Theorem ldualvsubval 39617

Description: The value of the value of vector subtraction in the dual of a vector space. TODO: shorten with ldualvsub 39615? (Requires 𝐷 to opp_r conversion.) (Contributed by NM, 26-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvsubval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
ldualvsubval.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvsubval.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝑅)
ldualvsubval.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvsubval.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐷)
ldualvsubval.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
ldualvsubval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvsubval.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
ldualvsubval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ldualvsubval	⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)))

Proof of Theorem ldualvsubval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvsubval.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
2		ldualvsubval.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
3	1, 2	lduallmod 39613	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
4		ldualvsubval.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐷) = (Base‘𝐷)
6		ldualvsubval.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
7	4, 1, 5, 2, 6	ldualelvbase 39587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ (Base‘𝐷))
8		ldualvsubval.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
9	4, 1, 5, 2, 8	ldualelvbase 39587	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ (Base‘𝐷))
10		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐷) = (+g‘𝐷)
11		ldualvsubval.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐷)
12		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐷) = (Scalar‘𝐷)
13		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
14		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘(Scalar‘𝐷))
15		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘(Scalar‘𝐷))
16	5, 10, 11, 12, 13, 14, 15	lmodvsubval2 20903	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐷) ∧ 𝐻 ∈ (Base‘𝐷)) → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
17	3, 7, 9, 16	syl3anc 1374	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 − 𝐻) = (𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)))
18	17	fveq1d 6836	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))‘𝑋))
19		ldualvsubval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
20		ldualvsubval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
21		eqid 2737	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
22		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
23	12	lmodfgrp 20855	. . . . . . 7 ⊢ (𝐷 ∈ LMod → (Scalar‘𝐷) ∈ Grp)
24	3, 23	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ Grp)
25	12	lmodring 20854	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐷 ∈ LMod → (Scalar‘𝐷) ∈ Ring)
26	3, 25	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐷) ∈ Ring)
27		eqid 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘(Scalar‘𝐷))
28	27, 15	ringidcl 20237	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝐷) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
29	26, 28	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
30	27, 14	grpinvcl 18954	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝐷) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝐷)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷))) → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
31	24, 29, 30	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐷)))
32	20, 22, 1, 12, 27, 2	ldualsbase 39593	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐷)) = (Base‘𝑅))
33	31, 32	eleqtrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) ∈ (Base‘𝑅))
34	4, 20, 22, 1, 13, 2, 33, 8	ldualvscl 39599	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) ∈ 𝐹)
35		ldualvsubval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
36	19, 20, 21, 4, 1, 10, 2, 6, 34, 35	ldualvaddval 39591	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺(+g‘𝐷)(((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋)))
37		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
38	20, 37, 1, 12, 14, 2	ldualneg 39609	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐷)) = (invg‘𝑅))
39		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
40	20, 39, 1, 12, 15, 2	ldual1 39608	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐷)) = (1r‘𝑅))
41	38, 40	fveq12d 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷))) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
42	41	oveq1d 7375	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻) = (((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻))
43	42	fveq1d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋))
44		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
45	20	lmodring 20854	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
46	2, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
47		ringgrp 20210	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
49	20, 22, 39	lmod1cl 20875	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
50	2, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
51	22, 37	grpinvcl 18954	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
52	48, 50, 51	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
53	4, 19, 20, 22, 44, 1, 13, 2, 52, 8, 35	ldualvsval 39598	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((𝐻‘𝑋)(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))))
54	20, 22, 19, 4	lflcl 39524	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐻 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐻‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
55	2, 8, 35, 54	syl3anc 1374	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
56	22, 44, 39, 37, 46, 55	ringnegr 20275	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑋)(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))) = ((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋)))
57	43, 53, 56	3eqtrd 2776	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋) = ((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋)))
58	57	oveq2d 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋))))
59	20, 22, 19, 4	lflcl 39524	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
60	2, 6, 35, 59	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
61		ldualvsubval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝑅)
62	22, 21, 37, 61	grpsubval 18952	. . . 4 ⊢ (((𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐻‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋))))
63	60, 55, 62	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐻‘𝑋))))
64	58, 63	eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐷))‘(1r‘(Scalar‘𝐷)))( ·𝑠 ‘𝐷)𝐻)‘𝑋)) = ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)))
65	18, 36, 64	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 − 𝐻)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)𝑆(𝐻‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  ._rcmulr 17212  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  Grpcgrp 18900  inv_gcminusg 18901  -_gcsg 18902  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  LModclmod 20846  LFnlclfn 39517  LDualcld 39583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-of 7624  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-tpos 8169  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-sbg 18905  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-lmod 20848  df-lfl 39518  df-ldual 39584

This theorem is referenced by:  lcfrlem1  42002