Theorem lnoadd 31366

Description: Addition property of a linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnoadd.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnoadd.5	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
lnoadd.6	⊢ 𝐻 = ( +𝑣 ‘𝑊)
lnoadd.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lnoadd	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑇‘𝐴)𝐻(𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnoadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11262	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		lnoadd.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
4		lnoadd.5	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
5		lnoadd.6	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ( +𝑣 ‘𝑊)
6		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7		eqid 2760	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
8		lnoadd.7	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lnolin 31362	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)𝐺𝐵)) = ((1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))𝐻(𝑇‘𝐵)))
10	1, 9	mp3anr1 1487	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)𝐺𝐵)) = ((1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))𝐻(𝑇‘𝐵)))
11		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
12		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
13	2, 6	nvsid 31235	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = 𝐴)
14	11, 12, 13	syl2an 608	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = 𝐴)
15	14	fvoveq1d 7443	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)𝐺𝐵)) = (𝑇‘(𝐴𝐺𝐵)))
16		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
17	2, 3, 8	lnof 31363	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
18		ffvelcdm 7082	. . . . 5 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
19	17, 12, 18	syl2an 608	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
20	3, 7	nvsid 31235	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)) = (𝑇‘𝐴))
21	16, 19, 20	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)) = (𝑇‘𝐴))
22	21	oveq1d 7436	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))𝐻(𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴)𝐻(𝑇‘𝐵)))
23	10, 15, 22	3eqtr3d 2803	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑇‘𝐴)𝐻(𝑇‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ⟶wf 6535  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  1c1 11205  NrmCVeccnv 31192   +_𝑣 cpv 31193  BaseSetcba 31194   ·_𝑠OLD cns 31195   LnOp clno 31348

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-1cn 11262

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-map 8853  df-vc 31167  df-nv 31200  df-va 31203  df-ba 31204  df-sm 31205  df-0v 31206  df-nmcv 31208  df-lno 31352

This theorem is used by: (None)