Theorem ltleii 11247

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 11246	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ℝcr 11016   < clt 11157   ≤ cle 11158

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-resscn 11074  ax-pre-lttri 11091

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-er 8631  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163

This theorem is referenced by:  0le1  11651  ledivp1i  12058  ltdivp1i  12059  1le2  12340  1le3  12343  halfge0  12348  decleh  12633  5eluz3  12787  uzuzle23  12788  uzuzle24  12789  uzuzle34  12790  fz0to4untppr  13537  fz0to5un2tp  13538  fzo0to42pr  13660  faclbnd4lem1  14207  4bc2eq6  14243  sqrt9  15187  sqrt2gt1lt2  15188  absrdbnd  15256  sqrtpclii  15297  0.999...  15795  ef01bndlem  16100  sin01bnd  16101  cos01bnd  16102  cos2bnd  16104  rpnnen2lem3  16132  rpnnen2lem4  16133  rpnnen2lem9  16138  rpnnen2lem12  16141  flodddiv4  16333  strleun  17075  chnub  18536  elii1  24878  htpycc  24926  pcoval1  24960  pcocn  24964  pcohtpylem  24966  pcopt  24969  pcopt2  24970  pcoass  24971  pcorevlem  24973  vitalilem4  25559  vitali  25561  dveflem  25930  sinhalfpilem  26419  sincosq1lem  26453  sincos4thpi  26469  sincos6thpi  26472  pige3  26475  cos0pilt1  26488  tanregt0  26495  efif1olem4  26501  relogrn  26517  logi  26543  argregt0  26566  argrege0  26567  logneg2  26571  2logb9irr  26752  asin1  26851  reasinsin  26853  log2cnv  26901  log2tlbnd  26902  log2ub  26906  harmonicbnd3  26965  ppiublem1  27160  ppiub  27162  bposlem3  27244  bposlem4  27245  bposlem5  27246  bposlem7  27248  bposlem8  27249  bposlem9  27250  lgsdir2lem1  27283  chebbnd1lem3  27429  dchrvmasumlema  27458  logdivsum  27491  mulog2sumlem2  27493  pntpbnd1a  27543  pntpbnd2  27545  pntlemk  27564  istrkg3ld  28459  axlowdimlem16  28956  axlowdimlem17  28957  axlowdim  28960  usgrexmplef  29258  upgr4cycl4dv4e  30186  konigsbergiedgw  30249  konigsberglem1  30253  konigsberglem2  30254  konigsberglem3  30255  ex-fl  30448  ex-sqrt  30455  ex-gcd  30458  normlem6  31116  2sqr3minply  33865  cos9thpiminplylem1  33867  sqsscirc1  33993  prodfzo03  34688  hgt750lemd  34733  hgt750lem  34736  hgt750lem2  34737  hgt750leme  34743  tgoldbachgnn  34744  dnizeq0  36591  cnndvlem1  36653  bj-pinftyccb  37338  bj-pinftynminfty  37344  tan2h  37725  fdc  37858  asin1half  42527  jm2.20nn  43154  areaquad  43373  sineq0ALT  45093  halffl  45460  itgsin0pilem1  46110  itgsinexplem1  46114  wallispilem2  46226  wallispilem4  46228  stirlinglem15  46248  stirlingr  46250  fourierdlem62  46328  fourierdlem77  46343  fourierdlem102  46368  fourierdlem103  46369  fourierdlem104  46370  fourierdlem111  46377  fourierdlem112  46378  fourierdlem114  46380  sqwvfoura  46388  sqwvfourb  46389  fourierswlem  46390  fouriersw  46391  etransclem23  46417  etransclem46  46440  smfmullem4  46954  ceilhalf1  47496  fmtnoprmfac2lem1  47728  fmtno4prmfac  47734  31prm  47759  mod42tp1mod8  47764  2exp340mod341  47895  341fppr2  47896  9fppr8  47899  nfermltl8rev  47904  nfermltl2rev  47905  sbgoldbo  47949  nnsum3primes4  47950  nnsum3primesgbe  47954  nnsum4primeseven  47962  nnsum4primesevenALTV  47963  wtgoldbnnsum4prm  47964  bgoldbnnsum3prm  47966  tgblthelfgott  47977  cycl3grtri  48109  usgrexmpl1lem  48183  usgrexmpl2lem  48188  gpgusgralem  48218  gpg5nbgrvtx13starlem2  48234  gpg5nbgr3star  48243  pgnbgreunbgrlem2lem1  48276  pgnbgreunbgrlem2lem2  48277  pgnbgreunbgrlem2lem3  48278  ackval42  48858  itsclc0yqsollem2  48925  sepfsepc  49089