Theorem hdmapsub 41945

Description: Part of proof of part 12 in [Baer] p. 49 line 5, (a-b)S = aS-bS in their notation (S = sigma). (Contributed by NM, 26-May-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
hdmap12c.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmap12c.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12c.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmap12c.m	⊢ − = (-g‘𝑈)
hdmap12c.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12c.n	⊢ 𝑁 = (-g‘𝐶)
hdmap12c.s	⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmap12c.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
hdmap12c.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
hdmap12c.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
hdmapsub	⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)𝑁(𝑆‘𝑌)))

Proof of Theorem hdmapsub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		hdmap12c.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
2		hdmap12c.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
3		hdmap12c.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
4		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑈) = (+g‘𝑈)
5		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (invg‘𝑈) = (invg‘𝑈)
6		hdmap12c.m	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑈)
7	3, 4, 5, 6	grpsubval 18898	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)))
8	1, 2, 7	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌)))
9	8	fveq2d 6826	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 − 𝑌)) = (𝑆‘(𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌))))
10		hdmap12c.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11		hdmap12c.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
12		hdmap12c.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
13		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (+g‘𝐶) = (+g‘𝐶)
14		hdmap12c.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
15		hdmap12c.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16	10, 11, 15	dvhlmod 41208	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
17	3, 5	lmodvnegcl 20836	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑈)‘𝑌) ∈ 𝑉)
18	16, 2, 17	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((invg‘𝑈)‘𝑌) ∈ 𝑉)
19	10, 11, 3, 4, 12, 13, 14, 15, 1, 18	hdmapadd 41941	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋(+g‘𝑈)((invg‘𝑈)‘𝑌))) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)(𝑆‘((invg‘𝑈)‘𝑌))))
20		eqid 2731	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝐶) = (invg‘𝐶)
21	10, 11, 3, 5, 12, 20, 14, 15, 2	hdmapneg 41944	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘((invg‘𝑈)‘𝑌)) = ((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌)))
22	21	oveq2d 7362	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)(𝑆‘((invg‘𝑈)‘𝑌))) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌))))
23	9, 19, 22	3eqtrd 2770	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌))))
24		eqid 2731	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐶) = (Base‘𝐶)
25	10, 11, 3, 12, 24, 14, 15, 1	hdmapcl 41928	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘𝐶))
26	10, 11, 3, 12, 24, 14, 15, 2	hdmapcl 41928	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘𝐶))
27		hdmap12c.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (-g‘𝐶)
28	24, 13, 20, 27	grpsubval 18898	. . 3 ⊢ (((𝑆‘𝑋) ∈ (Base‘𝐶) ∧ (𝑆‘𝑌) ∈ (Base‘𝐶)) → ((𝑆‘𝑋)𝑁(𝑆‘𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌))))
29	25, 26, 28	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑆‘𝑋)𝑁(𝑆‘𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)(+g‘𝐶)((invg‘𝐶)‘(𝑆‘𝑌))))
30	23, 29	eqtr4d 2769	1 ⊢ (𝜑 → (𝑆‘(𝑋 − 𝑌)) = ((𝑆‘𝑋)𝑁(𝑆‘𝑌)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  inv_gcminusg 18847  -_gcsg 18848  LModclmod 20793  HLchlt 39448  LHypclh 40082  DVecHcdvh 41176  LCDualclcd 41684  HDMapchdma 41890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5215  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-riotaBAD 39051

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-ot 4582  df-uni 4857  df-int 4896  df-iun 4941  df-iin 4942  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-tr 5197  df-id 5509  df-eprel 5514  df-po 5522  df-so 5523  df-fr 5567  df-we 5569  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-of 7610  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8156  df-undef 8203  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-1o 8385  df-2o 8386  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-fin 8873  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-nn 12126  df-2 12188  df-3 12189  df-4 12190  df-5 12191  df-6 12192  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-fz 13408  df-struct 17058  df-sets 17075  df-slot 17093  df-ndx 17105  df-base 17121  df-ress 17142  df-plusg 17174  df-mulr 17175  df-sca 17177  df-vsca 17178  df-0g 17345  df-mre 17488  df-mrc 17489  df-acs 17491  df-proset 18200  df-poset 18219  df-plt 18234  df-lub 18250  df-glb 18251  df-join 18252  df-meet 18253  df-p0 18329  df-p1 18330  df-lat 18338  df-clat 18405  df-mgm 18548  df-sgrp 18627  df-mnd 18643  df-submnd 18692  df-grp 18849  df-minusg 18850  df-sbg 18851  df-subg 19036  df-cntz 19229  df-oppg 19258  df-lsm 19548  df-cmn 19694  df-abl 19695  df-mgp 20059  df-rng 20071  df-ur 20100  df-ring 20153  df-oppr 20255  df-dvdsr 20275  df-unit 20276  df-invr 20306  df-dvr 20319  df-nzr 20428  df-rlreg 20609  df-domn 20610  df-drng 20646  df-lmod 20795  df-lss 20865  df-lsp 20905  df-lvec 21037  df-lsatoms 39074  df-lshyp 39075  df-lcv 39117  df-lfl 39156  df-lkr 39184  df-ldual 39222  df-oposet 39274  df-ol 39276  df-oml 39277  df-covers 39364  df-ats 39365  df-atl 39396  df-cvlat 39420  df-hlat 39449  df-llines 39596  df-lplanes 39597  df-lvols 39598  df-lines 39599  df-psubsp 39601  df-pmap 39602  df-padd 39894  df-lhyp 40086  df-laut 40087  df-ldil 40202  df-ltrn 40203  df-trl 40257  df-tgrp 40841  df-tendo 40853  df-edring 40855  df-dveca 41101  df-disoa 41127  df-dvech 41177  df-dib 41237  df-dic 41271  df-dih 41327  df-doch 41446  df-djh 41493  df-lcdual 41685  df-mapd 41723  df-hvmap 41855  df-hdmap1 41891  df-hdmap 41892

This theorem is referenced by:  hdmap11  41946  hdmapinvlem3  42018