MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lcomfsupp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcomfsupp 20406
Description: A linear-combination sum is finitely supported if the coefficients are. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by AV, 15-Jul-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
lcomf.f 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
lcomf.k 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
lcomf.s Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
lcomf.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
lcomf.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
lcomf.g (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐼⟢𝐾)
lcomf.h (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐼⟢𝐡)
lcomf.i (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
lcomfsupp.z 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lcomfsupp.y π‘Œ = (0gβ€˜πΉ)
lcomfsupp.j (πœ‘ β†’ 𝐺 finSupp π‘Œ)
Assertion
Ref Expression
lcomfsupp (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝐻) finSupp 0 )

Proof of Theorem lcomfsupp
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lcomfsupp.j . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 finSupp π‘Œ)
21fsuppimpd 9319 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 supp π‘Œ) ∈ Fin)
3 lcomf.f . . . . 5 𝐹 = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 lcomf.k . . . . 5 𝐾 = (Baseβ€˜πΉ)
5 lcomf.s . . . . 5 Β· = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
6 lcomf.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘Š)
7 lcomf.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 lcomf.g . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐺:𝐼⟢𝐾)
9 lcomf.h . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐻:𝐼⟢𝐡)
10 lcomf.i . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
113, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10lcomf 20405 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝐻):𝐼⟢𝐡)
12 eldifi 4090 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝐺 supp π‘Œ)) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
138ffnd 6673 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
1413adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐺 Fn 𝐼)
159ffnd 6673 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐻 Fn 𝐼)
1615adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐻 Fn 𝐼)
1710adantr 482 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ 𝐼 ∈ 𝑉)
18 simpr 486 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ π‘₯ ∈ 𝐼)
19 fnfvof 7638 . . . . . . 7 (((𝐺 Fn 𝐼 ∧ 𝐻 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ π‘₯ ∈ 𝐼)) β†’ ((𝐺 ∘f Β· 𝐻)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘₯)))
2014, 16, 17, 18, 19syl22anc 838 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ ((𝐺 ∘f Β· 𝐻)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘₯)))
2112, 20sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝐺 supp π‘Œ))) β†’ ((𝐺 ∘f Β· 𝐻)β€˜π‘₯) = ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘₯)))
22 ssidd 3971 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐺 supp π‘Œ) βŠ† (𝐺 supp π‘Œ))
23 lcomfsupp.y . . . . . . . . 9 π‘Œ = (0gβ€˜πΉ)
2423fvexi 6860 . . . . . . . 8 π‘Œ ∈ V
2524a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
268, 22, 10, 25suppssr 8131 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝐺 supp π‘Œ))) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = π‘Œ)
2726oveq1d 7376 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝐺 supp π‘Œ))) β†’ ((πΊβ€˜π‘₯) Β· (π»β€˜π‘₯)) = (π‘Œ Β· (π»β€˜π‘₯)))
289ffvelcdmda 7039 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π»β€˜π‘₯) ∈ 𝐡)
29 lcomfsupp.z . . . . . . . 8 0 = (0gβ€˜π‘Š)
306, 3, 5, 23, 29lmod0vs 20399 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π»β€˜π‘₯) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ Β· (π»β€˜π‘₯)) = 0 )
317, 28, 30syl2an2r 684 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐼) β†’ (π‘Œ Β· (π»β€˜π‘₯)) = 0 )
3212, 31sylan2 594 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝐺 supp π‘Œ))) β†’ (π‘Œ Β· (π»β€˜π‘₯)) = 0 )
3321, 27, 323eqtrd 2777 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (𝐼 βˆ– (𝐺 supp π‘Œ))) β†’ ((𝐺 ∘f Β· 𝐻)β€˜π‘₯) = 0 )
3411, 33suppss 8129 . . 3 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘f Β· 𝐻) supp 0 ) βŠ† (𝐺 supp π‘Œ))
352, 34ssfid 9217 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘f Β· 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin)
3613, 15, 10, 10offun 7635 . . 3 (πœ‘ β†’ Fun (𝐺 ∘f Β· 𝐻))
37 ovexd 7396 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝐻) ∈ V)
3829fvexi 6860 . . . 4 0 ∈ V
3938a1i 11 . . 3 (πœ‘ β†’ 0 ∈ V)
40 funisfsupp 9317 . . 3 ((Fun (𝐺 ∘f Β· 𝐻) ∧ (𝐺 ∘f Β· 𝐻) ∈ V ∧ 0 ∈ V) β†’ ((𝐺 ∘f Β· 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺 ∘f Β· 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
4136, 37, 39, 40syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐺 ∘f Β· 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺 ∘f Β· 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
4235, 41mpbird 257 1 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘f Β· 𝐻) finSupp 0 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447   βˆ– cdif 3911   class class class wbr 5109  Fun wfun 6494   Fn wfn 6495  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   ∘f cof 7619   supp csupp 8096  Fincfn 8889   finSupp cfsupp 9311  Basecbs 17091  Scalarcsca 17144   ·𝑠 cvsca 17145  0gc0g 17329  LModclmod 20365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pr 5388  ax-un 7676
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-supp 8097  df-1o 8416  df-en 8890  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-0g 17331  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-grp 18759  df-ring 19974  df-lmod 20367
This theorem is referenced by:  islindf4  21267  fedgmullem2  32389
  Copyright terms: Public domain W3C validator