Theorem lnoadd 31353

Description: Addition property of a linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnoadd.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnoadd.5	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
lnoadd.6	⊢ 𝐻 = ( +𝑣 ‘𝑊)
lnoadd.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lnoadd	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑇‘𝐴)𝐻(𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnoadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11251	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		lnoadd.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2761	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
4		lnoadd.5	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
5		lnoadd.6	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ( +𝑣 ‘𝑊)
6		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7		eqid 2761	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
8		lnoadd.7	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lnolin 31349	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)𝐺𝐵)) = ((1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))𝐻(𝑇‘𝐵)))
10	1, 9	mp3anr1 1487	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)𝐺𝐵)) = ((1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))𝐻(𝑇‘𝐵)))
11		simp1 1154	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
12		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
13	2, 6	nvsid 31222	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = 𝐴)
14	11, 12, 13	syl2an 608	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = 𝐴)
15	14	fvoveq1d 7440	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)𝐺𝐵)) = (𝑇‘(𝐴𝐺𝐵)))
16		simpl2 1211	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
17	2, 3, 8	lnof 31350	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
18		ffvelcdm 7079	. . . . 5 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
19	17, 12, 18	syl2an 608	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
20	3, 7	nvsid 31222	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)) = (𝑇‘𝐴))
21	16, 19, 20	syl2anc 596	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)) = (𝑇‘𝐴))
22	21	oveq1d 7433	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))𝐻(𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴)𝐻(𝑇‘𝐵)))
23	10, 15, 22	3eqtr3d 2804	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑇‘𝐴)𝐻(𝑇‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418  ℂcc 11191  1c1 11194  NrmCVeccnv 31179   +_𝑣 cpv 31180  BaseSetcba 31181   ·_𝑠OLD cns 31182   LnOp clno 31335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-1cn 11251

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-map 8842  df-vc 31154  df-nv 31187  df-va 31190  df-ba 31191  df-sm 31192  df-0v 31193  df-nmcv 31195  df-lno 31339

This theorem is used by: (None)