Theorem ltleii 11242

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 11241	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5093  ℝcr 11011   < clt 11152   ≤ cle 11153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-resscn 11069  ax-pre-lttri 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-er 8628  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-pnf 11154  df-mnf 11155  df-xr 11156  df-ltxr 11157  df-le 11158

This theorem is referenced by:  0le1  11646  ledivp1i  12053  ltdivp1i  12054  1le2  12335  1le3  12338  halfge0  12343  decleh  12629  5eluz3  12787  uzuzle23  12788  uzuzle24  12789  uzuzle34  12790  fz0to4untppr  13536  fz0to5un2tp  13537  fzo0to42pr  13659  faclbnd4lem1  14206  4bc2eq6  14242  sqrt9  15186  sqrt2gt1lt2  15187  absrdbnd  15255  sqrtpclii  15296  0.999...  15794  ef01bndlem  16099  sin01bnd  16100  cos01bnd  16101  cos2bnd  16103  rpnnen2lem3  16131  rpnnen2lem4  16132  rpnnen2lem9  16137  rpnnen2lem12  16140  flodddiv4  16332  strleun  17074  chnub  18534  elii1  24864  htpycc  24912  pcoval1  24946  pcocn  24950  pcohtpylem  24952  pcopt  24955  pcopt2  24956  pcoass  24957  pcorevlem  24959  vitalilem4  25545  vitali  25547  dveflem  25916  sinhalfpilem  26405  sincosq1lem  26439  sincos4thpi  26455  sincos6thpi  26458  pige3  26461  cos0pilt1  26474  tanregt0  26481  efif1olem4  26487  relogrn  26503  logi  26529  argregt0  26552  argrege0  26553  logneg2  26557  2logb9irr  26738  asin1  26837  reasinsin  26839  log2cnv  26887  log2tlbnd  26888  log2ub  26892  harmonicbnd3  26951  ppiublem1  27146  ppiub  27148  bposlem3  27230  bposlem4  27231  bposlem5  27232  bposlem7  27234  bposlem8  27235  bposlem9  27236  lgsdir2lem1  27269  chebbnd1lem3  27415  dchrvmasumlema  27444  logdivsum  27477  mulog2sumlem2  27479  pntpbnd1a  27529  pntpbnd2  27531  pntlemk  27550  istrkg3ld  28445  axlowdimlem16  28942  axlowdimlem17  28943  axlowdim  28946  usgrexmplef  29244  upgr4cycl4dv4e  30172  konigsbergiedgw  30235  konigsberglem1  30239  konigsberglem2  30240  konigsberglem3  30241  ex-fl  30434  ex-sqrt  30441  ex-gcd  30444  normlem6  31102  2sqr3minply  33800  cos9thpiminplylem1  33802  sqsscirc1  33928  prodfzo03  34623  hgt750lemd  34668  hgt750lem  34671  hgt750lem2  34672  hgt750leme  34678  tgoldbachgnn  34679  dnizeq0  36526  cnndvlem1  36588  bj-pinftyccb  37272  bj-pinftynminfty  37278  tan2h  37658  fdc  37791  asin1half  42456  jm2.20nn  43095  areaquad  43314  sineq0ALT  45034  halffl  45402  itgsin0pilem1  46053  itgsinexplem1  46057  wallispilem2  46169  wallispilem4  46171  stirlinglem15  46191  stirlingr  46193  fourierdlem62  46271  fourierdlem77  46286  fourierdlem102  46311  fourierdlem103  46312  fourierdlem104  46313  fourierdlem111  46320  fourierdlem112  46321  fourierdlem114  46323  sqwvfoura  46331  sqwvfourb  46332  fourierswlem  46333  fouriersw  46334  etransclem23  46360  etransclem46  46383  smfmullem4  46897  ceilhalf1  47439  fmtnoprmfac2lem1  47671  fmtno4prmfac  47677  31prm  47702  mod42tp1mod8  47707  2exp340mod341  47838  341fppr2  47839  9fppr8  47842  nfermltl8rev  47847  nfermltl2rev  47848  sbgoldbo  47892  nnsum3primes4  47893  nnsum3primesgbe  47897  nnsum4primeseven  47905  nnsum4primesevenALTV  47906  wtgoldbnnsum4prm  47907  bgoldbnnsum3prm  47909  tgblthelfgott  47920  cycl3grtri  48052  usgrexmpl1lem  48126  usgrexmpl2lem  48131  gpgusgralem  48161  gpg5nbgrvtx13starlem2  48177  gpg5nbgr3star  48186  pgnbgreunbgrlem2lem1  48219  pgnbgreunbgrlem2lem2  48220  pgnbgreunbgrlem2lem3  48221  ackval42  48802  itsclc0yqsollem2  48869  sepfsepc  49033