Theorem ltle 11302

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 866	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		leloe 11300	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3	1, 2	imbitrrid 245	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∨ wo 846   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5149  ℝcr 11109   < clt 11248   ≤ cle 11249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254

This theorem is referenced by:  leltletr  11305  ltleletr  11307  letr  11308  letric  11314  ltlen  11315  ltlei  11336  ltled  11362  lt2add  11699  lep1  12055  lem1  12057  letrp1  12058  ltmul12a  12070  mulge0b  12084  lediv12a  12107  bndndx  12471  ltsubnn0  12523  uzind  12654  fnn0ind  12661  eluz2b2  12905  zmin  12928  rpnnen1lem2  12961  rpnnen1lem1  12962  rpnnen1lem3  12963  rpnnen1lem5  12965  rpge0  12987  rpneg  13006  iccsplit  13462  zltaddlt1le  13482  difelfznle  13615  fvffz0  13619  elfzouz2  13647  elfzo0le  13676  fzostep1  13748  fllep1  13766  fracle1  13768  expgt1  14066  expnbnd  14195  expnlbnd2  14197  faclbnd  14250  swrdnd0  14607  swrdsbslen  14614  swrdspsleq  14615  pfxccat3  14684  swrdccat  14685  repswswrd  14734  resqrex  15197  sqrtgt0  15205  absmax  15276  eqsqrt2d  15315  rlim2lt  15441  mulcn2  15540  rlimo1  15561  o1rlimmul  15563  climbdd  15618  caucvgrlem  15619  supcvg  15802  efcllem  16021  sin01bnd  16128  cos01bnd  16129  sin01gt0  16133  cos01gt0  16134  absef  16140  efieq1re  16142  ruclem11  16183  nn0o  16326  pythagtriplem12  16759  pythagtriplem13  16760  pythagtriplem14  16761  pythagtriplem16  16763  pclem  16771  prmgaplem4  16987  cshwshashlem2  17030  isabvd  20428  met2ndci  24031  blcvx  24314  iocopnst  24456  nmoleub2a  24633  nmoleub2b  24634  nmhmcn  24636  iscmet3lem2  24809  caubl  24825  ivthlem2  24969  ovolicc2lem4  25037  ioombl1lem4  25078  ioovolcl  25087  volsup2  25122  itg2monolem1  25268  itg2gt0  25278  itg2cnlem1  25279  dvne0  25528  ftc1lem4  25556  dgrlt  25780  aalioulem5  25849  ulmbdd  25910  iblulm  25919  radcnvlem1  25925  abelthlem5  25947  abelthlem7  25950  sincosq1lem  26007  tangtx  26015  tanabsge  26016  sinq12ge0  26018  sineq0  26033  tanord  26047  logcj  26114  argregt0  26118  argrege0  26119  argimgt0  26120  logdmnrp  26149  logcnlem3  26152  logf1o2  26158  cxpsqrtlem  26210  abscxpbnd  26261  logreclem  26267  asinneg  26391  atanlogsublem  26420  atanlogsub  26421  rlimcnp  26470  xrlimcnp  26473  basellem8  26592  chtub  26715  bposlem9  26795  chebbnd1  26975  chtppilimlem1  26976  dchrvmasumiflem1  27004  mulog2sumlem2  27038  pntrmax  27067  pntibndlem2  27094  pntibndlem3  27095  pntlemf  27108  axlowdimlem16  28215  pthdlem1  29023  crctcshwlkn0lem3  29066  crctcshwlkn0lem5  29068  crctcshwlkn0lem7  29070  crctcshwlkn0  29075  nmblolbii  30052  ubthlem1  30123  bcsiALT  30432  nmbdoplbi  31277  nmcexi  31279  nmcoplbi  31281  lnconi  31286  nmbdfnlbi  31302  nmcfnlbi  31305  nmopcoi  31348  branmfn  31358  leopmul  31387  nmopleid  31392  esumcvg  33084  ballotlemfrceq  33527  sinccvglem  34657  opnrebl2  35206  ivthALT  35220  dnibndlem12  35365  poimirlem15  36503  poimirlem31  36519  ftc1cnnclem  36559  ftc1anclem5  36565  incsequz2  36617  nnubfi  36618  bfplem2  36691  60gcd7e1  40870  lcmineqlem10  40903  factwoffsmonot  41023  3cubeslem1  41422  pell14qrgap  41613  pellfundre  41619  pellfundlb  41622  reabsifneg  42383  reabsifnpos  42384  reabsifpos  42385  reabsifnneg  42386  stoweidlem17  44733  stoweidlem34  44750  wallispilem1  44781  sqrtnegnre  46015  2elfz2melfz  46026  elfzelfzlble  46029  subsubelfzo0  46034  requad01  46289  requad2  46291  bgoldbtbnd  46477  bgoldbachlt  46481  tgblthelfgott  46483  m1modmmod  47207  nnolog2flm1  47276  itsclc0yqsol  47450