Theorem ldualvsubval 39158

Description: The value of the value of vector subtraction in the dual of a vector space. TODO: shorten with ldualvsub 39156? (Requires 𝐷 to opp_r conversion.) (Contributed by NM, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsubval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualvsubval.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsubval.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝑅)
ldualvsubval.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsubval.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
ldualvsubval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsubval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsubval.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
ldualvsubval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsubval	⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)))

Proof of Theorem ldualvsubval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvsubval.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		ldualvsubval.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	lduallmod 39154	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
4		ldualvsubval.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6		ldualvsubval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
7	4, 1, 5, 2, 6	ldualelvbase 39128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
8		ldualvsubval.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
9	4, 1, 5, 2, 8	ldualelvbase 39128	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
11		ldualvsubval.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐷)
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(Scalar‘𝐷))
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(Scalar‘𝐷))
16	5, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lmodvsubval2 20915	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
17	3, 7, 9, 16	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
18	17	fveq1d 6908	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))‘𝑋))
19		ldualvsubval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
20		ldualvsubval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
21		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
22		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
23	12	lmodfgrp 20867	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ LMod → (Scalar‘𝐷) ∈ Grp)
24	3, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ Grp)
25	12	lmodring 20866	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ LMod → (Scalar‘𝐷) ∈ Ring)
26	3, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ Ring)
27		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
28	27, 15	ringidcl 20262	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝐷) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
29	26, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
30	27, 14	grpinvcl 19005	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝐷) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))) → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
31	24, 29, 30	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
32	20, 22, 1, 12, 27, 2	ldualsbase 39134	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘𝑅))
33	31, 32	eleqtrd 2843	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘𝑅))
34	4, 20, 22, 1, 13, 2, 33, 8	ldualvscl 39140	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ∈ 𝐹)
35		ldualvsubval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
36	19, 20, 21, 4, 1, 10, 2, 6, 34, 35	ldualvaddval 39132	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋)))
37		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
38	20, 37, 1, 12, 14, 2	ldualneg 39150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘𝑅))
39		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
40	20, 39, 1, 12, 15, 2	ldual1 39149	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘𝑅))
41	38, 40	fveq12d 6913	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
42	41	oveq1d 7446	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) = (((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))
43	42	fveq1d 6908	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋))
44		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
45	20	lmodring 20866	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
46	2, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
47		ringgrp 20235	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
49	20, 22, 39	lmod1cl 20887	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
50	2, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
51	22, 37	grpinvcl 19005	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
52	48, 50, 51	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
53	4, 19, 20, 22, 44, 1, 13, 2, 52, 8, 35	ldualvsval 39139	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((𝐻‘𝑋)(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))))
54	20, 22, 19, 4	lflcl 39065	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐻‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
55	2, 8, 35, 54	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
56	22, 44, 39, 37, 46, 55	ringnegr 20300	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑋)(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))) = ((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋)))
57	43, 53, 56	3eqtrd 2781	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋)))
58	57	oveq2d 7447	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋))))
59	20, 22, 19, 4	lflcl 39065	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
60	2, 6, 35, 59	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
61		ldualvsubval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝑅)
62	22, 21, 37, 61	grpsubval 19003	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋))))
63	60, 55, 62	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋))))
64	58, 63	eqtr4d 2780	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)))
65	18, 36, 64	3eqtrd 2781	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  +_gcplusg 17297  ._rcmulr 17298  Scalarcsca 17300   ·_𝑠 cvsca 17301  Grpcgrp 18951  inv_gcminusg 18952  -_gcsg 18953  1_rcur 20178  Ringcrg 20230  LModclmod 20858  LFnlclfn 39058  LDualcld 39124

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-tpos 8251  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-fz 13548  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-minusg 18955  df-sbg 18956  df-cmn 19800  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-ur 20179  df-ring 20232  df-oppr 20334  df-lmod 20860  df-lfl 39059  df-ldual 39125

This theorem is referenced by:  lcfrlem1  41544