MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnosub Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem lnosub 30582
Description: Subtraction property of a linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnosub.1 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
lnosub.5 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
lnosub.6 𝑁 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)
lnosub.7 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lnosub (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴𝑀𝐡)) = ((π‘‡β€˜π΄)𝑁(π‘‡β€˜π΅)))
Proof of Theorem lnosub
StepHypRef Expression
1 neg1cn 12357 . . . 4 -1 ∈ β„‚
2 lnosub.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSetβ€˜π‘ˆ)
3 eqid 2728 . . . . 5 (BaseSetβ€˜π‘Š) = (BaseSetβ€˜π‘Š)
4 eqid 2728 . . . . 5 ( +𝑣 β€˜π‘ˆ) = ( +𝑣 β€˜π‘ˆ)
5 eqid 2728 . . . . 5 ( +𝑣 β€˜π‘Š) = ( +𝑣 β€˜π‘Š)
6 eqid 2728 . . . . 5 ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)
7 eqid 2728 . . . . 5 ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š) = ( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)
8 lnosub.7 . . . . 5 𝐿 = (π‘ˆ LnOp π‘Š)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8lnolin 30577 . . . 4 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (-1 ∈ β„‚ ∧ 𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΄)))
101, 9mp3anr1 1455 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐡 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΄)))
1110ancom2s 649 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΄)))
12 lnosub.5 . . . . . 6 𝑀 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘ˆ)
132, 4, 6, 12nvmval2 30466 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ 𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))
14133expb 1118 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))
15143ad2antl1 1183 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (𝐴𝑀𝐡) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴))
1615fveq2d 6901 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴𝑀𝐡)) = (π‘‡β€˜((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘ˆ)𝐡)( +𝑣 β€˜π‘ˆ)𝐴)))
17 simpl2 1190 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ π‘Š ∈ NrmCVec)
182, 3, 8lnof 30578 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) β†’ 𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š))
19 simpl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ 𝑋)
20 ffvelcdm 7091 . . . 4 ((𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ 𝐴 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜π΄) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
2118, 19, 20syl2an 595 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜π΄) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
22 simpr 484 . . . 4 ((𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ 𝐡 ∈ 𝑋)
23 ffvelcdm 7091 . . . 4 ((𝑇:π‘‹βŸΆ(BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ 𝐡 ∈ 𝑋) β†’ (π‘‡β€˜π΅) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
2418, 22, 23syl2an 595 . . 3 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜π΅) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š))
25 lnosub.6 . . . 4 𝑁 = ( βˆ’π‘£ β€˜π‘Š)
263, 5, 7, 25nvmval2 30466 . . 3 ((π‘Š ∈ NrmCVec ∧ (π‘‡β€˜π΄) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š) ∧ (π‘‡β€˜π΅) ∈ (BaseSetβ€˜π‘Š)) β†’ ((π‘‡β€˜π΄)𝑁(π‘‡β€˜π΅)) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΄)))
2717, 21, 24, 26syl3anc 1369 . 2 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ ((π‘‡β€˜π΄)𝑁(π‘‡β€˜π΅)) = ((-1( ·𝑠OLD β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΅))( +𝑣 β€˜π‘Š)(π‘‡β€˜π΄)))
2811, 16, 273eqtr4d 2778 1 (((π‘ˆ ∈ NrmCVec ∧ π‘Š ∈ NrmCVec ∧ 𝑇 ∈ 𝐿) ∧ (𝐴 ∈ 𝑋 ∧ 𝐡 ∈ 𝑋)) β†’ (π‘‡β€˜(𝐴𝑀𝐡)) = ((π‘‡β€˜π΄)𝑁(π‘‡β€˜π΅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„‚cc 11137  1c1 11140  -cneg 11476  NrmCVeccnv 30407   +𝑣 cpv 30408  BaseSetcba 30409   ·𝑠OLD cns 30410   βˆ’π‘£ cnsb 30412   LnOp clno 30563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-grpo 30316  df-gid 30317  df-ginv 30318  df-gdiv 30319  df-ablo 30368  df-vc 30382  df-nv 30415  df-va 30418  df-ba 30419  df-sm 30420  df-0v 30421  df-vs 30422  df-nmcv 30423  df-lno 30567
This theorem is referenced by:  blometi  30626  blocnilem  30627  ubthlem2  30694
  Copyright terms: Public domain W3C validator