Theorem lcmineqlem 42633

Description: The least common multiple inequality lemma, a central result for future use. Theorem 3.1 from https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf (Contributed by metakunt, 16-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem.2	⊢ (𝜑 → 7 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem	⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ 𝑁)
2		7re 12308	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
4		lcmineqlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12222	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	3, 5	leloed 11323	. . 3 ⊢ (𝜑 → (7 ≤ 𝑁 ↔ (7 < 𝑁 ∨ 7 = 𝑁)))
7	4	nnzd 12591	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		7nn 12307	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ
9	8	nnzi 12592	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℤ
10		zltp1le 12618	. . . . . . . 8 ⊢ ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
11	9, 10	mpan 700	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
12	7, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
13		7p1e8 12363	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 1) = 8
14	13	breq1i 5106	. . . . . 6 ⊢ ((7 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁)
15	12, 14	bitrdi 289	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (7 < 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁))
16		8re 12311	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℝ)
18	17, 5	leloed 11323	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (8 ≤ 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
19	4	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
20		8p1e9 12364	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
21		8nn 12310	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
22	21	nnzi 12592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 ∈ ℤ
23		zltp1le 12618	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
24	22, 23	mpan 700	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
25	7, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
26	25	biimpd 231	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (8 < 𝑁 → (8 + 1) ≤ 𝑁))
27	26	imp 410	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → (8 + 1) ≤ 𝑁)
28	20, 27	eqbrtrrid 5135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → 9 ≤ 𝑁)
29	19, 28	lcmineqlem23 42632	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
30	29	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (8 < 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
31		2nn0 12495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
32		8nn0 12501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℕ0
33		5nn0 12498	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℕ0
34		4nn0 12497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℕ0
35		6nn0 12499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ0
36		0nn0 12493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
37		2lt8 12414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 8
38		5lt10 12826	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 < ;10
39		6lt10 12825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 < ;10
40	31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39	3decltc 12723	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;256 < ;;840
41		5nn 12301	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 5 ∈ ℕ
42	31, 41	decnncl 12709	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;25 ∈ ℕ
43	42	nnnn0i 12486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
44		6nn 12304	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℕ
45	43, 44	decnncl 12709	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;256 ∈ ℕ
46	45	nnrei 12216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;256 ∈ ℝ
47		4nn 12298	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ ℕ
48	32, 47	decnncl 12709	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;84 ∈ ℕ
49	48	decnncl2 12714	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
50	49	nnrei 12216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;840 ∈ ℝ
51	46, 50	ltlei 11302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;;256 < ;;840 → ;;256 ≤ ;;840)
52	40, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;256 ≤ ;;840
53		2exp8 17107	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑8) = ;;256
54		oveq2 7400	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 = 𝑁 → (2↑8) = (2↑𝑁))
55	53, 54	eqtr3id 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 = 𝑁 → ;;256 = (2↑𝑁))
56		lcm8un 42601	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lcm‘(1...8)) = ;;840
57		oveq2 7400	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8 = 𝑁 → (1...8) = (1...𝑁))
58	57	fveq2d 6867	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 = 𝑁 → (lcm‘(1...8)) = (lcm‘(1...𝑁)))
59	56, 58	eqtr3id 2810	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 = 𝑁 → ;;840 = (lcm‘(1...𝑁)))
60	55, 59	breq12d 5112	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 = 𝑁 → (;;256 ≤ ;;840 ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
61	52, 60	mpbii 235	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
62	61	adantl 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
63	62	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (8 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
64	30, 63	jaod 870	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
65	18, 64	sylbid 242	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (8 ≤ 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
66	15, 65	sylbid 242	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (7 < 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
67		1nn0 12494	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
68		1lt4 12393	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 4
69		2lt10 12829	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < ;10
70		8lt10 12823	. . . . . . . 8 ⊢ 8 < ;10
71	67, 34, 31, 31, 32, 36, 68, 69, 70	3decltc 12723	. . . . . . 7 ⊢ ;;128 < ;;420
72		2nn 12288	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
73	67, 72	decnncl 12709	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;12 ∈ ℕ
74	73	nnnn0i 12486	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
75	74, 21	decnncl 12709	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;128 ∈ ℕ
76	75	nnrei 12216	. . . . . . . 8 ⊢ ;;128 ∈ ℝ
77	34, 72	decnncl 12709	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ
78	77	decnncl2 12714	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
79	78	nnrei 12216	. . . . . . . 8 ⊢ ;;420 ∈ ℝ
80	76, 79	ltlei 11302	. . . . . . 7 ⊢ (;;128 < ;;420 → ;;128 ≤ ;;420)
81	71, 80	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ;;128 ≤ ;;420
82		2exp7 17106	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑7) = ;;128
83		oveq2 7400	. . . . . . . 8 ⊢ (7 = 𝑁 → (2↑7) = (2↑𝑁))
84	82, 83	eqtr3id 2810	. . . . . . 7 ⊢ (7 = 𝑁 → ;;128 = (2↑𝑁))
85		lcm7un 42600	. . . . . . . 8 ⊢ (lcm‘(1...7)) = ;;420
86		oveq2 7400	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 = 𝑁 → (1...7) = (1...𝑁))
87	86	fveq2d 6867	. . . . . . . 8 ⊢ (7 = 𝑁 → (lcm‘(1...7)) = (lcm‘(1...𝑁)))
88	85, 87	eqtr3id 2810	. . . . . . 7 ⊢ (7 = 𝑁 → ;;420 = (lcm‘(1...𝑁)))
89	84, 88	breq12d 5112	. . . . . 6 ⊢ (7 = 𝑁 → (;;128 ≤ ;;420 ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
90	81, 89	mpbii 235	. . . . 5 ⊢ (7 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
91	90	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (7 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
92	66, 91	jaod 870	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((7 < 𝑁 ∨ 7 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
93	6, 92	sylbid 242	. 2 ⊢ (𝜑 → (7 ≤ 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
94	1, 93	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∨ wo 858   = wceq 1559   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5099  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  ℝcr 11069  0cc0 11070  1c1 11071   + caddc 11073   < clt 11213   ≤ cle 11214  ℕcn 12207  2c2 12269  4c4 12271  5c5 12272  6c6 12273  7c7 12274  8c8 12275  9c9 12276  ℤcz 12565  ;cdc 12685  ...cfz 13509  ↑cexp 14071  lcmclcmf 16606

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-inf2 9593  ax-cc 10389  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147  ax-pre-sup 11148  ax-addf 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-symdif 4205  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-disj 5067  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-se 5599  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-isom 6526  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-of 7656  df-ofr 7657  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-2o 8433  df-oadd 8436  df-omul 8437  df-er 8673  df-map 8805  df-pm 8806  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9455  df-dju 9856  df-card 9894  df-acn 9897  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-div 11842  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-q 12947  df-rp 12991  df-xneg 13111  df-xadd 13112  df-xmul 13113  df-ioo 13350  df-ioc 13351  df-ico 13352  df-icc 13353  df-fz 13510  df-fzo 13657  df-fl 13799  df-mod 13877  df-seq 14012  df-exp 14072  df-fac 14284  df-bc 14313  df-hash 14341  df-cj 15109  df-re 15110  df-im 15111  df-sqrt 15245  df-abs 15246  df-limsup 15481  df-clim 15498  df-rlim 15499  df-sum 15697  df-prod 15917  df-dvds 16270  df-gcd 16512  df-lcm 16607  df-lcmf 16608  df-prm 16689  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-starv 17284  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-unif 17292  df-hom 17293  df-cco 17294  df-rest 17434  df-topn 17435  df-0g 17453  df-gsum 17454  df-topgen 17455  df-pt 17456  df-prds 17459  df-xrs 17515  df-qtop 17520  df-imas 17521  df-xps 17523  df-mre 17597  df-mrc 17598  df-acs 17600  df-mgm 18657  df-sgrp 18736  df-mnd 18752  df-submnd 18801  df-mulg 19093  df-cntz 19340  df-cmn 19805  df-psmet 21396  df-xmet 21397  df-met 21398  df-bl 21399  df-mopn 21400  df-fbas 21401  df-fg 21402  df-cnfld 21405  df-top 22934  df-topon 22951  df-topsp 22973  df-bases 22986  df-cld 23059  df-ntr 23060  df-cls 23061  df-nei 23138  df-lp 23176  df-perf 23177  df-cn 23267  df-cnp 23268  df-haus 23355  df-cmp 23427  df-tx 23602  df-hmeo 23795  df-fil 23886  df-fm 23978  df-flim 23979  df-flf 23980  df-xms 24360  df-ms 24361  df-tms 24362  df-cncf 24920  df-ovol 25506  df-vol 25507  df-mbf 25661  df-itg1 25662  df-itg2 25663  df-ibl 25664  df-itg 25665  df-0p 25712  df-limc 25908  df-dv 25909

This theorem is referenced by:  aks4d1p2  42658