Theorem lcdvsubval 41737

Description: The value of the value of vector addition in the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvsubval.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvsubval.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsubval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcdvsubval.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
lcdvsubval.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝑅)
lcdvsubval.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsubval.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
lcdvsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐶)
lcdvsubval.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcdvsubval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
lcdvsubval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
lcdvsubval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lcdvsubval	⊢ (𝜑 → ((𝐹 − 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)))

Proof of Theorem lcdvsubval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvsubval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdvsubval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdvsubval.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 41711	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		lcdvsubval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
6		lcdvsubval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
7		lcdvsubval.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
8		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
9		lcdvsubval.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐶)
10		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
11		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐶) = ( ·𝑠 ‘𝐶)
12		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(Scalar‘𝐶))
13		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
14	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lmodvsubval2 20852	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)))
15	4, 5, 6, 14	syl3anc 1373	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)))
16	15	fveq1d 6830	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 − 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹(+g‘𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺))‘𝑋))
17		lcdvsubval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
18		lcdvsubval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
19		lcdvsubval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
20		eqid 2733	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
21		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22	10	lmodfgrp 20804	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → (Scalar‘𝐶) ∈ Grp)
23	4, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) ∈ Grp)
24	10	lmodring 20803	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → (Scalar‘𝐶) ∈ Ring)
25	4, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) ∈ Ring)
26		eqid 2733	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
27	26, 13	ringidcl 20185	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝐶) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
28	25, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
29	26, 12	grpinvcl 18902	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝐶) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))) → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
30	23, 28, 29	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
31	1, 17, 19, 21, 2, 10, 26, 3	lcdsbase 41719	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘𝑅))
32	30, 31	eleqtrd 2835	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘𝑅))
33	1, 17, 19, 21, 2, 7, 11, 3, 32, 6	lcdvscl 41724	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺) ∈ 𝐷)
34		lcdvsubval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	1, 17, 18, 19, 20, 2, 7, 8, 3, 5, 33, 34	lcdvaddval 41717	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(+g‘𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺))‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋)))
36		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
37	1, 17, 19, 36, 2, 10, 12, 3	lcdneg 41729	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘𝑅))
38		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
39	1, 17, 19, 38, 2, 10, 13, 3	lcd1 41728	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘𝑅))
40	37, 39	fveq12d 6835	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
41	40	oveq1d 7367	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺) = (((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺))
42	41	fveq1d 6830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋))
43		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
44	1, 17, 3	dvhlmod 41229	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
45	19	lmodring 20803	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
47		ringgrp 20158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
49	19, 21, 38	lmod1cl 20824	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
50	44, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
51	21, 36	grpinvcl 18902	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
52	48, 50, 51	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
53	1, 17, 18, 19, 21, 43, 2, 7, 11, 3, 52, 6, 34	lcdvsval 41723	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))))
54	1, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 6, 34	lcdvbasecl 41715	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
55	21, 43, 38, 36, 46, 54	ringnegr 20223	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))) = ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋)))
56	42, 53, 55	3eqtrd 2772	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋)))
57	56	oveq2d 7368	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋))))
58	1, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 5, 34	lcdvbasecl 41715	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
59		lcdvsubval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝑅)
60	21, 20, 36, 59	grpsubval 18900	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋))))
61	58, 54, 60	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋))))
62	57, 61	eqtr4d 2771	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)))
63	16, 35, 62	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 − 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6486  (class class class)co 7352  Basecbs 17122  +_gcplusg 17163  ._rcmulr 17164  Scalarcsca 17166   ·_𝑠 cvsca 17167  Grpcgrp 18848  inv_gcminusg 18849  -_gcsg 18850  1_rcur 20101  Ringcrg 20153  LModclmod 20795  HLchlt 39469  LHypclh 40103  DVecHcdvh 41197  LCDualclcd 41705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-cnex 11069  ax-resscn 11070  ax-1cn 11071  ax-icn 11072  ax-addcl 11073  ax-addrcl 11074  ax-mulcl 11075  ax-mulrcl 11076  ax-mulcom 11077  ax-addass 11078  ax-mulass 11079  ax-distr 11080  ax-i2m1 11081  ax-1ne0 11082  ax-1rid 11083  ax-rnegex 11084  ax-rrecex 11085  ax-cnre 11086  ax-pre-lttri 11087  ax-pre-lttrn 11088  ax-pre-ltadd 11089  ax-pre-mulgt0 11090  ax-riotaBAD 39072

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7616  df-om 7803  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-tpos 8162  df-undef 8209  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-1o 8391  df-2o 8392  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-fin 8879  df-pnf 11155  df-mnf 11156  df-xr 11157  df-ltxr 11158  df-le 11159  df-sub 11353  df-neg 11354  df-nn 12133  df-2 12195  df-3 12196  df-4 12197  df-5 12198  df-6 12199  df-n0 12389  df-z 12476  df-uz 12739  df-fz 13410  df-struct 17060  df-sets 17077  df-slot 17095  df-ndx 17107  df-base 17123  df-ress 17144  df-plusg 17176  df-mulr 17177  df-sca 17179  df-vsca 17180  df-0g 17347  df-mre 17490  df-mrc 17491  df-acs 17493  df-proset 18202  df-poset 18221  df-plt 18236  df-lub 18252  df-glb 18253  df-join 18254  df-meet 18255  df-p0 18331  df-p1 18332  df-lat 18340  df-clat 18407  df-mgm 18550  df-sgrp 18629  df-mnd 18645  df-submnd 18694  df-grp 18851  df-minusg 18852  df-sbg 18853  df-subg 19038  df-cntz 19231  df-oppg 19260  df-lsm 19550  df-cmn 19696  df-abl 19697  df-mgp 20061  df-rng 20073  df-ur 20102  df-ring 20155  df-oppr 20257  df-dvdsr 20277  df-unit 20278  df-invr 20308  df-dvr 20321  df-nzr 20430  df-rlreg 20611  df-domn 20612  df-drng 20648  df-lmod 20797  df-lss 20867  df-lsp 20907  df-lvec 21039  df-lsatoms 39095  df-lshyp 39096  df-lcv 39138  df-lfl 39177  df-lkr 39205  df-ldual 39243  df-oposet 39295  df-ol 39297  df-oml 39298  df-covers 39385  df-ats 39386  df-atl 39417  df-cvlat 39441  df-hlat 39470  df-llines 39617  df-lplanes 39618  df-lvols 39619  df-lines 39620  df-psubsp 39622  df-pmap 39623  df-padd 39915  df-lhyp 40107  df-laut 40108  df-ldil 40223  df-ltrn 40224  df-trl 40278  df-tgrp 40862  df-tendo 40874  df-edring 40876  df-dveca 41122  df-disoa 41148  df-dvech 41198  df-dib 41258  df-dic 41292  df-dih 41348  df-doch 41467  df-djh 41514  df-lcdual 41706

This theorem is referenced by:  hdmapinvlem3  42039