MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcomfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcomfsupp 19306
Description: A linear-combination sum is finitely supported if the coefficients are. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by AV, 15-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lcomf.f 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lcomf.k 𝐾 = (Base‘𝐹)
lcomf.s · = ( ·𝑠𝑊)
lcomf.b 𝐵 = (Base‘𝑊)
lcomf.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
lcomf.g (𝜑𝐺:𝐼𝐾)
lcomf.h (𝜑𝐻:𝐼𝐵)
lcomf.i (𝜑𝐼𝑉)
lcomfsupp.z 0 = (0g𝑊)
lcomfsupp.y 𝑌 = (0g𝐹)
lcomfsupp.j (𝜑𝐺 finSupp 𝑌)
Assertion
Ref Expression
lcomfsupp (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐻) finSupp 0 )

Proof of Theorem lcomfsupp
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcomfsupp.j . . . 4 (𝜑𝐺 finSupp 𝑌)
21fsuppimpd 8572 . . 3 (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ∈ Fin)
3 lcomf.f . . . . 5 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4 lcomf.k . . . . 5 𝐾 = (Base‘𝐹)
5 lcomf.s . . . . 5 · = ( ·𝑠𝑊)
6 lcomf.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑊)
7 lcomf.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
8 lcomf.g . . . . 5 (𝜑𝐺:𝐼𝐾)
9 lcomf.h . . . . 5 (𝜑𝐻:𝐼𝐵)
10 lcomf.i . . . . 5 (𝜑𝐼𝑉)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lcomf 19305 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐻):𝐼𝐵)
12 eldifi 3955 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌)) → 𝑥𝐼)
138ffnd 6294 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 Fn 𝐼)
1413adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐺 Fn 𝐼)
159ffnd 6294 . . . . . . . 8 (𝜑𝐻 Fn 𝐼)
1615adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐻 Fn 𝐼)
1710adantr 474 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝐼𝑉)
18 simpr 479 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → 𝑥𝐼)
19 fnfvof 7190 . . . . . . 7 (((𝐺 Fn 𝐼𝐻 Fn 𝐼) ∧ (𝐼𝑉𝑥𝐼)) → ((𝐺𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)))
2014, 16, 17, 18, 19syl22anc 829 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → ((𝐺𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)))
2112, 20sylan2 586 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)))
22 ssidd 3843 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
23 lcomfsupp.y . . . . . . . . 9 𝑌 = (0g𝐹)
2423fvexi 6462 . . . . . . . 8 𝑌 ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ V)
268, 22, 10, 25suppssr 7610 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝐺𝑥) = 𝑌)
2726oveq1d 6939 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺𝑥) · (𝐻𝑥)) = (𝑌 · (𝐻𝑥)))
289ffvelrnda 6625 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝐻𝑥) ∈ 𝐵)
29 lcomfsupp.z . . . . . . . 8 0 = (0g𝑊)
306, 3, 5, 23, 29lmod0vs 19299 . . . . . . 7 ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐻𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑌 · (𝐻𝑥)) = 0 )
317, 28, 30syl2an2r 675 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝐼) → (𝑌 · (𝐻𝑥)) = 0 )
3212, 31sylan2 586 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝑌 · (𝐻𝑥)) = 0 )
3321, 27, 323eqtrd 2818 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺𝑓 · 𝐻)‘𝑥) = 0 )
3411, 33suppss 7609 . . 3 (𝜑 → ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
352, 34ssfid 8473 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin)
36 inidm 4043 . . . . 5 (𝐼𝐼) = 𝐼
3713, 15, 10, 10, 36offn 7187 . . . 4 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐻) Fn 𝐼)
38 fnfun 6235 . . . 4 ((𝐺𝑓 · 𝐻) Fn 𝐼 → Fun (𝐺𝑓 · 𝐻))
3937, 38syl 17 . . 3 (𝜑 → Fun (𝐺𝑓 · 𝐻))
40 ovexd 6958 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐻) ∈ V)
4129fvexi 6462 . . . 4 0 ∈ V
4241a1i 11 . . 3 (𝜑0 ∈ V)
43 funisfsupp 8570 . . 3 ((Fun (𝐺𝑓 · 𝐻) ∧ (𝐺𝑓 · 𝐻) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐺𝑓 · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
4439, 40, 42, 43syl3anc 1439 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝑓 · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺𝑓 · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
4535, 44mpbird 249 1 (𝜑 → (𝐺𝑓 · 𝐻) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386   = wceq 1601  wcel 2107  Vcvv 3398  cdif 3789   class class class wbr 4888  Fun wfun 6131   Fn wfn 6132  wf 6133  cfv 6137  (class class class)co 6924  𝑓 cof 7174   supp csupp 7578  Fincfn 8243   finSupp cfsupp 8565  Basecbs 16266  Scalarcsca 16352   ·𝑠 cvsca 16353  0gc0g 16497  LModclmod 19266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-tr 4990  df-id 5263  df-eprel 5268  df-po 5276  df-so 5277  df-fr 5316  df-we 5318  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-ord 5981  df-on 5982  df-lim 5983  df-suc 5984  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-mpt2 6929  df-of 7176  df-om 7346  df-supp 7579  df-er 8028  df-en 8244  df-fin 8247  df-fsupp 8566  df-0g 16499  df-mgm 17639  df-sgrp 17681  df-mnd 17692  df-grp 17823  df-ring 18947  df-lmod 19268
This theorem is referenced by:  islindf4  20592
  Copyright terms: Public domain W3C validator