Theorem ltleii 11231

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 11230	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  ℝcr 11000   < clt 11141   ≤ cle 11142

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-resscn 11058  ax-pre-lttri 11075

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147

This theorem is referenced by:  0le1  11635  ledivp1i  12042  ltdivp1i  12043  1le2  12324  1le3  12327  halfge0  12332  decleh  12618  5eluz3  12776  uzuzle23  12777  uzuzle24  12778  uzuzle34  12779  fz0to4untppr  13525  fz0to5un2tp  13526  fzo0to42pr  13648  faclbnd4lem1  14195  4bc2eq6  14231  sqrt9  15175  sqrt2gt1lt2  15176  absrdbnd  15244  sqrtpclii  15285  0.999...  15783  ef01bndlem  16088  sin01bnd  16089  cos01bnd  16090  cos2bnd  16092  rpnnen2lem3  16120  rpnnen2lem4  16121  rpnnen2lem9  16126  rpnnen2lem12  16129  flodddiv4  16321  strleun  17063  chnub  18523  elii1  24853  htpycc  24901  pcoval1  24935  pcocn  24939  pcohtpylem  24941  pcopt  24944  pcopt2  24945  pcoass  24946  pcorevlem  24948  vitalilem4  25534  vitali  25536  dveflem  25905  sinhalfpilem  26394  sincosq1lem  26428  sincos4thpi  26444  sincos6thpi  26447  pige3  26450  cos0pilt1  26463  tanregt0  26470  efif1olem4  26476  relogrn  26492  logi  26518  argregt0  26541  argrege0  26542  logneg2  26546  2logb9irr  26727  asin1  26826  reasinsin  26828  log2cnv  26876  log2tlbnd  26877  log2ub  26881  harmonicbnd3  26940  ppiublem1  27135  ppiub  27137  bposlem3  27219  bposlem4  27220  bposlem5  27221  bposlem7  27223  bposlem8  27224  bposlem9  27225  lgsdir2lem1  27258  chebbnd1lem3  27404  dchrvmasumlema  27433  logdivsum  27466  mulog2sumlem2  27468  pntpbnd1a  27518  pntpbnd2  27520  pntlemk  27539  istrkg3ld  28434  axlowdimlem16  28930  axlowdimlem17  28931  axlowdim  28934  usgrexmplef  29232  upgr4cycl4dv4e  30157  konigsbergiedgw  30220  konigsberglem1  30224  konigsberglem2  30225  konigsberglem3  30226  ex-fl  30419  ex-sqrt  30426  ex-gcd  30429  normlem6  31087  2sqr3minply  33785  cos9thpiminplylem1  33787  sqsscirc1  33913  prodfzo03  34608  hgt750lemd  34653  hgt750lem  34656  hgt750lem2  34657  hgt750leme  34663  tgoldbachgnn  34664  dnizeq0  36509  cnndvlem1  36571  bj-pinftyccb  37255  bj-pinftynminfty  37261  tan2h  37652  fdc  37785  asin1half  42390  jm2.20nn  43030  areaquad  43249  sineq0ALT  44969  halffl  45337  itgsin0pilem1  45988  itgsinexplem1  45992  wallispilem2  46104  wallispilem4  46106  stirlinglem15  46126  stirlingr  46128  fourierdlem62  46206  fourierdlem77  46221  fourierdlem102  46246  fourierdlem103  46247  fourierdlem104  46248  fourierdlem111  46255  fourierdlem112  46256  fourierdlem114  46258  sqwvfoura  46266  sqwvfourb  46267  fourierswlem  46268  fouriersw  46269  etransclem23  46295  etransclem46  46318  smfmullem4  46832  ceilhalf1  47365  fmtnoprmfac2lem1  47597  fmtno4prmfac  47603  31prm  47628  mod42tp1mod8  47633  2exp340mod341  47764  341fppr2  47765  9fppr8  47768  nfermltl8rev  47773  nfermltl2rev  47774  sbgoldbo  47818  nnsum3primes4  47819  nnsum3primesgbe  47823  nnsum4primeseven  47831  nnsum4primesevenALTV  47832  wtgoldbnnsum4prm  47833  bgoldbnnsum3prm  47835  tgblthelfgott  47846  cycl3grtri  47978  usgrexmpl1lem  48052  usgrexmpl2lem  48057  gpgusgralem  48087  gpg5nbgrvtx13starlem2  48103  gpg5nbgr3star  48112  pgnbgreunbgrlem2lem1  48145  pgnbgreunbgrlem2lem2  48146  pgnbgreunbgrlem2lem3  48147  ackval42  48728  itsclc0yqsollem2  48795  sepfsepc  48959