Theorem lnosub 31111

Description: Subtraction property of a linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnosub.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnosub.5	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
lnosub.6	⊢ 𝑁 = ( −𝑣 ‘𝑊)
lnosub.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lnosub	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑀𝐵)) = ((𝑇‘𝐴)𝑁(𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnosub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12198	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		lnosub.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
4		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
5		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
6		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7		eqid 2763	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
8		lnosub.7	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lnolin 31106	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
10	1, 9	mp3anr1 1487	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
11	10	ancom2s 662	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
12		lnosub.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
13	2, 4, 6, 12	nvmval2 30995	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐴))
14	13	3expb 1138	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐴))
15	14	3ad2antl1 1204	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐴))
16	15	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑀𝐵)) = (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐴)))
17		simpl2 1211	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
18	2, 3, 8	lnof 31107	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
19		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
20		ffvelcdm 7076	. . . 4 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
21	18, 19, 20	syl2an 607	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
22		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
23		ffvelcdm 7076	. . . 4 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
24	18, 22, 23	syl2an 607	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
25		lnosub.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ( −𝑣 ‘𝑊)
26	3, 5, 7, 25	nvmval2 30995	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇‘𝐴)𝑁(𝑇‘𝐵)) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
27	17, 21, 24, 26	syl3anc 1398	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝑇‘𝐴)𝑁(𝑇‘𝐵)) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
28	11, 16, 27	3eqtr4d 2808	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑀𝐵)) = ((𝑇‘𝐴)𝑁(𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  ℂcc 11093  1c1 11096  -cneg 11437  NrmCVeccnv 30936   +_𝑣 cpv 30937  BaseSetcba 30938   ·_𝑠OLD cns 30939   −_𝑣 cnsb 30941   LnOp clno 31092

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-er 8690  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243  df-sub 11438  df-neg 11439  df-grpo 30845  df-gid 30846  df-ginv 30847  df-gdiv 30848  df-ablo 30897  df-vc 30911  df-nv 30944  df-va 30947  df-ba 30948  df-sm 30949  df-0v 30950  df-vs 30951  df-nmcv 30952  df-lno 31096

This theorem is referenced by:  blometi  31155  blocnilem  31156  ubthlem2  31223