Theorem ltleii 11268

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 11267	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100  ℝcr 11037   < clt 11178   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184

This theorem is referenced by:  0le1  11672  ledivp1i  12079  ltdivp1i  12080  1le2  12361  1le3  12364  halfge0  12369  decleh  12654  5eluz3  12808  uzuzle23  12809  uzuzle24  12810  uzuzle34  12811  fz0to4untppr  13558  fz0to5un2tp  13559  fzo0to42pr  13681  faclbnd4lem1  14228  4bc2eq6  14264  sqrt9  15208  sqrt2gt1lt2  15209  absrdbnd  15277  sqrtpclii  15318  0.999...  15816  ef01bndlem  16121  sin01bnd  16122  cos01bnd  16123  cos2bnd  16125  rpnnen2lem3  16153  rpnnen2lem4  16154  rpnnen2lem9  16159  rpnnen2lem12  16162  flodddiv4  16354  strleun  17096  chnub  18557  elii1  24899  htpycc  24947  pcoval1  24981  pcocn  24985  pcohtpylem  24987  pcopt  24990  pcopt2  24991  pcoass  24992  pcorevlem  24994  vitalilem4  25580  vitali  25582  dveflem  25951  sinhalfpilem  26440  sincosq1lem  26474  sincos4thpi  26490  sincos6thpi  26493  pige3  26496  cos0pilt1  26509  tanregt0  26516  efif1olem4  26522  relogrn  26538  logi  26564  argregt0  26587  argrege0  26588  logneg2  26592  2logb9irr  26773  asin1  26872  reasinsin  26874  log2cnv  26922  log2tlbnd  26923  log2ub  26927  harmonicbnd3  26986  ppiublem1  27181  ppiub  27183  bposlem3  27265  bposlem4  27266  bposlem5  27267  bposlem7  27269  bposlem8  27270  bposlem9  27271  lgsdir2lem1  27304  chebbnd1lem3  27450  dchrvmasumlema  27479  logdivsum  27512  mulog2sumlem2  27514  pntpbnd1a  27564  pntpbnd2  27566  pntlemk  27585  istrkg3ld  28545  axlowdimlem16  29042  axlowdimlem17  29043  axlowdim  29046  usgrexmplef  29344  upgr4cycl4dv4e  30272  konigsbergiedgw  30335  konigsberglem1  30339  konigsberglem2  30340  konigsberglem3  30341  ex-fl  30534  ex-sqrt  30541  ex-gcd  30544  normlem6  31203  2sqr3minply  33958  cos9thpiminplylem1  33960  sqsscirc1  34086  prodfzo03  34781  hgt750lemd  34826  hgt750lem  34829  hgt750lem2  34830  hgt750leme  34836  tgoldbachgnn  34837  dnizeq0  36697  cnndvlem1  36759  bj-pinftyccb  37476  bj-pinftynminfty  37482  tan2h  37863  fdc  37996  asin1half  42727  jm2.20nn  43354  areaquad  43573  sineq0ALT  45292  halffl  45658  itgsin0pilem1  46308  itgsinexplem1  46312  wallispilem2  46424  wallispilem4  46426  stirlinglem15  46446  stirlingr  46448  fourierdlem62  46526  fourierdlem77  46541  fourierdlem102  46566  fourierdlem103  46567  fourierdlem104  46568  fourierdlem111  46575  fourierdlem112  46576  fourierdlem114  46578  sqwvfoura  46586  sqwvfourb  46587  fourierswlem  46588  fouriersw  46589  etransclem23  46615  etransclem46  46638  smfmullem4  47152  ceilhalf1  47694  fmtnoprmfac2lem1  47926  fmtno4prmfac  47932  31prm  47957  mod42tp1mod8  47962  2exp340mod341  48093  341fppr2  48094  9fppr8  48097  nfermltl8rev  48102  nfermltl2rev  48103  sbgoldbo  48147  nnsum3primes4  48148  nnsum3primesgbe  48152  nnsum4primeseven  48160  nnsum4primesevenALTV  48161  wtgoldbnnsum4prm  48162  bgoldbnnsum3prm  48164  tgblthelfgott  48175  cycl3grtri  48307  usgrexmpl1lem  48381  usgrexmpl2lem  48386  gpgusgralem  48416  gpg5nbgrvtx13starlem2  48432  gpg5nbgr3star  48441  pgnbgreunbgrlem2lem1  48474  pgnbgreunbgrlem2lem2  48475  pgnbgreunbgrlem2lem3  48476  ackval42  49056  itsclc0yqsollem2  49123  sepfsepc  49287