Theorem lincext1 49310

Description: Property 1 of an extension of a linear combination. (Contributed by AV, 20-Apr-2019.) (Revised by AV, 29-Apr-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lincext.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
lincext.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
lincext.e	⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
lincext.0	⊢ 0 = (0g‘𝑅)
lincext.z	⊢ 𝑍 = (0g‘𝑀)
lincext.n	⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
lincext.f	⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))

Assertion

Ref	Expression
lincext1	⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))

Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,𝐸   𝑧,𝐺   𝑧,𝑀   𝑧,𝑆   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑧)   𝐹(𝑧)   𝑁(𝑧)   0 (𝑧)   𝑍(𝑧)

Proof of Theorem lincext1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lincext.f	. 2 ⊢ 𝐹 = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)))
2		lincext.r	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑀)
3		eqid 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ (Scalar‘𝑀) = (Scalar‘𝑀)
4	3	lmodfgrp 21044	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ LMod → (Scalar‘𝑀) ∈ Grp)
5	4	ad2antrr 739	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (Scalar‘𝑀) ∈ Grp)
6	2, 5	eqeltrid 2869	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑅 ∈ Grp)
7		simpr1 1213	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝑌 ∈ 𝐸)
8		lincext.e	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐸 = (Base‘𝑅)
9		lincext.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (invg‘𝑅)
10	8, 9	grpinvcl 19102	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ 𝑌 ∈ 𝐸) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐸)
11	6, 7, 10	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐸)
12	11	ad2antrr 739	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ 𝑧 = 𝑋) → (𝑁‘𝑌) ∈ 𝐸)
13		elmapi 8852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → 𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸)
14		df-ne 2961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ≠ 𝑋 ↔ ¬ 𝑧 = 𝑋)
15	14	biimpri 231	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (¬ 𝑧 = 𝑋 → 𝑧 ≠ 𝑋)
16	15	anim2i 629	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ≠ 𝑋))
17		eldifsn 4755	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ 𝑧 ≠ 𝑋))
18	16, 17	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋}))
19		ffvelcdm 7080	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 ∧ 𝑧 ∈ (𝑆 ∖ {𝑋})) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸)
20	18, 19	sylan2 605	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 ∧ (𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋)) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸)
21	20	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺:(𝑆 ∖ {𝑋})⟶𝐸 → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
22	13, 21	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
23	22	3ad2ant3 1153	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋}))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
24	23	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸))
25	24	impl 461	. . . . 5 ⊢ (((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) ∧ ¬ 𝑧 = 𝑋) → (𝐺‘𝑧) ∈ 𝐸)
26	12, 25	ifclda 4525	. . . 4 ⊢ ((((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑆) → if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧)) ∈ 𝐸)
27	26	fmpttd 7114	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))):𝑆⟶𝐸)
28		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵)
29	8	fvexi 6899	. . . . . 6 ⊢ 𝐸 ∈ V
30	28, 29	jctil 529	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → (𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
31	30	adantr 486	. . . 4 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵))
32		elmapg 8842	. . . 4 ⊢ ((𝐸 ∈ V ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))):𝑆⟶𝐸))
33	31, 32	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → ((𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆) ↔ (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))):𝑆⟶𝐸))
34	27, 33	mpbird 260	. 2 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ if(𝑧 = 𝑋, (𝑁‘𝑌), (𝐺‘𝑧))) ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))
35	1, 34	eqeltrid 2869	1 ⊢ (((𝑀 ∈ LMod ∧ 𝑆 ∈ 𝒫 𝐵) ∧ (𝑌 ∈ 𝐸 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝐺 ∈ (𝐸 ↑m (𝑆 ∖ {𝑋})))) → 𝐹 ∈ (𝐸 ↑m 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  Vcvv 3457   ∖ cdif 3903  ifcif 4489  𝒫 cpw 4564  {csn 4591   ↦ cmpt 5194  ⟶wf 6536  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419   ↑_m cmap 8830  Basecbs 17295  Scalarcsca 17339  0_gc0g 17518  Grpcgrp 19048  inv_gcminusg 19049  LModclmod 21035

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-map 8832  df-0g 17520  df-mgm 18724  df-sgrp 18813  df-mnd 18829  df-grp 19051  df-minusg 19052  df-ring 20365  df-lmod 21037

This theorem is used by:  lincext2  49311  lincext3  49312  lindslinindsimp1  49313  islindeps2  49339