Theorem hdmapsub 39857

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 5, (a-b)S = aS-bS in their notation (S = sigma). (Contributed by NM, 26-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap12c.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap12c.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12c.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap12c.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
hdmap12c.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12c.n	⊢ 𝑁 = (-g‘𝐶)
hdmap12c.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12c.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap12c.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmap12c.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapsub	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)𝑁(𝑆‘𝑌)))

Proof of Theorem hdmapsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap12c.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		hdmap12c.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
3		hdmap12c.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
5		eqid 2740	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑈) = (invg‘𝑈)
6		hdmap12c.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
7	3, 4, 5, 6	grpsubval 18623	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)))
8	1, 2, 7	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)))
9	8	fveq2d 6775	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑆‘(𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌))))
10		hdmap12c.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		hdmap12c.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12		hdmap12c.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
13		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
14		hdmap12c.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
15		hdmap12c.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16	10, 11, 15	dvhlmod 39120	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
17	3, 5	lmodvnegcl 20162	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑈)‘𝑌) ∈ 𝑉)
18	16, 2, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑌) ∈ 𝑉)
19	10, 11, 3, 4, 12, 13, 14, 15, 1, 18	hdmapadd 39853	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌))) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)(𝑆‘((invg‘𝑈)‘𝑌))))
20		eqid 2740	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐶) = (invg‘𝐶)
21	10, 11, 3, 5, 12, 20, 14, 15, 2	hdmapneg 39856	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘((invg‘𝑈)‘𝑌)) = ((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌)))
22	21	oveq2d 7287	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)(𝑆‘((invg‘𝑈)‘𝑌))) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌))))
23	9, 19, 22	3eqtrd 2784	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌))))
24		eqid 2740	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
25	10, 11, 3, 12, 24, 14, 15, 1	hdmapcl 39840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘𝐶))
26	10, 11, 3, 12, 24, 14, 15, 2	hdmapcl 39840	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘𝐶))
27		hdmap12c.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝐶)
28	24, 13, 20, 27	grpsubval 18623	. . 3 ⊢ (((𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘𝐶)) → ((𝑆‘𝑋)𝑁(𝑆‘𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌))))
29	25, 26, 28	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)𝑁(𝑆‘𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌))))
30	23, 29	eqtr4d 2783	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)𝑁(𝑆‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  Basecbs 16910  +_gcplusg 16960  inv_gcminusg 18576  -_gcsg 18577  LModclmod 20121  HLchlt 37360  LHypclh 37994  DVecHcdvh 39088  LCDualclcd 39596  HDMapchdma 39802

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-riotaBAD 36963

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-ot 4576  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-tpos 8033  df-undef 8080  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-map 8600  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-fz 13239  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-0g 17150  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-proset 18011  df-poset 18029  df-plt 18046  df-lub 18062  df-glb 18063  df-join 18064  df-meet 18065  df-p0 18141  df-p1 18142  df-lat 18148  df-clat 18215  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-sbg 18580  df-subg 18750  df-cntz 18921  df-oppg 18948  df-lsm 19239  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-oppr 19860  df-dvdsr 19881  df-unit 19882  df-invr 19912  df-dvr 19923  df-drng 19991  df-lmod 20123  df-lss 20192  df-lsp 20232  df-lvec 20363  df-lsatoms 36986  df-lshyp 36987  df-lcv 37029  df-lfl 37068  df-lkr 37096  df-ldual 37134  df-oposet 37186  df-ol 37188  df-oml 37189  df-covers 37276  df-ats 37277  df-atl 37308  df-cvlat 37332  df-hlat 37361  df-llines 37508  df-lplanes 37509  df-lvols 37510  df-lines 37511  df-psubsp 37513  df-pmap 37514  df-padd 37806  df-lhyp 37998  df-laut 37999  df-ldil 38114  df-ltrn 38115  df-trl 38169  df-tgrp 38753  df-tendo 38765  df-edring 38767  df-dveca 39013  df-disoa 39039  df-dvech 39089  df-dib 39149  df-dic 39183  df-dih 39239  df-doch 39358  df-djh 39405  df-lcdual 39597  df-mapd 39635  df-hvmap 39767  df-hdmap1 39803  df-hdmap 39804

This theorem is referenced by:  hdmap11  39858  hdmapinvlem3  39930