MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lspsntrim Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lspsntrim 20709
Description: Triangle-type inequality for span of a singleton of vector difference. (Contributed by NM, 25-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsntrim.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsntrim.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
lspsntrim.p βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
lspsntrim.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspsntrim ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ})))

Proof of Theorem lspsntrim
StepHypRef Expression
1 lspsntrim.v . . . . 5 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 eqid 2733 . . . . 5 (invgβ€˜π‘Š) = (invgβ€˜π‘Š)
31, 2lmodvnegcl 20513 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) ∈ 𝑉)
433adant2 1132 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) ∈ 𝑉)
5 eqid 2733 . . . 4 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
6 lspsntrim.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
7 lspsntrim.p . . . 4 βŠ• = (LSSumβ€˜π‘Š)
81, 5, 6, 7lspsntri 20708 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ) ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(𝑋(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ• (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)})))
94, 8syld3an3 1410 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(𝑋(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ• (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)})))
10 lspsntrim.s . . . . . 6 βˆ’ = (-gβ€˜π‘Š)
111, 5, 2, 10grpsubval 18870 . . . . 5 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 βˆ’ π‘Œ) = (𝑋(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)))
1211sneqd 4641 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ {(𝑋 βˆ’ π‘Œ)} = {(𝑋(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))})
1312fveq2d 6896 . . 3 ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) = (π‘β€˜{(𝑋(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))}))
14133adant1 1131 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) = (π‘β€˜{(𝑋(+gβ€˜π‘Š)((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ))}))
151, 2, 6lspsnneg 20617 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
16153adant2 1132 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)}) = (π‘β€˜{π‘Œ}))
1716eqcomd 2739 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) = (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)}))
1817oveq2d 7425 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ})) = ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ• (π‘β€˜{((invgβ€˜π‘Š)β€˜π‘Œ)})))
199, 14, 183sstr4d 4030 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)}) βŠ† ((π‘β€˜{𝑋}) βŠ• (π‘β€˜{π‘Œ})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βŠ† wss 3949  {csn 4629  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  invgcminusg 18820  -gcsg 18821  LSSumclsm 19502  LModclmod 20471  LSpanclspn 20582
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583
This theorem is referenced by:  mapdpglem1  40543  baerlem3lem2  40581  baerlem5alem2  40582  baerlem5blem2  40583
  Copyright terms: Public domain W3C validator