Theorem lnosub 30695

Description: Subtraction property of a linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)

Hypotheses

Ref	Expression
lnosub.1	⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnosub.5	⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
lnosub.6	⊢ 𝑁 = ( −𝑣 ‘𝑊)
lnosub.7	⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lnosub	⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑀𝐵)) = ((𝑇‘𝐴)𝑁(𝑇‘𝐵)))

Proof of Theorem lnosub

Step	Hyp	Ref	Expression
1		neg1cn 12178	. . . 4 ⊢ -1 ∈ ℂ
2		lnosub.1	. . . . 5 ⊢ 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
4		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑈) = ( +𝑣 ‘𝑈)
5		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ( +𝑣 ‘𝑊) = ( +𝑣 ‘𝑊)
6		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑈) = ( ·𝑠OLD ‘𝑈)
7		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠OLD ‘𝑊) = ( ·𝑠OLD ‘𝑊)
8		lnosub.7	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
9	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8	lnolin 30690	. . . 4 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
10	1, 9	mp3anr1 1460	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐵 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
11	10	ancom2s 650	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
12		lnosub.5	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = ( −𝑣 ‘𝑈)
13	2, 4, 6, 12	nvmval2 30579	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐴))
14	13	3expb 1120	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐴))
15	14	3ad2antl1 1186	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐴))
16	15	fveq2d 6865	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑀𝐵)) = (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD ‘𝑈)𝐵)( +𝑣 ‘𝑈)𝐴)))
17		simpl2 1193	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
18	2, 3, 8	lnof 30691	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
19		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ 𝑋)
20		ffvelcdm 7056	. . . 4 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
21	18, 19, 20	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
22		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → 𝐵 ∈ 𝑋)
23		ffvelcdm 7056	. . . 4 ⊢ ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝐵 ∈ 𝑋) → (𝑇‘𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
24	18, 22, 23	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
25		lnosub.6	. . . 4 ⊢ 𝑁 = ( −𝑣 ‘𝑊)
26	3, 5, 7, 25	nvmval2 30579	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇‘𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇‘𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇‘𝐴)𝑁(𝑇‘𝐵)) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
27	17, 21, 24, 26	syl3anc 1373	. 2 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → ((𝑇‘𝐴)𝑁(𝑇‘𝐵)) = ((-1( ·𝑠OLD ‘𝑊)(𝑇‘𝐵))( +𝑣 ‘𝑊)(𝑇‘𝐴)))
28	11, 16, 27	3eqtr4d 2775	1 ⊢ (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐵 ∈ 𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑀𝐵)) = ((𝑇‘𝐴)𝑁(𝑇‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  ℂcc 11073  1c1 11076  -cneg 11413  NrmCVeccnv 30520   +_𝑣 cpv 30521  BaseSetcba 30522   ·_𝑠OLD cns 30523   −_𝑣 cnsb 30525   LnOp clno 30676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-ltxr 11220  df-sub 11414  df-neg 11415  df-grpo 30429  df-gid 30430  df-ginv 30431  df-gdiv 30432  df-ablo 30481  df-vc 30495  df-nv 30528  df-va 30531  df-ba 30532  df-sm 30533  df-0v 30534  df-vs 30535  df-nmcv 30536  df-lno 30680

This theorem is referenced by:  blometi  30739  blocnilem  30740  ubthlem2  30807