Theorem ltleii 11098

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 11097	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5074  ℝcr 10870   < clt 11009   ≤ cle 11010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015

This theorem is referenced by:  0le1  11498  ledivp1i  11900  ltdivp1i  11901  1le2  12182  1le3  12185  halfge0  12190  decleh  12472  eluz4eluz2  12625  uzuzle23  12629  fz0to4untppr  13359  fzo0to42pr  13474  faclbnd4lem1  14007  4bc2eq6  14043  sqrt9  14985  sqrt2gt1lt2  14986  absrdbnd  15053  sqrtpclii  15094  0.999...  15593  ef01bndlem  15893  sin01bnd  15894  cos01bnd  15895  cos2bnd  15897  rpnnen2lem3  15925  rpnnen2lem4  15926  rpnnen2lem9  15931  rpnnen2lem12  15934  flodddiv4  16122  strleun  16858  cnfldfunALTOLD  20611  elii1  24098  htpycc  24143  pcoval1  24176  pcocn  24180  pcohtpylem  24182  pcopt  24185  pcopt2  24186  pcoass  24187  pcorevlem  24189  vitalilem4  24775  vitali  24777  dveflem  25143  sinhalfpilem  25620  sincosq1lem  25654  sincos4thpi  25670  sincos6thpi  25672  pige3  25675  cos0pilt1  25688  tanregt0  25695  efif1olem4  25701  relogrn  25717  argregt0  25765  argrege0  25766  logneg2  25770  2logb9irr  25945  asin1  26044  reasinsin  26046  log2cnv  26094  log2tlbnd  26095  log2ub  26099  harmonicbnd3  26157  ppiublem1  26350  ppiub  26352  bposlem3  26434  bposlem4  26435  bposlem5  26436  bposlem7  26438  bposlem8  26439  bposlem9  26440  lgsdir2lem1  26473  chebbnd1lem3  26619  dchrvmasumlema  26648  logdivsum  26681  mulog2sumlem2  26683  pntpbnd1a  26733  pntpbnd2  26735  pntlemk  26754  istrkg3ld  26822  axlowdimlem16  27325  axlowdimlem17  27326  axlowdim  27329  usgrexmplef  27626  upgr4cycl4dv4e  28549  konigsbergiedgw  28612  konigsberglem1  28616  konigsberglem2  28617  konigsberglem3  28618  ex-fl  28811  ex-sqrt  28818  ex-gcd  28821  normlem6  29477  sqsscirc1  31858  prodfzo03  32583  hgt750lemd  32628  hgt750lem  32631  hgt750lem2  32632  hgt750leme  32638  tgoldbachgnn  32639  logi  33700  dnizeq0  34655  cnndvlem1  34717  bj-pinftyccb  35392  bj-pinftynminfty  35398  tan2h  35769  fdc  35903  jm2.20nn  40819  areaquad  41047  sineq0ALT  42557  halffl  42835  itgsin0pilem1  43491  itgsinexplem1  43495  wallispilem2  43607  wallispilem4  43609  stirlinglem15  43629  stirlingr  43631  fourierdlem62  43709  fourierdlem77  43724  fourierdlem102  43749  fourierdlem103  43750  fourierdlem104  43751  fourierdlem111  43758  fourierdlem112  43759  fourierdlem114  43761  sqwvfoura  43769  sqwvfourb  43770  fourierswlem  43771  fouriersw  43772  etransclem23  43798  etransclem46  43821  smfmullem4  44328  fmtnoprmfac2lem1  45018  fmtno4prmfac  45024  31prm  45049  mod42tp1mod8  45054  2exp340mod341  45185  341fppr2  45186  9fppr8  45189  nfermltl8rev  45194  nfermltl2rev  45195  sbgoldbo  45239  nnsum3primes4  45240  nnsum3primesgbe  45244  nnsum4primeseven  45252  nnsum4primesevenALTV  45253  wtgoldbnnsum4prm  45254  bgoldbnnsum3prm  45256  tgblthelfgott  45267  ackval42  46042  itsclc0yqsollem2  46109  sepfsepc  46221