Theorem lvecvscan2 20713

Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan2 30304 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecmulcan2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecmulcan2.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecmulcan2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecmulcan2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecmulcan2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lvecmulcan2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecmulcan2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmulcan2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lvecmulcan2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecmulcan2.n	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lvecvscan2	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem lvecvscan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecmulcan2.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
2	1	neneqd 2946	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 0 )
3		biorf 936	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 = 0 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ (𝑋 = 0 ∨ (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹))))
4		orcom 869	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = 0 ∨ (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹)) ↔ ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ∨ 𝑋 = 0 ))
5	3, 4	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = 0 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ∨ 𝑋 = 0 )))
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ∨ 𝑋 = 0 )))
7		lvecmulcan2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lvecmulcan2.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lvecmulcan2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
10		lvecmulcan2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
11		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
12		lvecmulcan2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
13		lvecmulcan2.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
14		lveclmod 20705	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
16	9	lmodfgrp 20468	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
18		lvecmulcan2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
19		lvecmulcan2.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
20		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐹) = (-g‘𝐹)
21	10, 20	grpsubcl 18899	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) ∈ 𝐾)
22	17, 18, 19, 21	syl3anc 1372	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) ∈ 𝐾)
23		lvecmulcan2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
24	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 22, 23	lvecvs0or 20709	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = 0 ↔ ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ∨ 𝑋 = 0 )))
25		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
26	7, 8, 9, 10, 25, 20, 15, 18, 19, 23	lmodsubdir 20518	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)))
27	26	eqeq1d 2735	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = 0 ↔ ((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ))
28	6, 24, 27	3bitr2rd 308	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹)))
29	7, 9, 8, 10	lmodvscl 20477	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
30	15, 18, 23, 29	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
31	7, 9, 8, 10	lmodvscl 20477	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
32	15, 19, 23, 31	syl3anc 1372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
33	7, 12, 25	lmodsubeq0 20519	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉) → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋)))
34	15, 30, 32, 33	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋)))
35	10, 11, 20	grpsubeq0 18905	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ 𝐴 = 𝐵))
36	17, 18, 19, 35	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ 𝐴 = 𝐵))
37	28, 34, 36	3bitr3d 309	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ‘cfv 6540  (class class class)co 7404  Basecbs 17140  Scalarcsca 17196   ·_𝑠 cvsca 17197  0_gc0g 17381  Grpcgrp 18815  -_gcsg 18817  LModclmod 20459  LVecclvec 20701

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-tpos 8206  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mgp 19980  df-ur 19997  df-ring 20049  df-oppr 20139  df-dvdsr 20160  df-unit 20161  df-invr 20191  df-drng 20306  df-lmod 20461  df-lvec 20702

This theorem is referenced by:  lspsneu  20724  lvecindp  20739  lvecindp2  20740  linds2eq  32462  lshpsmreu  37917  lshpkrlem5  37922  hgmapval1  40702  hgmapadd  40703  hgmapmul  40704  hgmaprnlem1N  40705  hgmap11  40711