Theorem lincext1 48953

Description: Property 1 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 29-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincext.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincext.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincext.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincext.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincext.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincext.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincext.f	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))

Assertion

Ref	Expression
lincext1	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)

Proof of Theorem lincext1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lincext.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))
2		lincext.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
3		eqid 2739	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
4	3	lmodfgrp 20860	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Scalar‘𝑀) ∈ Grp)
5	4	ad2antrr 732	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (Scalar‘𝑀) ∈ Grp)
6	2, 5	eqeltrid 2843	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑅 ∈ Grp)
7		simpr1 1201	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑌 ∈ 𝐸)
8		lincext.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
9		lincext.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
10	8, 9	grpinvcl 18955	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐸)
11	6, 7, 10	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐸)
12	11	ad2antrr 732	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐸)
13		elmapi 8787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸)
14		df-ne 2935	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≠ 𝑋 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑋)
15	14	biimpri 229	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑧 = 𝑋 → 𝑧 ≠ 𝑋)
16	15	anim2i 623	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ≠ 𝑋))
17		eldifsn 4720	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ≠ 𝑋))
18	16, 17	sylibr 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
19		ffvelcdm 7023	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸)
20	18, 19	sylan2 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋)) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸)
21	20	ex 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
22	13, 21	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
23	22	3ad2ant3 1141	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
24	23	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
25	24	impl 456	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸)
26	12, 25	ifclda 4491	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)) ∈ 𝐸)
27	26	fmpttd 7057	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))):𝑆⟶𝐸)
28		simpr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
29	8	fvexi 6842	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ∈ V
30	28, 29	jctil 524	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
31	30	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
32		elmapg 8777	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))):𝑆⟶𝐸))
33	31, 32	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))):𝑆⟶𝐸))
34	27, 33	mpbird 258	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
35	1, 34	eqeltrid 2843	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880  ifcif 4455  𝒫 cpw 4530  {csn 4556   ↦ cmpt 5154  ⟶wf 6482  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357   ↑_m cmap 8764  Basecbs 17171  Scalarcsca 17215  0_gc0g 17394  Grpcgrp 18901  inv_gcminusg 18902  LModclmod 20851

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-map 8766  df-0g 17396  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-grp 18904  df-minusg 18905  df-ring 20208  df-lmod 20853

This theorem is referenced by:  lincext2  48954  lincext3  48955  lindslinindsimp1  48956  islindeps2  48982