MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnosub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnosub 28546
Description: Subtraction property of a linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnosub.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnosub.5 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
lnosub.6 𝑁 = ( −𝑣𝑊)
lnosub.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
lnosub (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑀𝐵)) = ((𝑇𝐴)𝑁(𝑇𝐵)))

Proof of Theorem lnosub
StepHypRef Expression
1 neg1cn 11743 . . . 4 -1 ∈ ℂ
2 lnosub.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 eqid 2801 . . . . 5 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
4 eqid 2801 . . . . 5 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
5 eqid 2801 . . . . 5 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
6 eqid 2801 . . . . 5 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
7 eqid 2801 . . . . 5 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
8 lnosub.7 . . . . 5 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8lnolin 28541 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇𝐴)))
101, 9mp3anr1 1455 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇𝐴)))
1110ancom2s 649 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇𝐴)))
12 lnosub.5 . . . . . 6 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
132, 4, 6, 12nvmval2 28430 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴))
14133expb 1117 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴))
15143ad2antl1 1182 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴))
1615fveq2d 6653 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑀𝐵)) = (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴)))
17 simpl2 1189 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
182, 3, 8lnof 28542 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
19 simpl 486 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
20 ffvelrn 6830 . . . 4 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
2118, 19, 20syl2an 598 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
22 simpr 488 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
23 ffvelrn 6830 . . . 4 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝐵𝑋) → (𝑇𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
2418, 22, 23syl2an 598 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
25 lnosub.6 . . . 4 𝑁 = ( −𝑣𝑊)
263, 5, 7, 25nvmval2 28430 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇𝐴)𝑁(𝑇𝐵)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇𝐴)))
2717, 21, 24, 26syl3anc 1368 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝑇𝐴)𝑁(𝑇𝐵)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇𝐴)))
2811, 16, 273eqtr4d 2846 1 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑀𝐵)) = ((𝑇𝐴)𝑁(𝑇𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wf 6324  cfv 6328  (class class class)co 7139  cc 10528  1c1 10531  -cneg 10864  NrmCVeccnv 28371   +𝑣 cpv 28372  BaseSetcba 28373   ·𝑠OLD cns 28374  𝑣 cnsb 28376   LnOp clno 28527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-id 5428  df-po 5442  df-so 5443  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-er 8276  df-map 8395  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-ltxr 10673  df-sub 10865  df-neg 10866  df-grpo 28280  df-gid 28281  df-ginv 28282  df-gdiv 28283  df-ablo 28332  df-vc 28346  df-nv 28379  df-va 28382  df-ba 28383  df-sm 28384  df-0v 28385  df-vs 28386  df-nmcv 28387  df-lno 28531
This theorem is referenced by:  blometi  28590  blocnilem  28591  ubthlem2  28658
  Copyright terms: Public domain W3C validator