Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcdvsubval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcdvsubval 37772
Description: The value of the value of vector addition in the closed kernel vector space dual. (Contributed by NM, 11-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcdvsubval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcdvsubval.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsubval.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcdvsubval.r 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
lcdvsubval.s 𝑆 = (-g𝑅)
lcdvsubval.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
lcdvsubval.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
lcdvsubval.m = (-g𝐶)
lcdvsubval.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
lcdvsubval.f (𝜑𝐹𝐷)
lcdvsubval.g (𝜑𝐺𝐷)
lcdvsubval.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lcdvsubval (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)))

Proof of Theorem lcdvsubval
StepHypRef Expression
1 lcdvsubval.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2 lcdvsubval.c . . . . 5 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
3 lcdvsubval.k . . . . 5 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
41, 2, 3lcdlmod 37746 . . . 4 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
5 lcdvsubval.f . . . 4 (𝜑𝐹𝐷)
6 lcdvsubval.g . . . 4 (𝜑𝐺𝐷)
7 lcdvsubval.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐶)
8 eqid 2778 . . . . 5 (+g𝐶) = (+g𝐶)
9 lcdvsubval.m . . . . 5 = (-g𝐶)
10 eqid 2778 . . . . 5 (Scalar‘𝐶) = (Scalar‘𝐶)
11 eqid 2778 . . . . 5 ( ·𝑠𝐶) = ( ·𝑠𝐶)
12 eqid 2778 . . . . 5 (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg‘(Scalar‘𝐶))
13 eqid 2778 . . . . 5 (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r‘(Scalar‘𝐶))
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13lmodvsubval2 19310 . . . 4 ((𝐶 ∈ LMod ∧ 𝐹𝐷𝐺𝐷) → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)))
154, 5, 6, 14syl3anc 1439 . . 3 (𝜑 → (𝐹 𝐺) = (𝐹(+g𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)))
1615fveq1d 6448 . 2 (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹(+g𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺))‘𝑋))
17 lcdvsubval.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
18 lcdvsubval.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
19 lcdvsubval.r . . 3 𝑅 = (Scalar‘𝑈)
20 eqid 2778 . . 3 (+g𝑅) = (+g𝑅)
21 eqid 2778 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2210lmodfgrp 19264 . . . . . . 7 (𝐶 ∈ LMod → (Scalar‘𝐶) ∈ Grp)
234, 22syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (Scalar‘𝐶) ∈ Grp)
2410lmodring 19263 . . . . . . . 8 (𝐶 ∈ LMod → (Scalar‘𝐶) ∈ Ring)
254, 24syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (Scalar‘𝐶) ∈ Ring)
26 eqid 2778 . . . . . . . 8 (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘(Scalar‘𝐶))
2726, 13ringidcl 18955 . . . . . . 7 ((Scalar‘𝐶) ∈ Ring → (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
2825, 27syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
2926, 12grpinvcl 17854 . . . . . 6 (((Scalar‘𝐶) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝐶)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶))) → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
3023, 28, 29syl2anc 579 . . . . 5 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝐶)))
311, 17, 19, 21, 2, 10, 26, 3lcdsbase 37754 . . . . 5 (𝜑 → (Base‘(Scalar‘𝐶)) = (Base‘𝑅))
3230, 31eleqtrd 2861 . . . 4 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) ∈ (Base‘𝑅))
331, 17, 19, 21, 2, 7, 11, 3, 32, 6lcdvscl 37759 . . 3 (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺) ∈ 𝐷)
34 lcdvsubval.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
351, 17, 18, 19, 20, 2, 7, 8, 3, 5, 33, 34lcdvaddval 37752 . 2 (𝜑 → ((𝐹(+g𝐶)(((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺))‘𝑋) = ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋)))
36 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (invg𝑅) = (invg𝑅)
371, 17, 19, 36, 2, 10, 12, 3lcdneg 37764 . . . . . . . 8 (𝜑 → (invg‘(Scalar‘𝐶)) = (invg𝑅))
38 eqid 2778 . . . . . . . . 9 (1r𝑅) = (1r𝑅)
391, 17, 19, 38, 2, 10, 13, 3lcd1 37763 . . . . . . . 8 (𝜑 → (1r‘(Scalar‘𝐶)) = (1r𝑅))
4037, 39fveq12d 6453 . . . . . . 7 (𝜑 → ((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶))) = ((invg𝑅)‘(1r𝑅)))
4140oveq1d 6937 . . . . . 6 (𝜑 → (((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺) = (((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐶)𝐺))
4241fveq1d 6448 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋))
43 eqid 2778 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
441, 17, 3dvhlmod 37264 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
4519lmodring 19263 . . . . . . . . 9 (𝑈 ∈ LMod → 𝑅 ∈ Ring)
4644, 45syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 ∈ Ring)
47 ringgrp 18939 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → 𝑅 ∈ Grp)
4846, 47syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 ∈ Grp)
4919, 21, 38lmod1cl 19282 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5044, 49syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅))
5121, 36grpinvcl 17854 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Grp ∧ (1r𝑅) ∈ (Base‘𝑅)) → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
5248, 50, 51syl2anc 579 . . . . . 6 (𝜑 → ((invg𝑅)‘(1r𝑅)) ∈ (Base‘𝑅))
531, 17, 18, 19, 21, 43, 2, 7, 11, 3, 52, 6, 34lcdvsval 37758 . . . . 5 (𝜑 → ((((invg𝑅)‘(1r𝑅))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((𝐺𝑋)(.r𝑅)((invg𝑅)‘(1r𝑅))))
541, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 6, 34lcdvbasecl 37750 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
5521, 43, 38, 36, 46, 54rngnegr 18982 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺𝑋)(.r𝑅)((invg𝑅)‘(1r𝑅))) = ((invg𝑅)‘(𝐺𝑋)))
5642, 53, 553eqtrd 2818 . . . 4 (𝜑 → ((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋) = ((invg𝑅)‘(𝐺𝑋)))
5756oveq2d 6938 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋)) = ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑋))))
581, 17, 18, 19, 21, 2, 7, 3, 5, 34lcdvbasecl 37750 . . . 4 (𝜑 → (𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑅))
59 lcdvsubval.s . . . . 5 𝑆 = (-g𝑅)
6021, 20, 36, 59grpsubval 17852 . . . 4 (((𝐹𝑋) ∈ (Base‘𝑅) ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑅)) → ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)) = ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑋))))
6158, 54, 60syl2anc 579 . . 3 (𝜑 → ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)) = ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((invg𝑅)‘(𝐺𝑋))))
6257, 61eqtr4d 2817 . 2 (𝜑 → ((𝐹𝑋)(+g𝑅)((((invg‘(Scalar‘𝐶))‘(1r‘(Scalar‘𝐶)))( ·𝑠𝐶)𝐺)‘𝑋)) = ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)))
6316, 35, 623eqtrd 2818 1 (𝜑 → ((𝐹 𝐺)‘𝑋) = ((𝐹𝑋)𝑆(𝐺𝑋)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  +gcplusg 16338  .rcmulr 16339  Scalarcsca 16341   ·𝑠 cvsca 16342  Grpcgrp 17809  invgcminusg 17810  -gcsg 17811  1rcur 18888  Ringcrg 18934  LModclmod 19255  HLchlt 35504  LHypclh 36138  DVecHcdvh 37232  LCDualclcd 37740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349  ax-riotaBAD 35107
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-fal 1615  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-iin 4756  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-of 7174  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-tpos 7634  df-undef 7681  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-n0 11643  df-z 11729  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-0g 16488  df-mre 16632  df-mrc 16633  df-acs 16635  df-proset 17314  df-poset 17332  df-plt 17344  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-p0 17425  df-p1 17426  df-lat 17432  df-clat 17494  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722  df-grp 17812  df-minusg 17813  df-sbg 17814  df-subg 17975  df-cntz 18133  df-oppg 18159  df-lsm 18435  df-cmn 18581  df-abl 18582  df-mgp 18877  df-ur 18889  df-ring 18936  df-oppr 19010  df-dvdsr 19028  df-unit 19029  df-invr 19059  df-dvr 19070  df-drng 19141  df-lmod 19257  df-lss 19325  df-lsp 19367  df-lvec 19498  df-lsatoms 35130  df-lshyp 35131  df-lcv 35173  df-lfl 35212  df-lkr 35240  df-ldual 35278  df-oposet 35330  df-ol 35332  df-oml 35333  df-covers 35420  df-ats 35421  df-atl 35452  df-cvlat 35476  df-hlat 35505  df-llines 35652  df-lplanes 35653  df-lvols 35654  df-lines 35655  df-psubsp 35657  df-pmap 35658  df-padd 35950  df-lhyp 36142  df-laut 36143  df-ldil 36258  df-ltrn 36259  df-trl 36313  df-tgrp 36897  df-tendo 36909  df-edring 36911  df-dveca 37157  df-disoa 37183  df-dvech 37233  df-dib 37293  df-dic 37327  df-dih 37383  df-doch 37502  df-djh 37549  df-lcdual 37741
This theorem is referenced by:  hdmapinvlem3  38074
  Copyright terms: Public domain W3C validator