Theorem lcdvsubval 42117

Description: The value of the value of vector addition in the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcdvsubval.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvsubval.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsubval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcdvsubval.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
lcdvsubval.s	⊢ 𝑆 = (-g‘𝑅)
lcdvsubval.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsubval.d	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
lcdvsubval.m	⊢ − = (-g‘𝐶)
lcdvsubval.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcdvsubval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
lcdvsubval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
lcdvsubval.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lcdvsubval	⊢ (𝜑 → ((𝐹 − 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)))

Proof of Theorem lcdvsubval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcdvsubval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		lcdvsubval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3		lcdvsubval.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
4	1, 2, 3	lcdlmod 42091	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
5		lcdvsubval.f	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐷)
6		lcdvsubval.g	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐷)
7		lcdvsubval.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐶)
8		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
9		lcdvsubval.m	. . . . 5 ⊢ − = (-g‘𝐶)
10		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
11		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐶) = ( ·𝑠 ‘𝐶)
12		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(Scalar‘𝐶))
13		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
14	7, 8, 9, 10, 11, 12, 13	lmodvsubval2 20914	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)))
15	4, 5, 6, 14	syl3anc 1379	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 − 𝐺) = (𝐹(+g‘𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)))
16	15	fveq1d 6836	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 − 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹(+g‘𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺))‘𝑋))
17		lcdvsubval.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
18		lcdvsubval.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
19		lcdvsubval.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
20		eqid 2740	. . 3 ⊢ (+g‘𝑅) = (+g‘𝑅)
21		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
22	10	lmodfgrp 20866	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → (Scalar‘𝐶) ∈ Grp)
23	4, 22	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) ∈ Grp)
24	10	lmodring 20865	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ LMod → (Scalar‘𝐶) ∈ Ring)
25	4, 24	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (Scalar‘𝐶) ∈ Ring)
26		eqid 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
27	26, 13	ringidcl 20244	. . . . . . 7 ⊢ ((Scalar‘𝐶) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
28	25, 27	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
29	26, 12	grpinvcl 18961	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝐶) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))) → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
30	23, 28, 29	syl2anc 590	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
31	1, 17, 19, 21, 2, 10, 26, 3	lcdsbase 42099	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘𝑅))
32	30, 31	eleqtrd 2842	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘𝑅))
33	1, 17, 19, 21, 2, 7, 11, 3, 32, 6	lcdvscl 42104	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺) ∈ 𝐷)
34		lcdvsubval.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
35	1, 17, 18, 19, 20, 2, 7, 8, 3, 5, 33, 34	lcdvaddval 42097	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹(+g‘𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺))‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋)))
36		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (invg‘𝑅) = (invg‘𝑅)
37	1, 17, 19, 36, 2, 10, 12, 3	lcdneg 42109	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘𝑅))
38		eqid 2740	. . . . . . . . 9 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
39	1, 17, 19, 38, 2, 10, 13, 3	lcd1 42108	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘𝑅))
40	37, 39	fveq12d 6841	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) = ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)))
41	40	oveq1d 7378	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺) = (((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺))
42	41	fveq1d 6836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋))
43		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
44	1, 17, 3	dvhlmod 41609	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
45	19	lmodring 20865	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
46	44, 45	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Ring)
47		ringgrp 20217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
48	46, 47	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ Grp)
49	19, 21, 38	lmod1cl 20886	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ LMod → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
50	44, 49	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
51	21, 36	grpinvcl 18961	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
52	48, 50, 51	syl2anc 590	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
53	1, 17, 18, 19, 21, 43, 2, 7, 11, 3, 52, 6, 34	lcdvsval 42103	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))))
54	1, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 6, 34	lcdvbasecl 42095	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
55	21, 43, 38, 36, 46, 54	ringnegr 20282	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝑋)(.r‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(1r‘𝑅))) = ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋)))
56	42, 53, 55	3eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋)))
57	56	oveq2d 7379	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋))))
58	1, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 5, 34	lcdvbasecl 42095	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
59		lcdvsubval.s	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (-g‘𝑅)
60	21, 20, 36, 59	grpsubval 18959	. . . 4 ⊢ (((𝐹‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺‘𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋))))
61	58, 54, 60	syl2anc 590	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((invg‘𝑅)‘(𝐺‘𝑋))))
62	57, 61	eqtr4d 2778	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐹‘𝑋)(+g‘𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠 ‘𝐶)𝐺)‘𝑋)) = ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)))
63	16, 35, 62	3eqtrd 2779	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐹 − 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)𝑆(𝐺‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  Basecbs 17177  +_gcplusg 17218  ._rcmulr 17219  Scalarcsca 17221   ·_𝑠 cvsca 17222  Grpcgrp 18907  inv_gcminusg 18908  -_gcsg 18909  1_rcur 20160  Ringcrg 20212  LModclmod 20857  HLchlt 39849  LHypclh 40483  DVecHcdvh 41577  LCDualclcd 42085

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-riotaBAD 39452

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-tpos 8173  df-undef 8220  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-er 8640  df-map 8772  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-n0 12436  df-z 12523  df-uz 12787  df-fz 13460  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-0g 17402  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-proset 18258  df-poset 18277  df-plt 18292  df-lub 18308  df-glb 18309  df-join 18310  df-meet 18311  df-p0 18387  df-p1 18388  df-lat 18396  df-clat 18463  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-grp 18910  df-minusg 18911  df-sbg 18912  df-subg 19097  df-cntz 19290  df-oppg 19319  df-lsm 19609  df-cmn 19755  df-abl 19756  df-mgp 20120  df-rng 20132  df-ur 20161  df-ring 20214  df-oppr 20315  df-dvdsr 20335  df-unit 20336  df-invr 20366  df-dvr 20379  df-nzr 20492  df-rlreg 20673  df-domn 20674  df-drng 20710  df-lmod 20859  df-lss 20929  df-lsp 20969  df-lvec 21100  df-lsatoms 39475  df-lshyp 39476  df-lcv 39518  df-lfl 39557  df-lkr 39585  df-ldual 39623  df-oposet 39675  df-ol 39677  df-oml 39678  df-covers 39765  df-ats 39766  df-atl 39797  df-cvlat 39821  df-hlat 39850  df-llines 39997  df-lplanes 39998  df-lvols 39999  df-lines 40000  df-psubsp 40002  df-pmap 40003  df-padd 40295  df-lhyp 40487  df-laut 40488  df-ldil 40603  df-ltrn 40604  df-trl 40658  df-tgrp 41242  df-tendo 41254  df-edring 41256  df-dveca 41502  df-disoa 41528  df-dvech 41578  df-dib 41638  df-dic 41672  df-dih 41728  df-doch 41847  df-djh 41894  df-lcdual 42086

This theorem is referenced by:  hdmapinvlem3  42419