Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincext1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincext1 47297
Description: Property 1 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 29-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincext.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincext.r 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincext.e 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincext.0 0 = (0g𝑅)
lincext.z 𝑍 = (0g𝑀)
lincext.n 𝑁 = (invg𝑅)
lincext.f 𝐹 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧)))
Assertion
Ref Expression
lincext1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)

Proof of Theorem lincext1
StepHypRef Expression
1 lincext.f . 2 𝐹 = (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧)))
2 lincext.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
3 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
43lmodfgrp 20711 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ LMod → (Scalar‘𝑀) ∈ Grp)
54ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (Scalar‘𝑀) ∈ Grp)
62, 5eqeltrid 2836 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑅 ∈ Grp)
7 simpr1 1193 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑌𝐸)
8 lincext.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Base‘𝑅)
9 lincext.n . . . . . . . 8 𝑁 = (invg𝑅)
108, 9grpinvcl 18915 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌𝐸) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐸)
116, 7, 10syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐸)
1211ad2antrr 723 . . . . 5 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑁𝑌) ∈ 𝐸)
13 elmapi 8849 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸)
14 df-ne 2940 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧𝑋 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑋)
1514biimpri 227 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 = 𝑋𝑧𝑋)
1615anim2i 616 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧𝑆𝑧𝑋))
17 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↔ (𝑧𝑆𝑧𝑋))
1816, 17sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
19 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸)
2018, 19sylan2 592 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 ∧ (𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋)) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸)
2120ex 412 . . . . . . . . 9 (𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 → ((𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸))
2213, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸))
23223ad2ant3 1134 . . . . . . 7 ((𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸))
2423adantl 481 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑧𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸))
2524impl 455 . . . . 5 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧𝑆) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺𝑧) ∈ 𝐸)
2612, 25ifclda 4563 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧𝑆) → if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧)) ∈ 𝐸)
2726fmpttd 7116 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧))):𝑆𝐸)
28 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
298fvexi 6905 . . . . . 6 𝐸 ∈ V
3028, 29jctil 519 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
3130adantr 480 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
32 elmapg 8839 . . . 4 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧))) ∈ (𝐸m 𝑆) ↔ (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧))):𝑆𝐸))
3331, 32syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧))) ∈ (𝐸m 𝑆) ↔ (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧))):𝑆𝐸))
3427, 33mpbird 257 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑧𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁𝑌), (𝐺𝑧))) ∈ (𝐸m 𝑆))
351, 34eqeltrid 2836 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌𝐸𝑋𝑆𝐺 ∈ (𝐸m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸m 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1086   = wceq 1540  wcel 2105  wne 2939  Vcvv 3473  cdif 3945  ifcif 4528  𝒫 cpw 4602  {csn 4628  cmpt 5231  wf 6539  cfv 6543  (class class class)co 7412  m cmap 8826  Basecbs 17151  Scalarcsca 17207  0gc0g 17392  Grpcgrp 18861  invgcminusg 18862  LModclmod 20702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-map 8828  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-ring 20136  df-lmod 20704
This theorem is referenced by:  lincext2  47298  lincext3  47299  lindslinindsimp1  47300  islindeps2  47326
  Copyright terms: Public domain W3C validator