Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcdvsubval 41123
Description: The value of the value of vector addition in the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvsubval.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lcdvsubval.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcdvsubval.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcdvsubval.r 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lcdvsubval.s 𝑆 = (-gβ€˜π‘…)
lcdvsubval.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcdvsubval.d 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
lcdvsubval.m βˆ’ = (-gβ€˜πΆ)
lcdvsubval.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lcdvsubval.f (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
lcdvsubval.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐷)
lcdvsubval.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lcdvsubval (πœ‘ β†’ ((𝐹 βˆ’ 𝐺)β€˜π‘‹) = ((πΉβ€˜π‘‹)𝑆(πΊβ€˜π‘‹)))

Proof of Theorem lcdvsubval
StepHypRef Expression
1 lcdvsubval.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
2 lcdvsubval.c . . . . 5 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
3 lcdvsubval.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 41097 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LMod)
5 lcdvsubval.f . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ 𝐷)
6 lcdvsubval.g . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐷)
7 lcdvsubval.d . . . . 5 𝐷 = (Baseβ€˜πΆ)
8 eqid 2728 . . . . 5 (+gβ€˜πΆ) = (+gβ€˜πΆ)
9 lcdvsubval.m . . . . 5 βˆ’ = (-gβ€˜πΆ)
10 eqid 2728 . . . . 5 (Scalarβ€˜πΆ) = (Scalarβ€˜πΆ)
11 eqid 2728 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜πΆ) = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
12 eqid 2728 . . . . 5 (invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
13 eqid 2728 . . . . 5 (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 20807 . . . 4 ((𝐢 ∈ LMod ∧ 𝐹 ∈ 𝐷 ∧ 𝐺 ∈ 𝐷) β†’ (𝐹 βˆ’ 𝐺) = (𝐹(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)))
154, 5, 6, 14syl3anc 1368 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 βˆ’ 𝐺) = (𝐹(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)))
1615fveq1d 6904 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹 βˆ’ 𝐺)β€˜π‘‹) = ((𝐹(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺))β€˜π‘‹))
17 lcdvsubval.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
18 lcdvsubval.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
19 lcdvsubval.r . . 3 𝑅 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
20 eqid 2728 . . 3 (+gβ€˜π‘…) = (+gβ€˜π‘…)
21 eqid 2728 . . . 4 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
2210lmodfgrp 20759 . . . . . . 7 (𝐢 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜πΆ) ∈ Grp)
234, 22syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜πΆ) ∈ Grp)
2410lmodring 20758 . . . . . . . 8 (𝐢 ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜πΆ) ∈ Ring)
254, 24syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (Scalarβ€˜πΆ) ∈ Ring)
26 eqid 2728 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))
2726, 13ringidcl 20209 . . . . . . 7 ((Scalarβ€˜πΆ) ∈ Ring β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
2825, 27syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
2926, 12grpinvcl 18951 . . . . . 6 (((Scalarβ€˜πΆ) ∈ Grp ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
3023, 28, 29syl2anc 582 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))
311, 17, 19, 21, 2, 10, 26, 3lcdsbase 41105 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (Baseβ€˜π‘…))
3230, 31eleqtrd 2831 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
331, 17, 19, 21, 2, 7, 11, 3, 32, 6lcdvscl 41110 . . 3 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺) ∈ 𝐷)
34 lcdvsubval.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
351, 17, 18, 19, 20, 2, 7, 8, 3, 5, 33, 34lcdvaddval 41103 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐹(+gβ€˜πΆ)(((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺))β€˜π‘‹) = ((πΉβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)β€˜π‘‹)))
36 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (invgβ€˜π‘…) = (invgβ€˜π‘…)
371, 17, 19, 36, 2, 10, 12, 3lcdneg 41115 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (invgβ€˜π‘…))
38 eqid 2728 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
391, 17, 19, 38, 2, 10, 13, 3lcd1 41114 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)) = (1rβ€˜π‘…))
4037, 39fveq12d 6909 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)))
4140oveq1d 7441 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺) = (((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺))
4241fveq1d 6904 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)β€˜π‘‹) = ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)β€˜π‘‹))
43 eqid 2728 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
441, 17, 3dvhlmod 40615 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
4519lmodring 20758 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝑅 ∈ Ring)
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Ring)
47 ringgrp 20185 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ Grp)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ Grp)
4919, 21, 38lmod1cl 20779 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5044, 49syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5121, 36grpinvcl 18951 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5248, 50, 51syl2anc 582 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
531, 17, 18, 19, 21, 43, 2, 7, 11, 3, 52, 6, 34lcdvsval 41109 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))))
541, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 6, 34lcdvbasecl 41101 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5521, 43, 38, 36, 46, 54ringnegr 20246 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘‹)(.rβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(1rβ€˜π‘…))) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))
5642, 53, 553eqtrd 2772 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)β€˜π‘‹) = ((invgβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘‹)))
5756oveq2d 7442 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)β€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))))
581, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 5, 34lcdvbasecl 41101 . . . 4 (πœ‘ β†’ (πΉβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
59 lcdvsubval.s . . . . 5 𝑆 = (-gβ€˜π‘…)
6021, 20, 36, 59grpsubval 18949 . . . 4 (((πΉβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)𝑆(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))))
6158, 54, 60syl2anc 582 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)𝑆(πΊβ€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((invgβ€˜π‘…)β€˜(πΊβ€˜π‘‹))))
6257, 61eqtr4d 2771 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΉβ€˜π‘‹)(+gβ€˜π‘…)((((invgβ€˜(Scalarβ€˜πΆ))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜πΆ)))( ·𝑠 β€˜πΆ)𝐺)β€˜π‘‹)) = ((πΉβ€˜π‘‹)𝑆(πΊβ€˜π‘‹)))
6316, 35, 623eqtrd 2772 1 (πœ‘ β†’ ((𝐹 βˆ’ 𝐺)β€˜π‘‹) = ((πΉβ€˜π‘‹)𝑆(πΊβ€˜π‘‹)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  +gcplusg 17240  .rcmulr 17241  Scalarcsca 17243   ·𝑠 cvsca 17244  Grpcgrp 18897  invgcminusg 18898  -gcsg 18899  1rcur 20128  Ringcrg 20180  LModclmod 20750  HLchlt 38854  LHypclh 39489  DVecHcdvh 40583  LCDualclcd 41091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223  ax-riotaBAD 38457
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-uni 4913  df-int 4954  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-of 7691  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-tpos 8238  df-undef 8285  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-0g 17430  df-mre 17573  df-mrc 17574  df-acs 17576  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-p1 18425  df-lat 18431  df-clat 18498  df-mgm 18607  df-sgrp 18686  df-mnd 18702  df-submnd 18748  df-grp 18900  df-minusg 18901  df-sbg 18902  df-subg 19085  df-cntz 19275  df-oppg 19304  df-lsm 19598  df-cmn 19744  df-abl 19745  df-mgp 20082  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20280  df-dvdsr 20303  df-unit 20304  df-invr 20334  df-dvr 20347  df-drng 20633  df-lmod 20752  df-lss 20823  df-lsp 20863  df-lvec 20995  df-lsatoms 38480  df-lshyp 38481  df-lcv 38523  df-lfl 38562  df-lkr 38590  df-ldual 38628  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-llines 39003  df-lplanes 39004  df-lvols 39005  df-lines 39006  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301  df-lhyp 39493  df-laut 39494  df-ldil 39609  df-ltrn 39610  df-trl 39664  df-tgrp 40248  df-tendo 40260  df-edring 40262  df-dveca 40508  df-disoa 40534  df-dvech 40584  df-dib 40644  df-dic 40678  df-dih 40734  df-doch 40853  df-djh 40900  df-lcdual 41092
This theorem is referenced by:  hdmapinvlem3  41425
  Copyright terms: Public domain W3C validator