Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvsubval 38015
Description: The value of the value of vector subtraction in the dual of a vector space. TODO: shorten with ldualvsub 38013? (Requires 𝐷 to oppr conversion.) (Contributed by NM, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsubval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ldualvsubval.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
ldualvsubval.s 𝑆 = (-gβ€˜π‘…)
ldualvsubval.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
ldualvsubval.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
ldualvsubval.m βˆ’ = (-gβ€˜π·)
ldualvsubval.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
ldualvsubval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsubval.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
ldualvsubval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
ldualvsubval (πœ‘ β†’ ((𝐺 βˆ’ 𝐻)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)𝑆(π»β€˜π‘‹)))

Proof of Theorem ldualvsubval
StepHypRef Expression
1 ldualvsubval.d . . . . 5 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
2 ldualvsubval.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2lduallmod 38011 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ LMod)
4 ldualvsubval.f . . . . 5 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
5 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
6 ldualvsubval.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
74, 1, 5, 2, 6ldualelvbase 37985 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π·))
8 ldualvsubval.h . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
94, 1, 5, 2, 8ldualelvbase 37985 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜π·))
10 eqid 2732 . . . . 5 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
11 ldualvsubval.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π·)
12 eqid 2732 . . . . 5 (Scalarβ€˜π·) = (Scalarβ€˜π·)
13 eqid 2732 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π·) = ( ·𝑠 β€˜π·)
14 eqid 2732 . . . . 5 (invgβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))
15 eqid 2732 . . . . 5 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·))
165, 10, 11, 12, 13, 14, 15lmodvsubval2 20519 . . . 4 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐻) = (𝐺(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)))
173, 7, 9, 16syl3anc 1371 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐻) = (𝐺(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)))
1817fveq1d 6890 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 βˆ’ 𝐻)β€˜π‘‹) = ((𝐺(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻))β€˜π‘‹))
19 ldualvsubval.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
20 ldualvsubval.r . . 3 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
21 eqid 2732 . . 3 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
22 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2312lmodfgrp 20472 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π·) ∈ Grp)
243, 23syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π·) ∈ Grp)
2512lmodring 20471 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π·) ∈ Ring)
263, 25syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π·) ∈ Ring)
27 eqid 2732 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))
2827, 15ringidcl 20076 . . . . . . 7 ((Scalarβ€˜π·) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)))
2926, 28syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)))
3027, 14grpinvcl 18868 . . . . . 6 (((Scalarβ€˜π·) ∈ Grp ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)))
3124, 29, 30syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)))
3220, 22, 1, 12, 27, 2ldualsbase 37991 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (Baseβ€˜π‘…))
3331, 32eleqtrd 2835 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
344, 20, 22, 1, 13, 2, 33, 8ldualvscl 37997 . . 3 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻) ∈ 𝐹)
35 ldualvsubval.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3619, 20, 21, 4, 1, 10, 2, 6, 34, 35ldualvaddval 37989 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻))β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)β€˜π‘‹)))
37 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
3820, 37, 1, 12, 14, 2ldualneg 38007 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (invgβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (invgβ€˜π‘…))
39 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
4020, 39, 1, 12, 15, 2ldual1 38006 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (1rβ€˜π‘…))
4138, 40fveq12d 6895 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·))) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)))
4241oveq1d 7420 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻) = (((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻))
4342fveq1d 6890 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)β€˜π‘‹) = ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)β€˜π‘‹))
44 eqid 2732 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
4520lmodring 20471 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
462, 45syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
47 ringgrp 20054 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
4920, 22, 39lmod1cl 20491 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
502, 49syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5122, 37grpinvcl 18868 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5248, 50, 51syl2anc 584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
534, 19, 20, 22, 44, 1, 13, 2, 52, 8, 35ldualvsval 37996 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)β€˜π‘‹) = ((π»β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))))
5420, 22, 19, 4lflcl 37922 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
552, 8, 35, 54syl3anc 1371 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5622, 44, 39, 37, 46, 55ringnegr 20108 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π»β€˜π‘‹)))
5743, 53, 563eqtrd 2776 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)β€˜π‘‹) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π»β€˜π‘‹)))
5857oveq2d 7421 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)β€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(π»β€˜π‘‹))))
5920, 22, 19, 4lflcl 37922 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
602, 6, 35, 59syl3anc 1371 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
61 ldualvsubval.s . . . . 5 𝑆 = (-gβ€˜π‘…)
6222, 21, 37, 61grpsubval 18866 . . . 4 (((πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π»β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)𝑆(π»β€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(π»β€˜π‘‹))))
6360, 55, 62syl2anc 584 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)𝑆(π»β€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(π»β€˜π‘‹))))
6458, 63eqtr4d 2775 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)β€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)𝑆(π»β€˜π‘‹)))
6518, 36, 643eqtrd 2776 1 (πœ‘ β†’ ((𝐺 βˆ’ 𝐻)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)𝑆(π»β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  .rcmulr 17194  Scalarcsca 17196   ·𝑠 cvsca 17197  Grpcgrp 18815  invgcminusg 18816  -gcsg 18817  1rcur 19998  Ringcrg 20049  LModclmod 20463  LFnlclfn 37915  LDualcld 37981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-cmn 19644  df-abl 19645  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-oppr 20142  df-lmod 20465  df-lfl 37916  df-ldual 37982
This theorem is referenced by:  lcfrlem1  40401
  Copyright terms: Public domain W3C validator