Theorem lnoadd 30687

Description: Addition property of a linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnoadd.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnoadd.5	⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
lnoadd.6	⊢ 𝐻 = ( +𝑣 ‘𝑊)
lnoadd.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lnoadd	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑇‘𝐴)𝐻(𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnoadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11126	. . 3 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		lnoadd.1	. . . 4 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
4		lnoadd.5	. . . 4 ⊢ 𝐺 = ( +𝑣 ‘𝑈)
5		lnoadd.6	. . . 4 ⊢ 𝐻 = ( +𝑣 ‘𝑊)
6		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7		eqid 2729	. . . 4 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
8		lnoadd.7	. . . 4 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lnolin 30683	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)𝐺𝐵)) = ((1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))𝐻(𝑇‘𝐵)))
10	1, 9	mp3anr1 1460	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)𝐺𝐵)) = ((1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))𝐻(𝑇‘𝐵)))
11		simp1 1136	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑈 ∈ NrmCVec)
12		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
13	2, 6	nvsid 30556	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = 𝐴)
14	11, 12, 13	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴) = 𝐴)
15	14	fvoveq1d 7409	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐴)𝐺𝐵)) = (𝑇‘(𝐴𝐺𝐵)))
16		simpl2 1193	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
17	2, 3, 8	lnof 30684	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
18		ffvelcdm 7053	. . . . 5 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
19	17, 12, 18	syl2an 596	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
20	3, 7	nvsid 30556	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → (1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)) = (𝑇‘𝐴))
21	16, 19, 20	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)) = (𝑇‘𝐴))
22	21	oveq1d 7402	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐴))𝐻(𝑇‘𝐵)) = ((𝑇‘𝐴)𝐻(𝑇‘𝐵)))
23	10, 15, 22	3eqtr3d 2772	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝐺𝐵)) = ((𝑇‘𝐴)𝐻(𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  ℂcc 11066  1c1 11069  NrmCVeccnv 30513   +_𝑣 cpv 30514  BaseSetcba 30515   ·_𝑠OLD cns 30516   LnOp clno 30669

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-1cn 11126

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-map 8801  df-vc 30488  df-nv 30521  df-va 30524  df-ba 30525  df-sm 30526  df-0v 30527  df-nmcv 30529  df-lno 30673

This theorem is referenced by: (None)