MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lnosub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lnosub 30778
Description: Subtraction property of a linear operator. (Contributed by NM, 7-Dec-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
lnosub.1 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
lnosub.5 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
lnosub.6 𝑁 = ( −𝑣𝑊)
lnosub.7 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
Assertion
Ref Expression
lnosub (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑀𝐵)) = ((𝑇𝐴)𝑁(𝑇𝐵)))

Proof of Theorem lnosub
StepHypRef Expression
1 neg1cn 12380 . . . 4 -1 ∈ ℂ
2 lnosub.1 . . . . 5 𝑋 = (BaseSet‘𝑈)
3 eqid 2737 . . . . 5 (BaseSet‘𝑊) = (BaseSet‘𝑊)
4 eqid 2737 . . . . 5 ( +𝑣𝑈) = ( +𝑣𝑈)
5 eqid 2737 . . . . 5 ( +𝑣𝑊) = ( +𝑣𝑊)
6 eqid 2737 . . . . 5 ( ·𝑠OLD𝑈) = ( ·𝑠OLD𝑈)
7 eqid 2737 . . . . 5 ( ·𝑠OLD𝑊) = ( ·𝑠OLD𝑊)
8 lnosub.7 . . . . 5 𝐿 = (𝑈 LnOp 𝑊)
92, 3, 4, 5, 6, 7, 8lnolin 30773 . . . 4 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (-1 ∈ ℂ ∧ 𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇𝐴)))
101, 9mp3anr1 1460 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐵𝑋𝐴𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇𝐴)))
1110ancom2s 650 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇𝐴)))
12 lnosub.5 . . . . . 6 𝑀 = ( −𝑣𝑈)
132, 4, 6, 12nvmval2 30662 . . . . 5 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝐴𝑋𝐵𝑋) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴))
14133expb 1121 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴))
15143ad2antl1 1186 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝐴𝑀𝐵) = ((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴))
1615fveq2d 6910 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑀𝐵)) = (𝑇‘((-1( ·𝑠OLD𝑈)𝐵)( +𝑣𝑈)𝐴)))
17 simpl2 1193 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → 𝑊 ∈ NrmCVec)
182, 3, 8lnof 30774 . . . 4 ((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) → 𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊))
19 simpl 482 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐴𝑋)
20 ffvelcdm 7101 . . . 4 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝐴𝑋) → (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
2118, 19, 20syl2an 596 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊))
22 simpr 484 . . . 4 ((𝐴𝑋𝐵𝑋) → 𝐵𝑋)
23 ffvelcdm 7101 . . . 4 ((𝑇:𝑋⟶(BaseSet‘𝑊) ∧ 𝐵𝑋) → (𝑇𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
2418, 22, 23syl2an 596 . . 3 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊))
25 lnosub.6 . . . 4 𝑁 = ( −𝑣𝑊)
263, 5, 7, 25nvmval2 30662 . . 3 ((𝑊 ∈ NrmCVec ∧ (𝑇𝐴) ∈ (BaseSet‘𝑊) ∧ (𝑇𝐵) ∈ (BaseSet‘𝑊)) → ((𝑇𝐴)𝑁(𝑇𝐵)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇𝐴)))
2717, 21, 24, 26syl3anc 1373 . 2 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → ((𝑇𝐴)𝑁(𝑇𝐵)) = ((-1( ·𝑠OLD𝑊)(𝑇𝐵))( +𝑣𝑊)(𝑇𝐴)))
2811, 16, 273eqtr4d 2787 1 (((𝑈 ∈ NrmCVec ∧ 𝑊 ∈ NrmCVec ∧ 𝑇𝐿) ∧ (𝐴𝑋𝐵𝑋)) → (𝑇‘(𝐴𝑀𝐵)) = ((𝑇𝐴)𝑁(𝑇𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  1c1 11156  -cneg 11493  NrmCVeccnv 30603   +𝑣 cpv 30604  BaseSetcba 30605   ·𝑠OLD cns 30606  𝑣 cnsb 30608   LnOp clno 30759
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495  df-grpo 30512  df-gid 30513  df-ginv 30514  df-gdiv 30515  df-ablo 30564  df-vc 30578  df-nv 30611  df-va 30614  df-ba 30615  df-sm 30616  df-0v 30617  df-vs 30618  df-nmcv 30619  df-lno 30763
This theorem is referenced by:  blometi  30822  blocnilem  30823  ubthlem2  30890
  Copyright terms: Public domain W3C validator