Theorem lincext1 48721

Description: Property 1 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 29-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincext.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincext.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincext.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincext.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincext.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincext.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincext.f	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))

Assertion

Ref	Expression
lincext1	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)

Proof of Theorem lincext1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lincext.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))
2		lincext.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
3		eqid 2736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
4	3	lmodfgrp 20822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Scalar‘𝑀) ∈ Grp)
5	4	ad2antrr 726	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (Scalar‘𝑀) ∈ Grp)
6	2, 5	eqeltrid 2840	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑅 ∈ Grp)
7		simpr1 1195	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑌 ∈ 𝐸)
8		lincext.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
9		lincext.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
10	8, 9	grpinvcl 18919	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐸)
11	6, 7, 10	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐸)
12	11	ad2antrr 726	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐸)
13		elmapi 8788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸)
14		df-ne 2933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≠ 𝑋 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑋)
15	14	biimpri 228	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑧 = 𝑋 → 𝑧 ≠ 𝑋)
16	15	anim2i 617	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ≠ 𝑋))
17		eldifsn 4742	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ≠ 𝑋))
18	16, 17	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
19		ffvelcdm 7026	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸)
20	18, 19	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋)) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸)
21	20	ex 412	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
22	13, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
23	22	3ad2ant3 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
24	23	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
25	24	impl 455	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸)
26	12, 25	ifclda 4515	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)) ∈ 𝐸)
27	26	fmpttd 7060	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))):𝑆⟶𝐸)
28		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
29	8	fvexi 6848	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ∈ V
30	28, 29	jctil 519	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
32		elmapg 8778	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))):𝑆⟶𝐸))
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))):𝑆⟶𝐸))
34	27, 33	mpbird 257	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
35	1, 34	eqeltrid 2840	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  Vcvv 3440   ∖ cdif 3898  ifcif 4479  𝒫 cpw 4554  {csn 4580   ↦ cmpt 5179  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ↑_m cmap 8765  Basecbs 17138  Scalarcsca 17182  0_gc0g 17361  Grpcgrp 18865  inv_gcminusg 18866  LModclmod 20813

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-map 8767  df-0g 17363  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-ring 20172  df-lmod 20815

This theorem is referenced by:  lincext2  48722  lincext3  48723  lindslinindsimp1  48724  islindeps2  48750