Users' Mathboxes Mathbox for metakunt < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcmineqlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcmineqlem 39289
Description: The least common multiple inequality lemma, a central result for future use. Theorem 3.1 from https://www3.nd.edu/%7eandyp/notes/AKS.pdf (Contributed by metakunt, 16-May-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
lcmineqlem.1 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
lcmineqlem.2 (𝜑 → 7 ≤ 𝑁)
Assertion
Ref Expression
lcmineqlem (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))

Proof of Theorem lcmineqlem
StepHypRef Expression
1 lcmineqlem.2 . 2 (𝜑 → 7 ≤ 𝑁)
2 7re 11730 . . . . 5 7 ∈ ℝ
32a1i 11 . . . 4 (𝜑 → 7 ∈ ℝ)
4 lcmineqlem.1 . . . . 5 (𝜑𝑁 ∈ ℕ)
54nnred 11652 . . . 4 (𝜑𝑁 ∈ ℝ)
63, 5leloed 10782 . . 3 (𝜑 → (7 ≤ 𝑁 ↔ (7 < 𝑁 ∨ 7 = 𝑁)))
74nnzd 12086 . . . . . . 7 (𝜑𝑁 ∈ ℤ)
8 7nn 11729 . . . . . . . . 9 7 ∈ ℕ
98nnzi 12006 . . . . . . . 8 7 ∈ ℤ
10 zltp1le 12032 . . . . . . . 8 ((7 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
119, 10mpan 689 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℤ → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
127, 11syl 17 . . . . . 6 (𝜑 → (7 < 𝑁 ↔ (7 + 1) ≤ 𝑁))
13 7p1e8 11786 . . . . . . 7 (7 + 1) = 8
1413breq1i 5060 . . . . . 6 ((7 + 1) ≤ 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁)
1512, 14syl6bb 290 . . . . 5 (𝜑 → (7 < 𝑁 ↔ 8 ≤ 𝑁))
16 8re 11733 . . . . . . . 8 8 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → 8 ∈ ℝ)
1817, 5leloed 10782 . . . . . 6 (𝜑 → (8 ≤ 𝑁 ↔ (8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁)))
194adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → 𝑁 ∈ ℕ)
20 8p1e9 11787 . . . . . . . . . 10 (8 + 1) = 9
21 8nn 11732 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ ℕ
2221nnzi 12006 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ ℤ
23 zltp1le 12032 . . . . . . . . . . . . . 14 ((8 ∈ ℤ ∧ 𝑁 ∈ ℤ) → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
2422, 23mpan 689 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑁 ∈ ℤ → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
257, 24syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (8 < 𝑁 ↔ (8 + 1) ≤ 𝑁))
2625biimpd 232 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (8 < 𝑁 → (8 + 1) ≤ 𝑁))
2726imp 410 . . . . . . . . . 10 ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → (8 + 1) ≤ 𝑁)
2820, 27eqbrtrrid 5089 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → 9 ≤ 𝑁)
2919, 28lcmineqlem23 39288 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 8 < 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
3029ex 416 . . . . . . 7 (𝜑 → (8 < 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
31 2nn0 11914 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ0
32 8nn0 11920 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℕ0
33 5nn0 11917 . . . . . . . . . . . 12 5 ∈ ℕ0
34 4nn0 11916 . . . . . . . . . . . 12 4 ∈ ℕ0
35 6nn0 11918 . . . . . . . . . . . 12 6 ∈ ℕ0
36 0nn0 11912 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℕ0
37 2lt8 11834 . . . . . . . . . . . 12 2 < 8
38 5lt10 12233 . . . . . . . . . . . 12 5 < 10
39 6lt10 12232 . . . . . . . . . . . 12 6 < 10
4031, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 393decltc 12131 . . . . . . . . . . 11 256 < 840
41 5nn 11723 . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 ∈ ℕ
4231, 41decnncl 12118 . . . . . . . . . . . . . . 15 25 ∈ ℕ
4342nnnn0i 11905 . . . . . . . . . . . . . 14 25 ∈ ℕ0
44 6nn 11726 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℕ
4543, 44decnncl 12118 . . . . . . . . . . . . 13 256 ∈ ℕ
4645nnrei 11646 . . . . . . . . . . . 12 256 ∈ ℝ
47 4nn 11720 . . . . . . . . . . . . . . 15 4 ∈ ℕ
4832, 47decnncl 12118 . . . . . . . . . . . . . 14 84 ∈ ℕ
4948decnncl2 12122 . . . . . . . . . . . . 13 840 ∈ ℕ
5049nnrei 11646 . . . . . . . . . . . 12 840 ∈ ℝ
5146, 50ltlei 10761 . . . . . . . . . . 11 (256 < 840 → 256 ≤ 840)
5240, 51ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 256 ≤ 840
53 2exp8 16426 . . . . . . . . . . . 12 (2↑8) = 256
54 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . 12 (8 = 𝑁 → (2↑8) = (2↑𝑁))
5553, 54syl5eqr 2873 . . . . . . . . . . 11 (8 = 𝑁256 = (2↑𝑁))
56 lcm8un 39257 . . . . . . . . . . . 12 (lcm‘(1...8)) = 840
57 oveq2 7158 . . . . . . . . . . . . 13 (8 = 𝑁 → (1...8) = (1...𝑁))
5857fveq2d 6666 . . . . . . . . . . . 12 (8 = 𝑁 → (lcm‘(1...8)) = (lcm‘(1...𝑁)))
5956, 58syl5eqr 2873 . . . . . . . . . . 11 (8 = 𝑁840 = (lcm‘(1...𝑁)))
6055, 59breq12d 5066 . . . . . . . . . 10 (8 = 𝑁 → (256 ≤ 840 ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
6152, 60mpbii 236 . . . . . . . . 9 (8 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
6261adantl 485 . . . . . . . 8 ((𝜑 ∧ 8 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
6362ex 416 . . . . . . 7 (𝜑 → (8 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
6430, 63jaod 856 . . . . . 6 (𝜑 → ((8 < 𝑁 ∨ 8 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
6518, 64sylbid 243 . . . . 5 (𝜑 → (8 ≤ 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
6615, 65sylbid 243 . . . 4 (𝜑 → (7 < 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
67 1nn0 11913 . . . . . . . 8 1 ∈ ℕ0
68 1lt4 11813 . . . . . . . 8 1 < 4
69 2lt10 12236 . . . . . . . 8 2 < 10
70 8lt10 12230 . . . . . . . 8 8 < 10
7167, 34, 31, 31, 32, 36, 68, 69, 703decltc 12131 . . . . . . 7 128 < 420
72 2nn 11710 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℕ
7367, 72decnncl 12118 . . . . . . . . . . 11 12 ∈ ℕ
7473nnnn0i 11905 . . . . . . . . . 10 12 ∈ ℕ0
7574, 21decnncl 12118 . . . . . . . . 9 128 ∈ ℕ
7675nnrei 11646 . . . . . . . 8 128 ∈ ℝ
7734, 72decnncl 12118 . . . . . . . . . 10 42 ∈ ℕ
7877decnncl2 12122 . . . . . . . . 9 420 ∈ ℕ
7978nnrei 11646 . . . . . . . 8 420 ∈ ℝ
8076, 79ltlei 10761 . . . . . . 7 (128 < 420 → 128 ≤ 420)
8171, 80ax-mp 5 . . . . . 6 128 ≤ 420
82 2exp7 16425 . . . . . . . 8 (2↑7) = 128
83 oveq2 7158 . . . . . . . 8 (7 = 𝑁 → (2↑7) = (2↑𝑁))
8482, 83syl5eqr 2873 . . . . . . 7 (7 = 𝑁128 = (2↑𝑁))
85 lcm7un 39256 . . . . . . . 8 (lcm‘(1...7)) = 420
86 oveq2 7158 . . . . . . . . 9 (7 = 𝑁 → (1...7) = (1...𝑁))
8786fveq2d 6666 . . . . . . . 8 (7 = 𝑁 → (lcm‘(1...7)) = (lcm‘(1...𝑁)))
8885, 87syl5eqr 2873 . . . . . . 7 (7 = 𝑁420 = (lcm‘(1...𝑁)))
8984, 88breq12d 5066 . . . . . 6 (7 = 𝑁 → (128 ≤ 420 ↔ (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
9081, 89mpbii 236 . . . . 5 (7 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
9190a1i 11 . . . 4 (𝜑 → (7 = 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
9266, 91jaod 856 . . 3 (𝜑 → ((7 < 𝑁 ∨ 7 = 𝑁) → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
936, 92sylbid 243 . 2 (𝜑 → (7 ≤ 𝑁 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁))))
941, 93mpd 15 1 (𝜑 → (2↑𝑁) ≤ (lcm‘(1...𝑁)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2115   class class class wbr 5053  cfv 6344  (class class class)co 7150  cr 10535  0cc0 10536  1c1 10537   + caddc 10539   < clt 10674  cle 10675  cn 11637  2c2 11692  4c4 11694  5c5 11695  6c6 11696  7c7 11697  8c8 11698  9c9 11699  cz 11981  cdc 12098  ...cfz 12897  cexp 13437  lcmclcmf 15934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7456  ax-inf2 9102  ax-cc 9856  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613  ax-pre-sup 10614  ax-addf 10615  ax-mulf 10616
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3483  df-sbc 3760  df-csb 3868  df-dif 3923  df-un 3925  df-in 3927  df-ss 3937  df-pss 3939  df-symdif 4205  df-nul 4278  df-if 4452  df-pw 4525  df-sn 4552  df-pr 4554  df-tp 4556  df-op 4558  df-uni 4826  df-int 4864  df-iun 4908  df-iin 4909  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-se 5503  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6136  df-ord 6182  df-on 6183  df-lim 6184  df-suc 6185  df-iota 6303  df-fun 6346  df-fn 6347  df-f 6348  df-f1 6349  df-fo 6350  df-f1o 6351  df-fv 6352  df-isom 6353  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-of 7404  df-ofr 7405  df-om 7576  df-1st 7685  df-2nd 7686  df-supp 7828  df-wrecs 7944  df-recs 8005  df-rdg 8043  df-1o 8099  df-2o 8100  df-oadd 8103  df-omul 8104  df-er 8286  df-map 8405  df-pm 8406  df-ixp 8459  df-en 8507  df-dom 8508  df-sdom 8509  df-fin 8510  df-fsupp 8832  df-fi 8873  df-sup 8904  df-inf 8905  df-oi 8972  df-dju 9328  df-card 9366  df-acn 9369  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-div 11297  df-nn 11638  df-2 11700  df-3 11701  df-4 11702  df-5 11703  df-6 11704  df-7 11705  df-8 11706  df-9 11707  df-n0 11898  df-z 11982  df-dec 12099  df-uz 12244  df-q 12349  df-rp 12390  df-xneg 12507  df-xadd 12508  df-xmul 12509  df-ioo 12742  df-ioc 12743  df-ico 12744  df-icc 12745  df-fz 12898  df-fzo 13041  df-fl 13169  df-mod 13245  df-seq 13377  df-exp 13438  df-fac 13642  df-bc 13671  df-hash 13699  df-cj 14461  df-re 14462  df-im 14463  df-sqrt 14597  df-abs 14598  df-limsup 14831  df-clim 14848  df-rlim 14849  df-sum 15046  df-prod 15263  df-dvds 15611  df-gcd 15845  df-lcm 15935  df-lcmf 15936  df-prm 16017  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-hom 16592  df-cco 16593  df-rest 16699  df-topn 16700  df-0g 16718  df-gsum 16719  df-topgen 16720  df-pt 16721  df-prds 16724  df-xrs 16778  df-qtop 16783  df-imas 16784  df-xps 16786  df-mre 16860  df-mrc 16861  df-acs 16863  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-mulg 18228  df-cntz 18450  df-cmn 18911  df-psmet 20540  df-xmet 20541  df-met 20542  df-bl 20543  df-mopn 20544  df-fbas 20545  df-fg 20546  df-cnfld 20549  df-top 21505  df-topon 21522  df-topsp 21544  df-bases 21557  df-cld 21630  df-ntr 21631  df-cls 21632  df-nei 21709  df-lp 21747  df-perf 21748  df-cn 21838  df-cnp 21839  df-haus 21926  df-cmp 21998  df-tx 22173  df-hmeo 22366  df-fil 22457  df-fm 22549  df-flim 22550  df-flf 22551  df-xms 22933  df-ms 22934  df-tms 22935  df-cncf 23489  df-ovol 24074  df-vol 24075  df-mbf 24229  df-itg1 24230  df-itg2 24231  df-ibl 24232  df-itg 24233  df-0p 24280  df-limc 24475  df-dv 24476
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator