Theorem lincresunit3lem3 48950

Description: Lemma 3 for lincresunit3 48957. (Contributed by AV, 18-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit3lem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit3lem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit3lem3.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit3lem3.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit3lem3.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincresunit3lem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lincresunit3lem3	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem lincresunit3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1149	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
2	1	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
3		lincresunit3lem3.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4		lincresunit3lem3.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
5		lincresunit3lem3.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
6		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	3, 4, 5, 6	lmodvs1 20885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
9	4	lmodring 20863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
10	9	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
11	10	adantr 480	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
12		lincresunit3lem3.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
13		lincresunit3lem3.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
14	12, 13	unitnegcl 20377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈)
15	9, 14	sylan 581	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈)
16	15	3ad2antl1 1187	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈)
17	11, 16	jca 511	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈))
18		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
19		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
20	12, 18, 19, 6	unitlinv 20373	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
22	21	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (1r‘𝑅) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)))
23	22	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋))
24	8, 23	eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑋 = ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋))
25	24	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → 𝑋 = ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋))
26		simpl1 1193	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑀 ∈ LMod)
27		lincresunit3lem3.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
28	12, 18, 27	ringinvcl 20372	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸)
29	17, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸)
30	4	lmodfgrp 20864	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
31	30	3ad2ant1 1134	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
32	27, 12	unitcl 20355	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ∈ 𝐸)
33	27, 13	grpinvcl 18963	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸)
34	31, 32, 33	syl2an 597	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸)
35		simpl2 1194	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
36	29, 34, 35	3jca 1129	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
37	26, 36	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
38	37	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
39	3, 4, 5, 27, 19	lmodvsass 20882	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑋)))
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑋)))
41		oveq2 7375	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
42	41	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
43	26	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → 𝑀 ∈ LMod)
44		simpl3 1195	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝐵)
45	29, 34, 44	3jca 1129	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
46	45	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
47	43, 46	jca 511	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
48	3, 4, 5, 27, 19	lmodvsass 20882	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
49	47, 48	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
50	17	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈))
51	50, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
52	51	oveq1d 7382	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
53	49, 52	eqtr3d 2773	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
54	40, 42, 53	3eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
55		3simpb 1150	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
56	55	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
57	56	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
58	3, 4, 5, 6	lmodvs1 20885	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
59	57, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
60	25, 54, 59	3eqtrd 2775	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
61	60	ex 412	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
62		oveq2 7375	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌))
63	61, 62	impbid1 225	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  ._rcmulr 17221  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  Grpcgrp 18909  inv_gcminusg 18910  1_rcur 20162  Ringcrg 20214  Unitcui 20335  inv_rcinvr 20367  LModclmod 20855

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-tpos 8176  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-minusg 18913  df-cmn 19757  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-ur 20163  df-ring 20216  df-oppr 20317  df-dvdsr 20337  df-unit 20338  df-invr 20368  df-lmod 20857

This theorem is referenced by:  lincresunit3  48957