Theorem lcmineqlem 41223

Description: The least common multiple inequality lemma, a central result for future use. Theorem 3.1 from https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf (Contributed by metakunt, 16-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem.2	⊢ (𝜑 → 7 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem	⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ 𝑁)
2		7re 12309	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
4		lcmineqlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12231	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	3, 5	leloed 11361	. . 3 ⊢ (𝜑 → (7 ≤ 𝑁 ↔ (7 < 𝑁 ∨ 7 = 𝑁)))
7	4	nnzd 12589	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		7nn 12308	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ
9	8	nnzi 12590	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℤ
10		zltp1le 12616	. . . . . . . 8 ⊢ ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
11	9, 10	mpan 686	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
12	7, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
13		7p1e8 12365	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 1) = 8
14	13	breq1i 5154	. . . . . 6 ⊢ ((7 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁)
15	12, 14	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (7 < 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁))
16		8re 12312	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℝ)
18	17, 5	leloed 11361	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (8 ≤ 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
19	4	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
20		8p1e9 12366	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
21		8nn 12311	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
22	21	nnzi 12590	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 ∈ ℤ
23		zltp1le 12616	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
24	22, 23	mpan 686	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
25	7, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
26	25	biimpd 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (8 < 𝑁 → (8 + 1) ≤ 𝑁))
27	26	imp 405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → (8 + 1) ≤ 𝑁)
28	20, 27	eqbrtrrid 5183	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → 9 ≤ 𝑁)
29	19, 28	lcmineqlem23 41222	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
30	29	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (8 < 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
31		2nn0 12493	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
32		8nn0 12499	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℕ0
33		5nn0 12496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℕ0
34		4nn0 12495	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℕ0
35		6nn0 12497	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ0
36		0nn0 12491	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
37		2lt8 12413	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 8
38		5lt10 12816	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 < ;10
39		6lt10 12815	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 < ;10
40	31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39	3decltc 12714	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;256 < ;;840
41		5nn 12302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 5 ∈ ℕ
42	31, 41	decnncl 12701	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;25 ∈ ℕ
43	42	nnnn0i 12484	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
44		6nn 12305	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℕ
45	43, 44	decnncl 12701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;256 ∈ ℕ
46	45	nnrei 12225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;256 ∈ ℝ
47		4nn 12299	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ ℕ
48	32, 47	decnncl 12701	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;84 ∈ ℕ
49	48	decnncl2 12705	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
50	49	nnrei 12225	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;840 ∈ ℝ
51	46, 50	ltlei 11340	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;;256 < ;;840 → ;;256 ≤ ;;840)
52	40, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;256 ≤ ;;840
53		2exp8 17026	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑8) = ;;256
54		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 = 𝑁 → (2↑8) = (2↑𝑁))
55	53, 54	eqtr3id 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 = 𝑁 → ;;256 = (2↑𝑁))
56		lcm8un 41191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lcm‘(1...8)) = ;;840
57		oveq2 7419	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8 = 𝑁 → (1...8) = (1...𝑁))
58	57	fveq2d 6894	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 = 𝑁 → (lcm‘(1...8)) = (lcm‘(1...𝑁)))
59	56, 58	eqtr3id 2784	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 = 𝑁 → ;;840 = (lcm‘(1...𝑁)))
60	55, 59	breq12d 5160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 = 𝑁 → (;;256 ≤ ;;840 ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
61	52, 60	mpbii 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
62	61	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
63	62	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (8 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
64	30, 63	jaod 855	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
65	18, 64	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (8 ≤ 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
66	15, 65	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (7 < 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
67		1nn0 12492	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
68		1lt4 12392	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 4
69		2lt10 12819	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < ;10
70		8lt10 12813	. . . . . . . 8 ⊢ 8 < ;10
71	67, 34, 31, 31, 32, 36, 68, 69, 70	3decltc 12714	. . . . . . 7 ⊢ ;;128 < ;;420
72		2nn 12289	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
73	67, 72	decnncl 12701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;12 ∈ ℕ
74	73	nnnn0i 12484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
75	74, 21	decnncl 12701	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;128 ∈ ℕ
76	75	nnrei 12225	. . . . . . . 8 ⊢ ;;128 ∈ ℝ
77	34, 72	decnncl 12701	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ
78	77	decnncl2 12705	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
79	78	nnrei 12225	. . . . . . . 8 ⊢ ;;420 ∈ ℝ
80	76, 79	ltlei 11340	. . . . . . 7 ⊢ (;;128 < ;;420 → ;;128 ≤ ;;420)
81	71, 80	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ;;128 ≤ ;;420
82		2exp7 17025	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑7) = ;;128
83		oveq2 7419	. . . . . . . 8 ⊢ (7 = 𝑁 → (2↑7) = (2↑𝑁))
84	82, 83	eqtr3id 2784	. . . . . . 7 ⊢ (7 = 𝑁 → ;;128 = (2↑𝑁))
85		lcm7un 41190	. . . . . . . 8 ⊢ (lcm‘(1...7)) = ;;420
86		oveq2 7419	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 = 𝑁 → (1...7) = (1...𝑁))
87	86	fveq2d 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (7 = 𝑁 → (lcm‘(1...7)) = (lcm‘(1...𝑁)))
88	85, 87	eqtr3id 2784	. . . . . . 7 ⊢ (7 = 𝑁 → ;;420 = (lcm‘(1...𝑁)))
89	84, 88	breq12d 5160	. . . . . 6 ⊢ (7 = 𝑁 → (;;128 ≤ ;;420 ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
90	81, 89	mpbii 232	. . . . 5 ⊢ (7 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
91	90	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (7 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
92	66, 91	jaod 855	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((7 < 𝑁 ∨ 7 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
93	6, 92	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝜑 → (7 ≤ 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
94	1, 93	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   + caddc 11115   < clt 11252   ≤ cle 11253  ℕcn 12216  2c2 12271  4c4 12273  5c5 12274  6c6 12275  7c7 12276  8c8 12277  9c9 12278  ℤcz 12562  ;cdc 12681  ...cfz 13488  ↑cexp 14031  lcmclcmf 16530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cc 10432  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-symdif 4241  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-oadd 8472  df-omul 8473  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-acn 9939  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xneg 13096  df-xadd 13097  df-xmul 13098  df-ioo 13332  df-ioc 13333  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-mod 13839  df-seq 13971  df-exp 14032  df-fac 14238  df-bc 14267  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-prod 15854  df-dvds 16202  df-gcd 16440  df-lcm 16531  df-lcmf 16532  df-prm 16613  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-starv 17216  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-unif 17224  df-hom 17225  df-cco 17226  df-rest 17372  df-topn 17373  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-topgen 17393  df-pt 17394  df-prds 17397  df-xrs 17452  df-qtop 17457  df-imas 17458  df-xps 17460  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18706  df-mulg 18987  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-psmet 21136  df-xmet 21137  df-met 21138  df-bl 21139  df-mopn 21140  df-fbas 21141  df-fg 21142  df-cnfld 21145  df-top 22616  df-topon 22633  df-topsp 22655  df-bases 22669  df-cld 22743  df-ntr 22744  df-cls 22745  df-nei 22822  df-lp 22860  df-perf 22861  df-cn 22951  df-cnp 22952  df-haus 23039  df-cmp 23111  df-tx 23286  df-hmeo 23479  df-fil 23570  df-fm 23662  df-flim 23663  df-flf 23664  df-xms 24046  df-ms 24047  df-tms 24048  df-cncf 24618  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369  df-itg2 25370  df-ibl 25371  df-itg 25372  df-0p 25419  df-limc 25615  df-dv 25616

This theorem is referenced by:  aks4d1p2  41248