Theorem lcomfsupp 21183

Description: A linear-combination sum is finitely supported if the coefficients are. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by AV, 15-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcomf.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lcomf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lcomf.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lcomf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lcomf.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcomf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐾)
lcomf.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶𝐵)
lcomf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
lcomfsupp.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lcomfsupp.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝐹)
lcomfsupp.j	⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
lcomfsupp	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐻) finSupp 0 )

Proof of Theorem lcomfsupp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcomfsupp.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑌)
2	1	fsuppimpd 9365	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ∈ Fin)
3		lcomf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		lcomf.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
5		lcomf.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lcomf.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		lcomf.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lcomf.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐾)
9		lcomf.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶𝐵)
10		lcomf.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lcomf 21182	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐻):𝐼⟶𝐵)
12		eldifi 4067	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
13	8	ffnd 6711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
14	13	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 Fn 𝐼)
15	9	ffnd 6711	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝐼)
16	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐻 Fn 𝐼)
17	10	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
18		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
19		fnfvof 7711	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 Fn 𝐼 ∧ 𝐻 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → ((𝐺 ∘f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))
20	14, 16, 17, 18, 19	syl22anc 852	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐺 ∘f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))
21	12, 20	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺 ∘f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))
22		ssidd 3931	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
23		lcomfsupp.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝐹)
24	23	fvexi 6900	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
26	8, 22, 10, 25	suppssr 8216	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝐺‘𝑥) = 𝑌)
27	26	oveq1d 7436	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)) = (𝑌 · (𝐻‘𝑥)))
28	9	ffvelcdmda 7085	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑥) ∈ 𝐵)
29		lcomfsupp.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
30	6, 3, 5, 23, 29	lmod0vs 21176	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐻‘𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑌 · (𝐻‘𝑥)) = 0 )
31	7, 28, 30	syl2an2r 698	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 · (𝐻‘𝑥)) = 0 )
32	12, 31	sylan2 605	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝑌 · (𝐻‘𝑥)) = 0 )
33	21, 27, 32	3eqtrd 2799	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺 ∘f · 𝐻)‘𝑥) = 0 )
34	11, 33	suppss 8215	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f · 𝐻) supp 0 ) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
35	2, 34	ssfid 9264	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin)
36	13, 15, 10, 10	offun 7708	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∘f · 𝐻))
37		ovexd 7456	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐻) ∈ V)
38	29	fvexi 6900	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
39	38	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
40		funisfsupp 9363	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐺 ∘f · 𝐻) ∧ (𝐺 ∘f · 𝐻) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐺 ∘f · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺 ∘f · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
41	36, 37, 39, 40	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺 ∘f · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
42	35, 41	mpbird 260	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐻) finSupp 0 )

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450   ∖ cdif 4045   class class class wbr 5102  Fun wfun 6533   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421   ∘_f cof 7692   supp csupp 8180  Fincfn 8977   finSupp cfsupp 9357  Basecbs 17393  Scalarcsca 17437   ·_𝑠 cvsca 17438  0_gc0g 17616  LModclmod 21141

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-supp 8181  df-1o 8480  df-en 8978  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-0g 17618  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-grp 19153  df-ring 20467  df-lmod 21143

This theorem is used by:  islindf4  22150  fedgmullem2  34309