MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcomfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcomfsupp 20315
Description: A linear-combination sum is finitely supported if the coefficients are. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by AV, 15-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lcomf.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lcomf.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lcomf.s · = ( ·𝑠𝑊)
lcomf.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
lcomf.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lcomf.g (𝜑𝐺:𝐼𝐾)
lcomf.h (𝜑𝐻:𝐼𝐵)
lcomf.i (𝜑𝐼𝑉)
lcomfsupp.z 0 = (0g𝑊)
lcomfsupp.y 𝑌 = (0g𝐹)
lcomfsupp.j (𝜑𝐺 finSupp 𝑌)
Assertion
Ref Expression
lcomfsupp (𝜑 → (𝐺f · 𝐻) finSupp 0 )

Proof of Theorem lcomfsupp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcomfsupp.j . . . 4 (𝜑𝐺 finSupp 𝑌)
21fsuppimpd 9271 . . 3 (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ∈ Fin)
3 lcomf.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 lcomf.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
5 lcomf.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
6 lcomf.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
7 lcomf.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 lcomf.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝐼𝐾)
9 lcomf.h . . . . 5 (𝜑𝐻:𝐼𝐵)
10 lcomf.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lcomf 20314 . . . 4 (𝜑 → (𝐺f · 𝐻):𝐼𝐵)
12 eldifi 4085 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌)) → 𝑥𝐼)
138ffnd 6667 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
1413adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 Fn 𝐼)
159ffnd 6667 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 Fn 𝐼)
1615adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐻 Fn 𝐼)
1710adantr 482 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑉)
18 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
19 fnfvof 7627 . . . . . . 7 (((𝐺 Fn 𝐼𝐻 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑉𝑥𝐼)) → ((𝐺f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)))
2014, 16, 17, 18, 19syl22anc 838 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐺f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)))
2112, 20sylan2 594 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)))
22 ssidd 3966 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
23 lcomfsupp.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (0g𝐹)
2423fvexi 6854 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ V)
268, 22, 10, 25suppssr 8120 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝐺𝑥) = 𝑌)
2726oveq1d 7367 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)) = (𝑌 · (𝐻𝑥)))
289ffvelcdmda 7032 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐵)
29 lcomfsupp.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑊)
306, 3, 5, 23, 29lmod0vs 20308 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐻𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑌 · (𝐻𝑥)) = 0 )
317, 28, 30syl2an2r 684 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑌 · (𝐻𝑥)) = 0 )
3212, 31sylan2 594 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝑌 · (𝐻𝑥)) = 0 )
3321, 27, 323eqtrd 2782 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺f · 𝐻)‘𝑥) = 0 )
3411, 33suppss 8118 . . 3 (𝜑 → ((𝐺f · 𝐻) supp 0 ) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
352, 34ssfid 9170 . 2 (𝜑 → ((𝐺f · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin)
3613, 15, 10, 10offun 7624 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐺f · 𝐻))
37 ovexd 7387 . . 3 (𝜑 → (𝐺f · 𝐻) ∈ V)
3829fvexi 6854 . . . 4 0 ∈ V
3938a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
40 funisfsupp 9269 . . 3 ((Fun (𝐺f · 𝐻) ∧ (𝐺f · 𝐻) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐺f · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺f · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
4136, 37, 39, 40syl3anc 1372 . 2 (𝜑 → ((𝐺f · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺f · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
4235, 41mpbird 257 1 (𝜑 → (𝐺f · 𝐻) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3444  cdif 3906   class class class wbr 5104  Fun wfun 6488   Fn wfn 6489  wf 6490  cfv 6494  (class class class)co 7352  f cof 7608   supp csupp 8085  Fincfn 8842   finSupp cfsupp 9264  Basecbs 17043  Scalarcsca 17096   ·𝑠 cvsca 17097  0gc0g 17281  LModclmod 20275
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pr 5383  ax-un 7665
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5530  df-eprel 5536  df-po 5544  df-so 5545  df-fr 5587  df-we 5589  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6446  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7308  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-of 7610  df-om 7796  df-supp 8086  df-1o 8405  df-en 8843  df-fin 8846  df-fsupp 9265  df-0g 17283  df-mgm 18457  df-sgrp 18506  df-mnd 18517  df-grp 18711  df-ring 19920  df-lmod 20277
This theorem is referenced by:  islindf4  21197  fedgmullem2  32139
  Copyright terms: Public domain W3C validator