Theorem lincresunit3lem3 49096

Description: Lemma 3 for lincresunit3 49103. (Contributed by AV, 18-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincresunit3lem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit3lem3.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit3lem3.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit3lem3.u	⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit3lem3.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincresunit3lem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)

Assertion

Ref	Expression
lincresunit3lem3	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem lincresunit3lem3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		3simpa 1161	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
2	1	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
3		lincresunit3lem3.b	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
4		lincresunit3lem3.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
5		lincresunit3lem3.t	. . . . . . . 8 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑀)
6		eqid 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
7	3, 4, 5, 6	lmodvs1 20957	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
8	2, 7	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
9	4	lmodring 20935	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
10	9	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
11	10	adantr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
12		lincresunit3lem3.u	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑈 = (Unit‘𝑅)
13		lincresunit3lem3.n	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
14	12, 13	unitnegcl 20446	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈)
15	9, 14	sylan 589	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈)
16	15	3ad2antl1 1199	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈)
17	11, 16	jca 519	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈))
18		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (invr‘𝑅) = (invr‘𝑅)
19		eqid 2762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
20	12, 18, 19, 6	unitlinv 20442	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
22	21	eqcomd 2768	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (1r‘𝑅) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)))
23	22	oveq1d 7411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((1r‘𝑅) · 𝑋) = ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋))
24	8, 23	eqtr3d 2799	. . . . 5 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑋 = ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋))
25	24	adantr 484	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → 𝑋 = ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋))
26		simpl1 1205	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑀 ∈ LMod)
27		lincresunit3lem3.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
28	12, 18, 27	ringinvcl 20441	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸)
29	17, 28	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸)
30	4	lmodfgrp 20936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
31	30	3ad2ant1 1146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
32	27, 12	unitcl 20424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ∈ 𝐸)
33	27, 13	grpinvcl 19029	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸)
34	31, 32, 33	syl2an 605	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸)
35		simpl2 1206	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑋 ∈ 𝐵)
36	29, 34, 35	3jca 1141	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵))
37	26, 36	jca 519	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
38	37	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)))
39	3, 4, 5, 27, 19	lmodvsass 20954	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑋)))
40	38, 39	syl 17	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑋)))
41		oveq2 7404	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
42	41	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑋)) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
43	26	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → 𝑀 ∈ LMod)
44		simpl3 1207	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝑌 ∈ 𝐵)
45	29, 34, 44	3jca 1141	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
46	45	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
47	43, 46	jca 519	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)))
48	3, 4, 5, 27, 19	lmodvsass 20954	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝐸 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
49	47, 48	syl 17	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)))
50	17	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁‘𝐴) ∈ 𝑈))
51	50, 20	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) = (1r‘𝑅))
52	51	oveq1d 7411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑌) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
53	49, 52	eqtr3d 2799	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴)) · ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
54	40, 42, 53	3eqtrd 2801	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((((invr‘𝑅)‘(𝑁‘𝐴))(.r‘𝑅)(𝑁‘𝐴)) · 𝑋) = ((1r‘𝑅) · 𝑌))
55		3simpb 1162	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
56	55	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
57	56	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵))
58	3, 4, 5, 6	lmodvs1 20957	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
59	57, 58	syl 17	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → ((1r‘𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
60	25, 54, 59	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) ∧ ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
61	60	ex 416	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
62		oveq2 7404	. 2 ⊢ (𝑋 = 𝑌 → ((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌))
63	61, 62	impbid1 227	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (((𝑁‘𝐴) · 𝑋) = ((𝑁‘𝐴) · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245  ._rcmulr 17287  Scalarcsca 17289   ·_𝑠 cvsca 17290  Grpcgrp 18975  inv_gcminusg 18976  1_rcur 20231  Ringcrg 20283  Unitcui 20404  inv_rcinvr 20436  LModclmod 20927

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5227  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-mulr 17300  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-cmn 19822  df-abl 19823  df-mgp 20187  df-rng 20199  df-ur 20232  df-ring 20285  df-oppr 20386  df-dvdsr 20406  df-unit 20407  df-invr 20437  df-lmod 20929

This theorem is referenced by:  lincresunit3  49103