MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecvscan2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecvscan2 21004
Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan2 30927 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecmulcan2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lvecmulcan2.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lvecmulcan2.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lvecmulcan2.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lvecmulcan2.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lvecmulcan2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lvecmulcan2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmulcan2.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
lvecmulcan2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecmulcan2.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
lvecvscan2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = (𝐡 Β· 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐡))

Proof of Theorem lvecvscan2
StepHypRef Expression
1 lvecmulcan2.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
21neneqd 2935 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 = 0 )
3 biorf 934 . . . . 5 (Β¬ 𝑋 = 0 β†’ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ↔ (𝑋 = 0 ∨ (𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ))))
4 orcom 868 . . . . 5 ((𝑋 = 0 ∨ (𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ)) ↔ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ∨ 𝑋 = 0 ))
53, 4bitrdi 286 . . . 4 (Β¬ 𝑋 = 0 β†’ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ↔ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ∨ 𝑋 = 0 )))
62, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ↔ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ∨ 𝑋 = 0 )))
7 lvecmulcan2.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 lvecmulcan2.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
9 lvecmulcan2.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
10 lvecmulcan2.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
11 eqid 2725 . . . 4 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
12 lvecmulcan2.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
13 lvecmulcan2.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
14 lveclmod 20995 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
169lmodfgrp 20756 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Grp)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
18 lvecmulcan2.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
19 lvecmulcan2.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
20 eqid 2725 . . . . . 6 (-gβ€˜πΉ) = (-gβ€˜πΉ)
2110, 20grpsubcl 18980 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ (𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) ∈ 𝐾)
2217, 18, 19, 21syl3anc 1368 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) ∈ 𝐾)
23 lvecmulcan2.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
247, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 22, 23lvecvs0or 21000 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) Β· 𝑋) = 0 ↔ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ∨ 𝑋 = 0 )))
25 eqid 2725 . . . . 5 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
267, 8, 9, 10, 25, 20, 15, 18, 19, 23lmodsubdir 20807 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐡 Β· 𝑋)))
2726eqeq1d 2727 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) Β· 𝑋) = 0 ↔ ((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐡 Β· 𝑋)) = 0 ))
286, 24, 273bitr2rd 307 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐡 Β· 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ)))
297, 9, 8, 10lmodvscl 20765 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
3015, 18, 23, 29syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
317, 9, 8, 10lmodvscl 20765 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
3215, 19, 23, 31syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
337, 12, 25lmodsubeq0 20808 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉) β†’ (((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐡 Β· 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝐡 Β· 𝑋)))
3415, 30, 32, 33syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐡 Β· 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝐡 Β· 𝑋)))
3510, 11, 20grpsubeq0 18986 . . 3 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ↔ 𝐴 = 𝐡))
3617, 18, 19, 35syl3anc 1368 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ↔ 𝐴 = 𝐡))
3728, 34, 363bitr3d 308 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = (𝐡 Β· 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 845   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  Scalarcsca 17235   ·𝑠 cvsca 17236  0gc0g 17420  Grpcgrp 18894  -gcsg 18896  LModclmod 20747  LVecclvec 20991
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-tpos 8230  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-rng 20097  df-ur 20126  df-ring 20179  df-oppr 20277  df-dvdsr 20300  df-unit 20301  df-invr 20331  df-drng 20630  df-lmod 20749  df-lvec 20992
This theorem is referenced by:  lspsneu  21015  lvecindp  21030  lvecindp2  21031  linds2eq  33145  lshpsmreu  38637  lshpkrlem5  38642  hgmapval1  41422  hgmapadd  41423  hgmapmul  41424  hgmaprnlem1N  41425  hgmap11  41431
  Copyright terms: Public domain W3C validator