MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lvecvscan2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lvecvscan2 20725
Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan2 30326 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lvecmulcan2.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lvecmulcan2.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lvecmulcan2.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lvecmulcan2.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lvecmulcan2.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lvecmulcan2.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
lvecmulcan2.a (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmulcan2.b (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
lvecmulcan2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecmulcan2.n (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
Assertion
Ref Expression
lvecvscan2 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = (𝐡 Β· 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐡))

Proof of Theorem lvecvscan2
StepHypRef Expression
1 lvecmulcan2.n . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  0 )
21neneqd 2946 . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 = 0 )
3 biorf 936 . . . . 5 (Β¬ 𝑋 = 0 β†’ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ↔ (𝑋 = 0 ∨ (𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ))))
4 orcom 869 . . . . 5 ((𝑋 = 0 ∨ (𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ)) ↔ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ∨ 𝑋 = 0 ))
53, 4bitrdi 287 . . . 4 (Β¬ 𝑋 = 0 β†’ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ↔ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ∨ 𝑋 = 0 )))
62, 5syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ↔ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ∨ 𝑋 = 0 )))
7 lvecmulcan2.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
8 lvecmulcan2.s . . . 4 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
9 lvecmulcan2.f . . . 4 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
10 lvecmulcan2.k . . . 4 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
11 eqid 2733 . . . 4 (0gβ€˜πΉ) = (0gβ€˜πΉ)
12 lvecmulcan2.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
13 lvecmulcan2.w . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LVec)
14 lveclmod 20717 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LVec β†’ π‘Š ∈ LMod)
1513, 14syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
169lmodfgrp 20480 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ 𝐹 ∈ Grp)
1715, 16syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ Grp)
18 lvecmulcan2.a . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ 𝐾)
19 lvecmulcan2.b . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ 𝐾)
20 eqid 2733 . . . . . 6 (-gβ€˜πΉ) = (-gβ€˜πΉ)
2110, 20grpsubcl 18903 . . . . 5 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ (𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) ∈ 𝐾)
2217, 18, 19, 21syl3anc 1372 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) ∈ 𝐾)
23 lvecmulcan2.x . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
247, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 22, 23lvecvs0or 20721 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) Β· 𝑋) = 0 ↔ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ∨ 𝑋 = 0 )))
25 eqid 2733 . . . . 5 (-gβ€˜π‘Š) = (-gβ€˜π‘Š)
267, 8, 9, 10, 25, 20, 15, 18, 19, 23lmodsubdir 20530 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) Β· 𝑋) = ((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐡 Β· 𝑋)))
2726eqeq1d 2735 . . 3 (πœ‘ β†’ (((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) Β· 𝑋) = 0 ↔ ((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐡 Β· 𝑋)) = 0 ))
286, 24, 273bitr2rd 308 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐡 Β· 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ)))
297, 9, 8, 10lmodvscl 20489 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
3015, 18, 23, 29syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
317, 9, 8, 10lmodvscl 20489 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝐡 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
3215, 19, 23, 31syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉)
337, 12, 25lmodsubeq0 20531 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (𝐴 Β· 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐡 Β· 𝑋) ∈ 𝑉) β†’ (((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐡 Β· 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝐡 Β· 𝑋)))
3415, 30, 32, 33syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (((𝐴 Β· 𝑋)(-gβ€˜π‘Š)(𝐡 Β· 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴 Β· 𝑋) = (𝐡 Β· 𝑋)))
3510, 11, 20grpsubeq0 18909 . . 3 ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐡 ∈ 𝐾) β†’ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ↔ 𝐴 = 𝐡))
3617, 18, 19, 35syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐴(-gβ€˜πΉ)𝐡) = (0gβ€˜πΉ) ↔ 𝐴 = 𝐡))
3728, 34, 363bitr3d 309 1 (πœ‘ β†’ ((𝐴 Β· 𝑋) = (𝐡 Β· 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐡))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  Scalarcsca 17200   ·𝑠 cvsca 17201  0gc0g 17385  Grpcgrp 18819  -gcsg 18821  LModclmod 20471  LVecclvec 20713
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lvec 20714
This theorem is referenced by:  lspsneu  20736  lvecindp  20751  lvecindp2  20752  linds2eq  32497  lshpsmreu  37979  lshpkrlem5  37984  hgmapval1  40764  hgmapadd  40765  hgmapmul  40766  hgmaprnlem1N  40767  hgmap11  40773
  Copyright terms: Public domain W3C validator