Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcdvsubval 38859
Description: The value of the value of vector addition in the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvsubval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvsubval.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsubval.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcdvsubval.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
lcdvsubval.s 𝑆 = (-g𝑅)
lcdvsubval.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsubval.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
lcdvsubval.m = (-g𝐶)
lcdvsubval.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcdvsubval.f (𝜑𝐹𝐷)
lcdvsubval.g (𝜑𝐺𝐷)
lcdvsubval.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lcdvsubval (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)))

Proof of Theorem lcdvsubval
StepHypRef Expression
1 lcdvsubval.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcdvsubval.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 lcdvsubval.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 38833 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 lcdvsubval.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
6 lcdvsubval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐷)
7 lcdvsubval.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐶)
8 eqid 2824 . . . . 5 (+g𝐶) = (+g𝐶)
9 lcdvsubval.m . . . . 5 = (-g𝐶)
10 eqid 2824 . . . . 5 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
11 eqid 2824 . . . . 5 ( ·𝑠𝐶) = ( ·𝑠𝐶)
12 eqid 2824 . . . . 5 (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(Scalar‘𝐶))
13 eqid 2824 . . . . 5 (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 19689 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)))
154, 5, 6, 14syl3anc 1368 . . 3 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)))
1615fveq1d 6663 . 2 (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹(+g𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺))‘𝑋))
17 lcdvsubval.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
18 lcdvsubval.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
19 lcdvsubval.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
20 eqid 2824 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
21 eqid 2824 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2210lmodfgrp 19643 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ LMod → (Scalar‘𝐶) ∈ Grp)
234, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Scalar‘𝐶) ∈ Grp)
2410lmodring 19642 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ LMod → (Scalar‘𝐶) ∈ Ring)
254, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Scalar‘𝐶) ∈ Ring)
26 eqid 2824 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
2726, 13ringidcl 19321 . . . . . . 7 ((Scalar‘𝐶) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
2825, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
2926, 12grpinvcl 18151 . . . . . 6 (((Scalar‘𝐶) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))) → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
3023, 28, 29syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
311, 17, 19, 21, 2, 10, 26, 3lcdsbase 38841 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘𝑅))
3230, 31eleqtrd 2918 . . . 4 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘𝑅))
331, 17, 19, 21, 2, 7, 11, 3, 32, 6lcdvscl 38846 . . 3 (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺) ∈ 𝐷)
34 lcdvsubval.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
351, 17, 18, 19, 20, 2, 7, 8, 3, 5, 33, 34lcdvaddval 38839 . 2 (𝜑 → ((𝐹(+g𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺))‘𝑋) = ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋)))
36 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (invg𝑅) = (invg𝑅)
371, 17, 19, 36, 2, 10, 12, 3lcdneg 38851 . . . . . . . 8 (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg𝑅))
38 eqid 2824 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
391, 17, 19, 38, 2, 10, 13, 3lcd1 38850 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r𝑅))
4037, 39fveq12d 6668 . . . . . . 7 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
4140oveq1d 7164 . . . . . 6 (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺) = (((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐶)𝐺))
4241fveq1d 6663 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋))
43 eqid 2824 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
441, 17, 3dvhlmod 38351 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
4519lmodring 19642 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
47 ringgrp 19302 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
4919, 21, 38lmod1cl 19661 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5044, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5121, 36grpinvcl 18151 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
5248, 50, 51syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
531, 17, 18, 19, 21, 43, 2, 7, 11, 3, 52, 6, 34lcdvsval 38845 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑅)((invg𝑅)‘(1r𝑅))))
541, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 6, 34lcdvbasecl 38837 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
5521, 43, 38, 36, 46, 54rngnegr 19348 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺𝑋)(.r𝑅)((invg𝑅)‘(1r𝑅))) = ((invg𝑅)‘(𝐺𝑋)))
5642, 53, 553eqtrd 2863 . . . 4 (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((invg𝑅)‘(𝐺𝑋)))
5756oveq2d 7165 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋)) = ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑋))))
581, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 5, 34lcdvbasecl 38837 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
59 lcdvsubval.s . . . . 5 𝑆 = (-g𝑅)
6021, 20, 36, 59grpsubval 18149 . . . 4 (((𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)) = ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑋))))
6158, 54, 60syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)) = ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑋))))
6257, 61eqtr4d 2862 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋)) = ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)))
6316, 35, 623eqtrd 2863 1 (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  cfv 6343  (class class class)co 7149  Basecbs 16483  +gcplusg 16565  .rcmulr 16566  Scalarcsca 16568   ·𝑠 cvsca 16569  Grpcgrp 18103  invgcminusg 18104  -gcsg 18105  1rcur 19251  Ringcrg 19297  LModclmod 19634  HLchlt 36591  LHypclh 37225  DVecHcdvh 38319  LCDualclcd 38827
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-cnex 10591  ax-resscn 10592  ax-1cn 10593  ax-icn 10594  ax-addcl 10595  ax-addrcl 10596  ax-mulcl 10597  ax-mulrcl 10598  ax-mulcom 10599  ax-addass 10600  ax-mulass 10601  ax-distr 10602  ax-i2m1 10603  ax-1ne0 10604  ax-1rid 10605  ax-rnegex 10606  ax-rrecex 10607  ax-cnre 10608  ax-pre-lttri 10609  ax-pre-lttrn 10610  ax-pre-ltadd 10611  ax-pre-mulgt0 10612  ax-riotaBAD 36194
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-iin 4908  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-of 7403  df-om 7575  df-1st 7684  df-2nd 7685  df-tpos 7888  df-undef 7935  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-oadd 8102  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-fin 8509  df-pnf 10675  df-mnf 10676  df-xr 10677  df-ltxr 10678  df-le 10679  df-sub 10870  df-neg 10871  df-nn 11635  df-2 11697  df-3 11698  df-4 11699  df-5 11700  df-6 11701  df-n0 11895  df-z 11979  df-uz 12241  df-fz 12895  df-struct 16485  df-ndx 16486  df-slot 16487  df-base 16489  df-sets 16490  df-ress 16491  df-plusg 16578  df-mulr 16579  df-sca 16581  df-vsca 16582  df-0g 16715  df-mre 16857  df-mrc 16858  df-acs 16860  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-p1 17650  df-lat 17656  df-clat 17718  df-mgm 17852  df-sgrp 17901  df-mnd 17912  df-submnd 17957  df-grp 18106  df-minusg 18107  df-sbg 18108  df-subg 18276  df-cntz 18447  df-oppg 18474  df-lsm 18761  df-cmn 18908  df-abl 18909  df-mgp 19240  df-ur 19252  df-ring 19299  df-oppr 19376  df-dvdsr 19394  df-unit 19395  df-invr 19425  df-dvr 19436  df-drng 19504  df-lmod 19636  df-lss 19704  df-lsp 19744  df-lvec 19875  df-lsatoms 36217  df-lshyp 36218  df-lcv 36260  df-lfl 36299  df-lkr 36327  df-ldual 36365  df-oposet 36417  df-ol 36419  df-oml 36420  df-covers 36507  df-ats 36508  df-atl 36539  df-cvlat 36563  df-hlat 36592  df-llines 36739  df-lplanes 36740  df-lvols 36741  df-lines 36742  df-psubsp 36744  df-pmap 36745  df-padd 37037  df-lhyp 37229  df-laut 37230  df-ldil 37345  df-ltrn 37346  df-trl 37400  df-tgrp 37984  df-tendo 37996  df-edring 37998  df-dveca 38244  df-disoa 38270  df-dvech 38320  df-dib 38380  df-dic 38414  df-dih 38470  df-doch 38589  df-djh 38636  df-lcdual 38828
This theorem is referenced by:  hdmapinvlem3  39161
  Copyright terms: Public domain W3C validator