Theorem lincresunit3lem3 48965

Description: Lemma 3 for lincresunit3 48972. (Contributed by AV, 18-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit3lem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit3lem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit3lem3.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit3lem3.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit3lem3.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincresunit3lem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lincresunit3lem3	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem lincresunit3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
2	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
3		lincresunit3lem3.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4		lincresunit3lem3.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
5		lincresunit3lem3.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
6		eqid 2739	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	3, 4, 5, 6	lmodvs1 20880	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
9	4	lmodring 20858	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
10	9	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
12		lincresunit3lem3.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
13		lincresunit3lem3.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
14	12, 13	unitnegcl 20368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈)
15	9, 14	sylan 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈)
16	15	3ad2antl1 1192	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈)
17	11, 16	jca 516	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈))
18		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
19		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
20	12, 18, 19, 6	unitlinv 20364	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
22	21	eqcomd 2745	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (1r‘𝑅) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)))
23	22	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋))
24	8, 23	eqtr3d 2776	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑋 = ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋))
25	24	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → 𝑋 = ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋))
26		simpl1 1198	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑀 ∈ LMod)
27		lincresunit3lem3.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
28	12, 18, 27	ringinvcl 20363	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸)
29	17, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸)
30	4	lmodfgrp 20859	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
31	30	3ad2ant1 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
32	27, 12	unitcl 20346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ∈ 𝐸)
33	27, 13	grpinvcl 18954	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸)
34	31, 32, 33	syl2an 602	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸)
35		simpl2 1199	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
36	29, 34, 35	3jca 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
37	26, 36	jca 516	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
38	37	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
39	3, 4, 5, 27, 19	lmodvsass 20877	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑋)))
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑋)))
41		oveq2 7364	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
42	41	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
43	26	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → 𝑀 ∈ LMod)
44		simpl3 1200	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝐵)
45	29, 34, 44	3jca 1134	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
46	45	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
47	43, 46	jca 516	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
48	3, 4, 5, 27, 19	lmodvsass 20877	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
49	47, 48	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
50	17	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈))
51	50, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
52	51	oveq1d 7371	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
53	49, 52	eqtr3d 2776	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
54	40, 42, 53	3eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
55		3simpb 1155	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
56	55	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
57	56	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
58	3, 4, 5, 6	lmodvs1 20880	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
59	57, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
60	25, 54, 59	3eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
61	60	ex 413	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
62		oveq2 7364	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌))
63	61, 62	impbid1 226	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  ._rcmulr 17212  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  Grpcgrp 18900  inv_gcminusg 18901  1_rcur 20153  Ringcrg 20205  Unitcui 20326  inv_rcinvr 20358  LModclmod 20850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-tpos 8166  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-minusg 18904  df-cmn 19748  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-ur 20154  df-ring 20207  df-oppr 20308  df-dvdsr 20328  df-unit 20329  df-invr 20359  df-lmod 20852

This theorem is referenced by:  lincresunit3  48972