Theorem ltleii 11297

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 11296	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ℝcr 11067   < clt 11208   ≤ cle 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214

This theorem is referenced by:  0le1  11701  ledivp1i  12108  ltdivp1i  12109  1le2  12390  1le3  12393  halfge0  12398  decleh  12684  5eluz3  12842  uzuzle23  12843  uzuzle24  12844  uzuzle34  12845  fz0to4untppr  13591  fz0to5un2tp  13592  fzo0to42pr  13714  faclbnd4lem1  14258  4bc2eq6  14294  sqrt9  15239  sqrt2gt1lt2  15240  absrdbnd  15308  sqrtpclii  15349  0.999...  15847  ef01bndlem  16152  sin01bnd  16153  cos01bnd  16154  cos2bnd  16156  rpnnen2lem3  16184  rpnnen2lem4  16185  rpnnen2lem9  16190  rpnnen2lem12  16193  flodddiv4  16385  strleun  17127  elii1  24831  htpycc  24879  pcoval1  24913  pcocn  24917  pcohtpylem  24919  pcopt  24922  pcopt2  24923  pcoass  24924  pcorevlem  24926  vitalilem4  25512  vitali  25514  dveflem  25883  sinhalfpilem  26372  sincosq1lem  26406  sincos4thpi  26422  sincos6thpi  26425  pige3  26428  cos0pilt1  26441  tanregt0  26448  efif1olem4  26454  relogrn  26470  logi  26496  argregt0  26519  argrege0  26520  logneg2  26524  2logb9irr  26705  asin1  26804  reasinsin  26806  log2cnv  26854  log2tlbnd  26855  log2ub  26859  harmonicbnd3  26918  ppiublem1  27113  ppiub  27115  bposlem3  27197  bposlem4  27198  bposlem5  27199  bposlem7  27201  bposlem8  27202  bposlem9  27203  lgsdir2lem1  27236  chebbnd1lem3  27382  dchrvmasumlema  27411  logdivsum  27444  mulog2sumlem2  27446  pntpbnd1a  27496  pntpbnd2  27498  pntlemk  27517  istrkg3ld  28388  axlowdimlem16  28884  axlowdimlem17  28885  axlowdim  28888  usgrexmplef  29186  upgr4cycl4dv4e  30114  konigsbergiedgw  30177  konigsberglem1  30181  konigsberglem2  30182  konigsberglem3  30183  ex-fl  30376  ex-sqrt  30383  ex-gcd  30386  normlem6  31044  chnub  32938  2sqr3minply  33770  cos9thpiminplylem1  33772  sqsscirc1  33898  prodfzo03  34594  hgt750lemd  34639  hgt750lem  34642  hgt750lem2  34643  hgt750leme  34649  tgoldbachgnn  34650  dnizeq0  36463  cnndvlem1  36525  bj-pinftyccb  37209  bj-pinftynminfty  37215  tan2h  37606  fdc  37739  asin1half  42345  jm2.20nn  42986  areaquad  43205  sineq0ALT  44926  halffl  45294  itgsin0pilem1  45948  itgsinexplem1  45952  wallispilem2  46064  wallispilem4  46066  stirlinglem15  46086  stirlingr  46088  fourierdlem62  46166  fourierdlem77  46181  fourierdlem102  46206  fourierdlem103  46207  fourierdlem104  46208  fourierdlem111  46215  fourierdlem112  46216  fourierdlem114  46218  sqwvfoura  46226  sqwvfourb  46227  fourierswlem  46228  fouriersw  46229  etransclem23  46255  etransclem46  46278  smfmullem4  46792  ceilhalf1  47335  fmtnoprmfac2lem1  47567  fmtno4prmfac  47573  31prm  47598  mod42tp1mod8  47603  2exp340mod341  47734  341fppr2  47735  9fppr8  47738  nfermltl8rev  47743  nfermltl2rev  47744  sbgoldbo  47788  nnsum3primes4  47789  nnsum3primesgbe  47793  nnsum4primeseven  47801  nnsum4primesevenALTV  47802  wtgoldbnnsum4prm  47803  bgoldbnnsum3prm  47805  tgblthelfgott  47816  cycl3grtri  47946  usgrexmpl1lem  48012  usgrexmpl2lem  48017  gpgusgralem  48047  gpg5nbgrvtx13starlem2  48063  gpg5nbgr3star  48072  pgnbgreunbgrlem2lem1  48104  pgnbgreunbgrlem2lem2  48105  pgnbgreunbgrlem2lem3  48106  ackval42  48685  itsclc0yqsollem2  48752  sepfsepc  48916