Theorem lvecvscan2 21067

Description: Cancellation law for scalar multiplication. (hvmulcan2 31148 analog.) (Contributed by NM, 2-Jul-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lvecmulcan2.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lvecmulcan2.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lvecmulcan2.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lvecmulcan2.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lvecmulcan2.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lvecmulcan2.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
lvecmulcan2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
lvecmulcan2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
lvecmulcan2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
lvecmulcan2.n	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )

Assertion

Ref	Expression
lvecvscan2	⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Proof of Theorem lvecvscan2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lvecmulcan2.n	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 0 )
2	1	neneqd 2937	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 = 0 )
3		biorf 936	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑋 = 0 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ (𝑋 = 0 ∨ (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹))))
4		orcom 870	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = 0 ∨ (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹)) ↔ ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ∨ 𝑋 = 0 ))
5	3, 4	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ (¬ 𝑋 = 0 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ∨ 𝑋 = 0 )))
6	2, 5	syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ∨ 𝑋 = 0 )))
7		lvecmulcan2.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
8		lvecmulcan2.s	. . . 4 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
9		lvecmulcan2.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
10		lvecmulcan2.k	. . . 4 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
11		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (0g‘𝐹) = (0g‘𝐹)
12		lvecmulcan2.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
13		lvecmulcan2.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LVec)
14		lveclmod 21058	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LVec → 𝑊 ∈ LMod)
15	13, 14	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
16	9	lmodfgrp 20820	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝐹 ∈ Grp)
17	15, 16	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ Grp)
18		lvecmulcan2.a	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐾)
19		lvecmulcan2.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐾)
20		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (-g‘𝐹) = (-g‘𝐹)
21	10, 20	grpsubcl 18950	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) ∈ 𝐾)
22	17, 18, 19, 21	syl3anc 1373	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) ∈ 𝐾)
23		lvecmulcan2.x	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
24	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 22, 23	lvecvs0or 21063	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = 0 ↔ ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ∨ 𝑋 = 0 )))
25		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (-g‘𝑊) = (-g‘𝑊)
26	7, 8, 9, 10, 25, 20, 15, 18, 19, 23	lmodsubdir 20871	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = ((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)))
27	26	eqeq1d 2738	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) · 𝑋) = 0 ↔ ((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ))
28	6, 24, 27	3bitr2rd 308	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹)))
29	7, 9, 8, 10	lmodvscl 20829	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
30	15, 18, 23, 29	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉)
31	7, 9, 8, 10	lmodvscl 20829	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝐵 ∈ 𝐾 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
32	15, 19, 23, 31	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉)
33	7, 12, 25	lmodsubeq0 20872	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐴 · 𝑋) ∈ 𝑉 ∧ (𝐵 · 𝑋) ∈ 𝑉) → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋)))
34	15, 30, 32, 33	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐴 · 𝑋)(-g‘𝑊)(𝐵 · 𝑋)) = 0 ↔ (𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋)))
35	10, 11, 20	grpsubeq0 18956	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ Grp ∧ 𝐴 ∈ 𝐾 ∧ 𝐵 ∈ 𝐾) → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ 𝐴 = 𝐵))
36	17, 18, 19, 35	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴(-g‘𝐹)𝐵) = (0g‘𝐹) ↔ 𝐴 = 𝐵))
37	28, 34, 36	3bitr3d 309	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 · 𝑋) = (𝐵 · 𝑋) ↔ 𝐴 = 𝐵))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  Scalarcsca 17180   ·_𝑠 cvsca 17181  0_gc0g 17359  Grpcgrp 18863  -_gcsg 18865  LModclmod 20811  LVecclvec 21054

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-tpos 8168  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-ur 20117  df-ring 20170  df-oppr 20273  df-dvdsr 20293  df-unit 20294  df-invr 20324  df-drng 20664  df-lmod 20813  df-lvec 21055

This theorem is referenced by:  lspsneu  21078  lvecindp  21093  lvecindp2  21094  linds2eq  33462  lshpsmreu  39369  lshpkrlem5  39374  hgmapval1  42153  hgmapadd  42154  hgmapmul  42155  hgmaprnlem1N  42156  hgmap11  42162