Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem1 38670
Description: Lemma for lcfr 38713. Note that 𝑋 is z in Mario's notes. (Contributed by NM, 27-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem1.s 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
lcfrlem1.q × = (.r𝑆)
lcfrlem1.z 0 = (0g𝑆)
lcfrlem1.i 𝐼 = (invr𝑆)
lcfrlem1.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lcfrlem1.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lcfrlem1.t · = ( ·𝑠𝐷)
lcfrlem1.m = (-g𝐷)
lcfrlem1.u (𝜑𝑈 ∈ LVec)
lcfrlem1.e (𝜑𝐸𝐹)
lcfrlem1.g (𝜑𝐺𝐹)
lcfrlem1.x (𝜑𝑋𝑉)
lcfrlem1.n (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
lcfrlem1.h 𝐻 = (𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem1 (𝜑 → (𝐻𝑋) = 0 )

Proof of Theorem lcfrlem1
StepHypRef Expression
1 lcfrlem1.h . . 3 𝐻 = (𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))
21fveq1i 6664 . 2 (𝐻𝑋) = ((𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))‘𝑋)
3 lcfrlem1.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
4 lcfrlem1.s . . . 4 𝑆 = (Scalar‘𝑈)
5 eqid 2819 . . . 4 (-g𝑆) = (-g𝑆)
6 lcfrlem1.f . . . 4 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
7 lcfrlem1.d . . . 4 𝐷 = (LDual‘𝑈)
8 lcfrlem1.m . . . 4 = (-g𝐷)
9 lcfrlem1.u . . . . 5 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
10 lveclmod 19870 . . . . 5 (𝑈 ∈ LVec → 𝑈 ∈ LMod)
119, 10syl 17 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
12 lcfrlem1.e . . . 4 (𝜑𝐸𝐹)
13 eqid 2819 . . . . 5 (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
14 lcfrlem1.t . . . . 5 · = ( ·𝑠𝐷)
154lvecdrng 19869 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LVec → 𝑆 ∈ DivRing)
169, 15syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ DivRing)
17 lcfrlem1.g . . . . . . . 8 (𝜑𝐺𝐹)
18 lcfrlem1.x . . . . . . . 8 (𝜑𝑋𝑉)
194, 13, 3, 6lflcl 36192 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐺𝐹𝑋𝑉) → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
209, 17, 18, 19syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
21 lcfrlem1.n . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺𝑋) ≠ 0 )
22 lcfrlem1.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑆)
23 lcfrlem1.i . . . . . . . 8 𝐼 = (invr𝑆)
2413, 22, 23drnginvrcl 19511 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
2516, 20, 21, 24syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
264, 13, 3, 6lflcl 36192 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ LVec ∧ 𝐸𝐹𝑋𝑉) → (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
279, 12, 18, 26syl3anc 1366 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆))
28 lcfrlem1.q . . . . . . 7 × = (.r𝑆)
294, 13, 28lmodmcl 19638 . . . . . 6 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
3011, 25, 27, 29syl3anc 1366 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) ∈ (Base‘𝑆))
316, 4, 13, 7, 14, 11, 30, 17ldualvscl 36267 . . . 4 (𝜑 → (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺) ∈ 𝐹)
323, 4, 5, 6, 7, 8, 11, 12, 31, 18ldualvsubval 36285 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))‘𝑋) = ((𝐸𝑋)(-g𝑆)((((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)‘𝑋)))
336, 3, 4, 13, 28, 7, 14, 9, 30, 17, 18ldualvsval 36266 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)‘𝑋) = ((𝐺𝑋) × ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋))))
34 eqid 2819 . . . . . . . . 9 (1r𝑆) = (1r𝑆)
3513, 22, 28, 34, 23drnginvrr 19514 . . . . . . . 8 ((𝑆 ∈ DivRing ∧ (𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐺𝑋) ≠ 0 ) → ((𝐺𝑋) × (𝐼‘(𝐺𝑋))) = (1r𝑆))
3616, 20, 21, 35syl3anc 1366 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝐺𝑋) × (𝐼‘(𝐺𝑋))) = (1r𝑆))
3736oveq1d 7163 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐺𝑋) × (𝐼‘(𝐺𝑋))) × (𝐸𝑋)) = ((1r𝑆) × (𝐸𝑋)))
384lmodring 19634 . . . . . . . 8 (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Ring)
3911, 38syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ Ring)
4013, 28ringass 19306 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ ((𝐺𝑋) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐼‘(𝐺𝑋)) ∈ (Base‘𝑆) ∧ (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆))) → (((𝐺𝑋) × (𝐼‘(𝐺𝑋))) × (𝐸𝑋)) = ((𝐺𝑋) × ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋))))
4139, 20, 25, 27, 40syl13anc 1367 . . . . . 6 (𝜑 → (((𝐺𝑋) × (𝐼‘(𝐺𝑋))) × (𝐸𝑋)) = ((𝐺𝑋) × ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋))))
4213, 28, 34ringlidm 19313 . . . . . . 7 ((𝑆 ∈ Ring ∧ (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((1r𝑆) × (𝐸𝑋)) = (𝐸𝑋))
4339, 27, 42syl2anc 586 . . . . . 6 (𝜑 → ((1r𝑆) × (𝐸𝑋)) = (𝐸𝑋))
4437, 41, 433eqtr3d 2862 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐺𝑋) × ((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋))) = (𝐸𝑋))
4533, 44eqtrd 2854 . . . 4 (𝜑 → ((((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)‘𝑋) = (𝐸𝑋))
4645oveq2d 7164 . . 3 (𝜑 → ((𝐸𝑋)(-g𝑆)((((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺)‘𝑋)) = ((𝐸𝑋)(-g𝑆)(𝐸𝑋)))
474lmodfgrp 19635 . . . . 5 (𝑈 ∈ LMod → 𝑆 ∈ Grp)
4811, 47syl 17 . . . 4 (𝜑𝑆 ∈ Grp)
4913, 22, 5grpsubid 18175 . . . 4 ((𝑆 ∈ Grp ∧ (𝐸𝑋) ∈ (Base‘𝑆)) → ((𝐸𝑋)(-g𝑆)(𝐸𝑋)) = 0 )
5048, 27, 49syl2anc 586 . . 3 (𝜑 → ((𝐸𝑋)(-g𝑆)(𝐸𝑋)) = 0 )
5132, 46, 503eqtrd 2858 . 2 (𝜑 → ((𝐸 (((𝐼‘(𝐺𝑋)) × (𝐸𝑋)) · 𝐺))‘𝑋) = 0 )
522, 51syl5eq 2866 1 (𝜑 → (𝐻𝑋) = 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1531  wcel 2108  wne 3014  cfv 6348  (class class class)co 7148  Basecbs 16475  .rcmulr 16558  Scalarcsca 16560   ·𝑠 cvsca 16561  0gc0g 16705  Grpcgrp 18095  -gcsg 18097  1rcur 19243  Ringcrg 19289  invrcinvr 19413  DivRingcdr 19494  LModclmod 19626  LVecclvec 19866  LFnlclfn 36185  LDualcld 36251
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1905  ax-6 1964  ax-7 2009  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2154  ax-12 2170  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7453  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1083  df-3an 1084  df-tru 1534  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2064  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-nel 3122  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rmo 3144  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-pss 3952  df-nul 4290  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-of 7401  df-om 7573  df-1st 7681  df-2nd 7682  df-tpos 7884  df-wrecs 7939  df-recs 8000  df-rdg 8038  df-1o 8094  df-oadd 8098  df-er 8281  df-map 8400  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-fin 8505  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11631  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-5 11695  df-6 11696  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-fz 12885  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-ress 16483  df-plusg 16570  df-mulr 16571  df-sca 16573  df-vsca 16574  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-minusg 18099  df-sbg 18100  df-cmn 18900  df-abl 18901  df-mgp 19232  df-ur 19244  df-ring 19291  df-oppr 19365  df-dvdsr 19383  df-unit 19384  df-invr 19414  df-drng 19496  df-lmod 19628  df-lvec 19867  df-lfl 36186  df-ldual 36252
This theorem is referenced by:  lcfrlem3  38672
  Copyright terms: Public domain W3C validator