Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcdvsubval 40131
Description: The value of the value of vector addition in the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvsubval.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lcdvsubval.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcdvsubval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcdvsubval.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lcdvsubval.s 𝑆 = (-gβ€˜π‘…)
lcdvsubval.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcdvsubval.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
lcdvsubval.m βˆ’ = (-gβ€˜πΆ)
lcdvsubval.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lcdvsubval.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
lcdvsubval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐷)
lcdvsubval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lcdvsubval (πœ‘ β†’ ((𝐹 βˆ’ 𝐺)β€˜π‘‹) = ((πΉβ€˜π‘‹)𝑆(πΊβ€˜π‘‹)))

Proof of Theorem lcdvsubval
StepHypRef Expression
1 lcdvsubval.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 lcdvsubval.c . . . . 5 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 lcdvsubval.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 40105 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
5 lcdvsubval.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
6 lcdvsubval.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐷)
7 lcdvsubval.d . . . . 5 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
8 eqid 2733 . . . . 5 (+gβ€˜πΆ) = (+gβ€˜πΆ)
9 lcdvsubval.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜πΆ)
10 eqid 2733 . . . . 5 (Scalarβ€˜πΆ) = (Scalarβ€˜πΆ)
11 eqid 2733 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜πΆ) = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
12 eqid 2733 . . . . 5 (invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
13 eqid 2733 . . . . 5 (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 20421 . . . 4 ((𝐢 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 βˆ’ 𝐺) = (𝐹(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)))
154, 5, 6, 14syl3anc 1372 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆ’ 𝐺) = (𝐹(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)))
1615fveq1d 6848 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 βˆ’ 𝐺)β€˜π‘‹) = ((𝐹(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺))β€˜π‘‹))
17 lcdvsubval.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
18 lcdvsubval.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
19 lcdvsubval.r . . 3 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
20 eqid 2733 . . 3 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
21 eqid 2733 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2210lmodfgrp 20374 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜πΆ) ∈ Grp)
234, 22syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜πΆ) ∈ Grp)
2410lmodring 20373 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜πΆ) ∈ Ring)
254, 24syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜πΆ) ∈ Ring)
26 eqid 2733 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
2726, 13ringidcl 19997 . . . . . . 7 ((Scalarβ€˜πΆ) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
2825, 27syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
2926, 12grpinvcl 18806 . . . . . 6 (((Scalarβ€˜πΆ) ∈ Grp ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
3023, 28, 29syl2anc 585 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
311, 17, 19, 21, 2, 10, 26, 3lcdsbase 40113 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜π‘…))
3230, 31eleqtrd 2836 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
331, 17, 19, 21, 2, 7, 11, 3, 32, 6lcdvscl 40118 . . 3 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺) ∈ 𝐷)
34 lcdvsubval.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
351, 17, 18, 19, 20, 2, 7, 8, 3, 5, 33, 34lcdvaddval 40111 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺))β€˜π‘‹) = ((πΉβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)β€˜π‘‹)))
36 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
371, 17, 19, 36, 2, 10, 12, 3lcdneg 40123 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (invgβ€˜π‘…))
38 eqid 2733 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
391, 17, 19, 38, 2, 10, 13, 3lcd1 40122 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (1rβ€˜π‘…))
4037, 39fveq12d 6853 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)))
4140oveq1d 7376 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺) = (((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺))
4241fveq1d 6848 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)β€˜π‘‹) = ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)β€˜π‘‹))
43 eqid 2733 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
441, 17, 3dvhlmod 39623 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
4519lmodring 20373 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
47 ringgrp 19977 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
4919, 21, 38lmod1cl 20393 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5044, 49syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5121, 36grpinvcl 18806 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5248, 50, 51syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
531, 17, 18, 19, 21, 43, 2, 7, 11, 3, 52, 6, 34lcdvsval 40117 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))))
541, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 6, 34lcdvbasecl 40109 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5521, 43, 38, 36, 46, 54ringnegr 20027 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))
5642, 53, 553eqtrd 2777 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)β€˜π‘‹) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))
5756oveq2d 7377 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)β€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))))
581, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 5, 34lcdvbasecl 40109 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
59 lcdvsubval.s . . . . 5 𝑆 = (-gβ€˜π‘…)
6021, 20, 36, 59grpsubval 18804 . . . 4 (((πΉβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)𝑆(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))))
6158, 54, 60syl2anc 585 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)𝑆(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))))
6257, 61eqtr4d 2776 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)β€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜π‘‹)𝑆(πΊβ€˜π‘‹)))
6316, 35, 623eqtrd 2777 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 βˆ’ 𝐺)β€˜π‘‹) = ((πΉβ€˜π‘‹)𝑆(πΊβ€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  Basecbs 17091  +gcplusg 17141  .rcmulr 17142  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  Grpcgrp 18756  invgcminusg 18757  -gcsg 18758  1rcur 19921  Ringcrg 19972  LModclmod 20365  HLchlt 37862  LHypclh 38497  DVecHcdvh 39591  LCDualclcd 40099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-riotaBAD 37465
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-tpos 8161  df-undef 8208  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-0g 17331  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-proset 18192  df-poset 18210  df-plt 18227  df-lub 18243  df-glb 18244  df-join 18245  df-meet 18246  df-p0 18322  df-p1 18323  df-lat 18329  df-clat 18396  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-grp 18759  df-minusg 18760  df-sbg 18761  df-subg 18933  df-cntz 19105  df-oppg 19132  df-lsm 19426  df-cmn 19572  df-abl 19573  df-mgp 19905  df-ur 19922  df-ring 19974  df-oppr 20057  df-dvdsr 20078  df-unit 20079  df-invr 20109  df-dvr 20120  df-drng 20221  df-lmod 20367  df-lss 20437  df-lsp 20477  df-lvec 20608  df-lsatoms 37488  df-lshyp 37489  df-lcv 37531  df-lfl 37570  df-lkr 37598  df-ldual 37636  df-oposet 37688  df-ol 37690  df-oml 37691  df-covers 37778  df-ats 37779  df-atl 37810  df-cvlat 37834  df-hlat 37863  df-llines 38011  df-lplanes 38012  df-lvols 38013  df-lines 38014  df-psubsp 38016  df-pmap 38017  df-padd 38309  df-lhyp 38501  df-laut 38502  df-ldil 38617  df-ltrn 38618  df-trl 38672  df-tgrp 39256  df-tendo 39268  df-edring 39270  df-dveca 39516  df-disoa 39542  df-dvech 39592  df-dib 39652  df-dic 39686  df-dih 39742  df-doch 39861  df-djh 39908  df-lcdual 40100
This theorem is referenced by:  hdmapinvlem3  40433
  Copyright terms: Public domain W3C validator