Theorem lcmineqlem 42544

Description: The least common multiple inequality lemma, a central result for future use. Theorem 3.1 from https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf (Contributed by metakunt, 16-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem.2	⊢ (𝜑 → 7 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem	⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ 𝑁)
2		7re 12272	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
4		lcmineqlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12187	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	3, 5	leloed 11287	. . 3 ⊢ (𝜑 → (7 ≤ 𝑁 ↔ (7 < 𝑁 ∨ 7 = 𝑁)))
7	4	nnzd 12548	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		7nn 12271	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ
9	8	nnzi 12549	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℤ
10		zltp1le 12575	. . . . . . . 8 ⊢ ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
11	9, 10	mpan 696	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
12	7, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
13		7p1e8 12323	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 1) = 8
14	13	breq1i 5086	. . . . . 6 ⊢ ((7 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁)
15	12, 14	bitrdi 288	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (7 < 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁))
16		8re 12275	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℝ)
18	17, 5	leloed 11287	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (8 ≤ 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
19	4	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
20		8p1e9 12324	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
21		8nn 12274	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
22	21	nnzi 12549	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 ∈ ℤ
23		zltp1le 12575	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
24	22, 23	mpan 696	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
25	7, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
26	25	biimpd 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (8 < 𝑁 → (8 + 1) ≤ 𝑁))
27	26	imp 407	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → (8 + 1) ≤ 𝑁)
28	20, 27	eqbrtrrid 5115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → 9 ≤ 𝑁)
29	19, 28	lcmineqlem23 42543	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
30	29	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (8 < 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
31		2nn0 12452	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
32		8nn0 12458	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℕ0
33		5nn0 12455	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℕ0
34		4nn0 12454	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℕ0
35		6nn0 12456	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ0
36		0nn0 12450	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
37		2lt8 12371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 8
38		5lt10 12777	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 < ;10
39		6lt10 12776	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 < ;10
40	31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39	3decltc 12675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;256 < ;;840
41		5nn 12265	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 5 ∈ ℕ
42	31, 41	decnncl 12662	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;25 ∈ ℕ
43	42	nnnn0i 12443	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
44		6nn 12268	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℕ
45	43, 44	decnncl 12662	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;256 ∈ ℕ
46	45	nnrei 12181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;256 ∈ ℝ
47		4nn 12262	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ ℕ
48	32, 47	decnncl 12662	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;84 ∈ ℕ
49	48	decnncl2 12666	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
50	49	nnrei 12181	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;840 ∈ ℝ
51	46, 50	ltlei 11266	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;;256 < ;;840 → ;;256 ≤ ;;840)
52	40, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;256 ≤ ;;840
53		2exp8 17057	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑8) = ;;256
54		oveq2 7371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 = 𝑁 → (2↑8) = (2↑𝑁))
55	53, 54	eqtr3id 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 = 𝑁 → ;;256 = (2↑𝑁))
56		lcm8un 42512	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lcm‘(1...8)) = ;;840
57		oveq2 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8 = 𝑁 → (1...8) = (1...𝑁))
58	57	fveq2d 6838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 = 𝑁 → (lcm‘(1...8)) = (lcm‘(1...𝑁)))
59	56, 58	eqtr3id 2789	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 = 𝑁 → ;;840 = (lcm‘(1...𝑁)))
60	55, 59	breq12d 5092	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 = 𝑁 → (;;256 ≤ ;;840 ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
61	52, 60	mpbii 234	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
62	61	adantl 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
63	62	ex 413	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (8 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
64	30, 63	jaod 865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
65	18, 64	sylbid 241	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (8 ≤ 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
66	15, 65	sylbid 241	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (7 < 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
67		1nn0 12451	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
68		1lt4 12350	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 4
69		2lt10 12780	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < ;10
70		8lt10 12774	. . . . . . . 8 ⊢ 8 < ;10
71	67, 34, 31, 31, 32, 36, 68, 69, 70	3decltc 12675	. . . . . . 7 ⊢ ;;128 < ;;420
72		2nn 12252	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
73	67, 72	decnncl 12662	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;12 ∈ ℕ
74	73	nnnn0i 12443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
75	74, 21	decnncl 12662	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;128 ∈ ℕ
76	75	nnrei 12181	. . . . . . . 8 ⊢ ;;128 ∈ ℝ
77	34, 72	decnncl 12662	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ
78	77	decnncl2 12666	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
79	78	nnrei 12181	. . . . . . . 8 ⊢ ;;420 ∈ ℝ
80	76, 79	ltlei 11266	. . . . . . 7 ⊢ (;;128 < ;;420 → ;;128 ≤ ;;420)
81	71, 80	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ;;128 ≤ ;;420
82		2exp7 17056	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑7) = ;;128
83		oveq2 7371	. . . . . . . 8 ⊢ (7 = 𝑁 → (2↑7) = (2↑𝑁))
84	82, 83	eqtr3id 2789	. . . . . . 7 ⊢ (7 = 𝑁 → ;;128 = (2↑𝑁))
85		lcm7un 42511	. . . . . . . 8 ⊢ (lcm‘(1...7)) = ;;420
86		oveq2 7371	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 = 𝑁 → (1...7) = (1...𝑁))
87	86	fveq2d 6838	. . . . . . . 8 ⊢ (7 = 𝑁 → (lcm‘(1...7)) = (lcm‘(1...𝑁)))
88	85, 87	eqtr3id 2789	. . . . . . 7 ⊢ (7 = 𝑁 → ;;420 = (lcm‘(1...𝑁)))
89	84, 88	breq12d 5092	. . . . . 6 ⊢ (7 = 𝑁 → (;;128 ≤ ;;420 ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
90	81, 89	mpbii 234	. . . . 5 ⊢ (7 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
91	90	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (7 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
92	66, 91	jaod 865	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((7 < 𝑁 ∨ 7 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
93	6, 92	sylbid 241	. 2 ⊢ (𝜑 → (7 ≤ 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
94	1, 93	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∨ wo 853   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   class class class wbr 5079  ‘cfv 6492  (class class class)co 7363  ℝcr 11035  0cc0 11036  1c1 11037   + caddc 11039   < clt 11177   ≤ cle 11178  ℕcn 12172  2c2 12234  4c4 12236  5c5 12237  6c6 12238  7c7 12239  8c8 12240  9c9 12241  ℤcz 12522  ;cdc 12642  ...cfz 13459  ↑cexp 14021  lcmclcmf 16556

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-inf2 9560  ax-cc 10355  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113  ax-pre-sup 11114  ax-addf 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-symdif 4188  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-int 4885  df-iun 4930  df-iin 4931  df-disj 5047  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-se 5579  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-of 7627  df-ofr 7628  df-om 7814  df-1st 7938  df-2nd 7939  df-supp 8108  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-1o 8402  df-2o 8403  df-oadd 8406  df-omul 8407  df-er 8640  df-map 8772  df-pm 8773  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9272  df-fi 9321  df-sup 9352  df-inf 9353  df-oi 9422  df-dju 9823  df-card 9861  df-acn 9864  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-div 11806  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-9 12249  df-n0 12436  df-z 12523  df-dec 12643  df-uz 12787  df-q 12897  df-rp 12941  df-xneg 13061  df-xadd 13062  df-xmul 13063  df-ioo 13300  df-ioc 13301  df-ico 13302  df-icc 13303  df-fz 13460  df-fzo 13607  df-fl 13749  df-mod 13827  df-seq 13962  df-exp 14022  df-fac 14234  df-bc 14263  df-hash 14291  df-cj 15059  df-re 15060  df-im 15061  df-sqrt 15195  df-abs 15196  df-limsup 15431  df-clim 15448  df-rlim 15449  df-sum 15647  df-prod 15867  df-dvds 16220  df-gcd 16462  df-lcm 16557  df-lcmf 16558  df-prm 16639  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-ress 17199  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-starv 17233  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-tset 17237  df-ple 17238  df-ds 17240  df-unif 17241  df-hom 17242  df-cco 17243  df-rest 17383  df-topn 17384  df-0g 17402  df-gsum 17403  df-topgen 17404  df-pt 17405  df-prds 17408  df-xrs 17464  df-qtop 17469  df-imas 17470  df-xps 17472  df-mre 17546  df-mrc 17547  df-acs 17549  df-mgm 18606  df-sgrp 18685  df-mnd 18701  df-submnd 18750  df-mulg 19042  df-cntz 19290  df-cmn 19755  df-psmet 21346  df-xmet 21347  df-met 21348  df-bl 21349  df-mopn 21350  df-fbas 21351  df-fg 21352  df-cnfld 21355  df-top 22884  df-topon 22901  df-topsp 22923  df-bases 22936  df-cld 23009  df-ntr 23010  df-cls 23011  df-nei 23088  df-lp 23126  df-perf 23127  df-cn 23217  df-cnp 23218  df-haus 23305  df-cmp 23377  df-tx 23552  df-hmeo 23745  df-fil 23836  df-fm 23928  df-flim 23929  df-flf 23930  df-xms 24310  df-ms 24311  df-tms 24312  df-cncf 24870  df-ovol 25456  df-vol 25457  df-mbf 25611  df-itg1 25612  df-itg2 25613  df-ibl 25614  df-itg 25615  df-0p 25662  df-limc 25858  df-dv 25859

This theorem is referenced by:  aks4d1p2  42569