Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem 40538
Description: The least common multiple inequality lemma, a central result for future use. Theorem 3.1 from https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf (Contributed by metakunt, 16-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem.2 (𝜑 → 7 ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem.2 . 2 (𝜑 → 7 ≤ 𝑁)
2 7re 12253 . . . . 5 7 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
4 lcmineqlem.1 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnred 12175 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
63, 5leloed 11305 . . 3 (𝜑 → (7 ≤ 𝑁 ↔ (7 < 𝑁 ∨ 7 = 𝑁)))
74nnzd 12533 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
8 7nn 12252 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ
98nnzi 12534 . . . . . . . 8 7 ∈ ℤ
10 zltp1le 12560 . . . . . . . 8 ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
119, 10mpan 689 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
127, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
13 7p1e8 12309 . . . . . . 7 (7 + 1) = 8
1413breq1i 5117 . . . . . 6 ((7 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁)
1512, 14bitrdi 287 . . . . 5 (𝜑 → (7 < 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁))
16 8re 12256 . . . . . . . 8 8 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 8 ∈ ℝ)
1817, 5leloed 11305 . . . . . 6 (𝜑 → (8 ≤ 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
194adantr 482 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
20 8p1e9 12310 . . . . . . . . . 10 (8 + 1) = 9
21 8nn 12255 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ ℕ
2221nnzi 12534 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ ℤ
23 zltp1le 12560 . . . . . . . . . . . . . 14 ((8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
2422, 23mpan 689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
257, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
2625biimpd 228 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (8 < 𝑁 → (8 + 1) ≤ 𝑁))
2726imp 408 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → (8 + 1) ≤ 𝑁)
2820, 27eqbrtrrid 5146 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → 9 ≤ 𝑁)
2919, 28lcmineqlem23 40537 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
3029ex 414 . . . . . . 7 (𝜑 → (8 < 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
31 2nn0 12437 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
32 8nn0 12443 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℕ0
33 5nn0 12440 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℕ0
34 4nn0 12439 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ0
35 6nn0 12441 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℕ0
36 0nn0 12435 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℕ0
37 2lt8 12357 . . . . . . . . . . . 12 2 < 8
38 5lt10 12760 . . . . . . . . . . . 12 5 < 10
39 6lt10 12759 . . . . . . . . . . . 12 6 < 10
4031, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 393decltc 12658 . . . . . . . . . . 11 256 < 840
41 5nn 12246 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ ℕ
4231, 41decnncl 12645 . . . . . . . . . . . . . . 15 25 ∈ ℕ
4342nnnn0i 12428 . . . . . . . . . . . . . 14 25 ∈ ℕ0
44 6nn 12249 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℕ
4543, 44decnncl 12645 . . . . . . . . . . . . 13 256 ∈ ℕ
4645nnrei 12169 . . . . . . . . . . . 12 256 ∈ ℝ
47 4nn 12243 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ∈ ℕ
4832, 47decnncl 12645 . . . . . . . . . . . . . 14 84 ∈ ℕ
4948decnncl2 12649 . . . . . . . . . . . . 13 840 ∈ ℕ
5049nnrei 12169 . . . . . . . . . . . 12 840 ∈ ℝ
5146, 50ltlei 11284 . . . . . . . . . . 11 (256 < 840 → 256 ≤ 840)
5240, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 256 ≤ 840
53 2exp8 16968 . . . . . . . . . . . 12 (2↑8) = 256
54 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . 12 (8 = 𝑁 → (2↑8) = (2↑𝑁))
5553, 54eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . 11 (8 = 𝑁256 = (2↑𝑁))
56 lcm8un 40506 . . . . . . . . . . . 12 (lcm‘(1...8)) = 840
57 oveq2 7370 . . . . . . . . . . . . 13 (8 = 𝑁 → (1...8) = (1...𝑁))
5857fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . 12 (8 = 𝑁 → (lcm‘(1...8)) = (lcm‘(1...𝑁)))
5956, 58eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . 11 (8 = 𝑁840 = (lcm‘(1...𝑁)))
6055, 59breq12d 5123 . . . . . . . . . 10 (8 = 𝑁 → (256 ≤ 840 ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
6152, 60mpbii 232 . . . . . . . . 9 (8 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
6261adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 8 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
6362ex 414 . . . . . . 7 (𝜑 → (8 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
6430, 63jaod 858 . . . . . 6 (𝜑 → ((8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
6518, 64sylbid 239 . . . . 5 (𝜑 → (8 ≤ 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
6615, 65sylbid 239 . . . 4 (𝜑 → (7 < 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
67 1nn0 12436 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
68 1lt4 12336 . . . . . . . 8 1 < 4
69 2lt10 12763 . . . . . . . 8 2 < 10
70 8lt10 12757 . . . . . . . 8 8 < 10
7167, 34, 31, 31, 32, 36, 68, 69, 703decltc 12658 . . . . . . 7 128 < 420
72 2nn 12233 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
7367, 72decnncl 12645 . . . . . . . . . . 11 12 ∈ ℕ
7473nnnn0i 12428 . . . . . . . . . 10 12 ∈ ℕ0
7574, 21decnncl 12645 . . . . . . . . 9 128 ∈ ℕ
7675nnrei 12169 . . . . . . . 8 128 ∈ ℝ
7734, 72decnncl 12645 . . . . . . . . . 10 42 ∈ ℕ
7877decnncl2 12649 . . . . . . . . 9 420 ∈ ℕ
7978nnrei 12169 . . . . . . . 8 420 ∈ ℝ
8076, 79ltlei 11284 . . . . . . 7 (128 < 420 → 128 ≤ 420)
8171, 80ax-mp 5 . . . . . 6 128 ≤ 420
82 2exp7 16967 . . . . . . . 8 (2↑7) = 128
83 oveq2 7370 . . . . . . . 8 (7 = 𝑁 → (2↑7) = (2↑𝑁))
8482, 83eqtr3id 2791 . . . . . . 7 (7 = 𝑁128 = (2↑𝑁))
85 lcm7un 40505 . . . . . . . 8 (lcm‘(1...7)) = 420
86 oveq2 7370 . . . . . . . . 9 (7 = 𝑁 → (1...7) = (1...𝑁))
8786fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (7 = 𝑁 → (lcm‘(1...7)) = (lcm‘(1...𝑁)))
8885, 87eqtr3id 2791 . . . . . . 7 (7 = 𝑁420 = (lcm‘(1...𝑁)))
8984, 88breq12d 5123 . . . . . 6 (7 = 𝑁 → (128 ≤ 420 ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
9081, 89mpbii 232 . . . . 5 (7 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
9190a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (7 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
9266, 91jaod 858 . . 3 (𝜑 → ((7 < 𝑁 ∨ 7 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
936, 92sylbid 239 . 2 (𝜑 → (7 ≤ 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
941, 93mpd 15 1 (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107   class class class wbr 5110  cfv 6501  (class class class)co 7362  cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   < clt 11196  cle 11197  cn 12160  2c2 12215  4c4 12217  5c5 12218  6c6 12219  7c7 12220  8c8 12221  9c9 12222  cz 12506  cdc 12625  ...cfz 13431  cexp 13974  lcmclcmf 16472
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cc 10378  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-symdif 4207  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-ofr 7623  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-prod 15796  df-dvds 16144  df-gcd 16382  df-lcm 16473  df-lcmf 16474  df-prm 16555  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-submnd 18609  df-mulg 18880  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-cmp 22754  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-cncf 24257  df-ovol 24844  df-vol 24845  df-mbf 24999  df-itg1 25000  df-itg2 25001  df-ibl 25002  df-itg 25003  df-0p 25050  df-limc 25246  df-dv 25247
This theorem is referenced by:  aks4d1p2  40563
  Copyright terms: Public domain W3C validator