Theorem lspsntrim 20275

Description: Triangle-type inequality for span of a singleton of vector difference. (Contributed by NM, 25-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsntrim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsntrim.s	⊢ − = (-g‘𝑊)
lspsntrim.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lspsntrim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsntrim	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem lspsntrim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsntrim.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
3	1, 2	lmodvnegcl 20079	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘𝑌) ∈ 𝑉)
4	3	3adant2 1129	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘𝑌) ∈ 𝑉)
5		eqid 2738	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6		lspsntrim.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7		lspsntrim.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
8	1, 5, 6, 7	lspsntri 20274	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)})))
9	4, 8	syld3an3 1407	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)})))
10		lspsntrim.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
11	1, 5, 2, 10	grpsubval 18540	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌)))
12	11	sneqd 4570	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {(𝑋 − 𝑌)} = {(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))})
13	12	fveq2d 6760	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))}))
14	13	3adant1 1128	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))}))
15	1, 2, 6	lspsnneg 20183	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
16	15	3adant2 1129	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
17	16	eqcomd 2744	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)}))
18	17	oveq2d 7271	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)})))
19	9, 14, 18	3sstr4d 3964	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  {csn 4558  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  +_gcplusg 16888  inv_gcminusg 18493  -_gcsg 18494  LSSumclsm 19154  LModclmod 20038  LSpanclspn 20148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-0g 17069  df-mgm 18241  df-sgrp 18290  df-mnd 18301  df-submnd 18346  df-grp 18495  df-minusg 18496  df-sbg 18497  df-subg 18667  df-cntz 18838  df-lsm 19156  df-cmn 19303  df-abl 19304  df-mgp 19636  df-ur 19653  df-ring 19700  df-lmod 20040  df-lss 20109  df-lsp 20149

This theorem is referenced by:  mapdpglem1  39613  baerlem3lem2  39651  baerlem5alem2  39652  baerlem5blem2  39653