MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltle Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltle 11244
Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
ltle ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))

Proof of Theorem ltle
StepHypRef Expression
1 orc 866 . 2 (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵))
2 leloe 11242 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐴 = 𝐵)))
31, 2syl5ibr 246 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵𝐴𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5106  cr 11051   < clt 11190  cle 11191
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11109  ax-pre-lttri 11126
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-er 8649  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-pnf 11192  df-mnf 11193  df-xr 11194  df-ltxr 11195  df-le 11196
This theorem is referenced by:  leltletr  11247  ltleletr  11249  letr  11250  letric  11256  ltlen  11257  ltlei  11278  ltled  11304  lt2add  11641  lep1  11997  lem1  11999  letrp1  12000  ltmul12a  12012  mulge0b  12026  lediv12a  12049  bndndx  12413  ltsubnn0  12465  uzind  12596  fnn0ind  12603  eluz2b2  12847  zmin  12870  rpnnen1lem2  12903  rpnnen1lem1  12904  rpnnen1lem3  12905  rpnnen1lem5  12907  rpge0  12929  rpneg  12948  iccsplit  13403  zltaddlt1le  13423  difelfznle  13556  fvffz0  13560  elfzouz2  13588  elfzo0le  13617  fzostep1  13689  fllep1  13707  fracle1  13709  expgt1  14007  expnbnd  14136  expnlbnd2  14138  faclbnd  14191  swrdnd0  14546  swrdsbslen  14553  swrdspsleq  14554  pfxccat3  14623  swrdccat  14624  repswswrd  14673  resqrex  15136  sqrtgt0  15144  absmax  15215  eqsqrt2d  15254  rlim2lt  15380  mulcn2  15479  rlimo1  15500  o1rlimmul  15502  climbdd  15557  caucvgrlem  15558  supcvg  15742  efcllem  15961  sin01bnd  16068  cos01bnd  16069  sin01gt0  16073  cos01gt0  16074  absef  16080  efieq1re  16082  ruclem11  16123  nn0o  16266  pythagtriplem12  16699  pythagtriplem13  16700  pythagtriplem14  16701  pythagtriplem16  16703  pclem  16711  prmgaplem4  16927  cshwshashlem2  16970  isabvd  20282  met2ndci  23881  blcvx  24164  iocopnst  24306  nmoleub2a  24483  nmoleub2b  24484  nmhmcn  24486  iscmet3lem2  24659  caubl  24675  ivthlem2  24819  ovolicc2lem4  24887  ioombl1lem4  24928  ioovolcl  24937  volsup2  24972  itg2monolem1  25118  itg2gt0  25128  itg2cnlem1  25129  dvne0  25378  ftc1lem4  25406  dgrlt  25630  aalioulem5  25699  ulmbdd  25760  iblulm  25769  radcnvlem1  25775  abelthlem5  25797  abelthlem7  25800  sincosq1lem  25857  tangtx  25865  tanabsge  25866  sinq12ge0  25868  sineq0  25883  tanord  25897  logcj  25964  argregt0  25968  argrege0  25969  argimgt0  25970  logdmnrp  25999  logcnlem3  26002  logf1o2  26008  cxpsqrtlem  26060  abscxpbnd  26109  logreclem  26115  asinneg  26239  atanlogsublem  26268  atanlogsub  26269  rlimcnp  26318  xrlimcnp  26321  basellem8  26440  chtub  26563  bposlem9  26643  chebbnd1  26823  chtppilimlem1  26824  dchrvmasumiflem1  26852  mulog2sumlem2  26886  pntrmax  26915  pntibndlem2  26942  pntibndlem3  26943  pntlemf  26956  axlowdimlem16  27909  pthdlem1  28717  crctcshwlkn0lem3  28760  crctcshwlkn0lem5  28762  crctcshwlkn0lem7  28764  crctcshwlkn0  28769  nmblolbii  29744  ubthlem1  29815  bcsiALT  30124  nmbdoplbi  30969  nmcexi  30971  nmcoplbi  30973  lnconi  30978  nmbdfnlbi  30994  nmcfnlbi  30997  nmopcoi  31040  branmfn  31050  leopmul  31079  nmopleid  31084  esumcvg  32688  ballotlemfrceq  33131  sinccvglem  34263  opnrebl2  34796  ivthALT  34810  dnibndlem12  34955  poimirlem15  36096  poimirlem31  36112  ftc1cnnclem  36152  ftc1anclem5  36158  incsequz2  36211  nnubfi  36212  bfplem2  36285  60gcd7e1  40465  lcmineqlem10  40498  factwoffsmonot  40618  3cubeslem1  41010  pell14qrgap  41201  pellfundre  41207  pellfundlb  41210  reabsifneg  41911  reabsifnpos  41912  reabsifpos  41913  reabsifnneg  41914  stoweidlem17  44265  stoweidlem34  44282  wallispilem1  44313  sqrtnegnre  45546  2elfz2melfz  45557  elfzelfzlble  45560  subsubelfzo0  45565  requad01  45820  requad2  45822  bgoldbtbnd  46008  bgoldbachlt  46012  tgblthelfgott  46014  m1modmmod  46614  nnolog2flm1  46683  itsclc0yqsol  46857
  Copyright terms: Public domain W3C validator