Theorem ltle 11210

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 867	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		leloe 11208	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3	1, 2	imbitrrid 246	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5095  ℝcr 11014   < clt 11155   ≤ cle 11156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-resscn 11072  ax-pre-lttri 11089

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161

This theorem is referenced by:  leltletr  11213  ltleletr  11215  letr  11216  letric  11222  ltlen  11223  ltlei  11244  ltled  11270  lt2add  11611  lep1  11971  lem1  11973  letrp1  11974  ltmul12a  11986  mulge0b  12001  lediv12a  12024  bndndx  12389  ltsubnn0  12441  uzind  12573  fnn0ind  12580  eluz2b2  12823  zmin  12846  rpnnen1lem2  12879  rpnnen1lem1  12880  rpnnen1lem3  12881  rpnnen1lem5  12883  rpge0  12908  rpneg  12928  iccsplit  13389  zltaddlt1le  13409  difelfznle  13546  fvffz0  13550  elfzouz2  13578  elfzo0le  13607  fzostep1  13690  fllep1  13709  fracle1  13711  expgt1  14011  expnbnd  14143  expnlbnd2  14145  faclbnd  14201  swrdnd0  14569  swrdsbslen  14576  swrdspsleq  14577  pfxccat3  14645  swrdccat  14646  repswswrd  14695  resqrex  15161  sqrtgt0  15169  absmax  15241  eqsqrt2d  15280  rlim2lt  15408  mulcn2  15507  rlimo1  15528  o1rlimmul  15530  climbdd  15583  caucvgrlem  15584  supcvg  15767  efcllem  15988  sin01bnd  16098  cos01bnd  16099  sin01gt0  16103  cos01gt0  16104  absef  16110  efieq1re  16112  ruclem11  16153  nn0o  16298  pythagtriplem12  16742  pythagtriplem13  16743  pythagtriplem14  16744  pythagtriplem16  16746  pclem  16754  prmgaplem4  16970  cshwshashlem2  17012  isabvd  20731  met2ndci  24440  blcvx  24716  iocopnst  24867  nmoleub2a  25047  nmoleub2b  25048  nmhmcn  25050  iscmet3lem2  25222  caubl  25238  ivthlem2  25383  ovolicc2lem4  25451  ioombl1lem4  25492  ioovolcl  25501  volsup2  25536  itg2monolem1  25681  itg2gt0  25691  itg2cnlem1  25692  dvne0  25946  ftc1lem4  25976  dgrlt  26202  aalioulem5  26274  ulmbdd  26337  iblulm  26346  radcnvlem1  26352  abelthlem5  26375  abelthlem7  26378  sincosq1lem  26436  tangtx  26444  tanabsge  26445  sinq12ge0  26447  sineq0  26463  tanord  26477  logcj  26545  argregt0  26549  argrege0  26550  argimgt0  26551  logdmnrp  26580  logcnlem3  26583  logf1o2  26589  cxpsqrtlem  26641  abscxpbnd  26693  logreclem  26702  asinneg  26826  atanlogsublem  26855  atanlogsub  26856  rlimcnp  26905  xrlimcnp  26908  basellem8  27028  chtub  27153  bposlem9  27233  chebbnd1  27413  chtppilimlem1  27414  dchrvmasumiflem1  27442  mulog2sumlem2  27476  pntrmax  27505  pntibndlem2  27532  pntibndlem3  27533  pntlemf  27546  axlowdimlem16  28939  pthdlem1  29748  crctcshwlkn0lem3  29794  crctcshwlkn0lem5  29796  crctcshwlkn0lem7  29798  crctcshwlkn0  29803  nmblolbii  30783  ubthlem1  30854  bcsiALT  31163  nmbdoplbi  32008  nmcexi  32010  nmcoplbi  32012  lnconi  32017  nmbdfnlbi  32033  nmcfnlbi  32036  nmopcoi  32079  branmfn  32089  leopmul  32118  nmopleid  32123  esumcvg  34122  ballotlemfrceq  34565  sinccvglem  35739  opnrebl2  36388  ivthALT  36402  dnibndlem12  36556  poimirlem15  37698  poimirlem31  37714  ftc1cnnclem  37754  ftc1anclem5  37760  incsequz2  37812  nnubfi  37813  bfplem2  37886  60gcd7e1  42121  lcmineqlem10  42154  3cubeslem1  42804  pell14qrgap  42995  pellfundre  43001  pellfundlb  43004  reabsifneg  43752  reabsifnpos  43753  reabsifpos  43754  reabsifnneg  43755  stoweidlem17  46142  stoweidlem34  46159  wallispilem1  46190  sqrtnegnre  47434  2elfz2melfz  47445  elfzelfzlble  47448  subsubelfzo0  47453  m1modmmod  47485  requad01  47748  requad2  47750  bgoldbtbnd  47936  bgoldbachlt  47940  tgblthelfgott  47942  nnolog2flm1  48718  itsclc0yqsol  48892