MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecvscan2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecvscan2 19813
Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan2 28777 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecmulcan2.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecmulcan2.s · = ( ·𝑠𝑊)
lvecmulcan2.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecmulcan2.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecmulcan2.o 0 = (0g𝑊)
lvecmulcan2.w (𝜑𝑊 ∈ LVec)
lvecmulcan2.a (𝜑𝐴𝐾)
lvecmulcan2.b (𝜑𝐵𝐾)
lvecmulcan2.x (𝜑𝑋𝑉)
lvecmulcan2.n (𝜑𝑋0 )
Assertion
Ref Expression
lvecvscan2 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem lvecvscan2
StepHypRef Expression
1 lvecmulcan2.n . . . . 5 (𝜑𝑋0 )
21neneqd 3018 . . . 4 (𝜑 → ¬ 𝑋 = 0 )
3 biorf 930 . . . . 5 𝑋 = 0 → ((𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹) ↔ (𝑋 = 0 ∨ (𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹))))
4 orcom 864 . . . . 5 ((𝑋 = 0 ∨ (𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹)) ↔ ((𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹) ∨ 𝑋 = 0 ))
53, 4syl6bb 288 . . . 4 𝑋 = 0 → ((𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹) ↔ ((𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹) ∨ 𝑋 = 0 )))
62, 5syl 17 . . 3 (𝜑 → ((𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹) ↔ ((𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹) ∨ 𝑋 = 0 )))
7 lvecmulcan2.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑊)
8 lvecmulcan2.s . . . 4 · = ( ·𝑠𝑊)
9 lvecmulcan2.f . . . 4 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
10 lvecmulcan2.k . . . 4 𝐾 = (Base‘𝐹)
11 eqid 2818 . . . 4 (0g𝐹) = (0g𝐹)
12 lvecmulcan2.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
13 lvecmulcan2.w . . . 4 (𝜑𝑊 ∈ LVec)
14 lveclmod 19807 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
169lmodfgrp 19572 . . . . . 6 (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ Grp)
18 lvecmulcan2.a . . . . 5 (𝜑𝐴𝐾)
19 lvecmulcan2.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝐾)
20 eqid 2818 . . . . . 6 (-g𝐹) = (-g𝐹)
2110, 20grpsubcl 18117 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐾𝐵𝐾) → (𝐴(-g𝐹)𝐵) ∈ 𝐾)
2217, 18, 19, 21syl3anc 1363 . . . 4 (𝜑 → (𝐴(-g𝐹)𝐵) ∈ 𝐾)
23 lvecmulcan2.x . . . 4 (𝜑𝑋𝑉)
247, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 22, 23lvecvs0or 19809 . . 3 (𝜑 → (((𝐴(-g𝐹)𝐵) · 𝑋) = 0 ↔ ((𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹) ∨ 𝑋 = 0 )))
25 eqid 2818 . . . . 5 (-g𝑊) = (-g𝑊)
267, 8, 9, 10, 25, 20, 15, 18, 19, 23lmodsubdir 19621 . . . 4 (𝜑 → ((𝐴(-g𝐹)𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(-g𝑊)(𝐵 · 𝑋)))
2726eqeq1d 2820 . . 3 (𝜑 → (((𝐴(-g𝐹)𝐵) · 𝑋) = 0 ↔ ((𝐴 · 𝑋)(-g𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ))
286, 24, 273bitr2rd 309 . 2 (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋)(-g𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹)))
297, 9, 8, 10lmodvscl 19580 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴𝐾𝑋𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
3015, 18, 23, 29syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
317, 9, 8, 10lmodvscl 19580 . . . 4 ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵𝐾𝑋𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
3215, 19, 23, 31syl3anc 1363 . . 3 (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
337, 12, 25lmodsubeq0 19622 . . 3 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉) → (((𝐴 · 𝑋)(-g𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋)))
3415, 30, 32, 33syl3anc 1363 . 2 (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋)(-g𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋)))
3510, 11, 20grpsubeq0 18123 . . 3 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐴𝐾𝐵𝐾) → ((𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹) ↔ 𝐴 = 𝐵))
3617, 18, 19, 35syl3anc 1363 . 2 (𝜑 → ((𝐴(-g𝐹)𝐵) = (0g𝐹) ↔ 𝐴 = 𝐵))
3728, 34, 363bitr3d 310 1 (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 207  wo 841   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  0gc0g 16701  Grpcgrp 18041  -gcsg 18043  LModclmod 19563  LVecclvec 19803
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lvec 19804
This theorem is referenced by:  lspsneu  19824  lvecindp  19839  lvecindp2  19840  linds2eq  30868  lshpsmreu  36125  lshpkrlem5  36130  hgmapval1  38909  hgmapadd  38910  hgmapmul  38911  hgmaprnlem1N  38912  hgmap11  38918
  Copyright terms: Public domain W3C validator