Theorem lincext1 49153

Description: Property 1 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 29-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincext.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincext.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincext.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincext.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincext.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincext.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincext.f	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))

Assertion

Ref	Expression
lincext1	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)

Proof of Theorem lincext1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lincext.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))
2		lincext.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
3		eqid 2769	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
4	3	lmodfgrp 20968	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Scalar‘𝑀) ∈ Grp)
5	4	ad2antrr 738	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (Scalar‘𝑀) ∈ Grp)
6	2, 5	eqeltrid 2873	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑅 ∈ Grp)
7		simpr1 1211	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑌 ∈ 𝐸)
8		lincext.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
9		lincext.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
10	8, 9	grpinvcl 19054	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐸)
11	6, 7, 10	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐸)
12	11	ad2antrr 738	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐸)
13		elmapi 8846	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸)
14		df-ne 2965	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≠ 𝑋 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑋)
15	14	biimpri 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑧 = 𝑋 → 𝑧 ≠ 𝑋)
16	15	anim2i 628	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ≠ 𝑋))
17		eldifsn 4758	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ≠ 𝑋))
18	16, 17	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
19		ffvelcdm 7077	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸)
20	18, 19	sylan2 604	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋)) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸)
21	20	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
22	13, 21	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
23	22	3ad2ant3 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
24	23	adantl 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
25	24	impl 460	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸)
26	12, 25	ifclda 4528	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)) ∈ 𝐸)
27	26	fmpttd 7111	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))):𝑆⟶𝐸)
28		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
29	8	fvexi 6896	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ∈ V
30	28, 29	jctil 528	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
31	30	adantr 485	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
32		elmapg 8836	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))):𝑆⟶𝐸))
33	31, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))):𝑆⟶𝐸))
34	27, 33	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
35	1, 34	eqeltrid 2873	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910  ifcif 4492  𝒫 cpw 4567  {csn 4594   ↦ cmpt 5196  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411   ↑_m cmap 8824  Basecbs 17269  Scalarcsca 17313  0_gc0g 17492  Grpcgrp 19000  inv_gcminusg 19001  LModclmod 20959

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-iun 4962  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-map 8826  df-0g 17494  df-mgm 18698  df-sgrp 18777  df-mnd 18793  df-grp 19003  df-minusg 19004  df-ring 20317  df-lmod 20961

This theorem is referenced by:  lincext2  49154  lincext3  49155  lindslinindsimp1  49156  islindeps2  49182