Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  ldualvsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ldualvsubval 37622
Description: The value of the value of vector subtraction in the dual of a vector space. TODO: shorten with ldualvsub 37620? (Requires 𝐷 to oppr conversion.) (Contributed by NM, 26-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ldualvsubval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
ldualvsubval.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
ldualvsubval.s 𝑆 = (-gβ€˜π‘…)
ldualvsubval.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
ldualvsubval.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
ldualvsubval.m βˆ’ = (-gβ€˜π·)
ldualvsubval.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
ldualvsubval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsubval.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
ldualvsubval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
ldualvsubval (πœ‘ β†’ ((𝐺 βˆ’ 𝐻)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)𝑆(π»β€˜π‘‹)))

Proof of Theorem ldualvsubval
StepHypRef Expression
1 ldualvsubval.d . . . . 5 𝐷 = (LDualβ€˜π‘Š)
2 ldualvsubval.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
31, 2lduallmod 37618 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ LMod)
4 ldualvsubval.f . . . . 5 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘Š)
5 eqid 2737 . . . . 5 (Baseβ€˜π·) = (Baseβ€˜π·)
6 ldualvsubval.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
74, 1, 5, 2, 6ldualelvbase 37592 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π·))
8 ldualvsubval.h . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ 𝐹)
94, 1, 5, 2, 8ldualelvbase 37592 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜π·))
10 eqid 2737 . . . . 5 (+gβ€˜π·) = (+gβ€˜π·)
11 ldualvsubval.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜π·)
12 eqid 2737 . . . . 5 (Scalarβ€˜π·) = (Scalarβ€˜π·)
13 eqid 2737 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π·) = ( ·𝑠 β€˜π·)
14 eqid 2737 . . . . 5 (invgβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))
15 eqid 2737 . . . . 5 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·))
165, 10, 11, 12, 13, 14, 15lmodvsubval2 20380 . . . 4 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Baseβ€˜π·) ∧ 𝐻 ∈ (Baseβ€˜π·)) β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐻) = (𝐺(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)))
173, 7, 9, 16syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 βˆ’ 𝐻) = (𝐺(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)))
1817fveq1d 6845 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 βˆ’ 𝐻)β€˜π‘‹) = ((𝐺(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻))β€˜π‘‹))
19 ldualvsubval.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
20 ldualvsubval.r . . 3 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘Š)
21 eqid 2737 . . 3 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
22 eqid 2737 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2312lmodfgrp 20334 . . . . . . 7 (𝐷 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π·) ∈ Grp)
243, 23syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π·) ∈ Grp)
2512lmodring 20333 . . . . . . . 8 (𝐷 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π·) ∈ Ring)
263, 25syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜π·) ∈ Ring)
27 eqid 2737 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))
2827, 15ringidcl 19990 . . . . . . 7 ((Scalarβ€˜π·) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)))
2926, 28syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)))
3027, 14grpinvcl 18799 . . . . . 6 (((Scalarβ€˜π·) ∈ Grp ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·))) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)))
3124, 29, 30syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)))
3220, 22, 1, 12, 27, 2ldualsbase 37598 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (Baseβ€˜π‘…))
3331, 32eleqtrd 2840 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
344, 20, 22, 1, 13, 2, 33, 8ldualvscl 37604 . . 3 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻) ∈ 𝐹)
35 ldualvsubval.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
3619, 20, 21, 4, 1, 10, 2, 6, 34, 35ldualvaddval 37596 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺(+gβ€˜π·)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻))β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)β€˜π‘‹)))
37 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
3820, 37, 1, 12, 14, 2ldualneg 37614 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (invgβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (invgβ€˜π‘…))
39 eqid 2737 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
4020, 39, 1, 12, 15, 2ldual1 37613 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)) = (1rβ€˜π‘…))
4138, 40fveq12d 6850 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·))) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)))
4241oveq1d 7373 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻) = (((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻))
4342fveq1d 6845 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)β€˜π‘‹) = ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)β€˜π‘‹))
44 eqid 2737 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
4520lmodring 20333 . . . . . . . . 9 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
462, 45syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
47 ringgrp 19970 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
4920, 22, 39lmod1cl 20352 . . . . . . . 8 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
502, 49syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5122, 37grpinvcl 18799 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5248, 50, 51syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
534, 19, 20, 22, 44, 1, 13, 2, 52, 8, 35ldualvsval 37603 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)β€˜π‘‹) = ((π»β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))))
5420, 22, 19, 4lflcl 37529 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π»β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
552, 8, 35, 54syl3anc 1372 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5622, 44, 39, 37, 46, 55ringnegr 20020 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π»β€˜π‘‹)))
5743, 53, 563eqtrd 2781 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)β€˜π‘‹) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(π»β€˜π‘‹)))
5857oveq2d 7374 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)β€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(π»β€˜π‘‹))))
5920, 22, 19, 4lflcl 37529 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
602, 6, 35, 59syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
61 ldualvsubval.s . . . . 5 𝑆 = (-gβ€˜π‘…)
6222, 21, 37, 61grpsubval 18797 . . . 4 (((πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (π»β€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)𝑆(π»β€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(π»β€˜π‘‹))))
6360, 55, 62syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)𝑆(π»β€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(π»β€˜π‘‹))))
6458, 63eqtr4d 2780 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((((invgβ€˜(Scalarβ€˜π·))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π·)))( ·𝑠 β€˜π·)𝐻)β€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹)𝑆(π»β€˜π‘‹)))
6518, 36, 643eqtrd 2781 1 (πœ‘ β†’ ((𝐺 βˆ’ 𝐻)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)𝑆(π»β€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  +gcplusg 17134  .rcmulr 17135  Scalarcsca 17137   ·𝑠 cvsca 17138  Grpcgrp 18749  invgcminusg 18750  -gcsg 18751  1rcur 19914  Ringcrg 19965  LModclmod 20325  LFnlclfn 37522  LDualcld 37588
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11108  ax-resscn 11109  ax-1cn 11110  ax-icn 11111  ax-addcl 11112  ax-addrcl 11113  ax-mulcl 11114  ax-mulrcl 11115  ax-mulcom 11116  ax-addass 11117  ax-mulass 11118  ax-distr 11119  ax-i2m1 11120  ax-1ne0 11121  ax-1rid 11122  ax-rnegex 11123  ax-rrecex 11124  ax-cnre 11125  ax-pre-lttri 11126  ax-pre-lttrn 11127  ax-pre-ltadd 11128  ax-pre-mulgt0 11129
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7618  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-1o 8413  df-er 8649  df-map 8768  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196  df-sub 11388  df-neg 11389  df-nn 12155  df-2 12217  df-3 12218  df-4 12219  df-5 12220  df-6 12221  df-n0 12415  df-z 12501  df-uz 12765  df-fz 13426  df-struct 17020  df-sets 17037  df-slot 17055  df-ndx 17067  df-base 17085  df-plusg 17147  df-mulr 17148  df-sca 17150  df-vsca 17151  df-0g 17324  df-mgm 18498  df-sgrp 18547  df-mnd 18558  df-grp 18752  df-minusg 18753  df-sbg 18754  df-cmn 19565  df-abl 19566  df-mgp 19898  df-ur 19915  df-ring 19967  df-oppr 20050  df-lmod 20327  df-lfl 37523  df-ldual 37589
This theorem is referenced by:  lcfrlem1  40008
  Copyright terms: Public domain W3C validator