Theorem ltleii 11358

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 11357	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5119  ℝcr 11128   < clt 11269   ≤ cle 11270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-pre-lttri 11203

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275

This theorem is referenced by:  0le1  11760  ledivp1i  12167  ltdivp1i  12168  1le2  12449  1le3  12452  halfge0  12457  decleh  12743  eluz4eluz2  12899  eluz4eluz3  12900  5eluz3  12901  uzuzle23  12905  fz0to4untppr  13647  fz0to5un2tp  13648  fzo0to42pr  13769  faclbnd4lem1  14311  4bc2eq6  14347  sqrt9  15292  sqrt2gt1lt2  15293  absrdbnd  15360  sqrtpclii  15401  0.999...  15897  ef01bndlem  16202  sin01bnd  16203  cos01bnd  16204  cos2bnd  16206  rpnnen2lem3  16234  rpnnen2lem4  16235  rpnnen2lem9  16240  rpnnen2lem12  16243  flodddiv4  16434  strleun  17176  elii1  24882  htpycc  24930  pcoval1  24964  pcocn  24968  pcohtpylem  24970  pcopt  24973  pcopt2  24974  pcoass  24975  pcorevlem  24977  vitalilem4  25564  vitali  25566  dveflem  25935  sinhalfpilem  26424  sincosq1lem  26458  sincos4thpi  26474  sincos6thpi  26477  pige3  26480  cos0pilt1  26493  tanregt0  26500  efif1olem4  26506  relogrn  26522  logi  26548  argregt0  26571  argrege0  26572  logneg2  26576  2logb9irr  26757  asin1  26856  reasinsin  26858  log2cnv  26906  log2tlbnd  26907  log2ub  26911  harmonicbnd3  26970  ppiublem1  27165  ppiub  27167  bposlem3  27249  bposlem4  27250  bposlem5  27251  bposlem7  27253  bposlem8  27254  bposlem9  27255  lgsdir2lem1  27288  chebbnd1lem3  27434  dchrvmasumlema  27463  logdivsum  27496  mulog2sumlem2  27498  pntpbnd1a  27548  pntpbnd2  27550  pntlemk  27569  istrkg3ld  28440  axlowdimlem16  28936  axlowdimlem17  28937  axlowdim  28940  usgrexmplef  29238  upgr4cycl4dv4e  30166  konigsbergiedgw  30229  konigsberglem1  30233  konigsberglem2  30234  konigsberglem3  30235  ex-fl  30428  ex-sqrt  30435  ex-gcd  30438  normlem6  31096  chnub  32992  2sqr3minply  33814  cos9thpiminplylem1  33816  sqsscirc1  33939  prodfzo03  34635  hgt750lemd  34680  hgt750lem  34683  hgt750lem2  34684  hgt750leme  34690  tgoldbachgnn  34691  dnizeq0  36493  cnndvlem1  36555  bj-pinftyccb  37239  bj-pinftynminfty  37245  tan2h  37636  fdc  37769  asin1half  42400  jm2.20nn  43021  areaquad  43240  sineq0ALT  44961  halffl  45325  itgsin0pilem1  45979  itgsinexplem1  45983  wallispilem2  46095  wallispilem4  46097  stirlinglem15  46117  stirlingr  46119  fourierdlem62  46197  fourierdlem77  46212  fourierdlem102  46237  fourierdlem103  46238  fourierdlem104  46239  fourierdlem111  46246  fourierdlem112  46247  fourierdlem114  46249  sqwvfoura  46257  sqwvfourb  46258  fourierswlem  46259  fouriersw  46260  etransclem23  46286  etransclem46  46309  smfmullem4  46823  ceilhalf1  47363  fmtnoprmfac2lem1  47580  fmtno4prmfac  47586  31prm  47611  mod42tp1mod8  47616  2exp340mod341  47747  341fppr2  47748  9fppr8  47751  nfermltl8rev  47756  nfermltl2rev  47757  sbgoldbo  47801  nnsum3primes4  47802  nnsum3primesgbe  47806  nnsum4primeseven  47814  nnsum4primesevenALTV  47815  wtgoldbnnsum4prm  47816  bgoldbnnsum3prm  47818  tgblthelfgott  47829  cycl3grtri  47959  usgrexmpl1lem  48025  usgrexmpl2lem  48030  gpgusgralem  48060  gpg5nbgrvtx13starlem2  48074  gpg5nbgr3star  48083  ackval42  48676  itsclc0yqsollem2  48743  sepfsepc  48902