MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecvscan2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecvscan2 20589
Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan2 30057 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecmulcan2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lvecmulcan2.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lvecmulcan2.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lvecmulcan2.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lvecmulcan2.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lvecmulcan2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lvecmulcan2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmulcan2.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
lvecmulcan2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecmulcan2.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
lvecvscan2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = (𝐡 Β· 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐡))

Proof of Theorem lvecvscan2
StepHypRef Expression
1 lvecmulcan2.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
21neneqd 2945 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 = 0 )
3 biorf 936 . . . . 5 (Β¬ 𝑋 = 0 β†’ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ↔ (𝑋 = 0 ∨ (𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ))))
4 orcom 869 . . . . 5 ((𝑋 = 0 ∨ (𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ)) ↔ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ∨ 𝑋 = 0 ))
53, 4bitrdi 287 . . . 4 (Β¬ 𝑋 = 0 β†’ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ↔ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ∨ 𝑋 = 0 )))
62, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ↔ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ∨ 𝑋 = 0 )))
7 lvecmulcan2.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 lvecmulcan2.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
9 lvecmulcan2.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
10 lvecmulcan2.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
11 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
12 lvecmulcan2.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
13 lvecmulcan2.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
14 lveclmod 20582 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
169lmodfgrp 20345 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Grp)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
18 lvecmulcan2.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
19 lvecmulcan2.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
20 eqid 2733 . . . . . 6 (-gβ€˜πΉ) = (-gβ€˜πΉ)
2110, 20grpsubcl 18832 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ (𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) ∈ 𝐾)
2217, 18, 19, 21syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) ∈ 𝐾)
23 lvecmulcan2.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
247, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 22, 23lvecvs0or 20585 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) Β· 𝑋) = 0 ↔ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ∨ 𝑋 = 0 )))
25 eqid 2733 . . . . 5 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
267, 8, 9, 10, 25, 20, 15, 18, 19, 23lmodsubdir 20395 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐡 Β· 𝑋)))
2726eqeq1d 2735 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) Β· 𝑋) = 0 ↔ ((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐡 Β· 𝑋)) = 0 ))
286, 24, 273bitr2rd 308 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐡 Β· 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ)))
297, 9, 8, 10lmodvscl 20354 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
3015, 18, 23, 29syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
317, 9, 8, 10lmodvscl 20354 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
3215, 19, 23, 31syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
337, 12, 25lmodsubeq0 20396 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉) β†’ (((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐡 Β· 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝐡 Β· 𝑋)))
3415, 30, 32, 33syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐡 Β· 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝐡 Β· 𝑋)))
3510, 11, 20grpsubeq0 18838 . . 3 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ↔ 𝐴 = 𝐡))
3617, 18, 19, 35syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ↔ 𝐴 = 𝐡))
3728, 34, 363bitr3d 309 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = (𝐡 Β· 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  Scalarcsca 17141   ·𝑠 cvsca 17142  0gc0g 17326  Grpcgrp 18753  -gcsg 18755  LModclmod 20336  LVecclvec 20578
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-cnex 11112  ax-resscn 11113  ax-1cn 11114  ax-icn 11115  ax-addcl 11116  ax-addrcl 11117  ax-mulcl 11118  ax-mulrcl 11119  ax-mulcom 11120  ax-addass 11121  ax-mulass 11122  ax-distr 11123  ax-i2m1 11124  ax-1ne0 11125  ax-1rid 11126  ax-rnegex 11127  ax-rrecex 11128  ax-cnre 11129  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131  ax-pre-ltadd 11132  ax-pre-mulgt0 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3930  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-tr 5224  df-id 5532  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5589  df-we 5591  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-pred 6254  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7804  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-tpos 8158  df-frecs 8213  df-wrecs 8244  df-recs 8318  df-rdg 8357  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-xr 11198  df-ltxr 11199  df-le 11200  df-sub 11392  df-neg 11393  df-nn 12159  df-2 12221  df-3 12222  df-sets 17041  df-slot 17059  df-ndx 17071  df-base 17089  df-ress 17118  df-plusg 17151  df-mulr 17152  df-0g 17328  df-mgm 18502  df-sgrp 18551  df-mnd 18562  df-grp 18756  df-minusg 18757  df-sbg 18758  df-mgp 19902  df-ur 19919  df-ring 19971  df-oppr 20054  df-dvdsr 20075  df-unit 20076  df-invr 20106  df-drng 20199  df-lmod 20338  df-lvec 20579
This theorem is referenced by:  lspsneu  20600  lvecindp  20615  lvecindp2  20616  linds2eq  32216  lshpsmreu  37617  lshpkrlem5  37622  hgmapval1  40402  hgmapadd  40403  hgmapmul  40404  hgmaprnlem1N  40405  hgmap11  40411
  Copyright terms: Public domain W3C validator