Theorem lcdvsubval 37772

Description: The value of the value of vector addition in the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvsubval.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvsubval.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsubval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcdvsubval.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
lcdvsubval.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝑅)
lcdvsubval.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsubval.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
lcdvsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐶)
lcdvsubval.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcdvsubval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
lcdvsubval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
lcdvsubval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lcdvsubval	⊢ (𝜑 → ((𝐹 − 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)))

Proof of Theorem lcdvsubval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvsubval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdvsubval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdvsubval.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 37746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		lcdvsubval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
6		lcdvsubval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
7		lcdvsubval.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
8		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
9		lcdvsubval.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐶)
10		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
11		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐶) = ( ·𝑠 ‘𝐶)
12		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(Scalar‘𝐶))
13		eqid 2778	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
14	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lmodvsubval2 19310	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)))
15	4, 5, 6, 14	syl3anc 1439	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)))
16	15	fveq1d 6448	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 − 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹(+g‘𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺))‘𝑋))
17		lcdvsubval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
18		lcdvsubval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
19		lcdvsubval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
20		eqid 2778	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
21		eqid 2778	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22	10	lmodfgrp 19264	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → (Scalar‘𝐶) ∈ Grp)
23	4, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) ∈ Grp)
24	10	lmodring 19263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → (Scalar‘𝐶) ∈ Ring)
25	4, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) ∈ Ring)
26		eqid 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
27	26, 13	ringidcl 18955	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝐶) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
28	25, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
29	26, 12	grpinvcl 17854	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝐶) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))) → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
30	23, 28, 29	syl2anc 579	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
31	1, 17, 19, 21, 2, 10, 26, 3	lcdsbase 37754	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘𝑅))
32	30, 31	eleqtrd 2861	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘𝑅))
33	1, 17, 19, 21, 2, 7, 11, 3, 32, 6	lcdvscl 37759	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺) ∈ 𝐷)
34		lcdvsubval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	1, 17, 18, 19, 20, 2, 7, 8, 3, 5, 33, 34	lcdvaddval 37752	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(+g‘𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺))‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋)))
36		eqid 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
37	1, 17, 19, 36, 2, 10, 12, 3	lcdneg 37764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘𝑅))
38		eqid 2778	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
39	1, 17, 19, 38, 2, 10, 13, 3	lcd1 37763	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘𝑅))
40	37, 39	fveq12d 6453	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
41	40	oveq1d 6937	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺) = (((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺))
42	41	fveq1d 6448	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋))
43		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
44	1, 17, 3	dvhlmod 37264	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
45	19	lmodring 19263	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
47		ringgrp 18939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
49	19, 21, 38	lmod1cl 19282	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
50	44, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
51	21, 36	grpinvcl 17854	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
52	48, 50, 51	syl2anc 579	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
53	1, 17, 18, 19, 21, 43, 2, 7, 11, 3, 52, 6, 34	lcdvsval 37758	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))))
54	1, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 6, 34	lcdvbasecl 37750	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
55	21, 43, 38, 36, 46, 54	rngnegr 18982	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))) = ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋)))
56	42, 53, 55	3eqtrd 2818	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋)))
57	56	oveq2d 6938	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋))))
58	1, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 5, 34	lcdvbasecl 37750	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
59		lcdvsubval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝑅)
60	21, 20, 36, 59	grpsubval 17852	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋))))
61	58, 54, 60	syl2anc 579	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋))))
62	57, 61	eqtr4d 2817	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)))
63	16, 35, 62	3eqtrd 2818	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 − 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  +_gcplusg 16338  ._rcmulr 16339  Scalarcsca 16341   ·_𝑠 cvsca 16342  Grpcgrp 17809  inv_gcminusg 17810  -_gcsg 17811  1_rcur 18888  Ringcrg 18934  LModclmod 19255  HLchlt 35504  LHypclh 36138  DVecHcdvh 37232  LCDualclcd 37740

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-riotaBAD 35107

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-undef 7681  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-0g 16488  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-oppg 18159  df-lsm 18435  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-lvec 19498  df-lsatoms 35130  df-lshyp 35131  df-lcv 35173  df-lfl 35212  df-lkr 35240  df-ldual 35278  df-oposet 35330  df-ol 35332  df-oml 35333  df-covers 35420  df-ats 35421  df-atl 35452  df-cvlat 35476  df-hlat 35505  df-llines 35652  df-lplanes 35653  df-lvols 35654  df-lines 35655  df-psubsp 35657  df-pmap 35658  df-padd 35950  df-lhyp 36142  df-laut 36143  df-ldil 36258  df-ltrn 36259  df-trl 36313  df-tgrp 36897  df-tendo 36909  df-edring 36911  df-dveca 37157  df-disoa 37183  df-dvech 37233  df-dib 37293  df-dic 37327  df-dih 37383  df-doch 37502  df-djh 37549  df-lcdual 37741

This theorem is referenced by:  hdmapinvlem3  38074