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Theorem lincresunit3lem3 47244
Description: Lemma 3 for lincresunit3 47251. (Contributed by AV, 18-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit3lem3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincresunit3lem3.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincresunit3lem3.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
lincresunit3lem3.u π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
lincresunit3lem3.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
lincresunit3lem3.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
Assertion
Ref Expression
lincresunit3lem3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))

Proof of Theorem lincresunit3lem3
StepHypRef Expression
1 3simpa 1146 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
21adantr 479 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
3 lincresunit3lem3.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
4 lincresunit3lem3.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
5 lincresunit3lem3.t . . . . . . . 8 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘€)
6 eqid 2730 . . . . . . . 8 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
73, 4, 5, 6lmodvs1 20646 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋) = 𝑋)
82, 7syl 17 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋) = 𝑋)
94lmodring 20624 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1093ad2ant1 1131 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
1110adantr 479 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
12 lincresunit3lem3.u . . . . . . . . . . . . 13 π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…)
13 lincresunit3lem3.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
1412, 13unitnegcl 20290 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ π‘ˆ)
159, 14sylan 578 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ π‘ˆ)
16153ad2antl1 1183 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ π‘ˆ)
1711, 16jca 510 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘β€˜π΄) ∈ π‘ˆ))
18 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (invrβ€˜π‘…) = (invrβ€˜π‘…)
19 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
2012, 18, 19, 6unitlinv 20286 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘β€˜π΄) ∈ π‘ˆ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘…))
2117, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘…))
2221eqcomd 2736 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (1rβ€˜π‘…) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)))
2322oveq1d 7428 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· 𝑋) = ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) Β· 𝑋))
248, 23eqtr3d 2772 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 = ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) Β· 𝑋))
2524adantr 479 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 = ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) Β· 𝑋))
26 simpl1 1189 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
27 lincresunit3lem3.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
2812, 18, 27ringinvcl 20285 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘β€˜π΄) ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐸)
2917, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ ((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐸)
304lmodfgrp 20625 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Grp)
31303ad2ant1 1131 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
3227, 12unitcl 20268 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ π‘ˆ β†’ 𝐴 ∈ 𝐸)
3327, 13grpinvcl 18910 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐸) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝐸)
3431, 32, 33syl2an 594 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝐸)
35 simpl2 1190 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3629, 34, 353jca 1126 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐸 ∧ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡))
3726, 36jca 510 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐸 ∧ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)))
3837adantr 479 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐸 ∧ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)))
393, 4, 5, 27, 19lmodvsass 20643 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐸 ∧ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) Β· 𝑋) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄)) Β· ((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋)))
4038, 39syl 17 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) Β· 𝑋) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄)) Β· ((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋)))
41 oveq2 7421 . . . . . 6 (((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄)) Β· ((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄)) Β· ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
4241adantl 480 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄)) Β· ((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋)) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄)) Β· ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
4326adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) β†’ 𝑀 ∈ LMod)
44 simpl3 1191 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4529, 34, 443jca 1126 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐸 ∧ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡))
4645adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐸 ∧ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡))
4743, 46jca 510 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐸 ∧ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)))
483, 4, 5, 27, 19lmodvsass 20643 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄)) ∈ 𝐸 ∧ (π‘β€˜π΄) ∈ 𝐸 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) Β· π‘Œ) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄)) Β· ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
4947, 48syl 17 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) Β· π‘Œ) = (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄)) Β· ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)))
5017adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) β†’ (𝑅 ∈ Ring ∧ (π‘β€˜π΄) ∈ π‘ˆ))
5150, 20syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) = (1rβ€˜π‘…))
5251oveq1d 7428 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) Β· π‘Œ) = ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ))
5349, 52eqtr3d 2772 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) β†’ (((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄)) Β· ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) = ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ))
5440, 42, 533eqtrd 2774 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) β†’ ((((invrβ€˜π‘…)β€˜(π‘β€˜π΄))(.rβ€˜π‘…)(π‘β€˜π΄)) Β· 𝑋) = ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ))
55 3simpb 1147 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝐡))
5655adantr 479 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝐡))
5756adantr 479 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) β†’ (𝑀 ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝐡))
583, 4, 5, 6lmodvs1 20646 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ) = π‘Œ)
5957, 58syl 17 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) β†’ ((1rβ€˜π‘…) Β· π‘Œ) = π‘Œ)
6025, 54, 593eqtrd 2774 . . 3 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) ∧ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ)) β†’ 𝑋 = π‘Œ)
6160ex 411 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ) β†’ 𝑋 = π‘Œ))
62 oveq2 7421 . 2 (𝑋 = π‘Œ β†’ ((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ))
6361, 62impbid1 224 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝐴 ∈ π‘ˆ) β†’ (((π‘β€˜π΄) Β· 𝑋) = ((π‘β€˜π΄) Β· π‘Œ) ↔ 𝑋 = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7413  Basecbs 17150  .rcmulr 17204  Scalarcsca 17206   ·𝑠 cvsca 17207  Grpcgrp 18857  invgcminusg 18858  1rcur 20077  Ringcrg 20129  Unitcui 20248  invrcinvr 20280  LModclmod 20616
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7729  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-om 7860  df-2nd 7980  df-tpos 8215  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-er 8707  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11452  df-neg 11453  df-nn 12219  df-2 12281  df-3 12282  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-0g 17393  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18860  df-minusg 18861  df-cmn 19693  df-abl 19694  df-mgp 20031  df-rng 20049  df-ur 20078  df-ring 20131  df-oppr 20227  df-dvdsr 20250  df-unit 20251  df-invr 20281  df-lmod 20618
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