Theorem ldualvsubval 38857

Description: The value of the value of vector subtraction in the dual of a vector space. TODO: shorten with ldualvsub 38855? (Requires 𝐷 to opp_r conversion.) (Contributed by NM, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsubval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualvsubval.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsubval.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝑅)
ldualvsubval.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsubval.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
ldualvsubval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsubval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsubval.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
ldualvsubval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsubval	⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)))

Proof of Theorem ldualvsubval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvsubval.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		ldualvsubval.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	lduallmod 38853	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
4		ldualvsubval.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6		ldualvsubval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
7	4, 1, 5, 2, 6	ldualelvbase 38827	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
8		ldualvsubval.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
9	4, 1, 5, 2, 8	ldualelvbase 38827	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
10		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
11		ldualvsubval.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐷)
12		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(Scalar‘𝐷))
15		eqid 2726	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(Scalar‘𝐷))
16	5, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lmodvsubval2 20895	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
17	3, 7, 9, 16	syl3anc 1368	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
18	17	fveq1d 6905	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))‘𝑋))
19		ldualvsubval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
20		ldualvsubval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
21		eqid 2726	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
22		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
23	12	lmodfgrp 20847	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ LMod → (Scalar‘𝐷) ∈ Grp)
24	3, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ Grp)
25	12	lmodring 20846	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ LMod → (Scalar‘𝐷) ∈ Ring)
26	3, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ Ring)
27		eqid 2726	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
28	27, 15	ringidcl 20247	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝐷) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
29	26, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
30	27, 14	grpinvcl 18984	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝐷) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))) → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
31	24, 29, 30	syl2anc 582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
32	20, 22, 1, 12, 27, 2	ldualsbase 38833	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘𝑅))
33	31, 32	eleqtrd 2828	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘𝑅))
34	4, 20, 22, 1, 13, 2, 33, 8	ldualvscl 38839	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ∈ 𝐹)
35		ldualvsubval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
36	19, 20, 21, 4, 1, 10, 2, 6, 34, 35	ldualvaddval 38831	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋)))
37		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
38	20, 37, 1, 12, 14, 2	ldualneg 38849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘𝑅))
39		eqid 2726	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
40	20, 39, 1, 12, 15, 2	ldual1 38848	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘𝑅))
41	38, 40	fveq12d 6910	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
42	41	oveq1d 7441	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) = (((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))
43	42	fveq1d 6905	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋))
44		eqid 2726	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
45	20	lmodring 20846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
46	2, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
47		ringgrp 20223	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
49	20, 22, 39	lmod1cl 20867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
50	2, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
51	22, 37	grpinvcl 18984	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
52	48, 50, 51	syl2anc 582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
53	4, 19, 20, 22, 44, 1, 13, 2, 52, 8, 35	ldualvsval 38838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((𝐻‘𝑋)(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))))
54	20, 22, 19, 4	lflcl 38764	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐻‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
55	2, 8, 35, 54	syl3anc 1368	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
56	22, 44, 39, 37, 46, 55	ringnegr 20284	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑋)(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))) = ((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋)))
57	43, 53, 56	3eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋)))
58	57	oveq2d 7442	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋))))
59	20, 22, 19, 4	lflcl 38764	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
60	2, 6, 35, 59	syl3anc 1368	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
61		ldualvsubval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝑅)
62	22, 21, 37, 61	grpsubval 18982	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋))))
63	60, 55, 62	syl2anc 582	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋))))
64	58, 63	eqtr4d 2769	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)))
65	18, 36, 64	3eqtrd 2770	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ‘cfv 6556  (class class class)co 7426  Basecbs 17215  +_gcplusg 17268  ._rcmulr 17269  Scalarcsca 17271   ·_𝑠 cvsca 17272  Grpcgrp 18930  inv_gcminusg 18931  -_gcsg 18932  1_rcur 20166  Ringcrg 20218  LModclmod 20838  LFnlclfn 38757  LDualcld 38823

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-cnex 11216  ax-resscn 11217  ax-1cn 11218  ax-icn 11219  ax-addcl 11220  ax-addrcl 11221  ax-mulcl 11222  ax-mulrcl 11223  ax-mulcom 11224  ax-addass 11225  ax-mulass 11226  ax-distr 11227  ax-i2m1 11228  ax-1ne0 11229  ax-1rid 11230  ax-rnegex 11231  ax-rrecex 11232  ax-cnre 11233  ax-pre-lttri 11234  ax-pre-lttrn 11235  ax-pre-ltadd 11236  ax-pre-mulgt0 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4916  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7692  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-tpos 8243  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-er 8736  df-map 8859  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11302  df-mnf 11303  df-xr 11304  df-ltxr 11305  df-le 11306  df-sub 11498  df-neg 11499  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12613  df-uz 12877  df-fz 13541  df-struct 17151  df-sets 17168  df-slot 17186  df-ndx 17198  df-base 17216  df-plusg 17281  df-mulr 17282  df-sca 17284  df-vsca 17285  df-0g 17458  df-mgm 18635  df-sgrp 18714  df-mnd 18730  df-grp 18933  df-minusg 18934  df-sbg 18935  df-cmn 19782  df-abl 19783  df-mgp 20120  df-rng 20138  df-ur 20167  df-ring 20220  df-oppr 20318  df-lmod 20840  df-lfl 38758  df-ldual 38824

This theorem is referenced by:  lcfrlem1  41243