Theorem hdmapsub 42905

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 5, (a-b)S = aS-bS in their notation (S = sigma). (Contributed by NM, 26-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap12c.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap12c.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12c.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap12c.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
hdmap12c.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12c.n	⊢ 𝑁 = (-g‘𝐶)
hdmap12c.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12c.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap12c.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmap12c.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapsub	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)𝑁(𝑆‘𝑌)))

Proof of Theorem hdmapsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap12c.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		hdmap12c.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
3		hdmap12c.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
5		eqid 2760	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑈) = (invg‘𝑈)
6		hdmap12c.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
7	3, 4, 5, 6	grpsubval 19196	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)))
8	1, 2, 7	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)))
9	8	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑆‘(𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌))))
10		hdmap12c.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		hdmap12c.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12		hdmap12c.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
13		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
14		hdmap12c.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
15		hdmap12c.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16	10, 11, 15	dvhlmod 42168	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
17	3, 5	lmodvnegcl 21178	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑈)‘𝑌) ∈ 𝑉)
18	16, 2, 17	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑌) ∈ 𝑉)
19	10, 11, 3, 4, 12, 13, 14, 15, 1, 18	hdmapadd 42901	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌))) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)(𝑆‘((invg‘𝑈)‘𝑌))))
20		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐶) = (invg‘𝐶)
21	10, 11, 3, 5, 12, 20, 14, 15, 2	hdmapneg 42904	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘((invg‘𝑈)‘𝑌)) = ((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌)))
22	21	oveq2d 7436	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)(𝑆‘((invg‘𝑈)‘𝑌))) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌))))
23	9, 19, 22	3eqtrd 2799	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌))))
24		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
25	10, 11, 3, 12, 24, 14, 15, 1	hdmapcl 42888	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘𝐶))
26	10, 11, 3, 12, 24, 14, 15, 2	hdmapcl 42888	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘𝐶))
27		hdmap12c.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝐶)
28	24, 13, 20, 27	grpsubval 19196	. . 3 ⊢ (((𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘𝐶)) → ((𝑆‘𝑋)𝑁(𝑆‘𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌))))
29	25, 26, 28	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)𝑁(𝑆‘𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌))))
30	23, 29	eqtr4d 2798	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)𝑁(𝑆‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  inv_gcminusg 19145  -_gcsg 19146  LModclmod 21135  HLchlt 40408  LHypclh 41042  DVecHcdvh 42136  LCDualclcd 42644  HDMapchdma 42850

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277  ax-riotaBAD 40011

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-tp 4588  df-op 4590  df-ot 4592  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7693  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-tpos 8243  df-undef 8290  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-1o 8476  df-2o 8477  df-er 8717  df-map 8849  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-fin 8977  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-4 12407  df-5 12408  df-6 12409  df-n0 12607  df-z 12694  df-uz 12966  df-fz 13640  df-struct 17325  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-mulr 17442  df-sca 17444  df-vsca 17445  df-0g 17612  df-mre 17756  df-mrc 17757  df-acs 17759  df-proset 18468  df-poset 18487  df-plt 18502  df-lub 18518  df-glb 18519  df-join 18520  df-meet 18521  df-p0 18597  df-p1 18598  df-lat 18606  df-clat 18673  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-oppg 19560  df-lsm 19850  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-rng 20375  df-ur 20408  df-ring 20461  df-oppr 20567  df-dvdsr 20587  df-unit 20588  df-invr 20618  df-dvr 20631  df-nzr 20763  df-rlreg 20946  df-domn 20947  df-drng 20982  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247  df-lvec 21378  df-lsatoms 40034  df-lshyp 40035  df-lcv 40077  df-lfl 40116  df-lkr 40144  df-ldual 40182  df-oposet 40234  df-ol 40236  df-oml 40237  df-covers 40324  df-ats 40325  df-atl 40356  df-cvlat 40380  df-hlat 40409  df-llines 40556  df-lplanes 40557  df-lvols 40558  df-lines 40559  df-psubsp 40561  df-pmap 40562  df-padd 40854  df-lhyp 41046  df-laut 41047  df-ldil 41162  df-ltrn 41163  df-trl 41217  df-tgrp 41801  df-tendo 41813  df-edring 41815  df-dveca 42061  df-disoa 42087  df-dvech 42137  df-dib 42197  df-dic 42231  df-dih 42287  df-doch 42406  df-djh 42453  df-lcdual 42645  df-mapd 42683  df-hvmap 42815  df-hdmap1 42851  df-hdmap 42852

This theorem is used by:  hdmap11  42906  hdmapinvlem3  42978