Theorem lincresunit3lem3 46545

Description: Lemma 3 for lincresunit3 46552. (Contributed by AV, 18-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit3lem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit3lem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit3lem3.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit3lem3.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit3lem3.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincresunit3lem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lincresunit3lem3	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem lincresunit3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1148	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
2	1	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
3		lincresunit3lem3.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4		lincresunit3lem3.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
5		lincresunit3lem3.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
6		eqid 2736	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	3, 4, 5, 6	lmodvs1 20350	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
9	4	lmodring 20330	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
10	9	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
11	10	adantr 481	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
12		lincresunit3lem3.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
13		lincresunit3lem3.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
14	12, 13	unitnegcl 20110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈)
15	9, 14	sylan 580	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈)
16	15	3ad2antl1 1185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈)
17	11, 16	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈))
18		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
19		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
20	12, 18, 19, 6	unitlinv 20106	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
22	21	eqcomd 2742	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (1r‘𝑅) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)))
23	22	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋))
24	8, 23	eqtr3d 2778	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑋 = ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋))
25	24	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → 𝑋 = ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋))
26		simpl1 1191	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑀 ∈ LMod)
27		lincresunit3lem3.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
28	12, 18, 27	ringinvcl 20105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸)
29	17, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸)
30	4	lmodfgrp 20331	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
31	30	3ad2ant1 1133	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
32	27, 12	unitcl 20088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ∈ 𝐸)
33	27, 13	grpinvcl 18798	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸)
34	31, 32, 33	syl2an 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸)
35		simpl2 1192	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
36	29, 34, 35	3jca 1128	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
37	26, 36	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
38	37	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
39	3, 4, 5, 27, 19	lmodvsass 20347	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑋)))
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑋)))
41		oveq2 7365	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
42	41	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
43	26	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → 𝑀 ∈ LMod)
44		simpl3 1193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝐵)
45	29, 34, 44	3jca 1128	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
46	45	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
47	43, 46	jca 512	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
48	3, 4, 5, 27, 19	lmodvsass 20347	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
49	47, 48	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
50	17	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈))
51	50, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
52	51	oveq1d 7372	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
53	49, 52	eqtr3d 2778	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
54	40, 42, 53	3eqtrd 2780	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
55		3simpb 1149	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
56	55	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
57	56	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
58	3, 4, 5, 6	lmodvs1 20350	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
59	57, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
60	25, 54, 59	3eqtrd 2780	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
61	60	ex 413	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
62		oveq2 7365	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌))
63	61, 62	impbid1 224	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  ._rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·_𝑠 cvsca 17137  Grpcgrp 18748  inv_gcminusg 18749  1_rcur 19913  Ringcrg 19964  Unitcui 20068  inv_rcinvr 20100  LModclmod 20322

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-lmod 20324

This theorem is referenced by:  lincresunit3  46552