Theorem lcomfsupp 20830

Description: A linear-combination sum is finitely supported if the coefficients are. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by AV, 15-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcomf.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lcomf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lcomf.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lcomf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lcomf.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcomf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐾)
lcomf.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶𝐵)
lcomf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
lcomfsupp.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lcomfsupp.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝐹)
lcomfsupp.j	⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
lcomfsupp	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐻) finSupp 0 )

Proof of Theorem lcomfsupp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcomfsupp.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑌)
2	1	fsuppimpd 9248	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ∈ Fin)
3		lcomf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		lcomf.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
5		lcomf.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lcomf.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		lcomf.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lcomf.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐾)
9		lcomf.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶𝐵)
10		lcomf.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lcomf 20829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐻):𝐼⟶𝐵)
12		eldifi 4076	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
13	8	ffnd 6647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
14	13	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 Fn 𝐼)
15	9	ffnd 6647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝐼)
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐻 Fn 𝐼)
17	10	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
18		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
19		fnfvof 7622	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 Fn 𝐼 ∧ 𝐻 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → ((𝐺 ∘f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))
20	14, 16, 17, 18, 19	syl22anc 838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐺 ∘f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))
21	12, 20	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺 ∘f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))
22		ssidd 3953	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
23		lcomfsupp.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝐹)
24	23	fvexi 6831	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
26	8, 22, 10, 25	suppssr 8120	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝐺‘𝑥) = 𝑌)
27	26	oveq1d 7356	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)) = (𝑌 · (𝐻‘𝑥)))
28	9	ffvelcdmda 7012	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑥) ∈ 𝐵)
29		lcomfsupp.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
30	6, 3, 5, 23, 29	lmod0vs 20823	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐻‘𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑌 · (𝐻‘𝑥)) = 0 )
31	7, 28, 30	syl2an2r 685	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 · (𝐻‘𝑥)) = 0 )
32	12, 31	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝑌 · (𝐻‘𝑥)) = 0 )
33	21, 27, 32	3eqtrd 2770	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺 ∘f · 𝐻)‘𝑥) = 0 )
34	11, 33	suppss 8119	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f · 𝐻) supp 0 ) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
35	2, 34	ssfid 9148	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin)
36	13, 15, 10, 10	offun 7619	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∘f · 𝐻))
37		ovexd 7376	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐻) ∈ V)
38	29	fvexi 6831	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
39	38	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
40		funisfsupp 9246	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐺 ∘f · 𝐻) ∧ (𝐺 ∘f · 𝐻) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐺 ∘f · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺 ∘f · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
41	36, 37, 39, 40	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺 ∘f · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
42	35, 41	mpbird 257	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐻) finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  Vcvv 3436   ∖ cdif 3894   class class class wbr 5086  Fun wfun 6470   Fn wfn 6471  ⟶wf 6472  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341   ∘_f cof 7603   supp csupp 8085  Fincfn 8864   finSupp cfsupp 9240  Basecbs 17115  Scalarcsca 17159   ·_𝑠 cvsca 17160  0_gc0g 17338  LModclmod 20788

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7605  df-om 7792  df-supp 8086  df-1o 8380  df-en 8865  df-fin 8868  df-fsupp 9241  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-ring 20148  df-lmod 20790

This theorem is referenced by:  islindf4  21770  fedgmullem2  33635