Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincresunit3lem3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincresunit3lem3 46545
Description: Lemma 3 for lincresunit3 46552. (Contributed by AV, 18-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincresunit3lem3.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincresunit3lem3.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincresunit3lem3.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincresunit3lem3.u 𝑈 = (Unit‘𝑅)
lincresunit3lem3.n 𝑁 = (invg𝑅)
lincresunit3lem3.t · = ( ·𝑠𝑀)
Assertion
Ref Expression
lincresunit3lem3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) → (((𝑁𝐴) · 𝑋) = ((𝑁𝐴) · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))

Proof of Theorem lincresunit3lem3
StepHypRef Expression
1 3simpa 1148 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵))
21adantr 481 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵))
3 lincresunit3lem3.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝑀)
4 lincresunit3lem3.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
5 lincresunit3lem3.t . . . . . . . 8 · = ( ·𝑠𝑀)
6 eqid 2736 . . . . . . . 8 (1r𝑅) = (1r𝑅)
73, 4, 5, 6lmodvs1 20350 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵) → ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
82, 7syl 17 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) → ((1r𝑅) · 𝑋) = 𝑋)
94lmodring 20330 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
1093ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Ring)
1110adantr 481 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) → 𝑅 ∈ Ring)
12 lincresunit3lem3.u . . . . . . . . . . . . 13 𝑈 = (Unit‘𝑅)
13 lincresunit3lem3.n . . . . . . . . . . . . 13 𝑁 = (invg𝑅)
1412, 13unitnegcl 20110 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁𝐴) ∈ 𝑈)
159, 14sylan 580 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁𝐴) ∈ 𝑈)
16153ad2antl1 1185 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁𝐴) ∈ 𝑈)
1711, 16jca 512 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁𝐴) ∈ 𝑈))
18 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (invr𝑅) = (invr𝑅)
19 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2012, 18, 19, 6unitlinv 20106 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁𝐴) ∈ 𝑈) → (((invr𝑅)‘(𝑁𝐴))(.r𝑅)(𝑁𝐴)) = (1r𝑅))
2117, 20syl 17 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) → (((invr𝑅)‘(𝑁𝐴))(.r𝑅)(𝑁𝐴)) = (1r𝑅))
2221eqcomd 2742 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) → (1r𝑅) = (((invr𝑅)‘(𝑁𝐴))(.r𝑅)(𝑁𝐴)))
2322oveq1d 7372 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) → ((1r𝑅) · 𝑋) = ((((invr𝑅)‘(𝑁𝐴))(.r𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑋))
248, 23eqtr3d 2778 . . . . 5 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) → 𝑋 = ((((invr𝑅)‘(𝑁𝐴))(.r𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑋))
2524adantr 481 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) ∧ ((𝑁𝐴) · 𝑋) = ((𝑁𝐴) · 𝑌)) → 𝑋 = ((((invr𝑅)‘(𝑁𝐴))(.r𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑋))
26 simpl1 1191 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) → 𝑀 ∈ LMod)
27 lincresunit3lem3.e . . . . . . . . . . 11 𝐸 = (Base‘𝑅)
2812, 18, 27ringinvcl 20105 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁𝐴) ∈ 𝑈) → ((invr𝑅)‘(𝑁𝐴)) ∈ 𝐸)
2917, 28syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) → ((invr𝑅)‘(𝑁𝐴)) ∈ 𝐸)
304lmodfgrp 20331 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Grp)
31303ad2ant1 1133 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → 𝑅 ∈ Grp)
3227, 12unitcl 20088 . . . . . . . . . 10 (𝐴𝑈𝐴𝐸)
3327, 13grpinvcl 18798 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐸) → (𝑁𝐴) ∈ 𝐸)
3431, 32, 33syl2an 596 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) → (𝑁𝐴) ∈ 𝐸)
35 simpl2 1192 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) → 𝑋𝐵)
3629, 34, 353jca 1128 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) → (((invr𝑅)‘(𝑁𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁𝐴) ∈ 𝐸𝑋𝐵))
3726, 36jca 512 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr𝑅)‘(𝑁𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁𝐴) ∈ 𝐸𝑋𝐵)))
3837adantr 481 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) ∧ ((𝑁𝐴) · 𝑋) = ((𝑁𝐴) · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr𝑅)‘(𝑁𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁𝐴) ∈ 𝐸𝑋𝐵)))
393, 4, 5, 27, 19lmodvsass 20347 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr𝑅)‘(𝑁𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁𝐴) ∈ 𝐸𝑋𝐵)) → ((((invr𝑅)‘(𝑁𝐴))(.r𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑋) = (((invr𝑅)‘(𝑁𝐴)) · ((𝑁𝐴) · 𝑋)))
4038, 39syl 17 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) ∧ ((𝑁𝐴) · 𝑋) = ((𝑁𝐴) · 𝑌)) → ((((invr𝑅)‘(𝑁𝐴))(.r𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑋) = (((invr𝑅)‘(𝑁𝐴)) · ((𝑁𝐴) · 𝑋)))
41 oveq2 7365 . . . . . 6 (((𝑁𝐴) · 𝑋) = ((𝑁𝐴) · 𝑌) → (((invr𝑅)‘(𝑁𝐴)) · ((𝑁𝐴) · 𝑋)) = (((invr𝑅)‘(𝑁𝐴)) · ((𝑁𝐴) · 𝑌)))
4241adantl 482 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) ∧ ((𝑁𝐴) · 𝑋) = ((𝑁𝐴) · 𝑌)) → (((invr𝑅)‘(𝑁𝐴)) · ((𝑁𝐴) · 𝑋)) = (((invr𝑅)‘(𝑁𝐴)) · ((𝑁𝐴) · 𝑌)))
4326adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) ∧ ((𝑁𝐴) · 𝑋) = ((𝑁𝐴) · 𝑌)) → 𝑀 ∈ LMod)
44 simpl3 1193 . . . . . . . . . 10 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) → 𝑌𝐵)
4529, 34, 443jca 1128 . . . . . . . . 9 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) → (((invr𝑅)‘(𝑁𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁𝐴) ∈ 𝐸𝑌𝐵))
4645adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) ∧ ((𝑁𝐴) · 𝑋) = ((𝑁𝐴) · 𝑌)) → (((invr𝑅)‘(𝑁𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁𝐴) ∈ 𝐸𝑌𝐵))
4743, 46jca 512 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) ∧ ((𝑁𝐴) · 𝑋) = ((𝑁𝐴) · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr𝑅)‘(𝑁𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁𝐴) ∈ 𝐸𝑌𝐵)))
483, 4, 5, 27, 19lmodvsass 20347 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ (((invr𝑅)‘(𝑁𝐴)) ∈ 𝐸 ∧ (𝑁𝐴) ∈ 𝐸𝑌𝐵)) → ((((invr𝑅)‘(𝑁𝐴))(.r𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = (((invr𝑅)‘(𝑁𝐴)) · ((𝑁𝐴) · 𝑌)))
4947, 48syl 17 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) ∧ ((𝑁𝐴) · 𝑋) = ((𝑁𝐴) · 𝑌)) → ((((invr𝑅)‘(𝑁𝐴))(.r𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = (((invr𝑅)‘(𝑁𝐴)) · ((𝑁𝐴) · 𝑌)))
5017adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) ∧ ((𝑁𝐴) · 𝑋) = ((𝑁𝐴) · 𝑌)) → (𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑁𝐴) ∈ 𝑈))
5150, 20syl 17 . . . . . . 7 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) ∧ ((𝑁𝐴) · 𝑋) = ((𝑁𝐴) · 𝑌)) → (((invr𝑅)‘(𝑁𝐴))(.r𝑅)(𝑁𝐴)) = (1r𝑅))
5251oveq1d 7372 . . . . . 6 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) ∧ ((𝑁𝐴) · 𝑋) = ((𝑁𝐴) · 𝑌)) → ((((invr𝑅)‘(𝑁𝐴))(.r𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑌) = ((1r𝑅) · 𝑌))
5349, 52eqtr3d 2778 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) ∧ ((𝑁𝐴) · 𝑋) = ((𝑁𝐴) · 𝑌)) → (((invr𝑅)‘(𝑁𝐴)) · ((𝑁𝐴) · 𝑌)) = ((1r𝑅) · 𝑌))
5440, 42, 533eqtrd 2780 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) ∧ ((𝑁𝐴) · 𝑋) = ((𝑁𝐴) · 𝑌)) → ((((invr𝑅)‘(𝑁𝐴))(.r𝑅)(𝑁𝐴)) · 𝑋) = ((1r𝑅) · 𝑌))
55 3simpb 1149 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵))
5655adantr 481 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵))
5756adantr 481 . . . . 5 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) ∧ ((𝑁𝐴) · 𝑋) = ((𝑁𝐴) · 𝑌)) → (𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵))
583, 4, 5, 6lmodvs1 20350 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑌𝐵) → ((1r𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
5957, 58syl 17 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) ∧ ((𝑁𝐴) · 𝑋) = ((𝑁𝐴) · 𝑌)) → ((1r𝑅) · 𝑌) = 𝑌)
6025, 54, 593eqtrd 2780 . . 3 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) ∧ ((𝑁𝐴) · 𝑋) = ((𝑁𝐴) · 𝑌)) → 𝑋 = 𝑌)
6160ex 413 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) → (((𝑁𝐴) · 𝑋) = ((𝑁𝐴) · 𝑌) → 𝑋 = 𝑌))
62 oveq2 7365 . 2 (𝑋 = 𝑌 → ((𝑁𝐴) · 𝑋) = ((𝑁𝐴) · 𝑌))
6361, 62impbid1 224 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝐴𝑈) → (((𝑁𝐴) · 𝑋) = ((𝑁𝐴) · 𝑌) ↔ 𝑋 = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  1rcur 19913  Ringcrg 19964  Unitcui 20068  invrcinvr 20100  LModclmod 20322
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-0g 17323  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-lmod 20324
This theorem is referenced by:  lincresunit3  46552
  Copyright terms: Public domain W3C validator