MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsntrim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsntrim 20987
Description: Triangle-type inequality for span of a singleton of vector difference. (Contributed by NM, 25-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsntrim.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsntrim.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
lspsntrim.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lspsntrim.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspsntrim ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ})))

Proof of Theorem lspsntrim
StepHypRef Expression
1 lspsntrim.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 eqid 2725 . . . . 5 (invgβ€˜π‘Š) = (invgβ€˜π‘Š)
31, 2lmodvnegcl 20790 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) ∈ 𝑉)
433adant2 1128 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) ∈ 𝑉)
5 eqid 2725 . . . 4 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
6 lspsntrim.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
7 lspsntrim.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
81, 5, 6, 7lspsntri 20986 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(𝑋(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ• (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)})))
94, 8syld3an3 1406 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(𝑋(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ• (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)})))
10 lspsntrim.s . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
111, 5, 2, 10grpsubval 18946 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)))
1211sneqd 4636 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ {(𝑋 βˆ’ π‘Œ)} = {(𝑋(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))})
1312fveq2d 6896 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) = (π‘β€˜{(𝑋(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))}))
14133adant1 1127 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) = (π‘β€˜{(𝑋(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))}))
151, 2, 6lspsnneg 20894 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
16153adant2 1128 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
1716eqcomd 2731 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)}))
1817oveq2d 7432 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ})) = ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ• (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)})))
199, 14, 183sstr4d 4020 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βŠ† wss 3939  {csn 4624  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  +gcplusg 17232  invgcminusg 18895  -gcsg 18896  LSSumclsm 19593  LModclmod 20747  LSpanclspn 20859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-0g 17422  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-grp 18897  df-minusg 18898  df-sbg 18899  df-subg 19082  df-cntz 19272  df-lsm 19595  df-cmn 19741  df-abl 19742  df-mgp 20079  df-ur 20126  df-ring 20179  df-lmod 20749  df-lss 20820  df-lsp 20860
This theorem is referenced by:  mapdpglem1  41201  baerlem3lem2  41239  baerlem5alem2  41240  baerlem5blem2  41241
  Copyright terms: Public domain W3C validator