Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcomfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcomfsupp 19660
 Description: A linear-combination sum is finitely supported if the coefficients are. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by AV, 15-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lcomf.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lcomf.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lcomf.s · = ( ·𝑠𝑊)
lcomf.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
lcomf.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lcomf.g (𝜑𝐺:𝐼𝐾)
lcomf.h (𝜑𝐻:𝐼𝐵)
lcomf.i (𝜑𝐼𝑉)
lcomfsupp.z 0 = (0g𝑊)
lcomfsupp.y 𝑌 = (0g𝐹)
lcomfsupp.j (𝜑𝐺 finSupp 𝑌)
Assertion
Ref Expression
lcomfsupp (𝜑 → (𝐺f · 𝐻) finSupp 0 )

Proof of Theorem lcomfsupp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcomfsupp.j . . . 4 (𝜑𝐺 finSupp 𝑌)
21fsuppimpd 8824 . . 3 (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ∈ Fin)
3 lcomf.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 lcomf.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
5 lcomf.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
6 lcomf.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
7 lcomf.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 lcomf.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝐼𝐾)
9 lcomf.h . . . . 5 (𝜑𝐻:𝐼𝐵)
10 lcomf.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lcomf 19659 . . . 4 (𝜑 → (𝐺f · 𝐻):𝐼𝐵)
12 eldifi 4087 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌)) → 𝑥𝐼)
138ffnd 6496 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
1413adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 Fn 𝐼)
159ffnd 6496 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 Fn 𝐼)
1615adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐻 Fn 𝐼)
1710adantr 484 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑉)
18 simpr 488 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
19 fnfvof 7406 . . . . . . 7 (((𝐺 Fn 𝐼𝐻 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑉𝑥𝐼)) → ((𝐺f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)))
2014, 16, 17, 18, 19syl22anc 837 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐺f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)))
2112, 20sylan2 595 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)))
22 ssidd 3974 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
23 lcomfsupp.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (0g𝐹)
2423fvexi 6665 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ V)
268, 22, 10, 25suppssr 7844 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝐺𝑥) = 𝑌)
2726oveq1d 7153 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)) = (𝑌 · (𝐻𝑥)))
289ffvelrnda 6832 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐵)
29 lcomfsupp.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑊)
306, 3, 5, 23, 29lmod0vs 19653 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐻𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑌 · (𝐻𝑥)) = 0 )
317, 28, 30syl2an2r 684 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑌 · (𝐻𝑥)) = 0 )
3212, 31sylan2 595 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝑌 · (𝐻𝑥)) = 0 )
3321, 27, 323eqtrd 2863 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺f · 𝐻)‘𝑥) = 0 )
3411, 33suppss 7843 . . 3 (𝜑 → ((𝐺f · 𝐻) supp 0 ) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
352, 34ssfid 8725 . 2 (𝜑 → ((𝐺f · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin)
36 inidm 4178 . . . . 5 (𝐼𝐼) = 𝐼
3713, 15, 10, 10, 36offn 7403 . . . 4 (𝜑 → (𝐺f · 𝐻) Fn 𝐼)
38 fnfun 6434 . . . 4 ((𝐺f · 𝐻) Fn 𝐼 → Fun (𝐺f · 𝐻))
3937, 38syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐺f · 𝐻))
40 ovexd 7173 . . 3 (𝜑 → (𝐺f · 𝐻) ∈ V)
4129fvexi 6665 . . . 4 0 ∈ V
4241a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
43 funisfsupp 8822 . . 3 ((Fun (𝐺f · 𝐻) ∧ (𝐺f · 𝐻) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐺f · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺f · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1368 . 2 (𝜑 → ((𝐺f · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺f · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
4535, 44mpbird 260 1 (𝜑 → (𝐺f · 𝐻) finSupp 0 )
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3479   ∖ cdif 3915   class class class wbr 5047  Fun wfun 6330   Fn wfn 6331  ⟶wf 6332  ‘cfv 6336  (class class class)co 7138   ∘f cof 7390   supp csupp 7813  Fincfn 8492   finSupp cfsupp 8817  Basecbs 16472  Scalarcsca 16557   ·𝑠 cvsca 16558  0gc0g 16702  LModclmod 19620 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rmo 3140  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-uni 4820  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-of 7392  df-om 7564  df-supp 7814  df-er 8272  df-en 8493  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-0g 16704  df-mgm 17841  df-sgrp 17890  df-mnd 17901  df-grp 18095  df-ring 19288  df-lmod 19622 This theorem is referenced by:  islindf4  20968  fedgmullem2  31047
 Copyright terms: Public domain W3C validator