Theorem lvecvscan2 21022

Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan2 31002 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecmulcan2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecmulcan2.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecmulcan2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecmulcan2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecmulcan2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lvecmulcan2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecmulcan2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmulcan2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lvecmulcan2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecmulcan2.n	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lvecvscan2	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem lvecvscan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecmulcan2.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
2	1	neneqd 2930	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 0 )
3		biorf 936	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 = 0 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ (𝑋 = 0 ∨ (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹))))
4		orcom 870	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = 0 ∨ (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹)) ↔ ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ∨ 𝑋 = 0 ))
5	3, 4	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = 0 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ∨ 𝑋 = 0 )))
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ∨ 𝑋 = 0 )))
7		lvecmulcan2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lvecmulcan2.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lvecmulcan2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
10		lvecmulcan2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
11		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
12		lvecmulcan2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
13		lvecmulcan2.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
14		lveclmod 21013	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
16	9	lmodfgrp 20775	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
18		lvecmulcan2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
19		lvecmulcan2.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
20		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐹) = (-g‘𝐹)
21	10, 20	grpsubcl 18952	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) ∈ 𝐾)
22	17, 18, 19, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) ∈ 𝐾)
23		lvecmulcan2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
24	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 22, 23	lvecvs0or 21018	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = 0 ↔ ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ∨ 𝑋 = 0 )))
25		eqid 2729	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
26	7, 8, 9, 10, 25, 20, 15, 18, 19, 23	lmodsubdir 20826	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)))
27	26	eqeq1d 2731	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = 0 ↔ ((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ))
28	6, 24, 27	3bitr2rd 308	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹)))
29	7, 9, 8, 10	lmodvscl 20784	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
30	15, 18, 23, 29	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
31	7, 9, 8, 10	lmodvscl 20784	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
32	15, 19, 23, 31	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
33	7, 12, 25	lmodsubeq0 20827	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉) → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋)))
34	15, 30, 32, 33	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋)))
35	10, 11, 20	grpsubeq0 18958	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ 𝐴 = 𝐵))
36	17, 18, 19, 35	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ 𝐴 = 𝐵))
37	28, 34, 36	3bitr3d 309	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179  Scalarcsca 17223   ·_𝑠 cvsca 17224  0_gc0g 17402  Grpcgrp 18865  -_gcsg 18867  LModclmod 20766  LVecclvec 21009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-tpos 8205  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-minusg 18869  df-sbg 18870  df-cmn 19712  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-ur 20091  df-ring 20144  df-oppr 20246  df-dvdsr 20266  df-unit 20267  df-invr 20297  df-drng 20640  df-lmod 20768  df-lvec 21010

This theorem is referenced by:  lspsneu  21033  lvecindp  21048  lvecindp2  21049  linds2eq  33352  lshpsmreu  39102  lshpkrlem5  39107  hgmapval1  41887  hgmapadd  41888  hgmapmul  41889  hgmaprnlem1N  41890  hgmap11  41896