Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincext1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lincext1 47213
Description: Property 1 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 29-Apr-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lincext.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
lincext.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
lincext.e 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
lincext.0 0 = (0gβ€˜π‘…)
lincext.z 𝑍 = (0gβ€˜π‘€)
lincext.n 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
lincext.f 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§)))
Assertion
Ref Expression
lincext1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐡   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)
Proof of Theorem lincext1
StepHypRef Expression
1 lincext.f . 2 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§)))
2 lincext.r . . . . . . . 8 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘€)
3 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
43lmodfgrp 20484 . . . . . . . . 9 (𝑀 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘€) ∈ Grp)
54ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (Scalarβ€˜π‘€) ∈ Grp)
62, 5eqeltrid 2837 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝑅 ∈ Grp)
7 simpr1 1194 . . . . . . 7 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ π‘Œ ∈ 𝐸)
8 lincext.e . . . . . . . 8 𝐸 = (Baseβ€˜π‘…)
9 lincext.n . . . . . . . 8 𝑁 = (invgβ€˜π‘…)
108, 9grpinvcl 18874 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ π‘Œ ∈ 𝐸) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ 𝐸)
116, 7, 10syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ 𝐸)
1211ad2antrr 724 . . . . 5 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = 𝑋) β†’ (π‘β€˜π‘Œ) ∈ 𝐸)
13 elmapi 8845 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ 𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸)
14 df-ne 2941 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 β‰  𝑋 ↔ Β¬ 𝑧 = 𝑋)
1514biimpri 227 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑧 = 𝑋 β†’ 𝑧 β‰  𝑋)
1615anim2i 617 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝑋) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 β‰  𝑋))
17 eldifsn 4790 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 β‰  𝑋))
1816, 17sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝑋) β†’ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋}))
19 ffvelcdm 7083 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸)
2018, 19sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝑋)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸)
2120ex 413 . . . . . . . . 9 (𝐺:(𝑆 βˆ– {𝑋})⟢𝐸 β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸))
2213, 21syl 17 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸))
23223ad2ant3 1135 . . . . . . 7 ((π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋}))) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸))
2423adantl 482 . . . . . 6 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ Β¬ 𝑧 = 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸))
2524impl 456 . . . . 5 (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ Β¬ 𝑧 = 𝑋) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ 𝐸)
2612, 25ifclda 4563 . . . 4 ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) β†’ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§)) ∈ 𝐸)
2726fmpttd 7116 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§))):π‘†βŸΆπΈ)
28 simpr 485 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡)
298fvexi 6905 . . . . . 6 𝐸 ∈ V
3028, 29jctil 520 . . . . 5 ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ (𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡))
3130adantr 481 . . . 4 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡))
32 elmapg 8835 . . . 4 ((𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§))):π‘†βŸΆπΈ))
3331, 32syl 17 . . 3 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§))):π‘†βŸΆπΈ))
3427, 33mpbird 256 . 2 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (π‘β€˜π‘Œ), (πΊβ€˜π‘§))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
351, 34eqeltrid 2837 1 (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐡) ∧ (π‘Œ ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 βˆ– {𝑋})))) β†’ 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  Vcvv 3474   βˆ– cdif 3945  ifcif 4528  π’« cpw 4602  {csn 4628   ↦ cmpt 5231  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411   ↑m cmap 8822  Basecbs 17146  Scalarcsca 17202  0gc0g 17387  Grpcgrp 18821  invgcminusg 18822  LModclmod 20475
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-map 8824  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-ring 20060  df-lmod 20477
This theorem is referenced by:  lincext2  47214  lincext3  47215  lindslinindsimp1  47216  islindeps2  47242
  Copyright terms: Public domain W3C validator