Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvsubval 37609
Description: The value of the value of vector subtraction in the dual of a vector space. TODO: shorten with ldualvsub 37607? (Requires 𝐷 to oppr conversion.) (Contributed by NM, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsubval.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualvsubval.r 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsubval.s 𝑆 = (-g𝑅)
ldualvsubval.f 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsubval.d 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsubval.m = (-g𝐷)
ldualvsubval.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
ldualvsubval.g (𝜑𝐺𝐹)
ldualvsubval.h (𝜑𝐻𝐹)
ldualvsubval.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
ldualvsubval (𝜑 → ((𝐺 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑋)𝑆(𝐻𝑋)))

Proof of Theorem ldualvsubval
StepHypRef Expression
1 ldualvsubval.d . . . . 5 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2 ldualvsubval.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
31, 2lduallmod 37605 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
4 ldualvsubval.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5 eqid 2736 . . . . 5 (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6 ldualvsubval.g . . . . 5 (𝜑𝐺𝐹)
74, 1, 5, 2, 6ldualelvbase 37579 . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
8 ldualvsubval.h . . . . 5 (𝜑𝐻𝐹)
94, 1, 5, 2, 8ldualelvbase 37579 . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
10 eqid 2736 . . . . 5 (+g𝐷) = (+g𝐷)
11 ldualvsubval.m . . . . 5 = (-g𝐷)
12 eqid 2736 . . . . 5 (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13 eqid 2736 . . . . 5 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
14 eqid 2736 . . . . 5 (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(Scalar‘𝐷))
15 eqid 2736 . . . . 5 (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(Scalar‘𝐷))
165, 10, 11, 12, 13, 14, 15lmodvsubval2 20375 . . . 4 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 𝐻) = (𝐺(+g𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)))
173, 7, 9, 16syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → (𝐺 𝐻) = (𝐺(+g𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)))
1817fveq1d 6844 . 2 (𝜑 → ((𝐺 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺(+g𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻))‘𝑋))
19 ldualvsubval.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
20 ldualvsubval.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
21 eqid 2736 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
22 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2312lmodfgrp 20329 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ LMod → (Scalar‘𝐷) ∈ Grp)
243, 23syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ Grp)
2512lmodring 20328 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ LMod → (Scalar‘𝐷) ∈ Ring)
263, 25syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ Ring)
27 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
2827, 15ringidcl 19987 . . . . . . 7 ((Scalar‘𝐷) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
2926, 28syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
3027, 14grpinvcl 18797 . . . . . 6 (((Scalar‘𝐷) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))) → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
3124, 29, 30syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
3220, 22, 1, 12, 27, 2ldualsbase 37585 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘𝑅))
3331, 32eleqtrd 2840 . . . 4 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘𝑅))
344, 20, 22, 1, 13, 2, 33, 8ldualvscl 37591 . . 3 (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻) ∈ 𝐹)
35 ldualvsubval.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
3619, 20, 21, 4, 1, 10, 2, 6, 34, 35ldualvaddval 37583 . 2 (𝜑 → ((𝐺(+g𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻))‘𝑋) = ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋)))
37 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (invg𝑅) = (invg𝑅)
3820, 37, 1, 12, 14, 2ldualneg 37601 . . . . . . . 8 (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg𝑅))
39 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
4020, 39, 1, 12, 15, 2ldual1 37600 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r𝑅))
4138, 40fveq12d 6849 . . . . . . 7 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
4241oveq1d 7371 . . . . . 6 (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻) = (((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐷)𝐻))
4342fveq1d 6844 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋))
44 eqid 2736 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
4520lmodring 20328 . . . . . . . . 9 (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
462, 45syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
47 ringgrp 19967 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
4920, 22, 39lmod1cl 20347 . . . . . . . 8 (𝑊 ∈ LMod → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
502, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5122, 37grpinvcl 18797 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
5248, 50, 51syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
534, 19, 20, 22, 44, 1, 13, 2, 52, 8, 35ldualvsval 37590 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((𝐻𝑋)(.r𝑅)((invg𝑅)‘(1r𝑅))))
5420, 22, 19, 4lflcl 37516 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻𝐹𝑋𝑉) → (𝐻𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
552, 8, 35, 54syl3anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
5622, 44, 39, 37, 46, 55ringnegr 20017 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐻𝑋)(.r𝑅)((invg𝑅)‘(1r𝑅))) = ((invg𝑅)‘(𝐻𝑋)))
5743, 53, 563eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((invg𝑅)‘(𝐻𝑋)))
5857oveq2d 7372 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋)) = ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐻𝑋))))
5920, 22, 19, 4lflcl 37516 . . . . 5 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
602, 6, 35, 59syl3anc 1371 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
61 ldualvsubval.s . . . . 5 𝑆 = (-g𝑅)
6222, 21, 37, 61grpsubval 18795 . . . 4 (((𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐻𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐺𝑋)𝑆(𝐻𝑋)) = ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐻𝑋))))
6360, 55, 62syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝑋)𝑆(𝐻𝑋)) = ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐻𝑋))))
6458, 63eqtr4d 2779 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠𝐷)𝐻)‘𝑋)) = ((𝐺𝑋)𝑆(𝐻𝑋)))
6518, 36, 643eqtrd 2780 1 (𝜑 → ((𝐺 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺𝑋)𝑆(𝐻𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7356  Basecbs 17082  +gcplusg 17132  .rcmulr 17133  Scalarcsca 17135   ·𝑠 cvsca 17136  Grpcgrp 18747  invgcminusg 18748  -gcsg 18749  1rcur 19911  Ringcrg 19962  LModclmod 20320  LFnlclfn 37509  LDualcld 37575
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7671  ax-cnex 11106  ax-resscn 11107  ax-1cn 11108  ax-icn 11109  ax-addcl 11110  ax-addrcl 11111  ax-mulcl 11112  ax-mulrcl 11113  ax-mulcom 11114  ax-addass 11115  ax-mulass 11116  ax-distr 11117  ax-i2m1 11118  ax-1ne0 11119  ax-1rid 11120  ax-rnegex 11121  ax-rrecex 11122  ax-cnre 11123  ax-pre-lttri 11124  ax-pre-lttrn 11125  ax-pre-ltadd 11126  ax-pre-mulgt0 11127
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7312  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7616  df-om 7802  df-1st 7920  df-2nd 7921  df-tpos 8156  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8316  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-er 8647  df-map 8766  df-en 8883  df-dom 8884  df-sdom 8885  df-fin 8886  df-pnf 11190  df-mnf 11191  df-xr 11192  df-ltxr 11193  df-le 11194  df-sub 11386  df-neg 11387  df-nn 12153  df-2 12215  df-3 12216  df-4 12217  df-5 12218  df-6 12219  df-n0 12413  df-z 12499  df-uz 12763  df-fz 13424  df-struct 17018  df-sets 17035  df-slot 17053  df-ndx 17065  df-base 17083  df-plusg 17145  df-mulr 17146  df-sca 17148  df-vsca 17149  df-0g 17322  df-mgm 18496  df-sgrp 18545  df-mnd 18556  df-grp 18750  df-minusg 18751  df-sbg 18752  df-cmn 19562  df-abl 19563  df-mgp 19895  df-ur 19912  df-ring 19964  df-oppr 20047  df-lmod 20322  df-lfl 37510  df-ldual 37576
This theorem is referenced by:  lcfrlem1  39995
  Copyright terms: Public domain W3C validator