Theorem lcdvsubval 39559

Description: The value of the value of vector addition in the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvsubval.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvsubval.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsubval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcdvsubval.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
lcdvsubval.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝑅)
lcdvsubval.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsubval.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
lcdvsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐶)
lcdvsubval.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcdvsubval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
lcdvsubval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
lcdvsubval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lcdvsubval	⊢ (𝜑 → ((𝐹 − 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)))

Proof of Theorem lcdvsubval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvsubval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdvsubval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdvsubval.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 39533	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		lcdvsubval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
6		lcdvsubval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
7		lcdvsubval.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
8		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
9		lcdvsubval.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐶)
10		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
11		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐶) = ( ·𝑠 ‘𝐶)
12		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(Scalar‘𝐶))
13		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
14	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lmodvsubval2 20093	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)))
15	4, 5, 6, 14	syl3anc 1369	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)))
16	15	fveq1d 6758	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 − 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹(+g‘𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺))‘𝑋))
17		lcdvsubval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
18		lcdvsubval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
19		lcdvsubval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
20		eqid 2738	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
21		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22	10	lmodfgrp 20047	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → (Scalar‘𝐶) ∈ Grp)
23	4, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) ∈ Grp)
24	10	lmodring 20046	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → (Scalar‘𝐶) ∈ Ring)
25	4, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) ∈ Ring)
26		eqid 2738	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
27	26, 13	ringidcl 19722	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝐶) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
28	25, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
29	26, 12	grpinvcl 18542	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝐶) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))) → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
30	23, 28, 29	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
31	1, 17, 19, 21, 2, 10, 26, 3	lcdsbase 39541	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘𝑅))
32	30, 31	eleqtrd 2841	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘𝑅))
33	1, 17, 19, 21, 2, 7, 11, 3, 32, 6	lcdvscl 39546	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺) ∈ 𝐷)
34		lcdvsubval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	1, 17, 18, 19, 20, 2, 7, 8, 3, 5, 33, 34	lcdvaddval 39539	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(+g‘𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺))‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋)))
36		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
37	1, 17, 19, 36, 2, 10, 12, 3	lcdneg 39551	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘𝑅))
38		eqid 2738	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
39	1, 17, 19, 38, 2, 10, 13, 3	lcd1 39550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘𝑅))
40	37, 39	fveq12d 6763	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
41	40	oveq1d 7270	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺) = (((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺))
42	41	fveq1d 6758	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋))
43		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
44	1, 17, 3	dvhlmod 39051	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
45	19	lmodring 20046	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
47		ringgrp 19703	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
49	19, 21, 38	lmod1cl 20065	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
50	44, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
51	21, 36	grpinvcl 18542	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
52	48, 50, 51	syl2anc 583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
53	1, 17, 18, 19, 21, 43, 2, 7, 11, 3, 52, 6, 34	lcdvsval 39545	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))))
54	1, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 6, 34	lcdvbasecl 39537	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
55	21, 43, 38, 36, 46, 54	rngnegr 19749	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))) = ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋)))
56	42, 53, 55	3eqtrd 2782	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋)))
57	56	oveq2d 7271	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋))))
58	1, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 5, 34	lcdvbasecl 39537	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
59		lcdvsubval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝑅)
60	21, 20, 36, 59	grpsubval 18540	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋))))
61	58, 54, 60	syl2anc 583	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋))))
62	57, 61	eqtr4d 2781	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)))
63	16, 35, 62	3eqtrd 2782	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 − 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  ._rcmulr 16889  Scalarcsca 16891   ·_𝑠 cvsca 16892  Grpcgrp 18492  inv_gcminusg 18493  -_gcsg 18494  1_rcur 19652  Ringcrg 19698  LModclmod 20038  HLchlt 37291  LHypclh 37925  DVecHcdvh 39019  LCDualclcd 39527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-riotaBAD 36894

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-of 7511  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-tpos 8013  df-undef 8060  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-0g 17069  df-mre 17212  df-mrc 17213  df-acs 17215  df-proset 17928  df-poset 17946  df-plt 17963  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-p0 18058  df-p1 18059  df-lat 18065  df-clat 18132  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-oppg 18865  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-oppr 19777  df-dvdsr 19798  df-unit 19799  df-invr 19829  df-dvr 19840  df-drng 19908  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149  df-lvec 20280  df-lsatoms 36917  df-lshyp 36918  df-lcv 36960  df-lfl 36999  df-lkr 37027  df-ldual 37065  df-oposet 37117  df-ol 37119  df-oml 37120  df-covers 37207  df-ats 37208  df-atl 37239  df-cvlat 37263  df-hlat 37292  df-llines 37439  df-lplanes 37440  df-lvols 37441  df-lines 37442  df-psubsp 37444  df-pmap 37445  df-padd 37737  df-lhyp 37929  df-laut 37930  df-ldil 38045  df-ltrn 38046  df-trl 38100  df-tgrp 38684  df-tendo 38696  df-edring 38698  df-dveca 38944  df-disoa 38970  df-dvech 39020  df-dib 39080  df-dic 39114  df-dih 39170  df-doch 39289  df-djh 39336  df-lcdual 39528

This theorem is referenced by:  hdmapinvlem3  39861