Theorem ltleii 11273

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 11272	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5102  ℝcr 11043   < clt 11184   ≤ cle 11185

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-pre-lttri 11118

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190

This theorem is referenced by:  0le1  11677  ledivp1i  12084  ltdivp1i  12085  1le2  12366  1le3  12369  halfge0  12374  decleh  12660  5eluz3  12818  uzuzle23  12819  uzuzle24  12820  uzuzle34  12821  fz0to4untppr  13567  fz0to5un2tp  13568  fzo0to42pr  13690  faclbnd4lem1  14234  4bc2eq6  14270  sqrt9  15215  sqrt2gt1lt2  15216  absrdbnd  15284  sqrtpclii  15325  0.999...  15823  ef01bndlem  16128  sin01bnd  16129  cos01bnd  16130  cos2bnd  16132  rpnnen2lem3  16160  rpnnen2lem4  16161  rpnnen2lem9  16166  rpnnen2lem12  16169  flodddiv4  16361  strleun  17103  elii1  24807  htpycc  24855  pcoval1  24889  pcocn  24893  pcohtpylem  24895  pcopt  24898  pcopt2  24899  pcoass  24900  pcorevlem  24902  vitalilem4  25488  vitali  25490  dveflem  25859  sinhalfpilem  26348  sincosq1lem  26382  sincos4thpi  26398  sincos6thpi  26401  pige3  26404  cos0pilt1  26417  tanregt0  26424  efif1olem4  26430  relogrn  26446  logi  26472  argregt0  26495  argrege0  26496  logneg2  26500  2logb9irr  26681  asin1  26780  reasinsin  26782  log2cnv  26830  log2tlbnd  26831  log2ub  26835  harmonicbnd3  26894  ppiublem1  27089  ppiub  27091  bposlem3  27173  bposlem4  27174  bposlem5  27175  bposlem7  27177  bposlem8  27178  bposlem9  27179  lgsdir2lem1  27212  chebbnd1lem3  27358  dchrvmasumlema  27387  logdivsum  27420  mulog2sumlem2  27422  pntpbnd1a  27472  pntpbnd2  27474  pntlemk  27493  istrkg3ld  28364  axlowdimlem16  28860  axlowdimlem17  28861  axlowdim  28864  usgrexmplef  29162  upgr4cycl4dv4e  30087  konigsbergiedgw  30150  konigsberglem1  30154  konigsberglem2  30155  konigsberglem3  30156  ex-fl  30349  ex-sqrt  30356  ex-gcd  30359  normlem6  31017  chnub  32911  2sqr3minply  33743  cos9thpiminplylem1  33745  sqsscirc1  33871  prodfzo03  34567  hgt750lemd  34612  hgt750lem  34615  hgt750lem2  34616  hgt750leme  34622  tgoldbachgnn  34623  dnizeq0  36436  cnndvlem1  36498  bj-pinftyccb  37182  bj-pinftynminfty  37188  tan2h  37579  fdc  37712  asin1half  42318  jm2.20nn  42959  areaquad  43178  sineq0ALT  44899  halffl  45267  itgsin0pilem1  45921  itgsinexplem1  45925  wallispilem2  46037  wallispilem4  46039  stirlinglem15  46059  stirlingr  46061  fourierdlem62  46139  fourierdlem77  46154  fourierdlem102  46179  fourierdlem103  46180  fourierdlem104  46181  fourierdlem111  46188  fourierdlem112  46189  fourierdlem114  46191  sqwvfoura  46199  sqwvfourb  46200  fourierswlem  46201  fouriersw  46202  etransclem23  46228  etransclem46  46251  smfmullem4  46765  ceilhalf1  47308  fmtnoprmfac2lem1  47540  fmtno4prmfac  47546  31prm  47571  mod42tp1mod8  47576  2exp340mod341  47707  341fppr2  47708  9fppr8  47711  nfermltl8rev  47716  nfermltl2rev  47717  sbgoldbo  47761  nnsum3primes4  47762  nnsum3primesgbe  47766  nnsum4primeseven  47774  nnsum4primesevenALTV  47775  wtgoldbnnsum4prm  47776  bgoldbnnsum3prm  47778  tgblthelfgott  47789  cycl3grtri  47919  usgrexmpl1lem  47985  usgrexmpl2lem  47990  gpgusgralem  48020  gpg5nbgrvtx13starlem2  48036  gpg5nbgr3star  48045  pgnbgreunbgrlem2lem1  48077  pgnbgreunbgrlem2lem2  48078  pgnbgreunbgrlem2lem3  48079  ackval42  48658  itsclc0yqsollem2  48725  sepfsepc  48889