Theorem ltle 10729

Description: 'Less than' implies 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
ltle	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Proof of Theorem ltle

Step	Hyp	Ref	Expression
1		orc 863	. 2 ⊢ (𝐴 < 𝐵 → (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵))
2		leloe 10727	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
3	1, 2	syl5ibr 248	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 < 𝐵 → 𝐴 ≤ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 843   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ℝcr 10536   < clt 10675   ≤ cle 10676

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461  ax-resscn 10594  ax-pre-lttri 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-er 8289  df-en 8510  df-dom 8511  df-sdom 8512  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681

This theorem is referenced by:  ltleletr  10733  letr  10734  letric  10740  ltlen  10741  ltlei  10762  ltled  10788  lt2add  11125  lep1  11481  lem1  11483  letrp1  11484  ltmul12a  11496  mulge0b  11510  lediv12a  11533  bndndx  11897  ltsubnn0  11949  uzind  12075  fnn0ind  12082  eluz2b2  12322  zmin  12345  rpnnen1lem2  12377  rpnnen1lem1  12378  rpnnen1lem3  12379  rpnnen1lem5  12381  rpge0  12403  rpneg  12422  iccsplit  12872  zltaddlt1le  12891  difelfznle  13022  fvffz0  13026  elfzouz2  13053  elfzo0le  13082  fzostep1  13154  fllep1  13172  fracle1  13174  expgt1  13468  expnbnd  13594  expnlbnd2  13596  faclbnd  13651  swrdnd0  14019  swrdsbslen  14026  swrdspsleq  14027  pfxccat3  14096  swrdccat  14097  repswswrd  14146  resqrex  14610  sqrtgt0  14618  absmax  14689  eqsqrt2d  14728  rlim2lt  14854  mulcn2  14952  rlimo1  14973  o1rlimmul  14975  climbdd  15028  caucvgrlem  15029  supcvg  15211  efcllem  15431  sin01bnd  15538  cos01bnd  15539  sin01gt0  15543  cos01gt0  15544  absef  15550  efieq1re  15552  ruclem11  15593  nn0o  15734  pythagtriplem12  16163  pythagtriplem13  16164  pythagtriplem14  16165  pythagtriplem16  16167  pclem  16175  prmgaplem4  16390  cshwshashlem2  16430  isabvd  19591  met2ndci  23132  blcvx  23406  iocopnst  23544  nmoleub2a  23721  nmoleub2b  23722  nmhmcn  23724  iscmet3lem2  23895  caubl  23911  ivthlem2  24053  ovolicc2lem4  24121  ioombl1lem4  24162  ioovolcl  24171  volsup2  24206  itg2monolem1  24351  itg2gt0  24361  itg2cnlem1  24362  dvne0  24608  ftc1lem4  24636  dgrlt  24856  aalioulem5  24925  ulmbdd  24986  iblulm  24995  radcnvlem1  25001  abelthlem5  25023  abelthlem7  25026  sincosq1lem  25083  tangtx  25091  tanabsge  25092  sinq12ge0  25094  sineq0  25109  tanord  25122  logcj  25189  argregt0  25193  argrege0  25194  argimgt0  25195  logdmnrp  25224  logcnlem3  25227  logf1o2  25233  cxpsqrtlem  25285  abscxpbnd  25334  logreclem  25340  asinneg  25464  atanlogsublem  25493  atanlogsub  25494  rlimcnp  25543  xrlimcnp  25546  basellem8  25665  chtub  25788  bposlem9  25868  chebbnd1  26048  chtppilimlem1  26049  dchrvmasumiflem1  26077  mulog2sumlem2  26111  pntrmax  26140  pntibndlem2  26167  pntibndlem3  26168  pntlemf  26181  axlowdimlem16  26743  pthdlem1  27547  crctcshwlkn0lem3  27590  crctcshwlkn0lem5  27592  crctcshwlkn0lem7  27594  crctcshwlkn0  27599  nmblolbii  28576  ubthlem1  28647  bcsiALT  28956  nmbdoplbi  29801  nmcexi  29803  nmcoplbi  29805  lnconi  29810  nmbdfnlbi  29826  nmcfnlbi  29829  nmopcoi  29872  branmfn  29882  leopmul  29911  nmopleid  29916  esumcvg  31345  ballotlemfrceq  31786  sinccvglem  32915  opnrebl2  33669  ivthALT  33683  dnibndlem12  33828  poimirlem15  34922  poimirlem31  34938  ftc1cnnclem  34980  ftc1anclem5  34986  incsequz2  35039  nnubfi  35040  bfplem2  35116  factwoffsmonot  39118  3cubeslem1  39301  pell14qrgap  39492  pellfundre  39498  pellfundlb  39501  stoweidlem17  42322  stoweidlem34  42339  wallispilem1  42370  leltletr  43513  sqrtnegnre  43527  2elfz2melfz  43538  elfzelfzlble  43541  subsubelfzo0  43546  requad01  43806  requad2  43808  bgoldbtbnd  43994  bgoldbachlt  43998  tgblthelfgott  44000  m1modmmod  44601  nnolog2flm1  44670  itsclc0yqsol  44771