Theorem lcmineqlem 40057

Description: The least common multiple inequality lemma, a central result for future use. Theorem 3.1 from https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf (Contributed by metakunt, 16-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem.2	⊢ (𝜑 → 7 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem	⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ 𝑁)
2		7re 12066	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
4		lcmineqlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnred 11988	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	3, 5	leloed 11118	. . 3 ⊢ (𝜑 → (7 ≤ 𝑁 ↔ (7 < 𝑁 ∨ 7 = 𝑁)))
7	4	nnzd 12424	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		7nn 12065	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ
9	8	nnzi 12344	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℤ
10		zltp1le 12370	. . . . . . . 8 ⊢ ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
11	9, 10	mpan 687	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
12	7, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
13		7p1e8 12122	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 1) = 8
14	13	breq1i 5086	. . . . . 6 ⊢ ((7 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁)
15	12, 14	bitrdi 287	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (7 < 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁))
16		8re 12069	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℝ)
18	17, 5	leloed 11118	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (8 ≤ 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
19	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
20		8p1e9 12123	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
21		8nn 12068	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
22	21	nnzi 12344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 ∈ ℤ
23		zltp1le 12370	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
24	22, 23	mpan 687	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
25	7, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
26	25	biimpd 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (8 < 𝑁 → (8 + 1) ≤ 𝑁))
27	26	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → (8 + 1) ≤ 𝑁)
28	20, 27	eqbrtrrid 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → 9 ≤ 𝑁)
29	19, 28	lcmineqlem23 40056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
30	29	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (8 < 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
31		2nn0 12250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
32		8nn0 12256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℕ0
33		5nn0 12253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℕ0
34		4nn0 12252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℕ0
35		6nn0 12254	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ0
36		0nn0 12248	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
37		2lt8 12170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 8
38		5lt10 12571	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 < ;10
39		6lt10 12570	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 < ;10
40	31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39	3decltc 12469	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;256 < ;;840
41		5nn 12059	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 5 ∈ ℕ
42	31, 41	decnncl 12456	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;25 ∈ ℕ
43	42	nnnn0i 12241	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
44		6nn 12062	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℕ
45	43, 44	decnncl 12456	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;256 ∈ ℕ
46	45	nnrei 11982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;256 ∈ ℝ
47		4nn 12056	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ ℕ
48	32, 47	decnncl 12456	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;84 ∈ ℕ
49	48	decnncl2 12460	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
50	49	nnrei 11982	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;840 ∈ ℝ
51	46, 50	ltlei 11097	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;;256 < ;;840 → ;;256 ≤ ;;840)
52	40, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;256 ≤ ;;840
53		2exp8 16788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑8) = ;;256
54		oveq2 7279	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 = 𝑁 → (2↑8) = (2↑𝑁))
55	53, 54	eqtr3id 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 = 𝑁 → ;;256 = (2↑𝑁))
56		lcm8un 40025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lcm‘(1...8)) = ;;840
57		oveq2 7279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8 = 𝑁 → (1...8) = (1...𝑁))
58	57	fveq2d 6775	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 = 𝑁 → (lcm‘(1...8)) = (lcm‘(1...𝑁)))
59	56, 58	eqtr3id 2794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 = 𝑁 → ;;840 = (lcm‘(1...𝑁)))
60	55, 59	breq12d 5092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 = 𝑁 → (;;256 ≤ ;;840 ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
61	52, 60	mpbii 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
62	61	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
63	62	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (8 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
64	30, 63	jaod 856	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
65	18, 64	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (8 ≤ 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
66	15, 65	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (7 < 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
67		1nn0 12249	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
68		1lt4 12149	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 4
69		2lt10 12574	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < ;10
70		8lt10 12568	. . . . . . . 8 ⊢ 8 < ;10
71	67, 34, 31, 31, 32, 36, 68, 69, 70	3decltc 12469	. . . . . . 7 ⊢ ;;128 < ;;420
72		2nn 12046	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
73	67, 72	decnncl 12456	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;12 ∈ ℕ
74	73	nnnn0i 12241	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
75	74, 21	decnncl 12456	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;128 ∈ ℕ
76	75	nnrei 11982	. . . . . . . 8 ⊢ ;;128 ∈ ℝ
77	34, 72	decnncl 12456	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ
78	77	decnncl2 12460	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
79	78	nnrei 11982	. . . . . . . 8 ⊢ ;;420 ∈ ℝ
80	76, 79	ltlei 11097	. . . . . . 7 ⊢ (;;128 < ;;420 → ;;128 ≤ ;;420)
81	71, 80	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ;;128 ≤ ;;420
82		2exp7 16787	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑7) = ;;128
83		oveq2 7279	. . . . . . . 8 ⊢ (7 = 𝑁 → (2↑7) = (2↑𝑁))
84	82, 83	eqtr3id 2794	. . . . . . 7 ⊢ (7 = 𝑁 → ;;128 = (2↑𝑁))
85		lcm7un 40024	. . . . . . . 8 ⊢ (lcm‘(1...7)) = ;;420
86		oveq2 7279	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 = 𝑁 → (1...7) = (1...𝑁))
87	86	fveq2d 6775	. . . . . . . 8 ⊢ (7 = 𝑁 → (lcm‘(1...7)) = (lcm‘(1...𝑁)))
88	85, 87	eqtr3id 2794	. . . . . . 7 ⊢ (7 = 𝑁 → ;;420 = (lcm‘(1...𝑁)))
89	84, 88	breq12d 5092	. . . . . 6 ⊢ (7 = 𝑁 → (;;128 ≤ ;;420 ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
90	81, 89	mpbii 232	. . . . 5 ⊢ (7 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
91	90	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (7 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
92	66, 91	jaod 856	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((7 < 𝑁 ∨ 7 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
93	6, 92	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝜑 → (7 ≤ 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
94	1, 93	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 844   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   class class class wbr 5079  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℝcr 10871  0cc0 10872  1c1 10873   + caddc 10875   < clt 11010   ≤ cle 11011  ℕcn 11973  2c2 12028  4c4 12030  5c5 12031  6c6 12032  7c7 12033  8c8 12034  9c9 12035  ℤcz 12319  ;cdc 12436  ...cfz 13238  ↑cexp 13780  lcmclcmf 16292

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cc 10192  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-symdif 4182  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-iin 4933  df-disj 5045  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-of 7527  df-ofr 7528  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-supp 7969  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-2o 8289  df-oadd 8292  df-omul 8293  df-er 8481  df-map 8600  df-pm 8601  df-ixp 8669  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-fsupp 9107  df-fi 9148  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-dju 9660  df-card 9698  df-acn 9701  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-q 12688  df-rp 12730  df-xneg 12847  df-xadd 12848  df-xmul 12849  df-ioo 13082  df-ioc 13083  df-ico 13084  df-icc 13085  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-fl 13510  df-mod 13588  df-seq 13720  df-exp 13781  df-fac 13986  df-bc 14015  df-hash 14043  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-limsup 15178  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-sum 15396  df-prod 15614  df-dvds 15962  df-gcd 16200  df-lcm 16293  df-lcmf 16294  df-prm 16375  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-sca 16976  df-vsca 16977  df-ip 16978  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-hom 16984  df-cco 16985  df-rest 17131  df-topn 17132  df-0g 17150  df-gsum 17151  df-topgen 17152  df-pt 17153  df-prds 17156  df-xrs 17211  df-qtop 17216  df-imas 17217  df-xps 17219  df-mre 17293  df-mrc 17294  df-acs 17296  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-mulg 18699  df-cntz 18921  df-cmn 19386  df-psmet 20587  df-xmet 20588  df-met 20589  df-bl 20590  df-mopn 20591  df-fbas 20592  df-fg 20593  df-cnfld 20596  df-top 22041  df-topon 22058  df-topsp 22080  df-bases 22094  df-cld 22168  df-ntr 22169  df-cls 22170  df-nei 22247  df-lp 22285  df-perf 22286  df-cn 22376  df-cnp 22377  df-haus 22464  df-cmp 22536  df-tx 22711  df-hmeo 22904  df-fil 22995  df-fm 23087  df-flim 23088  df-flf 23089  df-xms 23471  df-ms 23472  df-tms 23473  df-cncf 24039  df-ovol 24626  df-vol 24627  df-mbf 24781  df-itg1 24782  df-itg2 24783  df-ibl 24784  df-itg 24785  df-0p 24832  df-limc 25028  df-dv 25029

This theorem is referenced by:  aks4d1p2  40082