Theorem ltleii 11344

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 11343	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5111  ℝcr 11110   < clt 11254   ≤ cle 11255

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-resscn 11168  ax-pre-lttri 11185

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260

This theorem is used by:  0le1  11748  ledivp1i  12151  ltdivp1i  12152  0le2  12354  2le3  12426  1le2  12463  1le3  12466  halfge0  12471  decleh  12763  8lt10  12861  7lt10  12862  6lt10  12863  5lt10  12864  4lt10  12865  3lt10  12866  2lt10  12867  1lt10  12868  5eluz3  12919  uzuzle23  12920  uzuzle24  12921  uzuzle34  12922  fz0to4untppr  13671  fz0to5un2tp  13672  fzo0to42pr  13795  faclbnd4lem1  14343  4bc2eq6  14379  sqrt9  15344  sqrt2gt1lt2  15345  absrdbnd  15413  sqrtpclii  15454  0.999...  15954  ef01bndlem  16258  sin01bnd  16259  cos01bnd  16260  cos2bnd  16262  rpnnen2lem3  16290  rpnnen2lem4  16291  rpnnen2lem9  16296  rpnnen2lem12  16299  flodddiv4  16491  strleun  17235  chnub  18696  elii1  25125  htpycc  25170  pcoval1  25203  pcocn  25207  pcohtpylem  25209  pcopt  25212  pcopt2  25213  pcoass  25214  pcorevlem  25216  vitalilem4  25801  vitali  25803  dveflem  26169  pige0  26655  sinhalfpilem  26659  sincosq1lem  26693  sincos4thpi  26709  sincos6thpi  26712  pige3  26715  cos0pilt1  26728  tanregt0  26735  efif1olem4  26741  relogrn  26757  logi  26783  argregt0  26806  argrege0  26807  logneg2  26811  2logb9irr  26991  asin1  27090  reasinsin  27092  log2cnv  27140  log2tlbnd  27141  log2ub  27145  harmonicbnd3  27203  ppiublem1  27397  ppiub  27399  bposlem3  27481  bposlem4  27482  bposlem5  27483  bposlem7  27485  bposlem8  27486  bposlem9  27487  lgsdir2lem1  27520  chebbnd1lem3  27666  dchrvmasumlema  27695  logdivsum  27728  mulog2sumlem2  27730  pntpbnd1a  27780  pntpbnd2  27782  pntlemk  27801  istrkg3ld  28761  axlowdimlem16  29338  axlowdimlem17  29339  axlowdim  29342  usgrexmplef  29643  upgr4cycl4dv4e  30583  konigsbergiedgw  30646  konigsberglem1  30650  konigsberglem2  30651  konigsberglem3  30652  ex-fl  30845  ex-sqrt  30852  ex-gcd  30855  normlem6  31514  2sqr3minply  34210  cos9thpiminplylem1  34212  sqsscirc1  34338  prodfzo03  35031  hgt750lemd  35076  hgt750lem  35079  hgt750lem2  35080  hgt750leme  35086  tgoldbachgnn  35087  dnizeq0  37097  cnndvlem1  37159  bj-pinftyccb  37898  bj-pinftynminfty  37904  tan2h  38296  fdc  38429  asin1half  43151  areaquad  43976  sineq0ALT  45678  halffl  46048  itgsin0pilem1  46697  itgsinexplem1  46701  wallispilem2  46813  wallispilem4  46815  stirlingr  46837  fourierdlem62  46915  fourierdlem77  46930  fourierdlem102  46955  fourierdlem103  46956  fourierdlem104  46957  fourierdlem111  46964  fourierdlem112  46965  fourierdlem114  46967  sqwvfoura  46975  sqwvfourb  46976  fourierswlem  46977  fouriersw  46978  etransclem23  47004  etransclem46  47027  smfmullem4  47541  ceilhalf1  48108  fmtnoprmfac2lem1  48351  fmtno4prmfac  48357  31prm  48382  mod42tp1mod8  48387  nprmdvdsfacm1lem4  48408  nprmdvdsfacm1  48409  ppivalnnnprmge6  48411  2exp340mod341  48531  341fppr2  48532  9fppr8  48535  nfermltl8rev  48540  nfermltl2rev  48541  sbgoldbo  48585  nnsum3primes4  48586  nnsum3primesgbe  48590  nnsum4primeseven  48598  nnsum4primesevenALTV  48599  wtgoldbnnsum4prm  48600  bgoldbnnsum3prm  48602  tgblthelfgott  48613  cycl3grtri  48745  usgrexmpl1lem  48819  usgrexmpl2lem  48824  gpgusgralem  48854  gpg5nbgrvtx13starlem2  48870  gpg5nbgr3star  48879  pgnbgreunbgrlem2lem1  48912  pgnbgreunbgrlem2lem2  48913  pgnbgreunbgrlem2lem3  48914  ackval42  49509  itsclc0yqsollem2  49576  sepfsepc  49739