Theorem ltleii 11384

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to' (inference). (Contributed by NM, 22-Aug-1999.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
lt.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
ltlei.1	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltleii	⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Proof of Theorem ltleii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlei.1	. 2 ⊢ 𝐴 < 𝐵
2		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
3		lt.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
4	2, 3	ltlei 11383	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵)
5	1, 4	ax-mp 5	1 ⊢ 𝐴 ≤ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5143  ℝcr 11154   < clt 11295   ≤ cle 11296

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301

This theorem is referenced by:  0le1  11786  ledivp1i  12193  ltdivp1i  12194  1le2  12475  1le3  12478  halfge0  12483  decleh  12768  eluz4eluz2  12925  eluz4eluz3  12926  5eluz3  12927  uzuzle23  12931  fz0to4untppr  13670  fz0to5un2tp  13671  fzo0to42pr  13792  faclbnd4lem1  14332  4bc2eq6  14368  sqrt9  15312  sqrt2gt1lt2  15313  absrdbnd  15380  sqrtpclii  15421  0.999...  15917  ef01bndlem  16220  sin01bnd  16221  cos01bnd  16222  cos2bnd  16224  rpnnen2lem3  16252  rpnnen2lem4  16253  rpnnen2lem9  16258  rpnnen2lem12  16261  flodddiv4  16452  strleun  17194  cnfldfunALTOLDOLD  21393  elii1  24964  htpycc  25012  pcoval1  25046  pcocn  25050  pcohtpylem  25052  pcopt  25055  pcopt2  25056  pcoass  25057  pcorevlem  25059  vitalilem4  25646  vitali  25648  dveflem  26017  sinhalfpilem  26505  sincosq1lem  26539  sincos4thpi  26555  sincos6thpi  26558  pige3  26561  cos0pilt1  26574  tanregt0  26581  efif1olem4  26587  relogrn  26603  logi  26629  argregt0  26652  argrege0  26653  logneg2  26657  2logb9irr  26838  asin1  26937  reasinsin  26939  log2cnv  26987  log2tlbnd  26988  log2ub  26992  harmonicbnd3  27051  ppiublem1  27246  ppiub  27248  bposlem3  27330  bposlem4  27331  bposlem5  27332  bposlem7  27334  bposlem8  27335  bposlem9  27336  lgsdir2lem1  27369  chebbnd1lem3  27515  dchrvmasumlema  27544  logdivsum  27577  mulog2sumlem2  27579  pntpbnd1a  27629  pntpbnd2  27631  pntlemk  27650  istrkg3ld  28469  axlowdimlem16  28972  axlowdimlem17  28973  axlowdim  28976  usgrexmplef  29276  upgr4cycl4dv4e  30204  konigsbergiedgw  30267  konigsberglem1  30271  konigsberglem2  30272  konigsberglem3  30273  ex-fl  30466  ex-sqrt  30473  ex-gcd  30476  normlem6  31134  chnub  33002  2sqr3minply  33791  sqsscirc1  33907  prodfzo03  34618  hgt750lemd  34663  hgt750lem  34666  hgt750lem2  34667  hgt750leme  34673  tgoldbachgnn  34674  dnizeq0  36476  cnndvlem1  36538  bj-pinftyccb  37222  bj-pinftynminfty  37228  tan2h  37619  fdc  37752  asin1half  42387  jm2.20nn  43009  areaquad  43228  sineq0ALT  44957  halffl  45308  itgsin0pilem1  45965  itgsinexplem1  45969  wallispilem2  46081  wallispilem4  46083  stirlinglem15  46103  stirlingr  46105  fourierdlem62  46183  fourierdlem77  46198  fourierdlem102  46223  fourierdlem103  46224  fourierdlem104  46225  fourierdlem111  46232  fourierdlem112  46233  fourierdlem114  46235  sqwvfoura  46243  sqwvfourb  46244  fourierswlem  46245  fouriersw  46246  etransclem23  46272  etransclem46  46295  smfmullem4  46809  fmtnoprmfac2lem1  47553  fmtno4prmfac  47559  31prm  47584  mod42tp1mod8  47589  2exp340mod341  47720  341fppr2  47721  9fppr8  47724  nfermltl8rev  47729  nfermltl2rev  47730  sbgoldbo  47774  nnsum3primes4  47775  nnsum3primesgbe  47779  nnsum4primeseven  47787  nnsum4primesevenALTV  47788  wtgoldbnnsum4prm  47789  bgoldbnnsum3prm  47791  tgblthelfgott  47802  cycl3grtri  47914  usgrexmpl1lem  47980  usgrexmpl2lem  47985  gpgusgralem  48011  gpg5nbgrvtx13starlem2  48028  gpg5nbgr3star  48037  ackval42  48617  itsclc0yqsollem2  48684  sepfsepc  48825