Theorem lcdvsubval 42768

Description: The value of the value of vector addition in the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvsubval.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvsubval.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsubval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcdvsubval.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
lcdvsubval.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝑅)
lcdvsubval.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsubval.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
lcdvsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐶)
lcdvsubval.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcdvsubval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
lcdvsubval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
lcdvsubval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lcdvsubval	⊢ (𝜑 → ((𝐹 − 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)))

Proof of Theorem lcdvsubval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvsubval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdvsubval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdvsubval.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 42742	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		lcdvsubval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
6		lcdvsubval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
7		lcdvsubval.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
8		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
9		lcdvsubval.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐶)
10		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
11		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐶) = ( ·𝑠 ‘𝐶)
12		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(Scalar‘𝐶))
13		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
14	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lmodvsubval2 21197	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)))
15	4, 5, 6, 14	syl3anc 1398	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)))
16	15	fveq1d 6887	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 − 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹(+g‘𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺))‘𝑋))
17		lcdvsubval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
18		lcdvsubval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
19		lcdvsubval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
20		eqid 2760	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
21		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22	10	lmodfgrp 21149	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → (Scalar‘𝐶) ∈ Grp)
23	4, 22	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) ∈ Grp)
24	10	lmodring 21148	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → (Scalar‘𝐶) ∈ Ring)
25	4, 24	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) ∈ Ring)
26		eqid 2760	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
27	26, 13	ringidcl 20499	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝐶) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
28	25, 27	syl 18	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
29	26, 12	grpinvcl 19203	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝐶) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))) → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
30	23, 28, 29	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
31	1, 17, 19, 21, 2, 10, 26, 3	lcdsbase 42750	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘𝑅))
32	30, 31	eleqtrd 2862	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘𝑅))
33	1, 17, 19, 21, 2, 7, 11, 3, 32, 6	lcdvscl 42755	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺) ∈ 𝐷)
34		lcdvsubval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	1, 17, 18, 19, 20, 2, 7, 8, 3, 5, 33, 34	lcdvaddval 42748	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(+g‘𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺))‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋)))
36		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
37	1, 17, 19, 36, 2, 10, 12, 3	lcdneg 42760	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘𝑅))
38		eqid 2760	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
39	1, 17, 19, 38, 2, 10, 13, 3	lcd1 42759	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘𝑅))
40	37, 39	fveq12d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
41	40	oveq1d 7435	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺) = (((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺))
42	41	fveq1d 6887	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋))
43		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
44	1, 17, 3	dvhlmod 42260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
45	19	lmodring 21148	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
46	44, 45	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
47		ringgrp 20469	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
48	46, 47	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
49	19, 21, 38	lmod1cl 21169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
50	44, 49	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
51	21, 36	grpinvcl 19203	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
52	48, 50, 51	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
53	1, 17, 18, 19, 21, 43, 2, 7, 11, 3, 52, 6, 34	lcdvsval 42754	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))))
54	1, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 6, 34	lcdvbasecl 42746	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
55	21, 43, 38, 36, 46, 54	ringnegr 20539	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))) = ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋)))
56	42, 53, 55	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋)))
57	56	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋))))
58	1, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 5, 34	lcdvbasecl 42746	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
59		lcdvsubval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝑅)
60	21, 20, 36, 59	grpsubval 19201	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋))))
61	58, 54, 60	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋))))
62	57, 61	eqtr4d 2798	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)))
63	16, 35, 62	3eqtrd 2799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 − 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17392  +_gcplusg 17433  ._rcmulr 17434  Scalarcsca 17436   ·_𝑠 cvsca 17437  Grpcgrp 19149  inv_gcminusg 19150  -_gcsg 19151  1_rcur 20412  Ringcrg 20464  LModclmod 21140  HLchlt 40500  LHypclh 41134  DVecHcdvh 42228  LCDualclcd 42736

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280  ax-riotaBAD 40103

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8246  df-undef 8293  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-2o 8480  df-er 8720  df-map 8852  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-n0 12610  df-z 12697  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-0g 17617  df-mre 17761  df-mrc 17762  df-acs 17764  df-proset 18473  df-poset 18492  df-plt 18507  df-lub 18523  df-glb 18524  df-join 18525  df-meet 18526  df-p0 18602  df-p1 18603  df-lat 18611  df-clat 18678  df-mgm 18821  df-sgrp 18913  df-mnd 18929  df-submnd 18984  df-grp 19152  df-minusg 19153  df-sbg 19154  df-subg 19338  df-cntz 19536  df-oppg 19565  df-lsm 19855  df-cmn 20001  df-abl 20002  df-mgp 20366  df-rng 20380  df-ur 20413  df-ring 20466  df-oppr 20572  df-dvdsr 20592  df-unit 20593  df-invr 20623  df-dvr 20636  df-nzr 20768  df-rlreg 20951  df-domn 20952  df-drng 20987  df-lmod 21142  df-lss 21212  df-lsp 21252  df-lvec 21383  df-lsatoms 40126  df-lshyp 40127  df-lcv 40169  df-lfl 40208  df-lkr 40236  df-ldual 40274  df-oposet 40326  df-ol 40328  df-oml 40329  df-covers 40416  df-ats 40417  df-atl 40448  df-cvlat 40472  df-hlat 40501  df-llines 40648  df-lplanes 40649  df-lvols 40650  df-lines 40651  df-psubsp 40653  df-pmap 40654  df-padd 40946  df-lhyp 41138  df-laut 41139  df-ldil 41254  df-ltrn 41255  df-trl 41309  df-tgrp 41893  df-tendo 41905  df-edring 41907  df-dveca 42153  df-disoa 42179  df-dvech 42229  df-dib 42289  df-dic 42323  df-dih 42379  df-doch 42498  df-djh 42545  df-lcdual 42737

This theorem is used by:  hdmapinvlem3  43070