Theorem ltleii 11328

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 11327	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2143   class class class wbr 5109  ℝcr 11094   < clt 11238   ≤ cle 11239

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-pre-lttri 11169

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244

This theorem is referenced by:  0le1  11732  ledivp1i  12135  ltdivp1i  12136  0le2  12338  2le3  12410  1le2  12447  1le3  12450  halfge0  12455  decleh  12746  8lt10  12844  7lt10  12845  6lt10  12846  5lt10  12847  4lt10  12848  3lt10  12849  2lt10  12850  1lt10  12851  5eluz3  12902  uzuzle23  12903  uzuzle24  12904  uzuzle34  12905  fz0to4untppr  13654  fz0to5un2tp  13655  fzo0to42pr  13778  faclbnd4lem1  14325  4bc2eq6  14361  sqrt9  15320  sqrt2gt1lt2  15321  absrdbnd  15389  sqrtpclii  15430  0.999...  15931  ef01bndlem  16235  sin01bnd  16236  cos01bnd  16237  cos2bnd  16239  rpnnen2lem3  16267  rpnnen2lem4  16268  rpnnen2lem9  16273  rpnnen2lem12  16276  flodddiv4  16468  strleun  17212  chnub  18673  elii1  25094  htpycc  25139  pcoval1  25172  pcocn  25176  pcohtpylem  25178  pcopt  25181  pcopt2  25182  pcoass  25183  pcorevlem  25185  vitalilem4  25770  vitali  25772  dveflem  26138  pige0  26624  sinhalfpilem  26628  sincosq1lem  26662  sincos4thpi  26678  sincos6thpi  26681  pige3  26684  cos0pilt1  26697  tanregt0  26704  efif1olem4  26710  relogrn  26726  logi  26752  argregt0  26775  argrege0  26776  logneg2  26780  2logb9irr  26960  asin1  27059  reasinsin  27061  log2cnv  27109  log2tlbnd  27110  log2ub  27114  harmonicbnd3  27172  ppiublem1  27366  ppiub  27368  bposlem3  27450  bposlem4  27451  bposlem5  27452  bposlem7  27454  bposlem8  27455  bposlem9  27456  lgsdir2lem1  27489  chebbnd1lem3  27635  dchrvmasumlema  27664  logdivsum  27697  mulog2sumlem2  27699  pntpbnd1a  27749  pntpbnd2  27751  pntlemk  27770  istrkg3ld  28730  axlowdimlem16  29307  axlowdimlem17  29308  axlowdim  29311  usgrexmplef  29609  upgr4cycl4dv4e  30536  konigsbergiedgw  30599  konigsberglem1  30603  konigsberglem2  30604  konigsberglem3  30605  ex-fl  30798  ex-sqrt  30805  ex-gcd  30808  normlem6  31467  2sqr3minply  34170  cos9thpiminplylem1  34172  sqsscirc1  34298  prodfzo03  34990  hgt750lemd  35035  hgt750lem  35038  hgt750lem2  35039  hgt750leme  35045  tgoldbachgnn  35046  dnizeq0  37064  cnndvlem1  37126  bj-pinftyccb  37865  bj-pinftynminfty  37871  tan2h  38263  fdc  38396  asin1half  43118  areaquad  43943  sineq0ALT  45645  halffl  46015  itgsin0pilem1  46664  itgsinexplem1  46668  wallispilem2  46780  wallispilem4  46782  stirlingr  46804  fourierdlem62  46882  fourierdlem77  46897  fourierdlem102  46922  fourierdlem103  46923  fourierdlem104  46924  fourierdlem111  46931  fourierdlem112  46932  fourierdlem114  46934  sqwvfoura  46942  sqwvfourb  46943  fourierswlem  46944  fouriersw  46945  etransclem23  46971  etransclem46  46994  smfmullem4  47508  ceilhalf1  48075  fmtnoprmfac2lem1  48318  fmtno4prmfac  48324  31prm  48349  mod42tp1mod8  48354  nprmdvdsfacm1lem4  48375  nprmdvdsfacm1  48376  ppivalnnnprmge6  48378  2exp340mod341  48498  341fppr2  48499  9fppr8  48502  nfermltl8rev  48507  nfermltl2rev  48508  sbgoldbo  48552  nnsum3primes4  48553  nnsum3primesgbe  48557  nnsum4primeseven  48565  nnsum4primesevenALTV  48566  wtgoldbnnsum4prm  48567  bgoldbnnsum3prm  48569  tgblthelfgott  48580  cycl3grtri  48712  usgrexmpl1lem  48786  usgrexmpl2lem  48791  gpgusgralem  48821  gpg5nbgrvtx13starlem2  48837  gpg5nbgr3star  48846  pgnbgreunbgrlem2lem1  48879  pgnbgreunbgrlem2lem2  48880  pgnbgreunbgrlem2lem3  48881  ackval42  49476  itsclc0yqsollem2  49543  sepfsepc  49706