Theorem hdmapsub 38985

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 5, (a-b)S = aS-bS in their notation (S = sigma). (Contributed by NM, 26-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap12c.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap12c.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12c.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap12c.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
hdmap12c.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12c.n	⊢ 𝑁 = (-g‘𝐶)
hdmap12c.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12c.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap12c.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmap12c.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapsub	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)𝑁(𝑆‘𝑌)))

Proof of Theorem hdmapsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap12c.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		hdmap12c.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
3		hdmap12c.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
5		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑈) = (invg‘𝑈)
6		hdmap12c.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
7	3, 4, 5, 6	grpsubval 18151	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)))
8	1, 2, 7	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)))
9	8	fveq2d 6676	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑆‘(𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌))))
10		hdmap12c.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		hdmap12c.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12		hdmap12c.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
13		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
14		hdmap12c.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
15		hdmap12c.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16	10, 11, 15	dvhlmod 38248	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
17	3, 5	lmodvnegcl 19677	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑈)‘𝑌) ∈ 𝑉)
18	16, 2, 17	syl2anc 586	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑌) ∈ 𝑉)
19	10, 11, 3, 4, 12, 13, 14, 15, 1, 18	hdmapadd 38981	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌))) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)(𝑆‘((invg‘𝑈)‘𝑌))))
20		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐶) = (invg‘𝐶)
21	10, 11, 3, 5, 12, 20, 14, 15, 2	hdmapneg 38984	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘((invg‘𝑈)‘𝑌)) = ((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌)))
22	21	oveq2d 7174	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)(𝑆‘((invg‘𝑈)‘𝑌))) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌))))
23	9, 19, 22	3eqtrd 2862	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌))))
24		eqid 2823	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
25	10, 11, 3, 12, 24, 14, 15, 1	hdmapcl 38968	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘𝐶))
26	10, 11, 3, 12, 24, 14, 15, 2	hdmapcl 38968	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘𝐶))
27		hdmap12c.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝐶)
28	24, 13, 20, 27	grpsubval 18151	. . 3 ⊢ (((𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘𝐶)) → ((𝑆‘𝑋)𝑁(𝑆‘𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌))))
29	25, 26, 28	syl2anc 586	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)𝑁(𝑆‘𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌))))
30	23, 29	eqtr4d 2861	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)𝑁(𝑆‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  inv_gcminusg 18106  -_gcsg 18107  LModclmod 19636  HLchlt 36488  LHypclh 37122  DVecHcdvh 38216  LCDualclcd 38724  HDMapchdma 38930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-riotaBAD 36091

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-ot 4578  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-tpos 7894  df-undef 7941  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-0g 16717  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-proset 17540  df-poset 17558  df-plt 17570  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-p0 17651  df-p1 17652  df-lat 17658  df-clat 17720  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-grp 18108  df-minusg 18109  df-sbg 18110  df-subg 18278  df-cntz 18449  df-oppg 18476  df-lsm 18763  df-cmn 18910  df-abl 18911  df-mgp 19242  df-ur 19254  df-ring 19301  df-oppr 19375  df-dvdsr 19393  df-unit 19394  df-invr 19424  df-dvr 19435  df-drng 19506  df-lmod 19638  df-lss 19706  df-lsp 19746  df-lvec 19877  df-lsatoms 36114  df-lshyp 36115  df-lcv 36157  df-lfl 36196  df-lkr 36224  df-ldual 36262  df-oposet 36314  df-ol 36316  df-oml 36317  df-covers 36404  df-ats 36405  df-atl 36436  df-cvlat 36460  df-hlat 36489  df-llines 36636  df-lplanes 36637  df-lvols 36638  df-lines 36639  df-psubsp 36641  df-pmap 36642  df-padd 36934  df-lhyp 37126  df-laut 37127  df-ldil 37242  df-ltrn 37243  df-trl 37297  df-tgrp 37881  df-tendo 37893  df-edring 37895  df-dveca 38141  df-disoa 38167  df-dvech 38217  df-dib 38277  df-dic 38311  df-dih 38367  df-doch 38486  df-djh 38533  df-lcdual 38725  df-mapd 38763  df-hvmap 38895  df-hdmap1 38931  df-hdmap 38932

This theorem is referenced by:  hdmap11  38986  hdmapinvlem3  39058