Theorem ltle 11262

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 867	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		leloe 11260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3	1, 2	imbitrrid 246	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5107  ℝcr 11067   < clt 11208   ≤ cle 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214

This theorem is referenced by:  leltletr  11265  ltleletr  11267  letr  11268  letric  11274  ltlen  11275  ltlei  11296  ltled  11322  lt2add  11663  lep1  12023  lem1  12025  letrp1  12026  ltmul12a  12038  mulge0b  12053  lediv12a  12076  bndndx  12441  ltsubnn0  12493  uzind  12626  fnn0ind  12633  eluz2b2  12880  zmin  12903  rpnnen1lem2  12936  rpnnen1lem1  12937  rpnnen1lem3  12938  rpnnen1lem5  12940  rpge0  12965  rpneg  12985  iccsplit  13446  zltaddlt1le  13466  difelfznle  13603  fvffz0  13607  elfzouz2  13635  elfzo0le  13664  fzostep1  13744  fllep1  13763  fracle1  13765  expgt1  14065  expnbnd  14197  expnlbnd2  14199  faclbnd  14255  swrdnd0  14622  swrdsbslen  14629  swrdspsleq  14630  pfxccat3  14699  swrdccat  14700  repswswrd  14749  resqrex  15216  sqrtgt0  15224  absmax  15296  eqsqrt2d  15335  rlim2lt  15463  mulcn2  15562  rlimo1  15583  o1rlimmul  15585  climbdd  15638  caucvgrlem  15639  supcvg  15822  efcllem  16043  sin01bnd  16153  cos01bnd  16154  sin01gt0  16158  cos01gt0  16159  absef  16165  efieq1re  16167  ruclem11  16208  nn0o  16353  pythagtriplem12  16797  pythagtriplem13  16798  pythagtriplem14  16799  pythagtriplem16  16801  pclem  16809  prmgaplem4  17025  cshwshashlem2  17067  isabvd  20721  met2ndci  24410  blcvx  24686  iocopnst  24837  nmoleub2a  25017  nmoleub2b  25018  nmhmcn  25020  iscmet3lem2  25192  caubl  25208  ivthlem2  25353  ovolicc2lem4  25421  ioombl1lem4  25462  ioovolcl  25471  volsup2  25506  itg2monolem1  25651  itg2gt0  25661  itg2cnlem1  25662  dvne0  25916  ftc1lem4  25946  dgrlt  26172  aalioulem5  26244  ulmbdd  26307  iblulm  26316  radcnvlem1  26322  abelthlem5  26345  abelthlem7  26348  sincosq1lem  26406  tangtx  26414  tanabsge  26415  sinq12ge0  26417  sineq0  26433  tanord  26447  logcj  26515  argregt0  26519  argrege0  26520  argimgt0  26521  logdmnrp  26550  logcnlem3  26553  logf1o2  26559  cxpsqrtlem  26611  abscxpbnd  26663  logreclem  26672  asinneg  26796  atanlogsublem  26825  atanlogsub  26826  rlimcnp  26875  xrlimcnp  26878  basellem8  26998  chtub  27123  bposlem9  27203  chebbnd1  27383  chtppilimlem1  27384  dchrvmasumiflem1  27412  mulog2sumlem2  27446  pntrmax  27475  pntibndlem2  27502  pntibndlem3  27503  pntlemf  27516  axlowdimlem16  28884  pthdlem1  29696  crctcshwlkn0lem3  29742  crctcshwlkn0lem5  29744  crctcshwlkn0lem7  29746  crctcshwlkn0  29751  nmblolbii  30728  ubthlem1  30799  bcsiALT  31108  nmbdoplbi  31953  nmcexi  31955  nmcoplbi  31957  lnconi  31962  nmbdfnlbi  31978  nmcfnlbi  31981  nmopcoi  32024  branmfn  32034  leopmul  32063  nmopleid  32068  esumcvg  34076  ballotlemfrceq  34520  sinccvglem  35659  opnrebl2  36309  ivthALT  36323  dnibndlem12  36477  poimirlem15  37629  poimirlem31  37645  ftc1cnnclem  37685  ftc1anclem5  37691  incsequz2  37743  nnubfi  37744  bfplem2  37817  60gcd7e1  41993  lcmineqlem10  42026  3cubeslem1  42672  pell14qrgap  42863  pellfundre  42869  pellfundlb  42872  reabsifneg  43621  reabsifnpos  43622  reabsifpos  43623  reabsifnneg  43624  stoweidlem17  46015  stoweidlem34  46032  wallispilem1  46063  sqrtnegnre  47308  2elfz2melfz  47319  elfzelfzlble  47322  subsubelfzo0  47327  m1modmmod  47359  requad01  47622  requad2  47624  bgoldbtbnd  47810  bgoldbachlt  47814  tgblthelfgott  47816  nnolog2flm1  48579  itsclc0yqsol  48753