Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem1 41525
Description: Lemma for lcfr 41568. Note that 𝑋 is z in Mario's notes. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem1.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem1.q × = (.r𝑆)
lcfrlem1.z 0 = (0g𝑆)
lcfrlem1.i 𝐼 = (invr𝑆)
lcfrlem1.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem1.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem1.t · = ( ·𝑠𝐷)
lcfrlem1.m = (-g𝐷)
lcfrlem1.u (𝜑𝑈 ∈ LVec)
lcfrlem1.e (𝜑𝐸𝐹)
lcfrlem1.g (𝜑𝐺𝐹)
lcfrlem1.x (𝜑𝑋𝑉)
lcfrlem1.n (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
lcfrlem1.h 𝐻 = (𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem1 (𝜑 → (𝐻𝑋) = 0 )

Proof of Theorem lcfrlem1
StepHypRef Expression
1 lcfrlem1.h . . 3 𝐻 = (𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))
21fveq1i 6908 . 2 (𝐻𝑋) = ((𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))‘𝑋)
3 lcfrlem1.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 lcfrlem1.s . . . 4 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
5 eqid 2735 . . . 4 (-g𝑆) = (-g𝑆)
6 lcfrlem1.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7 lcfrlem1.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8 lcfrlem1.m . . . 4 = (-g𝐷)
9 lcfrlem1.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
10 lveclmod 21123 . . . . 5 (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
12 lcfrlem1.e . . . 4 (𝜑𝐸𝐹)
13 eqid 2735 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
14 lcfrlem1.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐷)
154lvecdrng 21122 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
169, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ DivRing)
17 lcfrlem1.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝐹)
18 lcfrlem1.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
194, 13, 3, 6lflcl 39046 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
209, 17, 18, 19syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
21 lcfrlem1.n . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
22 lcfrlem1.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑆)
23 lcfrlem1.i . . . . . . . 8 𝐼 = (invr𝑆)
2413, 22, 23drnginvrcl 20770 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
2516, 20, 21, 24syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
264, 13, 3, 6lflcl 39046 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐸𝐹𝑋𝑉) → (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
279, 12, 18, 26syl3anc 1370 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
28 lcfrlem1.q . . . . . . 7 × = (.r𝑆)
294, 13, 28lmodmcl 20888 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
3011, 25, 27, 29syl3anc 1370 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
316, 4, 13, 7, 14, 11, 30, 17ldualvscl 39121 . . . 4 (𝜑 → (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺) ∈ 𝐹)
323, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 31, 18ldualvsubval 39139 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))‘𝑋) = ((𝐸𝑋)(-g𝑆)((((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)‘𝑋)))
336, 3, 4, 13, 28, 7, 14, 9, 30, 17, 18ldualvsval 39120 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)‘𝑋) = ((𝐺𝑋) × ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋))))
34 eqid 2735 . . . . . . . . 9 (1r𝑆) = (1r𝑆)
3513, 22, 28, 34, 23drnginvrr 20774 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐺𝑋) × (𝐼‘(𝐺𝑋))) = (1r𝑆))
3616, 20, 21, 35syl3anc 1370 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝑋) × (𝐼‘(𝐺𝑋))) = (1r𝑆))
3736oveq1d 7446 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐺𝑋) × (𝐼‘(𝐺𝑋))) × (𝐸𝑋)) = ((1r𝑆) × (𝐸𝑋)))
384lmodring 20883 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
3911, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
4013, 28ringass 20271 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆))) → (((𝐺𝑋) × (𝐼‘(𝐺𝑋))) × (𝐸𝑋)) = ((𝐺𝑋) × ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋))))
4139, 20, 25, 27, 40syl13anc 1371 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐺𝑋) × (𝐼‘(𝐺𝑋))) × (𝐸𝑋)) = ((𝐺𝑋) × ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋))))
4213, 28, 34ringlidm 20283 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((1r𝑆) × (𝐸𝑋)) = (𝐸𝑋))
4339, 27, 42syl2anc 584 . . . . . 6 (𝜑 → ((1r𝑆) × (𝐸𝑋)) = (𝐸𝑋))
4437, 41, 433eqtr3d 2783 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺𝑋) × ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋))) = (𝐸𝑋))
4533, 44eqtrd 2775 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)‘𝑋) = (𝐸𝑋))
4645oveq2d 7447 . . 3 (𝜑 → ((𝐸𝑋)(-g𝑆)((((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)‘𝑋)) = ((𝐸𝑋)(-g𝑆)(𝐸𝑋)))
474lmodfgrp 20884 . . . . 5 (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Grp)
4811, 47syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
4913, 22, 5grpsubid 19055 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐸𝑋)(-g𝑆)(𝐸𝑋)) = 0 )
5048, 27, 49syl2anc 584 . . 3 (𝜑 → ((𝐸𝑋)(-g𝑆)(𝐸𝑋)) = 0 )
5132, 46, 503eqtrd 2779 . 2 (𝜑 → ((𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))‘𝑋) = 0 )
522, 51eqtrid 2787 1 (𝜑 → (𝐻𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  .rcmulr 17299  Scalarcsca 17301   ·𝑠 cvsca 17302  0gc0g 17486  Grpcgrp 18964  -gcsg 18966  1rcur 20199  Ringcrg 20251  invrcinvr 20404  DivRingcdr 20746  LModclmod 20875  LVecclvec 21119  LFnlclfn 39039  LDualcld 39105
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-tpos 8250  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-sbg 18969  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-rng 20171  df-ur 20200  df-ring 20253  df-oppr 20351  df-dvdsr 20374  df-unit 20375  df-invr 20405  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lvec 21120  df-lfl 39040  df-ldual 39106
This theorem is referenced by:  lcfrlem3  41527
  Copyright terms: Public domain W3C validator