Theorem ltle 11327

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 866	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		leloe 11325	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3	1, 2	imbitrrid 245	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5143  ℝcr 11132   < clt 11273   ≤ cle 11274

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-resscn 11190  ax-pre-lttri 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5571  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279

This theorem is referenced by:  leltletr  11330  ltleletr  11332  letr  11333  letric  11339  ltlen  11340  ltlei  11361  ltled  11387  lt2add  11724  lep1  12080  lem1  12082  letrp1  12083  ltmul12a  12095  mulge0b  12109  lediv12a  12132  bndndx  12496  ltsubnn0  12548  uzind  12679  fnn0ind  12686  eluz2b2  12930  zmin  12953  rpnnen1lem2  12986  rpnnen1lem1  12987  rpnnen1lem3  12988  rpnnen1lem5  12990  rpge0  13014  rpneg  13033  iccsplit  13489  zltaddlt1le  13509  difelfznle  13642  fvffz0  13646  elfzouz2  13674  elfzo0le  13703  fzostep1  13775  fllep1  13793  fracle1  13795  expgt1  14092  expnbnd  14221  expnlbnd2  14223  faclbnd  14276  swrdnd0  14634  swrdsbslen  14641  swrdspsleq  14642  pfxccat3  14711  swrdccat  14712  repswswrd  14761  resqrex  15224  sqrtgt0  15232  absmax  15303  eqsqrt2d  15342  rlim2lt  15468  mulcn2  15567  rlimo1  15588  o1rlimmul  15590  climbdd  15645  caucvgrlem  15646  supcvg  15829  efcllem  16048  sin01bnd  16156  cos01bnd  16157  sin01gt0  16161  cos01gt0  16162  absef  16168  efieq1re  16170  ruclem11  16211  nn0o  16354  pythagtriplem12  16789  pythagtriplem13  16790  pythagtriplem14  16791  pythagtriplem16  16793  pclem  16801  prmgaplem4  17017  cshwshashlem2  17060  isabvd  20694  met2ndci  24425  blcvx  24708  iocopnst  24858  nmoleub2a  25038  nmoleub2b  25039  nmhmcn  25041  iscmet3lem2  25214  caubl  25230  ivthlem2  25375  ovolicc2lem4  25443  ioombl1lem4  25484  ioovolcl  25493  volsup2  25528  itg2monolem1  25674  itg2gt0  25684  itg2cnlem1  25685  dvne0  25938  ftc1lem4  25968  dgrlt  26195  aalioulem5  26265  ulmbdd  26328  iblulm  26337  radcnvlem1  26343  abelthlem5  26366  abelthlem7  26369  sincosq1lem  26426  tangtx  26434  tanabsge  26435  sinq12ge0  26437  sineq0  26452  tanord  26466  logcj  26534  argregt0  26538  argrege0  26539  argimgt0  26540  logdmnrp  26569  logcnlem3  26572  logf1o2  26578  cxpsqrtlem  26630  abscxpbnd  26682  logreclem  26688  asinneg  26812  atanlogsublem  26841  atanlogsub  26842  rlimcnp  26891  xrlimcnp  26894  basellem8  27014  chtub  27139  bposlem9  27219  chebbnd1  27399  chtppilimlem1  27400  dchrvmasumiflem1  27428  mulog2sumlem2  27462  pntrmax  27491  pntibndlem2  27518  pntibndlem3  27519  pntlemf  27532  axlowdimlem16  28762  pthdlem1  29574  crctcshwlkn0lem3  29617  crctcshwlkn0lem5  29619  crctcshwlkn0lem7  29621  crctcshwlkn0  29626  nmblolbii  30603  ubthlem1  30674  bcsiALT  30983  nmbdoplbi  31828  nmcexi  31830  nmcoplbi  31832  lnconi  31837  nmbdfnlbi  31853  nmcfnlbi  31856  nmopcoi  31899  branmfn  31909  leopmul  31938  nmopleid  31943  esumcvg  33700  ballotlemfrceq  34143  sinccvglem  35271  opnrebl2  35800  ivthALT  35814  dnibndlem12  35959  poimirlem15  37103  poimirlem31  37119  ftc1cnnclem  37159  ftc1anclem5  37165  incsequz2  37217  nnubfi  37218  bfplem2  37291  60gcd7e1  41471  lcmineqlem10  41504  factwoffsmonot  41685  3cubeslem1  42095  pell14qrgap  42286  pellfundre  42292  pellfundlb  42295  reabsifneg  43053  reabsifnpos  43054  reabsifpos  43055  reabsifnneg  43056  stoweidlem17  45396  stoweidlem34  45413  wallispilem1  45444  sqrtnegnre  46678  2elfz2melfz  46689  elfzelfzlble  46692  subsubelfzo0  46697  requad01  46952  requad2  46954  bgoldbtbnd  47140  bgoldbachlt  47144  tgblthelfgott  47146  m1modmmod  47585  nnolog2flm1  47654  itsclc0yqsol  47828