MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnosub Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnosub 30517
Description: Subtraction property of a linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnosub.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
lnosub.5 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
lnosub.6 𝑁 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)
lnosub.7 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lnosub (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴𝑀𝐡)) = ((π‘‡β€˜π΄)𝑁(π‘‡β€˜π΅)))
Proof of Theorem lnosub
StepHypRef Expression
1 neg1cn 12327 . . . 4 -1 ∈ β„‚
2 lnosub.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 eqid 2726 . . . . 5 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
4 eqid 2726 . . . . 5 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
5 eqid 2726 . . . . 5 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜π‘Š)
6 eqid 2726 . . . . 5 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
7 eqid 2726 . . . . 5 ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
8 lnosub.7 . . . . 5 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8lnolin 30512 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΄)))
101, 9mp3anr1 1454 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΄)))
1110ancom2s 647 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΄)))
12 lnosub.5 . . . . . 6 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
132, 4, 6, 12nvmval2 30401 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))
14133expb 1117 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))
15143ad2antl1 1182 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))
1615fveq2d 6888 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴𝑀𝐡)) = (π‘‡β€˜((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴)))
17 simpl2 1189 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
182, 3, 8lnof 30513 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š))
19 simpl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
20 ffvelcdm 7076 . . . 4 ((𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜π΄) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
2118, 19, 20syl2an 595 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜π΄) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
22 simpr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
23 ffvelcdm 7076 . . . 4 ((𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜π΅) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
2418, 22, 23syl2an 595 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜π΅) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
25 lnosub.6 . . . 4 𝑁 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)
263, 5, 7, 25nvmval2 30401 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (π‘‡β€˜π΄) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ (π‘‡β€˜π΅) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘‡β€˜π΄)𝑁(π‘‡β€˜π΅)) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΄)))
2717, 21, 24, 26syl3anc 1368 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘‡β€˜π΄)𝑁(π‘‡β€˜π΅)) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΄)))
2811, 16, 273eqtr4d 2776 1 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴𝑀𝐡)) = ((π‘‡β€˜π΄)𝑁(π‘‡β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  1c1 11110  -cneg 11446  NrmCVeccnv 30342   +𝑣 cpv 30343  BaseSetcba 30344   ·𝑠OLD cns 30345   βˆ’π‘£ cnsb 30347   LnOp clno 30498
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11447  df-neg 11448  df-grpo 30251  df-gid 30252  df-ginv 30253  df-gdiv 30254  df-ablo 30303  df-vc 30317  df-nv 30350  df-va 30353  df-ba 30354  df-sm 30355  df-0v 30356  df-vs 30357  df-nmcv 30358  df-lno 30502
This theorem is referenced by:  blometi  30561  blocnilem  30562  ubthlem2  30629
  Copyright terms: Public domain W3C validator