Theorem lspsntrim 21219

Description: Triangle-type inequality for span of a singleton of vector difference. (Contributed by NM, 25-Apr-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsntrim.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsntrim.s	⊢ − = (-g‘𝑊)
lspsntrim.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
lspsntrim.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsntrim	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))

Proof of Theorem lspsntrim

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsntrim.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (invg‘𝑊) = (invg‘𝑊)
3	1, 2	lmodvnegcl 21024	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘𝑌) ∈ 𝑉)
4	3	3adant2 1149	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((invg‘𝑊)‘𝑌) ∈ 𝑉)
5		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
6		lspsntrim.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
7		lspsntrim.p	. . . 4 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑊)
8	1, 5, 6, 7	lspsntri 21218	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ ((invg‘𝑊)‘𝑌) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)})))
9	4, 8	syld3an3 1436	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)})))
10		lspsntrim.s	. . . . . 6 ⊢ − = (-g‘𝑊)
11	1, 5, 2, 10	grpsubval 19047	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 − 𝑌) = (𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌)))
12	11	sneqd 4601	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → {(𝑋 − 𝑌)} = {(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))})
13	12	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))}))
14	13	3adant1 1148	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) = (𝑁‘{(𝑋(+g‘𝑊)((invg‘𝑊)‘𝑌))}))
15	1, 2, 6	lspsnneg 21127	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
16	15	3adant2 1149	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)}) = (𝑁‘{𝑌}))
17	16	eqcomd 2769	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) = (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)}))
18	17	oveq2d 7426	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) = ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{((invg‘𝑊)‘𝑌)})))
19	9, 14, 18	3sstr4d 3992	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)}) ⊆ ((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ⊆ wss 3905  {csn 4589  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  Basecbs 17264  +_gcplusg 17305  inv_gcminusg 18996  -_gcsg 18997  LSSumclsm 19699  LModclmod 20981  LSpanclspn 21092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-cnex 11151  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171  ax-pre-mulgt0 11172

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-sub 11438  df-neg 11439  df-nn 12229  df-2 12298  df-sets 17219  df-slot 17237  df-ndx 17249  df-base 17265  df-ress 17286  df-plusg 17318  df-0g 17489  df-mgm 18693  df-sgrp 18772  df-mnd 18788  df-submnd 18837  df-grp 18998  df-minusg 18999  df-sbg 19000  df-subg 19184  df-cntz 19382  df-lsm 19701  df-cmn 19847  df-abl 19848  df-mgp 20212  df-ur 20259  df-ring 20312  df-lmod 20983  df-lss 21053  df-lsp 21093

This theorem is referenced by:  mapdpglem1  42446  baerlem3lem2  42484  baerlem5alem2  42485  baerlem5blem2  42486