Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcdvsubval 41000
Description: The value of the value of vector addition in the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvsubval.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lcdvsubval.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcdvsubval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcdvsubval.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lcdvsubval.s 𝑆 = (-gβ€˜π‘…)
lcdvsubval.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcdvsubval.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
lcdvsubval.m βˆ’ = (-gβ€˜πΆ)
lcdvsubval.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lcdvsubval.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
lcdvsubval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐷)
lcdvsubval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lcdvsubval (πœ‘ β†’ ((𝐹 βˆ’ 𝐺)β€˜π‘‹) = ((πΉβ€˜π‘‹)𝑆(πΊβ€˜π‘‹)))

Proof of Theorem lcdvsubval
StepHypRef Expression
1 lcdvsubval.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 lcdvsubval.c . . . . 5 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 lcdvsubval.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 40974 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
5 lcdvsubval.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
6 lcdvsubval.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐷)
7 lcdvsubval.d . . . . 5 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
8 eqid 2726 . . . . 5 (+gβ€˜πΆ) = (+gβ€˜πΆ)
9 lcdvsubval.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜πΆ)
10 eqid 2726 . . . . 5 (Scalarβ€˜πΆ) = (Scalarβ€˜πΆ)
11 eqid 2726 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜πΆ) = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
12 eqid 2726 . . . . 5 (invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
13 eqid 2726 . . . . 5 (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 20761 . . . 4 ((𝐢 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 βˆ’ 𝐺) = (𝐹(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)))
154, 5, 6, 14syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆ’ 𝐺) = (𝐹(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)))
1615fveq1d 6886 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 βˆ’ 𝐺)β€˜π‘‹) = ((𝐹(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺))β€˜π‘‹))
17 lcdvsubval.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
18 lcdvsubval.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
19 lcdvsubval.r . . 3 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
20 eqid 2726 . . 3 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
21 eqid 2726 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2210lmodfgrp 20713 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜πΆ) ∈ Grp)
234, 22syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜πΆ) ∈ Grp)
2410lmodring 20712 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜πΆ) ∈ Ring)
254, 24syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜πΆ) ∈ Ring)
26 eqid 2726 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
2726, 13ringidcl 20163 . . . . . . 7 ((Scalarβ€˜πΆ) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
2825, 27syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
2926, 12grpinvcl 18915 . . . . . 6 (((Scalarβ€˜πΆ) ∈ Grp ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
3023, 28, 29syl2anc 583 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
311, 17, 19, 21, 2, 10, 26, 3lcdsbase 40982 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜π‘…))
3230, 31eleqtrd 2829 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
331, 17, 19, 21, 2, 7, 11, 3, 32, 6lcdvscl 40987 . . 3 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺) ∈ 𝐷)
34 lcdvsubval.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
351, 17, 18, 19, 20, 2, 7, 8, 3, 5, 33, 34lcdvaddval 40980 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺))β€˜π‘‹) = ((πΉβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)β€˜π‘‹)))
36 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
371, 17, 19, 36, 2, 10, 12, 3lcdneg 40992 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (invgβ€˜π‘…))
38 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
391, 17, 19, 38, 2, 10, 13, 3lcd1 40991 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (1rβ€˜π‘…))
4037, 39fveq12d 6891 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)))
4140oveq1d 7419 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺) = (((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺))
4241fveq1d 6886 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)β€˜π‘‹) = ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)β€˜π‘‹))
43 eqid 2726 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
441, 17, 3dvhlmod 40492 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
4519lmodring 20712 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
47 ringgrp 20141 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
4919, 21, 38lmod1cl 20733 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5044, 49syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5121, 36grpinvcl 18915 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5248, 50, 51syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
531, 17, 18, 19, 21, 43, 2, 7, 11, 3, 52, 6, 34lcdvsval 40986 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))))
541, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 6, 34lcdvbasecl 40978 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5521, 43, 38, 36, 46, 54ringnegr 20200 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))
5642, 53, 553eqtrd 2770 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)β€˜π‘‹) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))
5756oveq2d 7420 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)β€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))))
581, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 5, 34lcdvbasecl 40978 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
59 lcdvsubval.s . . . . 5 𝑆 = (-gβ€˜π‘…)
6021, 20, 36, 59grpsubval 18913 . . . 4 (((πΉβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)𝑆(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))))
6158, 54, 60syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)𝑆(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))))
6257, 61eqtr4d 2769 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)β€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜π‘‹)𝑆(πΊβ€˜π‘‹)))
6316, 35, 623eqtrd 2770 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 βˆ’ 𝐺)β€˜π‘‹) = ((πΉβ€˜π‘‹)𝑆(πΊβ€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  Basecbs 17151  +gcplusg 17204  .rcmulr 17205  Scalarcsca 17207   ·𝑠 cvsca 17208  Grpcgrp 18861  invgcminusg 18862  -gcsg 18863  1rcur 20084  Ringcrg 20136  LModclmod 20704  HLchlt 38731  LHypclh 39366  DVecHcdvh 40460  LCDualclcd 40968
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-riotaBAD 38334
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8209  df-undef 8256  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-sca 17220  df-vsca 17221  df-0g 17394  df-mre 17537  df-mrc 17538  df-acs 17540  df-proset 18258  df-poset 18276  df-plt 18293  df-lub 18309  df-glb 18310  df-join 18311  df-meet 18312  df-p0 18388  df-p1 18389  df-lat 18395  df-clat 18462  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-sbg 18866  df-subg 19048  df-cntz 19231  df-oppg 19260  df-lsm 19554  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-rng 20056  df-ur 20085  df-ring 20138  df-oppr 20234  df-dvdsr 20257  df-unit 20258  df-invr 20288  df-dvr 20301  df-drng 20587  df-lmod 20706  df-lss 20777  df-lsp 20817  df-lvec 20949  df-lsatoms 38357  df-lshyp 38358  df-lcv 38400  df-lfl 38439  df-lkr 38467  df-ldual 38505  df-oposet 38557  df-ol 38559  df-oml 38560  df-covers 38647  df-ats 38648  df-atl 38679  df-cvlat 38703  df-hlat 38732  df-llines 38880  df-lplanes 38881  df-lvols 38882  df-lines 38883  df-psubsp 38885  df-pmap 38886  df-padd 39178  df-lhyp 39370  df-laut 39371  df-ldil 39486  df-ltrn 39487  df-trl 39541  df-tgrp 40125  df-tendo 40137  df-edring 40139  df-dveca 40385  df-disoa 40411  df-dvech 40461  df-dib 40521  df-dic 40555  df-dih 40611  df-doch 40730  df-djh 40777  df-lcdual 40969
This theorem is referenced by:  hdmapinvlem3  41302
  Copyright terms: Public domain W3C validator