Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem1 40926
Description: Lemma for lcfr 40969. Note that 𝑋 is z in Mario's notes. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem1.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem1.s 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem1.q Γ— = (.rβ€˜π‘†)
lcfrlem1.z 0 = (0gβ€˜π‘†)
lcfrlem1.i 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
lcfrlem1.f 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem1.d 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem1.t Β· = ( ·𝑠 β€˜π·)
lcfrlem1.m βˆ’ = (-gβ€˜π·)
lcfrlem1.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
lcfrlem1.e (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
lcfrlem1.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
lcfrlem1.n (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
lcfrlem1.h 𝐻 = (𝐸 βˆ’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem1 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘‹) = 0 )

Proof of Theorem lcfrlem1
StepHypRef Expression
1 lcfrlem1.h . . 3 𝐻 = (𝐸 βˆ’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))
21fveq1i 6886 . 2 (π»β€˜π‘‹) = ((𝐸 βˆ’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))β€˜π‘‹)
3 lcfrlem1.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
4 lcfrlem1.s . . . 4 𝑆 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
5 eqid 2726 . . . 4 (-gβ€˜π‘†) = (-gβ€˜π‘†)
6 lcfrlem1.f . . . 4 𝐹 = (LFnlβ€˜π‘ˆ)
7 lcfrlem1.d . . . 4 𝐷 = (LDualβ€˜π‘ˆ)
8 lcfrlem1.m . . . 4 βˆ’ = (-gβ€˜π·)
9 lcfrlem1.u . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
10 lveclmod 20954 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
119, 10syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
12 lcfrlem1.e . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝐹)
13 eqid 2726 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
14 lcfrlem1.t . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π·)
154lvecdrng 20953 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ LVec β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
169, 15syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ DivRing)
17 lcfrlem1.g . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
18 lcfrlem1.x . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
194, 13, 3, 6lflcl 38447 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LVec ∧ 𝐺 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
209, 17, 18, 19syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
21 lcfrlem1.n . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 )
22 lcfrlem1.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘†)
23 lcfrlem1.i . . . . . . . 8 𝐼 = (invrβ€˜π‘†)
2413, 22, 23drnginvrcl 20609 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
2516, 20, 21, 24syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
264, 13, 3, 6lflcl 38447 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ LVec ∧ 𝐸 ∈ 𝐹 ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
279, 12, 18, 26syl3anc 1368 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
28 lcfrlem1.q . . . . . . 7 Γ— = (.rβ€˜π‘†)
294, 13, 28lmodmcl 20719 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
3011, 25, 27, 29syl3anc 1368 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
316, 4, 13, 7, 14, 11, 30, 17ldualvscl 38522 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺) ∈ 𝐹)
323, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 31, 18ldualvsubval 38540 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐸 βˆ’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))β€˜π‘‹) = ((πΈβ€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)((((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)β€˜π‘‹)))
336, 3, 4, 13, 28, 7, 14, 9, 30, 17, 18ldualvsval 38521 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)β€˜π‘‹) = ((πΊβ€˜π‘‹) Γ— ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹))))
34 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
3513, 22, 28, 34, 23drnginvrr 20613 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΊβ€˜π‘‹) β‰  0 ) β†’ ((πΊβ€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹))) = (1rβ€˜π‘†))
3616, 20, 21, 35syl3anc 1368 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹))) = (1rβ€˜π‘†))
3736oveq1d 7420 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((πΊβ€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹))) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) = ((1rβ€˜π‘†) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)))
384lmodring 20714 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ Ring)
3911, 38syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Ring)
4013, 28ringass 20158 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((πΊβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†))) β†’ (((πΊβ€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹))) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹) Γ— ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹))))
4139, 20, 25, 27, 40syl13anc 1369 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (((πΊβ€˜π‘‹) Γ— (πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹))) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) = ((πΊβ€˜π‘‹) Γ— ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹))))
4213, 28, 34ringlidm 20168 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((1rβ€˜π‘†) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) = (πΈβ€˜π‘‹))
4339, 27, 42syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((1rβ€˜π‘†) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) = (πΈβ€˜π‘‹))
4437, 41, 433eqtr3d 2774 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜π‘‹) Γ— ((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹))) = (πΈβ€˜π‘‹))
4533, 44eqtrd 2766 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)β€˜π‘‹) = (πΈβ€˜π‘‹))
4645oveq2d 7421 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΈβ€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)((((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺)β€˜π‘‹)) = ((πΈβ€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)(πΈβ€˜π‘‹)))
474lmodfgrp 20715 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ LMod β†’ 𝑆 ∈ Grp)
4811, 47syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑆 ∈ Grp)
4913, 22, 5grpsubid 18952 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (πΈβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ ((πΈβ€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)(πΈβ€˜π‘‹)) = 0 )
5048, 27, 49syl2anc 583 . . 3 (πœ‘ β†’ ((πΈβ€˜π‘‹)(-gβ€˜π‘†)(πΈβ€˜π‘‹)) = 0 )
5132, 46, 503eqtrd 2770 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐸 βˆ’ (((πΌβ€˜(πΊβ€˜π‘‹)) Γ— (πΈβ€˜π‘‹)) Β· 𝐺))β€˜π‘‹) = 0 )
522, 51eqtrid 2778 1 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘‹) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  .rcmulr 17207  Scalarcsca 17209   ·𝑠 cvsca 17210  0gc0g 17394  Grpcgrp 18863  -gcsg 18865  1rcur 20086  Ringcrg 20138  invrcinvr 20289  DivRingcdr 20587  LModclmod 20706  LVecclvec 20950  LFnlclfn 38440  LDualcld 38506
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7667  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-fz 13491  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-sca 17222  df-vsca 17223  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-drng 20589  df-lmod 20708  df-lvec 20951  df-lfl 38441  df-ldual 38507
This theorem is referenced by:  lcfrlem3  40928
  Copyright terms: Public domain W3C validator