Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcdvsubval 40081
Description: The value of the value of vector addition in the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvsubval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvsubval.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsubval.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcdvsubval.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
lcdvsubval.s 𝑆 = (-g𝑅)
lcdvsubval.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsubval.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
lcdvsubval.m = (-g𝐶)
lcdvsubval.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcdvsubval.f (𝜑𝐹𝐷)
lcdvsubval.g (𝜑𝐺𝐷)
lcdvsubval.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lcdvsubval (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)))

Proof of Theorem lcdvsubval
StepHypRef Expression
1 lcdvsubval.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcdvsubval.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 lcdvsubval.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 40055 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 lcdvsubval.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
6 lcdvsubval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐷)
7 lcdvsubval.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐶)
8 eqid 2736 . . . . 5 (+g𝐶) = (+g𝐶)
9 lcdvsubval.m . . . . 5 = (-g𝐶)
10 eqid 2736 . . . . 5 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
11 eqid 2736 . . . . 5 ( ·𝑠𝐶) = ( ·𝑠𝐶)
12 eqid 2736 . . . . 5 (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(Scalar‘𝐶))
13 eqid 2736 . . . . 5 (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 20377 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)))
154, 5, 6, 14syl3anc 1371 . . 3 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)))
1615fveq1d 6844 . 2 (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹(+g𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺))‘𝑋))
17 lcdvsubval.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
18 lcdvsubval.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
19 lcdvsubval.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
20 eqid 2736 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
21 eqid 2736 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2210lmodfgrp 20331 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ LMod → (Scalar‘𝐶) ∈ Grp)
234, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Scalar‘𝐶) ∈ Grp)
2410lmodring 20330 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ LMod → (Scalar‘𝐶) ∈ Ring)
254, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Scalar‘𝐶) ∈ Ring)
26 eqid 2736 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
2726, 13ringidcl 19989 . . . . . . 7 ((Scalar‘𝐶) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
2825, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
2926, 12grpinvcl 18798 . . . . . 6 (((Scalar‘𝐶) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))) → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
3023, 28, 29syl2anc 584 . . . . 5 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
311, 17, 19, 21, 2, 10, 26, 3lcdsbase 40063 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘𝑅))
3230, 31eleqtrd 2840 . . . 4 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘𝑅))
331, 17, 19, 21, 2, 7, 11, 3, 32, 6lcdvscl 40068 . . 3 (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺) ∈ 𝐷)
34 lcdvsubval.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
351, 17, 18, 19, 20, 2, 7, 8, 3, 5, 33, 34lcdvaddval 40061 . 2 (𝜑 → ((𝐹(+g𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺))‘𝑋) = ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋)))
36 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (invg𝑅) = (invg𝑅)
371, 17, 19, 36, 2, 10, 12, 3lcdneg 40073 . . . . . . . 8 (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg𝑅))
38 eqid 2736 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
391, 17, 19, 38, 2, 10, 13, 3lcd1 40072 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r𝑅))
4037, 39fveq12d 6849 . . . . . . 7 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
4140oveq1d 7372 . . . . . 6 (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺) = (((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐶)𝐺))
4241fveq1d 6844 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋))
43 eqid 2736 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
441, 17, 3dvhlmod 39573 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
4519lmodring 20330 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
47 ringgrp 19969 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
4919, 21, 38lmod1cl 20349 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5044, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5121, 36grpinvcl 18798 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
5248, 50, 51syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
531, 17, 18, 19, 21, 43, 2, 7, 11, 3, 52, 6, 34lcdvsval 40067 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑅)((invg𝑅)‘(1r𝑅))))
541, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 6, 34lcdvbasecl 40059 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
5521, 43, 38, 36, 46, 54ringnegr 20019 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺𝑋)(.r𝑅)((invg𝑅)‘(1r𝑅))) = ((invg𝑅)‘(𝐺𝑋)))
5642, 53, 553eqtrd 2780 . . . 4 (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((invg𝑅)‘(𝐺𝑋)))
5756oveq2d 7373 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋)) = ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑋))))
581, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 5, 34lcdvbasecl 40059 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
59 lcdvsubval.s . . . . 5 𝑆 = (-g𝑅)
6021, 20, 36, 59grpsubval 18796 . . . 4 (((𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)) = ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑋))))
6158, 54, 60syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)) = ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑋))))
6257, 61eqtr4d 2779 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋)) = ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)))
6316, 35, 623eqtrd 2780 1 (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  +gcplusg 17133  .rcmulr 17134  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  Grpcgrp 18748  invgcminusg 18749  -gcsg 18750  1rcur 19913  Ringcrg 19964  LModclmod 20322  HLchlt 37812  LHypclh 38447  DVecHcdvh 39541  LCDualclcd 40049
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-riotaBAD 37415
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-undef 8204  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-0g 17323  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-oppg 19124  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564  df-lsatoms 37438  df-lshyp 37439  df-lcv 37481  df-lfl 37520  df-lkr 37548  df-ldual 37586  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622  df-tgrp 39206  df-tendo 39218  df-edring 39220  df-dveca 39466  df-disoa 39492  df-dvech 39542  df-dib 39602  df-dic 39636  df-dih 39692  df-doch 39811  df-djh 39858  df-lcdual 40050
This theorem is referenced by:  hdmapinvlem3  40383
  Copyright terms: Public domain W3C validator