Theorem lcomfsupp 20892

Description: A linear-combination sum is finitely supported if the coefficients are. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Feb-2015.) (Revised by AV, 15-Jul-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcomf.f	⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
lcomf.k	⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
lcomf.s	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
lcomf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lcomf.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
lcomf.g	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐾)
lcomf.h	⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶𝐵)
lcomf.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
lcomfsupp.z	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lcomfsupp.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝐹)
lcomfsupp.j	⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑌)

Assertion

Ref	Expression
lcomfsupp	⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐻) finSupp 0 )

Proof of Theorem lcomfsupp

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcomfsupp.j	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 finSupp 𝑌)
2	1	fsuppimpd 9272	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ∈ Fin)
3		lcomf.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (Scalar‘𝑊)
4		lcomf.k	. . . . 5 ⊢ 𝐾 = (Base‘𝐹)
5		lcomf.s	. . . . 5 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝑊)
6		lcomf.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
7		lcomf.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
8		lcomf.g	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐼⟶𝐾)
9		lcomf.h	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐻:𝐼⟶𝐵)
10		lcomf.i	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ 𝑉)
11	3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	lcomf 20891	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐻):𝐼⟶𝐵)
12		eldifi 4061	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌)) → 𝑥 ∈ 𝐼)
13	8	ffnd 6656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn 𝐼)
14	13	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐺 Fn 𝐼)
15	9	ffnd 6656	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐻 Fn 𝐼)
16	15	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐻 Fn 𝐼)
17	10	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝐼 ∈ 𝑉)
18		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → 𝑥 ∈ 𝐼)
19		fnfvof 7637	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐺 Fn 𝐼 ∧ 𝐻 Fn 𝐼) ∧ (𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼)) → ((𝐺 ∘f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))
20	14, 16, 17, 18, 19	syl22anc 844	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → ((𝐺 ∘f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))
21	12, 20	sylan2 599	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺 ∘f · 𝐻)‘𝑥) = ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)))
22		ssidd 3938	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐺 supp 𝑌) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
23		lcomfsupp.y	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝐹)
24	23	fvexi 6841	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑌 ∈ V
25	24	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
26	8, 22, 10, 25	suppssr 8135	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝐺‘𝑥) = 𝑌)
27	26	oveq1d 7371	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺‘𝑥) · (𝐻‘𝑥)) = (𝑌 · (𝐻‘𝑥)))
28	9	ffvelcdmda 7025	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝐻‘𝑥) ∈ 𝐵)
29		lcomfsupp.z	. . . . . . . 8 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
30	6, 3, 5, 23, 29	lmod0vs 20885	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝐻‘𝑥) ∈ 𝐵) → (𝑌 · (𝐻‘𝑥)) = 0 )
31	7, 28, 30	syl2an2r 691	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐼) → (𝑌 · (𝐻‘𝑥)) = 0 )
32	12, 31	sylan2 599	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → (𝑌 · (𝐻‘𝑥)) = 0 )
33	21, 27, 32	3eqtrd 2778	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (𝐼 ∖ (𝐺 supp 𝑌))) → ((𝐺 ∘f · 𝐻)‘𝑥) = 0 )
34	11, 33	suppss 8134	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f · 𝐻) supp 0 ) ⊆ (𝐺 supp 𝑌))
35	2, 34	ssfid 9169	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin)
36	13, 15, 10, 10	offun 7634	. . 3 ⊢ (𝜑 → Fun (𝐺 ∘f · 𝐻))
37		ovexd 7391	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐻) ∈ V)
38	29	fvexi 6841	. . . 4 ⊢ 0 ∈ V
39	38	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ V)
40		funisfsupp 9270	. . 3 ⊢ ((Fun (𝐺 ∘f · 𝐻) ∧ (𝐺 ∘f · 𝐻) ∈ V ∧ 0 ∈ V) → ((𝐺 ∘f · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺 ∘f · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
41	36, 37, 39, 40	syl3anc 1379	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺 ∘f · 𝐻) finSupp 0 ↔ ((𝐺 ∘f · 𝐻) supp 0 ) ∈ Fin))
42	35, 41	mpbird 258	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘f · 𝐻) finSupp 0 )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  Vcvv 3431   ∖ cdif 3880   class class class wbr 5072  Fun wfun 6479   Fn wfn 6480  ⟶wf 6481  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356   ∘_f cof 7618   supp csupp 8100  Fincfn 8883   finSupp cfsupp 9264  Basecbs 17170  Scalarcsca 17214   ·_𝑠 cvsca 17215  0_gc0g 17393  LModclmod 20850

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-of 7620  df-om 7807  df-supp 8101  df-1o 8395  df-en 8884  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-ring 20207  df-lmod 20852

This theorem is referenced by:  islindf4  21813  fedgmullem2  33814