Theorem ltleii 11413

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 11412	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166  ℝcr 11183   < clt 11324   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is referenced by:  0le1  11813  ledivp1i  12220  ltdivp1i  12221  1le2  12502  1le3  12505  halfge0  12510  decleh  12793  eluz4eluz2  12950  uzuzle23  12954  fz0to4untppr  13687  fz0to5un2tp  13688  fzo0to42pr  13803  faclbnd4lem1  14342  4bc2eq6  14378  sqrt9  15322  sqrt2gt1lt2  15323  absrdbnd  15390  sqrtpclii  15431  0.999...  15929  ef01bndlem  16232  sin01bnd  16233  cos01bnd  16234  cos2bnd  16236  rpnnen2lem3  16264  rpnnen2lem4  16265  rpnnen2lem9  16270  rpnnen2lem12  16273  flodddiv4  16461  strleun  17204  cnfldfunALTOLDOLD  21416  elii1  24983  htpycc  25031  pcoval1  25065  pcocn  25069  pcohtpylem  25071  pcopt  25074  pcopt2  25075  pcoass  25076  pcorevlem  25078  vitalilem4  25665  vitali  25667  dveflem  26037  sinhalfpilem  26523  sincosq1lem  26557  sincos4thpi  26573  sincos6thpi  26576  pige3  26579  cos0pilt1  26592  tanregt0  26599  efif1olem4  26605  relogrn  26621  logi  26647  argregt0  26670  argrege0  26671  logneg2  26675  2logb9irr  26856  asin1  26955  reasinsin  26957  log2cnv  27005  log2tlbnd  27006  log2ub  27010  harmonicbnd3  27069  ppiublem1  27264  ppiub  27266  bposlem3  27348  bposlem4  27349  bposlem5  27350  bposlem7  27352  bposlem8  27353  bposlem9  27354  lgsdir2lem1  27387  chebbnd1lem3  27533  dchrvmasumlema  27562  logdivsum  27595  mulog2sumlem2  27597  pntpbnd1a  27647  pntpbnd2  27649  pntlemk  27668  istrkg3ld  28487  axlowdimlem16  28990  axlowdimlem17  28991  axlowdim  28994  usgrexmplef  29294  upgr4cycl4dv4e  30217  konigsbergiedgw  30280  konigsberglem1  30284  konigsberglem2  30285  konigsberglem3  30286  ex-fl  30479  ex-sqrt  30486  ex-gcd  30489  normlem6  31147  chnub  32984  2sqr3minply  33738  sqsscirc1  33854  prodfzo03  34580  hgt750lemd  34625  hgt750lem  34628  hgt750lem2  34629  hgt750leme  34635  tgoldbachgnn  34636  dnizeq0  36441  cnndvlem1  36503  bj-pinftyccb  37187  bj-pinftynminfty  37193  tan2h  37572  fdc  37705  asin1half  42339  jm2.20nn  42954  areaquad  43177  sineq0ALT  44908  halffl  45211  itgsin0pilem1  45871  itgsinexplem1  45875  wallispilem2  45987  wallispilem4  45989  stirlinglem15  46009  stirlingr  46011  fourierdlem62  46089  fourierdlem77  46104  fourierdlem102  46129  fourierdlem103  46130  fourierdlem104  46131  fourierdlem111  46138  fourierdlem112  46139  fourierdlem114  46141  sqwvfoura  46149  sqwvfourb  46150  fourierswlem  46151  fouriersw  46152  etransclem23  46178  etransclem46  46201  smfmullem4  46715  fmtnoprmfac2lem1  47440  fmtno4prmfac  47446  31prm  47471  mod42tp1mod8  47476  2exp340mod341  47607  341fppr2  47608  9fppr8  47611  nfermltl8rev  47616  nfermltl2rev  47617  sbgoldbo  47661  nnsum3primes4  47662  nnsum3primesgbe  47666  nnsum4primeseven  47674  nnsum4primesevenALTV  47675  wtgoldbnnsum4prm  47676  bgoldbnnsum3prm  47678  tgblthelfgott  47689  usgrexmpl1lem  47836  usgrexmpl2lem  47841  ackval42  48430  itsclc0yqsollem2  48497  sepfsepc  48607