Theorem lspsntrim 21373

Description: Triangle-type inequality for span of a singleton of vector difference. (Contributed by NM, 25-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsntrim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsntrim.s	⊢ − = (-g‘𝑊)
lspsntrim.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lspsntrim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsntrim	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem lspsntrim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsntrim.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2761	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
3	1, 2	lmodvnegcl 21178	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘𝑌) ∈ 𝑉)
4	3	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘𝑌) ∈ 𝑉)
5		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6		lspsntrim.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7		lspsntrim.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
8	1, 5, 6, 7	lspsntri 21372	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)})))
9	4, 8	syld3an3 1436	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)})))
10		lspsntrim.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
11	1, 5, 2, 10	grpsubval 19196	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌)))
12	11	sneqd 4596	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {(𝑋 − 𝑌)} = {(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))})
13	12	fveq2d 6889	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))}))
14	13	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))}))
15	1, 2, 6	lspsnneg 21281	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
16	15	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
17	16	eqcomd 2767	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)}))
18	17	oveq2d 7436	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)})))
19	9, 14, 18	3sstr4d 3986	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  Basecbs 17387  +_gcplusg 17428  inv_gcminusg 19145  -_gcsg 19146  LSSumclsm 19848  LModclmod 21135  LSpanclspn 21246

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-cnex 11256  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276  ax-pre-mulgt0 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-xr 11347  df-ltxr 11348  df-le 11349  df-sub 11543  df-neg 11544  df-nn 12336  df-2 12405  df-sets 17342  df-slot 17360  df-ndx 17372  df-base 17388  df-ress 17409  df-plusg 17441  df-0g 17612  df-mgm 18816  df-sgrp 18908  df-mnd 18924  df-submnd 18979  df-grp 19147  df-minusg 19148  df-sbg 19149  df-subg 19333  df-cntz 19531  df-lsm 19850  df-cmn 19996  df-abl 19997  df-mgp 20361  df-ur 20408  df-ring 20461  df-lmod 21137  df-lss 21207  df-lsp 21247

This theorem is used by:  mapdpglem1  42729  baerlem3lem2  42767  baerlem5alem2  42768  baerlem5blem2  42769