Mathbox for metakunt < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem 39289
 Description: The least common multiple inequality lemma, a central result for future use. Theorem 3.1 from https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf (Contributed by metakunt, 16-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem.2 (𝜑 → 7 ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem.2 . 2 (𝜑 → 7 ≤ 𝑁)
2 7re 11730 . . . . 5 7 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
4 lcmineqlem.1 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnred 11652 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
63, 5leloed 10782 . . 3 (𝜑 → (7 ≤ 𝑁 ↔ (7 < 𝑁 ∨ 7 = 𝑁)))
74nnzd 12086 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
8 7nn 11729 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ
98nnzi 12006 . . . . . . . 8 7 ∈ ℤ
10 zltp1le 12032 . . . . . . . 8 ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
119, 10mpan 689 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
127, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
13 7p1e8 11786 . . . . . . 7 (7 + 1) = 8
1413breq1i 5060 . . . . . 6 ((7 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁)
1512, 14syl6bb 290 . . . . 5 (𝜑 → (7 < 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁))
16 8re 11733 . . . . . . . 8 8 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 8 ∈ ℝ)
1817, 5leloed 10782 . . . . . 6 (𝜑 → (8 ≤ 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
194adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
20 8p1e9 11787 . . . . . . . . . 10 (8 + 1) = 9
21 8nn 11732 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ ℕ
2221nnzi 12006 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ ℤ
23 zltp1le 12032 . . . . . . . . . . . . . 14 ((8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
2422, 23mpan 689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
257, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
2625biimpd 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (8 < 𝑁 → (8 + 1) ≤ 𝑁))
2726imp 410 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → (8 + 1) ≤ 𝑁)
2820, 27eqbrtrrid 5089 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → 9 ≤ 𝑁)
2919, 28lcmineqlem23 39288 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
3029ex 416 . . . . . . 7 (𝜑 → (8 < 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
31 2nn0 11914 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
32 8nn0 11920 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℕ0
33 5nn0 11917 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℕ0
34 4nn0 11916 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ0
35 6nn0 11918 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℕ0
36 0nn0 11912 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℕ0
37 2lt8 11834 . . . . . . . . . . . 12 2 < 8
38 5lt10 12233 . . . . . . . . . . . 12 5 < 10
39 6lt10 12232 . . . . . . . . . . . 12 6 < 10
4031, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 393decltc 12131 . . . . . . . . . . 11 256 < 840
41 5nn 11723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ ℕ
4231, 41decnncl 12118 . . . . . . . . . . . . . . 15 25 ∈ ℕ
4342nnnn0i 11905 . . . . . . . . . . . . . 14 25 ∈ ℕ0
44 6nn 11726 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℕ
4543, 44decnncl 12118 . . . . . . . . . . . . 13 256 ∈ ℕ
4645nnrei 11646 . . . . . . . . . . . 12 256 ∈ ℝ
47 4nn 11720 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ∈ ℕ
4832, 47decnncl 12118 . . . . . . . . . . . . . 14 84 ∈ ℕ
4948decnncl2 12122 . . . . . . . . . . . . 13 840 ∈ ℕ
5049nnrei 11646 . . . . . . . . . . . 12 840 ∈ ℝ
5146, 50ltlei 10761 . . . . . . . . . . 11 (256 < 840 → 256 ≤ 840)
5240, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 256 ≤ 840
53 2exp8 16426 . . . . . . . . . . . 12 (2↑8) = 256
54 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . 12 (8 = 𝑁 → (2↑8) = (2↑𝑁))
5553, 54syl5eqr 2873 . . . . . . . . . . 11 (8 = 𝑁256 = (2↑𝑁))
56 lcm8un 39257 . . . . . . . . . . . 12 (lcm‘(1...8)) = 840
57 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . 13 (8 = 𝑁 → (1...8) = (1...𝑁))
5857fveq2d 6666 . . . . . . . . . . . 12 (8 = 𝑁 → (lcm‘(1...8)) = (lcm‘(1...𝑁)))
5956, 58syl5eqr 2873 . . . . . . . . . . 11 (8 = 𝑁840 = (lcm‘(1...𝑁)))
6055, 59breq12d 5066 . . . . . . . . . 10 (8 = 𝑁 → (256 ≤ 840 ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
6152, 60mpbii 236 . . . . . . . . 9 (8 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
6261adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 8 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
6362ex 416 . . . . . . 7 (𝜑 → (8 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
6430, 63jaod 856 . . . . . 6 (𝜑 → ((8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
6518, 64sylbid 243 . . . . 5 (𝜑 → (8 ≤ 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
6615, 65sylbid 243 . . . 4 (𝜑 → (7 < 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
67 1nn0 11913 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
68 1lt4 11813 . . . . . . . 8 1 < 4
69 2lt10 12236 . . . . . . . 8 2 < 10
70 8lt10 12230 . . . . . . . 8 8 < 10
7167, 34, 31, 31, 32, 36, 68, 69, 703decltc 12131 . . . . . . 7 128 < 420
72 2nn 11710 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
7367, 72decnncl 12118 . . . . . . . . . . 11 12 ∈ ℕ
7473nnnn0i 11905 . . . . . . . . . 10 12 ∈ ℕ0
7574, 21decnncl 12118 . . . . . . . . 9 128 ∈ ℕ
7675nnrei 11646 . . . . . . . 8 128 ∈ ℝ
7734, 72decnncl 12118 . . . . . . . . . 10 42 ∈ ℕ
7877decnncl2 12122 . . . . . . . . 9 420 ∈ ℕ
7978nnrei 11646 . . . . . . . 8 420 ∈ ℝ
8076, 79ltlei 10761 . . . . . . 7 (128 < 420 → 128 ≤ 420)
8171, 80ax-mp 5 . . . . . 6 128 ≤ 420
82 2exp7 16425 . . . . . . . 8 (2↑7) = 128
83 oveq2 7158 . . . . . . . 8 (7 = 𝑁 → (2↑7) = (2↑𝑁))
8482, 83syl5eqr 2873 . . . . . . 7 (7 = 𝑁128 = (2↑𝑁))
85 lcm7un 39256 . . . . . . . 8 (lcm‘(1...7)) = 420
86 oveq2 7158 . . . . . . . . 9 (7 = 𝑁 → (1...7) = (1...𝑁))
8786fveq2d 6666 . . . . . . . 8 (7 = 𝑁 → (lcm‘(1...7)) = (lcm‘(1...𝑁)))
8885, 87syl5eqr 2873 . . . . . . 7 (7 = 𝑁420 = (lcm‘(1...𝑁)))
8984, 88breq12d 5066 . . . . . 6 (7 = 𝑁 → (128 ≤ 420 ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
9081, 89mpbii 236 . . . . 5 (7 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
9190a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (7 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
9266, 91jaod 856 . . 3 (𝜑 → ((7 < 𝑁 ∨ 7 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
936, 92sylbid 243 . 2 (𝜑 → (7 ≤ 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
941, 93mpd 15 1 (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844   = wceq 1538   ∈ wcel 2115   class class class wbr 5053  ‘cfv 6344  (class class class)co 7150  ℝcr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   < clt 10674   ≤ cle 10675  ℕcn 11637  2c2 11692  4c4 11694  5c5 11695  6c6 11696  7c7 11697  8c8 11698  9c9 11699  ℤcz 11981  ;cdc 12098  ...cfz 12897  ↑cexp 13437  lcmclcmf 15934 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-inf2 9102  ax-cc 9856  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-symdif 4205  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7404  df-ofr 7405  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7828  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-oadd 8103  df-omul 8104  df-er 8286  df-map 8405  df-pm 8406  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8832  df-fi 8873  df-sup 8904  df-inf 8905  df-oi 8972  df-dju 9328  df-card 9366  df-acn 9369  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-q 12349  df-rp 12390  df-xneg 12507  df-xadd 12508  df-xmul 12509  df-ioo 12742  df-ioc 12743  df-ico 12744  df-icc 12745  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-fl 13169  df-mod 13245  df-seq 13377  df-exp 13438  df-fac 13642  df-bc 13671  df-hash 13699  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-limsup 14831  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046  df-prod 15263  df-dvds 15611  df-gcd 15845  df-lcm 15935  df-lcmf 15936  df-prm 16017  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-prds 16724  df-xrs 16778  df-qtop 16783  df-imas 16784  df-xps 16786  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-mulg 18228  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-fbas 20545  df-fg 20546  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-lp 21747  df-perf 21748  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-haus 21926  df-cmp 21998  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-cncf 23489  df-ovol 24074  df-vol 24075  df-mbf 24229  df-itg1 24230  df-itg2 24231  df-ibl 24232  df-itg 24233  df-0p 24280  df-limc 24475  df-dv 24476 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator