Theorem ltleii 11472

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 11471	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ℝcr 11238   < clt 11382   ≤ cle 11383

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-pre-lttri 11313

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388

This theorem is used by:  0le1  11879  ledivp1i  12282  ltdivp1i  12283  0le2  12485  2le3  12557  1le2  12594  1le3  12597  halfge0  12602  decleh  12894  8lt10  12992  7lt10  12993  6lt10  12994  5lt10  12995  4lt10  12996  3lt10  12997  2lt10  12998  1lt10  12999  5eluz3  13050  uzuzle23  13051  uzuzle24  13052  uzuzle34  13053  fz0to4untppr  13804  fz0to5un2tp  13805  fzo0to42pr  13928  faclbnd4lem1  14478  4bc2eq6  14514  sqrt9  15483  sqrt2gt1lt2  15484  absrdbnd  15553  sqrtpclii  15594  0.999...  16094  ef01bndlem  16396  sin01bnd  16397  cos01bnd  16398  cos2bnd  16400  rpnnen2lem3  16428  rpnnen2lem4  16429  rpnnen2lem9  16434  rpnnen2lem12  16437  flodddiv4  16629  strleun  17379  chnub  18846  elii1  25311  htpycc  25356  pcoval1  25389  pcocn  25393  pcohtpylem  25395  pcopt  25398  pcopt2  25399  pcoass  25400  pcorevlem  25402  vitalilem4  25987  vitali  25989  dveflem  26354  pige0  26845  sinhalfpilem  26849  sincosq1lem  26883  sincos4thpi  26899  sincos6thpi  26901  pige3  26904  tanregt0  26924  efif1olem4  26930  relogrn  26946  logi  26972  argregt0  26995  argrege0  26996  logneg2  27000  2logb9irr  27180  asin1  27279  reasinsin  27281  log2cnv  27329  log2tlbnd  27330  log2ub  27334  harmonicbnd3  27392  ppiublem1  27586  ppiub  27588  bposlem3  27670  bposlem4  27671  bposlem5  27672  bposlem7  27674  bposlem8  27675  bposlem9  27676  lgsdir2lem1  27709  chebbnd1lem3  27855  dchrvmasumlema  27884  logdivsum  27917  mulog2sumlem2  27919  pntpbnd1a  27969  pntpbnd2  27971  pntlemk  27990  axlowdimlem16  29592  axlowdimlem17  29593  axlowdim  29596  usgrexmplef  29897  upgr4cycl4dv4e  30843  konigsbergiedgw  30906  konigsberglem3  30912  ex-fl  31105  ex-sqrt  31112  ex-gcd  31115  normlem6  31774  2sqr3minply  34523  cos9thpiminplylem1  34525  sqsscirc1  34651  prodfzo03  35343  hgt750lemd  35388  hgt750lem  35391  hgt750lem2  35392  hgt750leme  35398  tgoldbachgnn  35399  dnizeq0  37556  cnndvlem1  37618  bj-pinftyccb  38410  bj-pinftynminfty  38416  tan2h  38803  fdc  38945  asin1half  43674  areaquad  44479  sineq0ALT  46179  halffl  46585  itgsin0pilem1  47233  itgsinexplem1  47237  wallispilem2  47349  wallispilem4  47351  stirlingr  47373  fourierdlem62  47451  fourierdlem77  47466  fourierdlem102  47491  fourierdlem103  47492  fourierdlem104  47493  fourierdlem111  47500  fourierdlem112  47501  fourierdlem114  47503  sqwvfoura  47511  sqwvfourb  47512  fourierswlem  47513  fouriersw  47514  etransclem23  47540  etransclem46  47563  smfmullem4  48077  ceilhalf1  48681  fmtnoprmfac2lem1  48924  fmtno4prmfac  48930  31prm  48955  mod42tp1mod8  48960  nprmdvdsfacm1lem4  48981  nprmdvdsfacm1  48982  ppivalnnnprmge6  48984  2exp340mod341  49104  341fppr2  49105  9fppr8  49108  nfermltl8rev  49113  nfermltl2rev  49114  sbgoldbo  49158  nnsum3primes4  49159  nnsum3primesgbe  49163  nnsum4primeseven  49171  nnsum4primesevenALTV  49172  wtgoldbnnsum4prm  49173  bgoldbnnsum3prm  49175  tgblthelfgott  49186  cycl3grtri  49318  usgrexmpl1lem  49392  usgrexmpl2lem  49397  gpgusgralem  49427  gpg5nbgrvtx13starlem2  49443  gpg5nbgr3star  49452  pgnbgreunbgrlem2lem1  49485  pgnbgreunbgrlem2lem2  49486  pgnbgreunbgrlem2lem3  49487  ackval42  50139  itsclc0yqsollem2  50206  sepfsepc  50373  veronesev1lem  51401  veronesev2lem  51402  veronesev3lem  51403  veronesev4lem  51404  veronesev5lem  51405  veronesev6lem  51406  veronesevrowd  51407  veronesematrowd  51409  veroquadgsumlem  51411  veroquadmodzerod  51412  veroquadnolindfd  51413