Theorem ldualvsubval 40182

Description: The value of the value of vector subtraction in the dual of a vector space. TODO: shorten with ldualvsub 40180? (Requires 𝐷 to opp_r conversion.) (Contributed by NM, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsubval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualvsubval.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsubval.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝑅)
ldualvsubval.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsubval.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
ldualvsubval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsubval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsubval.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
ldualvsubval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsubval	⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)))

Proof of Theorem ldualvsubval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvsubval.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		ldualvsubval.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	lduallmod 40178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
4		ldualvsubval.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6		ldualvsubval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
7	4, 1, 5, 2, 6	ldualelvbase 40152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
8		ldualvsubval.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
9	4, 1, 5, 2, 8	ldualelvbase 40152	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
10		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
11		ldualvsubval.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐷)
12		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(Scalar‘𝐷))
15		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(Scalar‘𝐷))
16	5, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lmodvsubval2 21172	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
17	3, 7, 9, 16	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
18	17	fveq1d 6879	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))‘𝑋))
19		ldualvsubval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
20		ldualvsubval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
21		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
22		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
23	12	lmodfgrp 21124	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ LMod → (Scalar‘𝐷) ∈ Grp)
24	3, 23	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ Grp)
25	12	lmodring 21123	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ LMod → (Scalar‘𝐷) ∈ Ring)
26	3, 25	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ Ring)
27		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
28	27, 15	ringidcl 20474	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝐷) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
29	26, 28	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
30	27, 14	grpinvcl 19178	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝐷) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))) → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
31	24, 29, 30	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
32	20, 22, 1, 12, 27, 2	ldualsbase 40158	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘𝑅))
33	31, 32	eleqtrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘𝑅))
34	4, 20, 22, 1, 13, 2, 33, 8	ldualvscl 40164	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ∈ 𝐹)
35		ldualvsubval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
36	19, 20, 21, 4, 1, 10, 2, 6, 34, 35	ldualvaddval 40156	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋)))
37		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
38	20, 37, 1, 12, 14, 2	ldualneg 40174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘𝑅))
39		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
40	20, 39, 1, 12, 15, 2	ldual1 40173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘𝑅))
41	38, 40	fveq12d 6884	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
42	41	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) = (((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))
43	42	fveq1d 6879	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋))
44		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
45	20	lmodring 21123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
46	2, 45	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
47		ringgrp 20444	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
48	46, 47	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
49	20, 22, 39	lmod1cl 21144	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
50	2, 49	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
51	22, 37	grpinvcl 19178	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
52	48, 50, 51	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
53	4, 19, 20, 22, 44, 1, 13, 2, 52, 8, 35	ldualvsval 40163	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((𝐻‘𝑋)(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))))
54	20, 22, 19, 4	lflcl 40089	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐻‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
55	2, 8, 35, 54	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
56	22, 44, 39, 37, 46, 55	ringnegr 20514	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑋)(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))) = ((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋)))
57	43, 53, 56	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋)))
58	57	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋))))
59	20, 22, 19, 4	lflcl 40089	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
60	2, 6, 35, 59	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
61		ldualvsubval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝑅)
62	22, 21, 37, 61	grpsubval 19176	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋))))
63	60, 55, 62	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋))))
64	58, 63	eqtr4d 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)))
65	18, 36, 64	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  +_gcplusg 17408  ._rcmulr 17409  Scalarcsca 17411   ·_𝑠 cvsca 17412  Grpcgrp 19124  inv_gcminusg 19125  -_gcsg 19126  1_rcur 20387  Ringcrg 20439  LModclmod 21115  LFnlclfn 40082  LDualcld 40148

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-0g 17592  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-oppr 20547  df-lmod 21117  df-lfl 40083  df-ldual 40149

This theorem is used by:  lcfrlem1  42567