Theorem hdmapsub 42681

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 5, (a-b)S = aS-bS in their notation (S = sigma). (Contributed by NM, 26-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap12c.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap12c.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12c.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap12c.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
hdmap12c.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12c.n	⊢ 𝑁 = (-g‘𝐶)
hdmap12c.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12c.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap12c.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmap12c.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapsub	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)𝑁(𝑆‘𝑌)))

Proof of Theorem hdmapsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap12c.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		hdmap12c.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
3		hdmap12c.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
5		eqid 2765	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑈) = (invg‘𝑈)
6		hdmap12c.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
7	3, 4, 5, 6	grpsubval 19098	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)))
8	1, 2, 7	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)))
9	8	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑆‘(𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌))))
10		hdmap12c.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		hdmap12c.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12		hdmap12c.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
13		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
14		hdmap12c.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
15		hdmap12c.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16	10, 11, 15	dvhlmod 41944	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
17	3, 5	lmodvnegcl 21076	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑈)‘𝑌) ∈ 𝑉)
18	16, 2, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑌) ∈ 𝑉)
19	10, 11, 3, 4, 12, 13, 14, 15, 1, 18	hdmapadd 42677	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌))) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)(𝑆‘((invg‘𝑈)‘𝑌))))
20		eqid 2765	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐶) = (invg‘𝐶)
21	10, 11, 3, 5, 12, 20, 14, 15, 2	hdmapneg 42680	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘((invg‘𝑈)‘𝑌)) = ((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌)))
22	21	oveq2d 7435	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)(𝑆‘((invg‘𝑈)‘𝑌))) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌))))
23	9, 19, 22	3eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌))))
24		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
25	10, 11, 3, 12, 24, 14, 15, 1	hdmapcl 42664	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘𝐶))
26	10, 11, 3, 12, 24, 14, 15, 2	hdmapcl 42664	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘𝐶))
27		hdmap12c.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝐶)
28	24, 13, 20, 27	grpsubval 19098	. . 3 ⊢ (((𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘𝐶)) → ((𝑆‘𝑋)𝑁(𝑆‘𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌))))
29	25, 26, 28	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)𝑁(𝑆‘𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌))))
30	23, 29	eqtr4d 2803	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)𝑁(𝑆‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  Basecbs 17293  +_gcplusg 17334  inv_gcminusg 19047  -_gcsg 19048  LModclmod 21033  HLchlt 40184  LHypclh 40818  DVecHcdvh 41912  LCDualclcd 42420  HDMapchdma 42626

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-cnex 11173  ax-resscn 11174  ax-1cn 11175  ax-icn 11176  ax-addcl 11177  ax-addrcl 11178  ax-mulcl 11179  ax-mulrcl 11180  ax-mulcom 11181  ax-addass 11182  ax-mulass 11183  ax-distr 11184  ax-i2m1 11185  ax-1ne0 11186  ax-1rid 11187  ax-rnegex 11188  ax-rrecex 11189  ax-cnre 11190  ax-pre-lttri 11191  ax-pre-lttrn 11192  ax-pre-ltadd 11193  ax-pre-mulgt0 11194  ax-riotaBAD 39787

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7684  df-om 7869  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-tpos 8228  df-undef 8275  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-er 8700  df-map 8832  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-pnf 11262  df-mnf 11263  df-xr 11264  df-ltxr 11265  df-le 11266  df-sub 11460  df-neg 11461  df-nn 12251  df-2 12320  df-3 12321  df-4 12322  df-5 12323  df-6 12324  df-n0 12522  df-z 12609  df-uz 12881  df-fz 13554  df-struct 17231  df-sets 17248  df-slot 17266  df-ndx 17278  df-base 17294  df-ress 17315  df-plusg 17347  df-mulr 17348  df-sca 17350  df-vsca 17351  df-0g 17518  df-mre 17662  df-mrc 17663  df-acs 17665  df-proset 18374  df-poset 18393  df-plt 18408  df-lub 18424  df-glb 18425  df-join 18426  df-meet 18427  df-p0 18503  df-p1 18504  df-lat 18512  df-clat 18579  df-mgm 18722  df-sgrp 18811  df-mnd 18827  df-submnd 18881  df-grp 19049  df-minusg 19050  df-sbg 19051  df-subg 19235  df-cntz 19433  df-oppg 19462  df-lsm 19752  df-cmn 19898  df-abl 19899  df-mgp 20263  df-rng 20277  df-ur 20310  df-ring 20363  df-oppr 20467  df-dvdsr 20487  df-unit 20488  df-invr 20518  df-dvr 20531  df-nzr 20662  df-rlreg 20845  df-domn 20846  df-drng 20881  df-lmod 21035  df-lss 21105  df-lsp 21145  df-lvec 21276  df-lsatoms 39810  df-lshyp 39811  df-lcv 39853  df-lfl 39892  df-lkr 39920  df-ldual 39958  df-oposet 40010  df-ol 40012  df-oml 40013  df-covers 40100  df-ats 40101  df-atl 40132  df-cvlat 40156  df-hlat 40185  df-llines 40332  df-lplanes 40333  df-lvols 40334  df-lines 40335  df-psubsp 40337  df-pmap 40338  df-padd 40630  df-lhyp 40822  df-laut 40823  df-ldil 40938  df-ltrn 40939  df-trl 40993  df-tgrp 41577  df-tendo 41589  df-edring 41591  df-dveca 41837  df-disoa 41863  df-dvech 41913  df-dib 41973  df-dic 42007  df-dih 42063  df-doch 42182  df-djh 42229  df-lcdual 42421  df-mapd 42459  df-hvmap 42591  df-hdmap1 42627  df-hdmap 42628

This theorem is used by:  hdmap11  42682  hdmapinvlem3  42754