Theorem lspsntrim 21424

Description: Triangle-type inequality for span of a singleton of vector difference. (Contributed by NM, 25-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsntrim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsntrim.s	⊢ − = (-g‘𝑊)
lspsntrim.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lspsntrim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsntrim	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem lspsntrim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsntrim.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
3	1, 2	lmodvnegcl 21229	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘𝑌) ∈ 𝑉)
4	3	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘𝑌) ∈ 𝑉)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6		lspsntrim.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7		lspsntrim.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
8	1, 5, 6, 7	lspsntri 21423	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)})))
9	4, 8	syld3an3 1437	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)})))
10		lspsntrim.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
11	1, 5, 2, 10	grpsubval 19246	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌)))
12	11	sneqd 4596	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {(𝑋 − 𝑌)} = {(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))})
13	12	fveq2d 6920	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))}))
14	13	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))}))
15	1, 2, 6	lspsnneg 21332	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
16	15	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
17	16	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)}))
18	17	oveq2d 7467	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)})))
19	9, 14, 18	3sstr4d 3968	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900  {csn 4588  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431  +_gcplusg 17472  inv_gcminusg 19195  -_gcsg 19196  LSSumclsm 19899  LModclmod 21186  LSpanclspn 21297

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-nn 12376  df-2 12445  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-0g 17662  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-grp 19197  df-minusg 19198  df-sbg 19199  df-subg 19383  df-cntz 19582  df-lsm 19901  df-cmn 20047  df-abl 20048  df-mgp 20412  df-ur 20459  df-ring 20512  df-lmod 21188  df-lss 21258  df-lsp 21298

This theorem is used by:  mapdpglem1  42995  baerlem3lem2  43033  baerlem5alem2  43034  baerlem5blem2  43035