Theorem ldualvsubval 39745

Description: The value of the value of vector subtraction in the dual of a vector space. TODO: shorten with ldualvsub 39743? (Requires 𝐷 to opp_r conversion.) (Contributed by NM, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsubval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualvsubval.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsubval.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝑅)
ldualvsubval.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsubval.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
ldualvsubval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsubval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsubval.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
ldualvsubval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsubval	⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)))

Proof of Theorem ldualvsubval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvsubval.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		ldualvsubval.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	lduallmod 39741	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
4		ldualvsubval.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6		ldualvsubval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
7	4, 1, 5, 2, 6	ldualelvbase 39715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
8		ldualvsubval.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
9	4, 1, 5, 2, 8	ldualelvbase 39715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
10		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
11		ldualvsubval.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐷)
12		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(Scalar‘𝐷))
15		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(Scalar‘𝐷))
16	5, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lmodvsubval2 20964	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
17	3, 7, 9, 16	syl3anc 1389	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
18	17	fveq1d 6865	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))‘𝑋))
19		ldualvsubval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
20		ldualvsubval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
21		eqid 2761	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
22		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
23	12	lmodfgrp 20916	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ LMod → (Scalar‘𝐷) ∈ Grp)
24	3, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ Grp)
25	12	lmodring 20915	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ LMod → (Scalar‘𝐷) ∈ Ring)
26	3, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ Ring)
27		eqid 2761	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
28	27, 15	ringidcl 20294	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝐷) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
29	26, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
30	27, 14	grpinvcl 19012	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝐷) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))) → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
31	24, 29, 30	syl2anc 593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
32	20, 22, 1, 12, 27, 2	ldualsbase 39721	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘𝑅))
33	31, 32	eleqtrd 2863	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘𝑅))
34	4, 20, 22, 1, 13, 2, 33, 8	ldualvscl 39727	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ∈ 𝐹)
35		ldualvsubval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
36	19, 20, 21, 4, 1, 10, 2, 6, 34, 35	ldualvaddval 39719	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋)))
37		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
38	20, 37, 1, 12, 14, 2	ldualneg 39737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘𝑅))
39		eqid 2761	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
40	20, 39, 1, 12, 15, 2	ldual1 39736	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘𝑅))
41	38, 40	fveq12d 6870	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
42	41	oveq1d 7407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) = (((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))
43	42	fveq1d 6865	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋))
44		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
45	20	lmodring 20915	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
46	2, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
47		ringgrp 20267	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
49	20, 22, 39	lmod1cl 20936	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
50	2, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
51	22, 37	grpinvcl 19012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
52	48, 50, 51	syl2anc 593	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
53	4, 19, 20, 22, 44, 1, 13, 2, 52, 8, 35	ldualvsval 39726	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((𝐻‘𝑋)(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))))
54	20, 22, 19, 4	lflcl 39652	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐻‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
55	2, 8, 35, 54	syl3anc 1389	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
56	22, 44, 39, 37, 46, 55	ringnegr 20332	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑋)(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))) = ((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋)))
57	43, 53, 56	3eqtrd 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋)))
58	57	oveq2d 7408	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋))))
59	20, 22, 19, 4	lflcl 39652	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
60	2, 6, 35, 59	syl3anc 1389	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
61		ldualvsubval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝑅)
62	22, 21, 37, 61	grpsubval 19010	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋))))
63	60, 55, 62	syl2anc 593	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋))))
64	58, 63	eqtr4d 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)))
65	18, 36, 64	3eqtrd 2800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  Basecbs 17228  +_gcplusg 17269  ._rcmulr 17270  Scalarcsca 17272   ·_𝑠 cvsca 17273  Grpcgrp 18958  inv_gcminusg 18959  -_gcsg 18960  1_rcur 20210  Ringcrg 20262  LModclmod 20907  LFnlclfn 39645  LDualcld 39711

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-tpos 8201  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-n0 12479  df-z 12566  df-uz 12837  df-fz 13510  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-0g 17453  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-grp 18961  df-minusg 18962  df-sbg 18963  df-cmn 19805  df-abl 19806  df-mgp 20170  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20365  df-lmod 20909  df-lfl 39646  df-ldual 39712

This theorem is referenced by:  lcfrlem1  42130