Theorem lincext1 43910

Description: Property 1 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 29-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincext.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincext.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincext.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincext.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincext.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincext.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincext.f	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))

Assertion

Ref	Expression
lincext1	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)

Proof of Theorem lincext1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lincext.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))
2		lincext.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
3		eqid 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
4	3	lmodfgrp 19377	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Scalar‘𝑀) ∈ Grp)
5	4	ad2antrr 714	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (Scalar‘𝑀) ∈ Grp)
6	2, 5	syl5eqel 2863	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑅 ∈ Grp)
7		simpr1 1175	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑌 ∈ 𝐸)
8		lincext.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
9		lincext.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
10	8, 9	grpinvcl 17950	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐸)
11	6, 7, 10	syl2anc 576	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐸)
12	11	ad2antrr 714	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐸)
13		elmapi 8226	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸)
14		df-ne 2961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≠ 𝑋 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑋)
15	14	biimpri 220	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑧 = 𝑋 → 𝑧 ≠ 𝑋)
16	15	anim2i 608	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ≠ 𝑋))
17		eldifsn 4589	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ≠ 𝑋))
18	16, 17	sylibr 226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
19		ffvelrn 6672	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸)
20	18, 19	sylan2 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋)) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸)
21	20	ex 405	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
22	13, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
23	22	3ad2ant3 1116	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
24	23	adantl 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
25	24	impl 448	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸)
26	12, 25	ifclda 4378	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)) ∈ 𝐸)
27	26	fmpttd 6700	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))):𝑆⟶𝐸)
28		simpr 477	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
29	8	fvexi 6510	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ∈ V
30	28, 29	jctil 512	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
31	30	adantr 473	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
32		elmapg 8217	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))):𝑆⟶𝐸))
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))):𝑆⟶𝐸))
34	27, 33	mpbird 249	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆))
35	1, 34	syl5eqel 2863	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑𝑚 (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑𝑚 𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   ≠ wne 2960  Vcvv 3408   ∖ cdif 3819  ifcif 4344  𝒫 cpw 4416  {csn 4435   ↦ cmpt 5004  ⟶wf 6181  ‘cfv 6185  (class class class)co 6974   ↑_𝑚 cmap 8204  Basecbs 16337  Scalarcsca 16422  0_gc0g 16567  Grpcgrp 17903  inv_gcminusg 17904  LModclmod 19368

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-fv 6193  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-map 8206  df-0g 16569  df-mgm 17722  df-sgrp 17764  df-mnd 17775  df-grp 17906  df-minusg 17907  df-ring 19034  df-lmod 19370

This theorem is referenced by:  lincext2  43911  lincext3  43912  lindslinindsimp1  43913  islindeps2  43939