Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincext1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincext1 46625
Description: Property 1 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 29-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincext.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincext.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincext.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
lincext.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lincext.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lincext.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
lincext.f 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§)))
Assertion
Ref Expression
lincext1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐡   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)

Proof of Theorem lincext1
StepHypRef Expression
1 lincext.f . 2 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§)))
2 lincext.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
3 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
43lmodfgrp 20374 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘€) ∈ Grp)
54ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (Scalarβ€˜π‘€) ∈ Grp)
62, 5eqeltrid 2838 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
7 simpr1 1195 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐸)
8 lincext.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
9 lincext.n . . . . . . . 8 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
108, 9grpinvcl 18806 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝐸) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ 𝐸)
116, 7, 10syl2anc 585 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ 𝐸)
1211ad2antrr 725 . . . . 5 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ 𝐸)
13 elmapi 8793 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸)
14 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 β‰  𝑋 ↔ Β¬ 𝑧 = 𝑋)
1514biimpri 227 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑧 = 𝑋 β†’ 𝑧 β‰  𝑋)
1615anim2i 618 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 β‰  𝑋))
17 eldifsn 4751 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 β‰  𝑋))
1816, 17sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))
19 ffvelcdm 7036 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸)
2018, 19sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝑋)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸)
2120ex 414 . . . . . . . . 9 (𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸 β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸))
2213, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸))
23223ad2ant3 1136 . . . . . . 7 ((π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸))
2423adantl 483 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸))
2524impl 457 . . . . 5 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ Β¬ 𝑧 = 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸)
2612, 25ifclda 4525 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§)) ∈ 𝐸)
2726fmpttd 7067 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§))):π‘†βŸΆπΈ)
28 simpr 486 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡)
298fvexi 6860 . . . . . 6 𝐸 ∈ V
3028, 29jctil 521 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡))
3130adantr 482 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡))
32 elmapg 8784 . . . 4 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§))):π‘†βŸΆπΈ))
3331, 32syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§))):π‘†βŸΆπΈ))
3427, 33mpbird 257 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
351, 34eqeltrid 2838 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911  ifcif 4490  π’« cpw 4564  {csn 4590   ↦ cmpt 5192  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ↑m cmap 8771  Basecbs 17091  Scalarcsca 17144  0gc0g 17329  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757  LModclmod 20365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-map 8773  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-ring 19974  df-lmod 20367
This theorem is referenced by:  lincext2  46626  lincext3  46627  lindslinindsimp1  46628  islindeps2  46654
  Copyright terms: Public domain W3C validator