20 ldualvsubval.r . . 3 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
21 eqid 2725 . . 3 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
22 eqid 2725 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2312lmodfgrp 20751 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π·) ∈ Grp)
243, 23syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π·) ∈ Grp)
2512lmodring 20750 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π·) ∈ Ring)
263, 25syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π·) ∈ Ring)
27 eqid 2725 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))
2827, 15ringidcl 20201 . . . . . . 7 ((Scalarβ€˜π·) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)))
2926, 28syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)))
3027, 14grpinvcl 18943 . . . . . 6 (((Scalarβ€˜π·) ∈ Grp ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)))
3124, 29, 30syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)))
3220, 22, 1, 12, 27, 2ldualsbase 38657 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (Baseβ€˜π‘…))
3331, 32eleqtrd 2827 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
344, 20, 22, 1, 13, 2, 33, 8ldualvscl 38663 . . 3 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻) ∈ 𝐹)
35 ldualvsubval.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3619, 20, 21, 4, 1, 10, 2, 6, 34, 35ldualvaddval 38655 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻))β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)β€˜π‘‹)))
37 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
3820, 37, 1, 12, 14, 2ldualneg 38673 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (invgβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (invgβ€˜π‘…))
39 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
4020, 39, 1, 12, 15, 2ldual1 38672 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (1rβ€˜π‘…))
4138, 40fveq12d 6897 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·))) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)))
4241oveq1d 7428 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻) = (((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻))
4342fveq1d 6892 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)β€˜π‘‹) = ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)β€˜π‘‹))
44 eqid 2725 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
4520lmodring 20750 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
462, 45syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
47 ringgrp 20177 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
4920, 22, 39lmod1cl 20771 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
502, 49syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5122, 37grpinvcl 18943 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5248, 50, 51syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
534, 19, 20, 22, 44, 1, 13, 2, 52, 8, 35ldualvsval 38662 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)β€˜π‘‹) = ((π»β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))))
5420, 22, 19, 4lflcl 38588 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
552, 8, 35, 54syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5622, 44, 39, 37, 46, 55ringnegr 20238 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π»β€˜π‘‹)))
5743, 53, 563eqtrd 2769 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)β€˜π‘‹) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π»β€˜π‘‹)))
5857oveq2d 7429 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)β€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(π»β€˜π‘‹))))
5920, 22, 19, 4lflcl 38588 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
602, 6, 35, 59syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
61 ldualvsubval.s . . . . 5 𝑆 = (-gβ€˜π‘…)
6222, 21, 37, 61grpsubval 18941 . . . 4 (((πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π»β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)𝑆(π»β€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(π»β€˜π‘‹))))
6360, 55, 62syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)𝑆(π»β€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(π»β€˜π‘‹))))
6458, 63eqtr4d 2768 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)β€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)𝑆(π»β€˜π‘‹)))
6518, 36, 643eqtrd 2769 1 (πœ‘ β†’ ((𝐺 βˆ’ 𝐻)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)𝑆(π»β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413  Basecbs 17174  +gcplusg 17227  .rcmulr 17228  Scalarcsca 17230   ·𝑠 cvsca 17231  Grpcgrp 18889  invgcminusg 18890  -gcsg 18891  1rcur 20120  Ringcrg 20172  LModclmod 20742  LFnlclfn 38581  LDualcld 38647
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-tp 4630  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-n0 12498  df-z 12584  df-uz 12848  df-fz 13512  df-struct 17110  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18892  df-minusg 18893  df-sbg 18894  df-cmn 19736  df-abl 19737  df-mgp 20074  df-rng 20092  df-ur 20121  df-ring 20174  df-oppr 20272  df-lmod 20744  df-lfl 38582  df-ldual 38648
This theorem is referenced by:  lcfrlem1  41067
  Copyright terms: Public domain W3C validator