Theorem ltleii 10762

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 10761	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5065  ℝcr 10535   < clt 10674   ≤ cle 10675

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-resscn 10593  ax-pre-lttri 10610

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4838  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680

This theorem is referenced by:  0le1  11162  ledivp1i  11564  ltdivp1i  11565  1le2  11845  1le3  11848  halfge0  11853  decleh  12132  eluz4eluz2  12284  uzuzle23  12288  fz0to4untppr  13009  fzo0to42pr  13123  faclbnd4lem1  13652  4bc2eq6  13688  sqrt9  14632  sqrt2gt1lt2  14633  absrdbnd  14700  sqrtpclii  14741  0.999...  15236  ef01bndlem  15536  sin01bnd  15537  cos01bnd  15538  cos2bnd  15540  rpnnen2lem3  15568  rpnnen2lem4  15569  rpnnen2lem9  15574  rpnnen2lem12  15577  flodddiv4  15763  strleun  16590  cnfldfun  20556  elii1  23538  htpycc  23583  pcoval1  23616  pcocn  23620  pcohtpylem  23622  pcopt  23625  pcopt2  23626  pcoass  23627  pcorevlem  23629  vitalilem4  24211  vitali  24213  dveflem  24575  sinhalfpilem  25048  sincosq1lem  25082  sincos4thpi  25098  sincos6thpi  25100  pige3  25103  tanregt0  25122  efif1olem4  25128  relogrn  25144  argregt0  25192  argrege0  25193  logneg2  25197  2logb9irr  25372  asin1  25471  reasinsin  25473  log2cnv  25521  log2tlbnd  25522  log2ub  25526  harmonicbnd3  25584  ppiublem1  25777  ppiub  25779  bposlem3  25861  bposlem4  25862  bposlem5  25863  bposlem7  25865  bposlem8  25866  bposlem9  25867  lgsdir2lem1  25900  chebbnd1lem3  26046  dchrvmasumlema  26075  logdivsum  26108  mulog2sumlem2  26110  pntpbnd1a  26160  pntpbnd2  26162  pntlemk  26181  istrkg3ld  26246  axlowdimlem16  26742  axlowdimlem17  26743  axlowdim  26746  usgrexmplef  27040  upgr4cycl4dv4e  27963  konigsbergiedgw  28026  konigsberglem1  28030  konigsberglem2  28031  konigsberglem3  28032  ex-fl  28225  ex-sqrt  28232  ex-gcd  28235  normlem6  28891  sqsscirc1  31151  prodfzo03  31874  hgt750lemd  31919  hgt750lem  31922  hgt750lem2  31923  hgt750leme  31929  tgoldbachgnn  31930  logi  32966  dnizeq0  33814  cnndvlem1  33876  bj-pinftyccb  34502  bj-pinftynminfty  34508  tan2h  34883  fdc  35019  jm2.20nn  39592  areaquad  39821  sineq0ALT  41269  halffl  41561  itgsin0pilem1  42233  itgsinexplem1  42237  wallispilem2  42350  wallispilem4  42352  stirlinglem15  42372  stirlingr  42374  fourierdlem62  42452  fourierdlem77  42467  fourierdlem102  42492  fourierdlem103  42493  fourierdlem104  42494  fourierdlem111  42501  fourierdlem112  42502  fourierdlem114  42504  sqwvfoura  42512  sqwvfourb  42513  fourierswlem  42514  fouriersw  42515  etransclem23  42541  etransclem46  42564  smfmullem4  43068  fmtnoprmfac2lem1  43727  fmtno4prmfac  43733  31prm  43759  mod42tp1mod8  43766  2exp340mod341  43897  341fppr2  43898  9fppr8  43901  nfermltl8rev  43906  nfermltl2rev  43907  sbgoldbo  43951  nnsum3primes4  43952  nnsum3primesgbe  43956  nnsum4primeseven  43964  nnsum4primesevenALTV  43965  wtgoldbnnsum4prm  43966  bgoldbnnsum3prm  43968  tgblthelfgott  43979  itsclc0yqsollem2  44749