Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem1 39325
Description: Lemma for lcfr 39368. Note that 𝑋 is z in Mario's notes. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem1.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem1.q × = (.r𝑆)
lcfrlem1.z 0 = (0g𝑆)
lcfrlem1.i 𝐼 = (invr𝑆)
lcfrlem1.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem1.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem1.t · = ( ·𝑠𝐷)
lcfrlem1.m = (-g𝐷)
lcfrlem1.u (𝜑𝑈 ∈ LVec)
lcfrlem1.e (𝜑𝐸𝐹)
lcfrlem1.g (𝜑𝐺𝐹)
lcfrlem1.x (𝜑𝑋𝑉)
lcfrlem1.n (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
lcfrlem1.h 𝐻 = (𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem1 (𝜑 → (𝐻𝑋) = 0 )

Proof of Theorem lcfrlem1
StepHypRef Expression
1 lcfrlem1.h . . 3 𝐻 = (𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))
21fveq1i 6739 . 2 (𝐻𝑋) = ((𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))‘𝑋)
3 lcfrlem1.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 lcfrlem1.s . . . 4 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
5 eqid 2739 . . . 4 (-g𝑆) = (-g𝑆)
6 lcfrlem1.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7 lcfrlem1.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8 lcfrlem1.m . . . 4 = (-g𝐷)
9 lcfrlem1.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
10 lveclmod 20173 . . . . 5 (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
12 lcfrlem1.e . . . 4 (𝜑𝐸𝐹)
13 eqid 2739 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
14 lcfrlem1.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐷)
154lvecdrng 20172 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
169, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ DivRing)
17 lcfrlem1.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝐹)
18 lcfrlem1.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
194, 13, 3, 6lflcl 36847 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
209, 17, 18, 19syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
21 lcfrlem1.n . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
22 lcfrlem1.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑆)
23 lcfrlem1.i . . . . . . . 8 𝐼 = (invr𝑆)
2413, 22, 23drnginvrcl 19814 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
2516, 20, 21, 24syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
264, 13, 3, 6lflcl 36847 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐸𝐹𝑋𝑉) → (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
279, 12, 18, 26syl3anc 1373 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
28 lcfrlem1.q . . . . . . 7 × = (.r𝑆)
294, 13, 28lmodmcl 19941 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
3011, 25, 27, 29syl3anc 1373 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
316, 4, 13, 7, 14, 11, 30, 17ldualvscl 36922 . . . 4 (𝜑 → (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺) ∈ 𝐹)
323, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 31, 18ldualvsubval 36940 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))‘𝑋) = ((𝐸𝑋)(-g𝑆)((((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)‘𝑋)))
336, 3, 4, 13, 28, 7, 14, 9, 30, 17, 18ldualvsval 36921 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)‘𝑋) = ((𝐺𝑋) × ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋))))
34 eqid 2739 . . . . . . . . 9 (1r𝑆) = (1r𝑆)
3513, 22, 28, 34, 23drnginvrr 19817 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐺𝑋) × (𝐼‘(𝐺𝑋))) = (1r𝑆))
3616, 20, 21, 35syl3anc 1373 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝑋) × (𝐼‘(𝐺𝑋))) = (1r𝑆))
3736oveq1d 7249 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐺𝑋) × (𝐼‘(𝐺𝑋))) × (𝐸𝑋)) = ((1r𝑆) × (𝐸𝑋)))
384lmodring 19937 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
3911, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
4013, 28ringass 19612 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆))) → (((𝐺𝑋) × (𝐼‘(𝐺𝑋))) × (𝐸𝑋)) = ((𝐺𝑋) × ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋))))
4139, 20, 25, 27, 40syl13anc 1374 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐺𝑋) × (𝐼‘(𝐺𝑋))) × (𝐸𝑋)) = ((𝐺𝑋) × ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋))))
4213, 28, 34ringlidm 19619 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((1r𝑆) × (𝐸𝑋)) = (𝐸𝑋))
4339, 27, 42syl2anc 587 . . . . . 6 (𝜑 → ((1r𝑆) × (𝐸𝑋)) = (𝐸𝑋))
4437, 41, 433eqtr3d 2787 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺𝑋) × ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋))) = (𝐸𝑋))
4533, 44eqtrd 2779 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)‘𝑋) = (𝐸𝑋))
4645oveq2d 7250 . . 3 (𝜑 → ((𝐸𝑋)(-g𝑆)((((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)‘𝑋)) = ((𝐸𝑋)(-g𝑆)(𝐸𝑋)))
474lmodfgrp 19938 . . . . 5 (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Grp)
4811, 47syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
4913, 22, 5grpsubid 18477 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐸𝑋)(-g𝑆)(𝐸𝑋)) = 0 )
5048, 27, 49syl2anc 587 . . 3 (𝜑 → ((𝐸𝑋)(-g𝑆)(𝐸𝑋)) = 0 )
5132, 46, 503eqtrd 2783 . 2 (𝜑 → ((𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))‘𝑋) = 0 )
522, 51syl5eq 2792 1 (𝜑 → (𝐻𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1543  wcel 2112  wne 2942  cfv 6400  (class class class)co 7234  Basecbs 16790  .rcmulr 16833  Scalarcsca 16835   ·𝑠 cvsca 16836  0gc0g 16974  Grpcgrp 18395  -gcsg 18397  1rcur 19546  Ringcrg 19592  invrcinvr 19719  DivRingcdr 19797  LModclmod 19929  LVecclvec 20169  LFnlclfn 36840  LDualcld 36906
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2710  ax-rep 5195  ax-sep 5208  ax-nul 5215  ax-pow 5274  ax-pr 5338  ax-un 7544  ax-cnex 10812  ax-resscn 10813  ax-1cn 10814  ax-icn 10815  ax-addcl 10816  ax-addrcl 10817  ax-mulcl 10818  ax-mulrcl 10819  ax-mulcom 10820  ax-addass 10821  ax-mulass 10822  ax-distr 10823  ax-i2m1 10824  ax-1ne0 10825  ax-1rid 10826  ax-rnegex 10827  ax-rrecex 10828  ax-cnre 10829  ax-pre-lttri 10830  ax-pre-lttrn 10831  ax-pre-ltadd 10832  ax-pre-mulgt0 10833
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2818  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3711  df-csb 3828  df-dif 3885  df-un 3887  df-in 3889  df-ss 3899  df-pss 3901  df-nul 4254  df-if 4456  df-pw 4531  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4836  df-iun 4922  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5152  df-tr 5178  df-id 5471  df-eprel 5477  df-po 5485  df-so 5486  df-fr 5526  df-we 5528  df-xp 5574  df-rel 5575  df-cnv 5576  df-co 5577  df-dm 5578  df-rn 5579  df-res 5580  df-ima 5581  df-pred 6178  df-ord 6236  df-on 6237  df-lim 6238  df-suc 6239  df-iota 6358  df-fun 6402  df-fn 6403  df-f 6404  df-f1 6405  df-fo 6406  df-f1o 6407  df-fv 6408  df-riota 7191  df-ov 7237  df-oprab 7238  df-mpo 7239  df-of 7490  df-om 7666  df-1st 7782  df-2nd 7783  df-tpos 7991  df-wrecs 8070  df-recs 8131  df-rdg 8169  df-1o 8225  df-er 8414  df-map 8533  df-en 8650  df-dom 8651  df-sdom 8652  df-fin 8653  df-pnf 10896  df-mnf 10897  df-xr 10898  df-ltxr 10899  df-le 10900  df-sub 11091  df-neg 11092  df-nn 11858  df-2 11920  df-3 11921  df-4 11922  df-5 11923  df-6 11924  df-n0 12118  df-z 12204  df-uz 12466  df-fz 13123  df-struct 16730  df-sets 16747  df-slot 16765  df-ndx 16775  df-base 16791  df-ress 16815  df-plusg 16845  df-mulr 16846  df-sca 16848  df-vsca 16849  df-0g 16976  df-mgm 18144  df-sgrp 18193  df-mnd 18204  df-grp 18398  df-minusg 18399  df-sbg 18400  df-cmn 19202  df-abl 19203  df-mgp 19535  df-ur 19547  df-ring 19594  df-oppr 19671  df-dvdsr 19689  df-unit 19690  df-invr 19720  df-drng 19799  df-lmod 19931  df-lvec 20170  df-lfl 36841  df-ldual 36907
This theorem is referenced by:  lcfrlem3  39327
  Copyright terms: Public domain W3C validator