Theorem lcmineqlem 41751

Description: The least common multiple inequality lemma, a central result for future use. Theorem 3.1 from https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf (Contributed by metakunt, 16-May-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcmineqlem.1	⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem.2	⊢ (𝜑 → 7 ≤ 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
lcmineqlem	⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcmineqlem.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 7 ≤ 𝑁)
2		7re 12357	. . . . 5 ⊢ 7 ∈ ℝ
3	2	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
4		lcmineqlem.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
5	4	nnred 12279	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℝ)
6	3, 5	leloed 11407	. . 3 ⊢ (𝜑 → (7 ≤ 𝑁 ↔ (7 < 𝑁 ∨ 7 = 𝑁)))
7	4	nnzd 12637	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℤ)
8		7nn 12356	. . . . . . . . 9 ⊢ 7 ∈ ℕ
9	8	nnzi 12638	. . . . . . . 8 ⊢ 7 ∈ ℤ
10		zltp1le 12664	. . . . . . . 8 ⊢ ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
11	9, 10	mpan 688	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
12	7, 11	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
13		7p1e8 12413	. . . . . . 7 ⊢ (7 + 1) = 8
14	13	breq1i 5160	. . . . . 6 ⊢ ((7 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁)
15	12, 14	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (7 < 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁))
16		8re 12360	. . . . . . . 8 ⊢ 8 ∈ ℝ
17	16	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 8 ∈ ℝ)
18	17, 5	leloed 11407	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (8 ≤ 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
19	4	adantr 479	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
20		8p1e9 12414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 + 1) = 9
21		8nn 12359	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 8 ∈ ℕ
22	21	nnzi 12638	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 8 ∈ ℤ
23		zltp1le 12664	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
24	22, 23	mpan 688	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
25	7, 24	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
26	25	biimpd 228	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (8 < 𝑁 → (8 + 1) ≤ 𝑁))
27	26	imp 405	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → (8 + 1) ≤ 𝑁)
28	20, 27	eqbrtrrid 5189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → 9 ≤ 𝑁)
29	19, 28	lcmineqlem23 41750	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
30	29	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (8 < 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
31		2nn0 12541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ0
32		8nn0 12547	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 8 ∈ ℕ0
33		5nn0 12544	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 ∈ ℕ0
34		4nn0 12543	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 4 ∈ ℕ0
35		6nn0 12545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 ∈ ℕ0
36		0nn0 12539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℕ0
37		2lt8 12461	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 < 8
38		5lt10 12864	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 5 < ;10
39		6lt10 12863	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 6 < ;10
40	31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 39	3decltc 12762	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;;256 < ;;840
41		5nn 12350	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 5 ∈ ℕ
42	31, 41	decnncl 12749	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ;25 ∈ ℕ
43	42	nnnn0i 12532	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;25 ∈ ℕ0
44		6nn 12353	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 6 ∈ ℕ
45	43, 44	decnncl 12749	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;256 ∈ ℕ
46	45	nnrei 12273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;256 ∈ ℝ
47		4nn 12347	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 4 ∈ ℕ
48	32, 47	decnncl 12749	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ;84 ∈ ℕ
49	48	decnncl2 12753	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ;;840 ∈ ℕ
50	49	nnrei 12273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ;;840 ∈ ℝ
51	46, 50	ltlei 11386	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (;;256 < ;;840 → ;;256 ≤ ;;840)
52	40, 51	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;;256 ≤ ;;840
53		2exp8 17091	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2↑8) = ;;256
54		oveq2 7432	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 = 𝑁 → (2↑8) = (2↑𝑁))
55	53, 54	eqtr3id 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 = 𝑁 → ;;256 = (2↑𝑁))
56		lcm8un 41719	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (lcm‘(1...8)) = ;;840
57		oveq2 7432	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (8 = 𝑁 → (1...8) = (1...𝑁))
58	57	fveq2d 6905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 = 𝑁 → (lcm‘(1...8)) = (lcm‘(1...𝑁)))
59	56, 58	eqtr3id 2780	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 = 𝑁 → ;;840 = (lcm‘(1...𝑁)))
60	55, 59	breq12d 5166	. . . . . . . . . 10 ⊢ (8 = 𝑁 → (;;256 ≤ ;;840 ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
61	52, 60	mpbii 232	. . . . . . . . 9 ⊢ (8 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
62	61	adantl 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 8 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
63	62	ex 411	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (8 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
64	30, 63	jaod 857	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
65	18, 64	sylbid 239	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (8 ≤ 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
66	15, 65	sylbid 239	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (7 < 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
67		1nn0 12540	. . . . . . . 8 ⊢ 1 ∈ ℕ0
68		1lt4 12440	. . . . . . . 8 ⊢ 1 < 4
69		2lt10 12867	. . . . . . . 8 ⊢ 2 < ;10
70		8lt10 12861	. . . . . . . 8 ⊢ 8 < ;10
71	67, 34, 31, 31, 32, 36, 68, 69, 70	3decltc 12762	. . . . . . 7 ⊢ ;;128 < ;;420
72		2nn 12337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 2 ∈ ℕ
73	67, 72	decnncl 12749	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ;12 ∈ ℕ
74	73	nnnn0i 12532	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;12 ∈ ℕ0
75	74, 21	decnncl 12749	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;128 ∈ ℕ
76	75	nnrei 12273	. . . . . . . 8 ⊢ ;;128 ∈ ℝ
77	34, 72	decnncl 12749	. . . . . . . . . 10 ⊢ ;42 ∈ ℕ
78	77	decnncl2 12753	. . . . . . . . 9 ⊢ ;;420 ∈ ℕ
79	78	nnrei 12273	. . . . . . . 8 ⊢ ;;420 ∈ ℝ
80	76, 79	ltlei 11386	. . . . . . 7 ⊢ (;;128 < ;;420 → ;;128 ≤ ;;420)
81	71, 80	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ;;128 ≤ ;;420
82		2exp7 17090	. . . . . . . 8 ⊢ (2↑7) = ;;128
83		oveq2 7432	. . . . . . . 8 ⊢ (7 = 𝑁 → (2↑7) = (2↑𝑁))
84	82, 83	eqtr3id 2780	. . . . . . 7 ⊢ (7 = 𝑁 → ;;128 = (2↑𝑁))
85		lcm7un 41718	. . . . . . . 8 ⊢ (lcm‘(1...7)) = ;;420
86		oveq2 7432	. . . . . . . . 9 ⊢ (7 = 𝑁 → (1...7) = (1...𝑁))
87	86	fveq2d 6905	. . . . . . . 8 ⊢ (7 = 𝑁 → (lcm‘(1...7)) = (lcm‘(1...𝑁)))
88	85, 87	eqtr3id 2780	. . . . . . 7 ⊢ (7 = 𝑁 → ;;420 = (lcm‘(1...𝑁)))
89	84, 88	breq12d 5166	. . . . . 6 ⊢ (7 = 𝑁 → (;;128 ≤ ;;420 ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
90	81, 89	mpbii 232	. . . . 5 ⊢ (7 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
91	90	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (7 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
92	66, 91	jaod 857	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((7 < 𝑁 ∨ 7 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
93	6, 92	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝜑 → (7 ≤ 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
94	1, 93	mpd 15	1 ⊢ (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∨ wo 845   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5153  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  ℝcr 11157  0cc0 11158  1c1 11159   + caddc 11161   < clt 11298   ≤ cle 11299  ℕcn 12264  2c2 12319  4c4 12321  5c5 12322  6c6 12323  7c7 12324  8c8 12325  9c9 12326  ℤcz 12610  ;cdc 12729  ...cfz 13538  ↑cexp 14081  lcmclcmf 16590

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cc 10478  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236  ax-addf 11237

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-symdif 4244  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-tp 4638  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-iin 5004  df-disj 5119  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-ofr 7691  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8175  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-omul 8501  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-ixp 8927  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fsupp 9406  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-acn 9985  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12611  df-dec 12730  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-mod 13890  df-seq 14022  df-exp 14082  df-fac 14291  df-bc 14320  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-prod 15908  df-dvds 16257  df-gcd 16495  df-lcm 16591  df-lcmf 16592  df-prm 16673  df-struct 17149  df-sets 17166  df-slot 17184  df-ndx 17196  df-base 17214  df-ress 17243  df-plusg 17279  df-mulr 17280  df-starv 17281  df-sca 17282  df-vsca 17283  df-ip 17284  df-tset 17285  df-ple 17286  df-ds 17288  df-unif 17289  df-hom 17290  df-cco 17291  df-rest 17437  df-topn 17438  df-0g 17456  df-gsum 17457  df-topgen 17458  df-pt 17459  df-prds 17462  df-xrs 17517  df-qtop 17522  df-imas 17523  df-xps 17525  df-mre 17599  df-mrc 17600  df-acs 17602  df-mgm 18633  df-sgrp 18712  df-mnd 18728  df-submnd 18774  df-mulg 19062  df-cntz 19311  df-cmn 19780  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-fbas 21340  df-fg 21341  df-cnfld 21344  df-top 22887  df-topon 22904  df-topsp 22926  df-bases 22940  df-cld 23014  df-ntr 23015  df-cls 23016  df-nei 23093  df-lp 23131  df-perf 23132  df-cn 23222  df-cnp 23223  df-haus 23310  df-cmp 23382  df-tx 23557  df-hmeo 23750  df-fil 23841  df-fm 23933  df-flim 23934  df-flf 23935  df-xms 24317  df-ms 24318  df-tms 24319  df-cncf 24889  df-ovol 25484  df-vol 25485  df-mbf 25639  df-itg1 25640  df-itg2 25641  df-ibl 25642  df-itg 25643  df-0p 25690  df-limc 25886  df-dv 25887

This theorem is referenced by:  aks4d1p2  41776