Theorem lnosub 29977

Description: Subtraction property of a linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnosub.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnosub.5	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
lnosub.6	⊢ 𝑁 = ( −𝑣 ‘𝑊)
lnosub.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lnosub	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑀𝐵)) = ((𝑇‘𝐴)𝑁(𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnosub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12313	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		lnosub.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
4		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
5		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
6		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7		eqid 2733	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
8		lnosub.7	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lnolin 29972	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
10	1, 9	mp3anr1 1459	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
11	10	ancom2s 649	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
12		lnosub.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
13	2, 4, 6, 12	nvmval2 29861	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐴))
14	13	3expb 1121	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐴))
15	14	3ad2antl1 1186	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐴))
16	15	fveq2d 6885	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑀𝐵)) = (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐴)))
17		simpl2 1193	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
18	2, 3, 8	lnof 29973	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
19		simpl 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
20		ffvelcdm 7071	. . . 4 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
21	18, 19, 20	syl2an 597	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
22		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
23		ffvelcdm 7071	. . . 4 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
24	18, 22, 23	syl2an 597	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
25		lnosub.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ( −𝑣 ‘𝑊)
26	3, 5, 7, 25	nvmval2 29861	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇‘𝐴)𝑁(𝑇‘𝐵)) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
27	17, 21, 24, 26	syl3anc 1372	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝑇‘𝐴)𝑁(𝑇‘𝐵)) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
28	11, 16, 27	3eqtr4d 2783	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑀𝐵)) = ((𝑇‘𝐴)𝑁(𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ⟶wf 6531  ‘cfv 6535  (class class class)co 7396  ℂcc 11095  1c1 11098  -cneg 11432  NrmCVeccnv 29802   +_𝑣 cpv 29803  BaseSetcba 29804   ·_𝑠OLD cns 29805   −_𝑣 cnsb 29807   LnOp clno 29958

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7712  ax-resscn 11154  ax-1cn 11155  ax-icn 11156  ax-addcl 11157  ax-addrcl 11158  ax-mulcl 11159  ax-mulrcl 11160  ax-mulcom 11161  ax-addass 11162  ax-mulass 11163  ax-distr 11164  ax-i2m1 11165  ax-1ne0 11166  ax-1rid 11167  ax-rnegex 11168  ax-rrecex 11169  ax-cnre 11170  ax-pre-lttri 11171  ax-pre-lttrn 11172  ax-pre-ltadd 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4321  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4905  df-iun 4995  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6487  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7352  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-1st 7962  df-2nd 7963  df-er 8691  df-map 8810  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11237  df-mnf 11238  df-ltxr 11240  df-sub 11433  df-neg 11434  df-grpo 29711  df-gid 29712  df-ginv 29713  df-gdiv 29714  df-ablo 29763  df-vc 29777  df-nv 29810  df-va 29813  df-ba 29814  df-sm 29815  df-0v 29816  df-vs 29817  df-nmcv 29818  df-lno 29962

This theorem is referenced by:  blometi  30021  blocnilem  30022  ubthlem2  30089