Theorem ltle 11346

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 867	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		leloe 11344	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3	1, 2	imbitrrid 246	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1536   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5147  ℝcr 11151   < clt 11292   ≤ cle 11293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-pre-lttri 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298

This theorem is referenced by:  leltletr  11349  ltleletr  11351  letr  11352  letric  11358  ltlen  11359  ltlei  11380  ltled  11406  lt2add  11745  lep1  12105  lem1  12107  letrp1  12108  ltmul12a  12120  mulge0b  12135  lediv12a  12158  bndndx  12522  ltsubnn0  12574  uzind  12707  fnn0ind  12714  eluz2b2  12960  zmin  12983  rpnnen1lem2  13016  rpnnen1lem1  13017  rpnnen1lem3  13018  rpnnen1lem5  13020  rpge0  13045  rpneg  13064  iccsplit  13521  zltaddlt1le  13541  difelfznle  13678  fvffz0  13682  elfzouz2  13710  elfzo0le  13739  fzostep1  13818  fllep1  13837  fracle1  13839  expgt1  14137  expnbnd  14267  expnlbnd2  14269  faclbnd  14325  swrdnd0  14691  swrdsbslen  14698  swrdspsleq  14699  pfxccat3  14768  swrdccat  14769  repswswrd  14818  resqrex  15285  sqrtgt0  15293  absmax  15364  eqsqrt2d  15403  rlim2lt  15529  mulcn2  15628  rlimo1  15649  o1rlimmul  15651  climbdd  15704  caucvgrlem  15705  supcvg  15888  efcllem  16109  sin01bnd  16217  cos01bnd  16218  sin01gt0  16222  cos01gt0  16223  absef  16229  efieq1re  16231  ruclem11  16272  nn0o  16416  pythagtriplem12  16859  pythagtriplem13  16860  pythagtriplem14  16861  pythagtriplem16  16863  pclem  16871  prmgaplem4  17087  cshwshashlem2  17130  isabvd  20829  met2ndci  24550  blcvx  24833  iocopnst  24983  nmoleub2a  25163  nmoleub2b  25164  nmhmcn  25166  iscmet3lem2  25339  caubl  25355  ivthlem2  25500  ovolicc2lem4  25568  ioombl1lem4  25609  ioovolcl  25618  volsup2  25653  itg2monolem1  25799  itg2gt0  25809  itg2cnlem1  25810  dvne0  26064  ftc1lem4  26094  dgrlt  26320  aalioulem5  26392  ulmbdd  26455  iblulm  26464  radcnvlem1  26470  abelthlem5  26493  abelthlem7  26496  sincosq1lem  26553  tangtx  26561  tanabsge  26562  sinq12ge0  26564  sineq0  26580  tanord  26594  logcj  26662  argregt0  26666  argrege0  26667  argimgt0  26668  logdmnrp  26697  logcnlem3  26700  logf1o2  26706  cxpsqrtlem  26758  abscxpbnd  26810  logreclem  26819  asinneg  26943  atanlogsublem  26972  atanlogsub  26973  rlimcnp  27022  xrlimcnp  27025  basellem8  27145  chtub  27270  bposlem9  27350  chebbnd1  27530  chtppilimlem1  27531  dchrvmasumiflem1  27559  mulog2sumlem2  27593  pntrmax  27622  pntibndlem2  27649  pntibndlem3  27650  pntlemf  27663  axlowdimlem16  28986  pthdlem1  29798  crctcshwlkn0lem3  29841  crctcshwlkn0lem5  29843  crctcshwlkn0lem7  29845  crctcshwlkn0  29850  nmblolbii  30827  ubthlem1  30898  bcsiALT  31207  nmbdoplbi  32052  nmcexi  32054  nmcoplbi  32056  lnconi  32061  nmbdfnlbi  32077  nmcfnlbi  32080  nmopcoi  32123  branmfn  32133  leopmul  32162  nmopleid  32167  esumcvg  34066  ballotlemfrceq  34509  sinccvglem  35656  opnrebl2  36303  ivthALT  36317  dnibndlem12  36471  poimirlem15  37621  poimirlem31  37637  ftc1cnnclem  37677  ftc1anclem5  37683  incsequz2  37735  nnubfi  37736  bfplem2  37809  60gcd7e1  41986  lcmineqlem10  42019  factwoffsmonot  42223  3cubeslem1  42671  pell14qrgap  42862  pellfundre  42868  pellfundlb  42871  reabsifneg  43621  reabsifnpos  43622  reabsifpos  43623  reabsifnneg  43624  stoweidlem17  45972  stoweidlem34  45989  wallispilem1  46020  sqrtnegnre  47256  2elfz2melfz  47267  elfzelfzlble  47270  subsubelfzo0  47275  requad01  47545  requad2  47547  bgoldbtbnd  47733  bgoldbachlt  47737  tgblthelfgott  47739  m1modmmod  48370  nnolog2flm1  48439  itsclc0yqsol  48613