Theorem lvecvscan2 21210

Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan2 31362 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecmulcan2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecmulcan2.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecmulcan2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecmulcan2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecmulcan2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lvecmulcan2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecmulcan2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmulcan2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lvecmulcan2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecmulcan2.n	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lvecvscan2	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem lvecvscan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecmulcan2.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
2	1	neneqd 2969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 0 )
3		biorf 949	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 = 0 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ (𝑋 = 0 ∨ (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹))))
4		orcom 883	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = 0 ∨ (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹)) ↔ ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ∨ 𝑋 = 0 ))
5	3, 4	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = 0 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ∨ 𝑋 = 0 )))
6	2, 5	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ∨ 𝑋 = 0 )))
7		lvecmulcan2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lvecmulcan2.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lvecmulcan2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
10		lvecmulcan2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
11		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
12		lvecmulcan2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
13		lvecmulcan2.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
14		lveclmod 21201	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
15	13, 14	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
16	9	lmodfgrp 20964	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
17	15, 16	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
18		lvecmulcan2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
19		lvecmulcan2.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
20		eqid 2769	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐹) = (-g‘𝐹)
21	10, 20	grpsubcl 19082	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) ∈ 𝐾)
22	17, 18, 19, 21	syl3anc 1396	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) ∈ 𝐾)
23		lvecmulcan2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
24	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 22, 23	lvecvs0or 21206	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = 0 ↔ ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ∨ 𝑋 = 0 )))
25		eqid 2769	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
26	7, 8, 9, 10, 25, 20, 15, 18, 19, 23	lmodsubdir 21015	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)))
27	26	eqeq1d 2771	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = 0 ↔ ((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ))
28	6, 24, 27	3bitr2rd 311	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹)))
29	7, 9, 8, 10	lmodvscl 20973	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
30	15, 18, 23, 29	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
31	7, 9, 8, 10	lmodvscl 20973	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
32	15, 19, 23, 31	syl3anc 1396	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
33	7, 12, 25	lmodsubeq0 21016	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉) → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋)))
34	15, 30, 32, 33	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋)))
35	10, 11, 20	grpsubeq0 19088	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ 𝐴 = 𝐵))
36	17, 18, 19, 35	syl3anc 1396	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ 𝐴 = 𝐵))
37	28, 34, 36	3bitr3d 312	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 860   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  Basecbs 17265  Scalarcsca 17309   ·_𝑠 cvsca 17310  0_gc0g 17488  Grpcgrp 18996  -_gcsg 18998  LModclmod 20955  LVecclvec 21197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-tpos 8218  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-0g 17490  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-grp 18999  df-minusg 19000  df-sbg 19001  df-cmn 19848  df-abl 19849  df-mgp 20213  df-rng 20227  df-ur 20260  df-ring 20313  df-oppr 20415  df-dvdsr 20435  df-unit 20436  df-invr 20466  df-drng 20811  df-lmod 20957  df-lvec 21198

This theorem is referenced by:  lspsneu  21221  lvecindp  21236  lvecindp2  21237  linds2eq  33634  lshpsmreu  39768  lshpkrlem5  39773  hgmapval1  42552  hgmapadd  42553  hgmapmul  42554  hgmaprnlem1N  42555  hgmap11  42561