Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt750lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt750lem 31077
Description: Lemma for tgoldbachgtd 31088. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
hgt750lem ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) < (0.00042248))

Proof of Theorem hgt750lem
StepHypRef Expression
1 7nn0 11601 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
2 3re 11393 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
3 4re 11398 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
4 8re 11414 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℝ
53, 4pm3.2i 458 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ)
6 dp2cl 29936 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → 48 ∈ ℝ)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 48 ∈ ℝ
82, 7pm3.2i 458 . . . . . 6 (3 ∈ ℝ ∧ 48 ∈ ℝ)
9 dp2cl 29936 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 48 ∈ ℝ) → 348 ∈ ℝ)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 348 ∈ ℝ
11 dpcl 29947 . . . . 5 ((7 ∈ ℕ0348 ∈ ℝ) → (7.348) ∈ ℝ)
121, 10, 11mp2an 675 . . . 4 (7.348) ∈ ℝ
1312a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (7.348) ∈ ℝ)
14 nn0re 11588 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
1514adantr 468 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
16 0re 10337 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
18 10re 11798 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℝ
19 2nn0 11596 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
2019, 1deccl 11794 . . . . . . . . 9 27 ∈ ℕ0
21 reexpcl 13120 . . . . . . . . 9 ((10 ∈ ℝ ∧ 27 ∈ ℕ0) → (10↑27) ∈ ℝ)
2218, 20, 21mp2an 675 . . . . . . . 8 (10↑27) ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (10↑27) ∈ ℝ)
24 0lt1 10845 . . . . . . . . 9 0 < 1
25 1nn 11328 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
26 0nn0 11594 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
27 1nn0 11595 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
28 1re 10335 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
29 9re 11418 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℝ
30 1lt9 11525 . . . . . . . . . . . 12 1 < 9
3128, 29, 30ltleii 10455 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 9
3225, 26, 27, 31declei 11815 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 10
33 expge1 13140 . . . . . . . . . 10 ((10 ∈ ℝ ∧ 27 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 10) → 1 ≤ (10↑27))
3418, 20, 32, 33mp3an 1578 . . . . . . . . 9 1 ≤ (10↑27)
3516, 28, 22ltletri 10460 . . . . . . . . 9 ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (10↑27)) → 0 < (10↑27))
3624, 34, 35mp2an 675 . . . . . . . 8 0 < (10↑27)
3736a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 < (10↑27))
38 simpr 473 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (10↑27) ≤ 𝑁)
3917, 23, 15, 37, 38ltletrd 10492 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
4015, 39elrpd 12103 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
4140relogcld 24606 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
4240rpge0d 12110 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
4315, 42resqrtcld 14399 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
4440sqrtgt0d 14394 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 < (√‘𝑁))
4517, 44gtned 10467 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (√‘𝑁) ≠ 0)
4641, 43, 45redivcld 11148 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
4713, 46remulcld 10365 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) ∈ ℝ)
48 elrp 12068 . . . . . . 7 ((10↑27) ∈ ℝ+ ↔ ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑27)))
4922, 36, 48mpbir2an 693 . . . . . 6 (10↑27) ∈ ℝ+
50 relogcl 24559 . . . . . 6 ((10↑27) ∈ ℝ+ → (log‘(10↑27)) ∈ ℝ)
5149, 50ax-mp 5 . . . . 5 (log‘(10↑27)) ∈ ℝ
5222, 36sqrtpclii 14365 . . . . 5 (√‘(10↑27)) ∈ ℝ
5322, 36sqrtgt0ii 14366 . . . . . 6 0 < (√‘(10↑27))
5416, 53gtneii 10444 . . . . 5 (√‘(10↑27)) ≠ 0
5551, 52, 54redivcli 11087 . . . 4 ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) ∈ ℝ
5655a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) ∈ ℝ)
5713, 56remulcld 10365 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) ∈ ℝ)
58 qssre 12037 . . . . 5 ℚ ⊆ ℝ
59 4nn0 11598 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
60 nn0ssq 12035 . . . . . . . . . . . . 13 0 ⊆ ℚ
61 8nn0 11602 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℕ0
6260, 61sselii 3806 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℚ
6359, 62dp2clq 29937 . . . . . . . . . . 11 48 ∈ ℚ
6419, 63dp2clq 29937 . . . . . . . . . 10 248 ∈ ℚ
6519, 64dp2clq 29937 . . . . . . . . 9 2248 ∈ ℚ
6659, 65dp2clq 29937 . . . . . . . 8 42248 ∈ ℚ
6726, 66dp2clq 29937 . . . . . . 7 042248 ∈ ℚ
6826, 67dp2clq 29937 . . . . . 6 0042248 ∈ ℚ
6926, 68dp2clq 29937 . . . . 5 00042248 ∈ ℚ
7058, 69sselii 3806 . . . 4 00042248 ∈ ℝ
71 dpcl 29947 . . . 4 ((0 ∈ ℕ000042248 ∈ ℝ) → (0.00042248) ∈ ℝ)
7226, 70, 71mp2an 675 . . 3 (0.00042248) ∈ ℝ
7372a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (0.00042248) ∈ ℝ)
74 3nn0 11597 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
75 8pos 11432 . . . . . . . . . . 11 0 < 8
76 elrp 12068 . . . . . . . . . . 11 (8 ∈ ℝ+ ↔ (8 ∈ ℝ ∧ 0 < 8))
774, 75, 76mpbir2an 693 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℝ+
7859, 77rpdp2cl 29938 . . . . . . . . 9 48 ∈ ℝ+
7974, 78rpdp2cl 29938 . . . . . . . 8 348 ∈ ℝ+
801, 79rpdpcl 29959 . . . . . . 7 (7.348) ∈ ℝ+
81 elrp 12068 . . . . . . 7 ((7.348) ∈ ℝ+ ↔ ((7.348) ∈ ℝ ∧ 0 < (7.348)))
8280, 81mpbi 221 . . . . . 6 ((7.348) ∈ ℝ ∧ 0 < (7.348))
8382simpri 475 . . . . 5 0 < (7.348)
8416, 12, 83ltleii 10455 . . . 4 0 ≤ (7.348)
8584a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 ≤ (7.348))
8649a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (10↑27) ∈ ℝ+)
87 2cn 11388 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
8887mulid2i 10340 . . . . . . . . 9 (1 · 2) = 2
89 2nn 11386 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
9089, 1, 27, 31declei 11815 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 27
91 2pos 11423 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
9220nn0rei 11590 . . . . . . . . . . . 12 27 ∈ ℝ
93 2re 11387 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
9428, 92, 93lemul1i 11241 . . . . . . . . . . 11 (0 < 2 → (1 ≤ 27 ↔ (1 · 2) ≤ (27 · 2)))
9591, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1 ≤ 27 ↔ (1 · 2) ≤ (27 · 2))
9690, 95mpbi 221 . . . . . . . . 9 (1 · 2) ≤ (27 · 2)
9788, 96eqbrtrri 4878 . . . . . . . 8 2 ≤ (27 · 2)
98 1p1e2 11445 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
99 loge 24570 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘e) = 1
100 egt2lt3 15174 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 < e ∧ e < 3)
101100simpri 475 . . . . . . . . . . . . . . 15 e < 3
102 epr 15176 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ∈ ℝ+
103 3rp 12072 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ+
104 logltb 24583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((e ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (e < 3 ↔ (log‘e) < (log‘3)))
105102, 103, 104mp2an 675 . . . . . . . . . . . . . . 15 (e < 3 ↔ (log‘e) < (log‘3))
106101, 105mpbi 221 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘e) < (log‘3)
10799, 106eqbrtrri 4878 . . . . . . . . . . . . 13 1 < (log‘3)
108 relogcl 24559 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 ∈ ℝ+ → (log‘3) ∈ ℝ)
109103, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘3) ∈ ℝ
11028, 28, 109, 109lt2addi 10885 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 < (log‘3) ∧ 1 < (log‘3)) → (1 + 1) < ((log‘3) + (log‘3)))
111107, 107, 110mp2an 675 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) < ((log‘3) + (log‘3))
112 3cn 11394 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℂ
113 3ne0 11426 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ≠ 0
114 logmul2 24599 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0 ∧ 3 ∈ ℝ+) → (log‘(3 · 3)) = ((log‘3) + (log‘3)))
115112, 113, 103, 114mp3an 1578 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘(3 · 3)) = ((log‘3) + (log‘3))
116 3t3e9 11486 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 3) = 9
117116fveq2i 6421 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘(3 · 3)) = (log‘9)
118 9lt10 11910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 < 10
11929, 18, 118ltleii 10455 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 ≤ 10
120 9pos 11433 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 9
121 elrp 12068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (9 ∈ ℝ+ ↔ (9 ∈ ℝ ∧ 0 < 9))
12229, 120, 121mpbir2an 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 ∈ ℝ+
123 10pos 11796 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 10
124 elrp 12068 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (10 ∈ ℝ+ ↔ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10))
12518, 123, 124mpbir2an 693 . . . . . . . . . . . . . . . 16 10 ∈ ℝ+
126 logleb 24586 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((9 ∈ ℝ+10 ∈ ℝ+) → (9 ≤ 10 ↔ (log‘9) ≤ (log‘10)))
127122, 125, 126mp2an 675 . . . . . . . . . . . . . . 15 (9 ≤ 10 ↔ (log‘9) ≤ (log‘10))
128119, 127mpbi 221 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘9) ≤ (log‘10)
129117, 128eqbrtri 4876 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘(3 · 3)) ≤ (log‘10)
130115, 129eqbrtrri 4878 . . . . . . . . . . . 12 ((log‘3) + (log‘3)) ≤ (log‘10)
13128, 28readdcli 10350 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) ∈ ℝ
132109, 109readdcli 10350 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘3) + (log‘3)) ∈ ℝ
133 relogcl 24559 . . . . . . . . . . . . . 14 (10 ∈ ℝ+ → (log‘10) ∈ ℝ)
134125, 133ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘10) ∈ ℝ
135131, 132, 134ltletri 10460 . . . . . . . . . . . 12 (((1 + 1) < ((log‘3) + (log‘3)) ∧ ((log‘3) + (log‘3)) ≤ (log‘10)) → (1 + 1) < (log‘10))
136111, 130, 135mp2an 675 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) < (log‘10)
13798, 136eqbrtrri 4878 . . . . . . . . . 10 2 < (log‘10)
13893, 134ltlei 10454 . . . . . . . . . 10 (2 < (log‘10) → 2 ≤ (log‘10))
139137, 138ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2 ≤ (log‘10)
14016, 29, 120ltleii 10455 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 9
14189, 1, 26, 140decltdi 11818 . . . . . . . . . 10 0 < 27
14293, 134, 92lemul2i 11242 . . . . . . . . . 10 (0 < 27 → (2 ≤ (log‘10) ↔ (27 · 2) ≤ (27 · (log‘10))))
143141, 142ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (2 ≤ (log‘10) ↔ (27 · 2) ≤ (27 · (log‘10)))
144139, 143mpbi 221 . . . . . . . 8 (27 · 2) ≤ (27 · (log‘10))
14592, 93remulcli 10351 . . . . . . . . 9 (27 · 2) ∈ ℝ
14620nn0zi 11688 . . . . . . . . . . 11 27 ∈ ℤ
147 relogexp 24579 . . . . . . . . . . 11 ((10 ∈ ℝ+27 ∈ ℤ) → (log‘(10↑27)) = (27 · (log‘10)))
148125, 146, 147mp2an 675 . . . . . . . . . 10 (log‘(10↑27)) = (27 · (log‘10))
149148, 51eqeltrri 2893 . . . . . . . . 9 (27 · (log‘10)) ∈ ℝ
15093, 145, 149letri 10461 . . . . . . . 8 ((2 ≤ (27 · 2) ∧ (27 · 2) ≤ (27 · (log‘10))) → 2 ≤ (27 · (log‘10)))
15197, 144, 150mp2an 675 . . . . . . 7 2 ≤ (27 · (log‘10))
152 relogef 24566 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ → (log‘(exp‘2)) = 2)
15393, 152ax-mp 5 . . . . . . 7 (log‘(exp‘2)) = 2
154151, 153, 1483brtr4i 4885 . . . . . 6 (log‘(exp‘2)) ≤ (log‘(10↑27))
155 rpefcl 15074 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ → (exp‘2) ∈ ℝ+)
15693, 155ax-mp 5 . . . . . . 7 (exp‘2) ∈ ℝ+
157 logleb 24586 . . . . . . 7 (((exp‘2) ∈ ℝ+ ∧ (10↑27) ∈ ℝ+) → ((exp‘2) ≤ (10↑27) ↔ (log‘(exp‘2)) ≤ (log‘(10↑27))))
158156, 49, 157mp2an 675 . . . . . 6 ((exp‘2) ≤ (10↑27) ↔ (log‘(exp‘2)) ≤ (log‘(10↑27)))
159154, 158mpbir 222 . . . . 5 (exp‘2) ≤ (10↑27)
160159a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (exp‘2) ≤ (10↑27))
16186, 40, 160, 38logdivsqrle 31076 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ≤ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))))
16246, 56, 13, 85, 161lemul2ad 11259 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) ≤ ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))))
163 3lt10 11916 . . . . . . . 8 3 < 10
164 4lt10 11915 . . . . . . . . 9 4 < 10
165 8lt10 11911 . . . . . . . . 9 8 < 10
16659, 77, 164, 165dp2lt10 29940 . . . . . . . 8 48 < 10
16774, 78, 163, 166dp2lt10 29940 . . . . . . 7 348 < 10
168 7p1e8 11468 . . . . . . 7 (7 + 1) = 8
1691, 79, 61, 167, 168dplti 29961 . . . . . 6 (7.348) < 8
17058, 62sselii 3806 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
17112, 170, 18lttri 10458 . . . . . 6 (((7.348) < 8 ∧ 8 < 10) → (7.348) < 10)
172169, 165, 171mp2an 675 . . . . 5 (7.348) < 10
17327, 26deccl 11794 . . . . . . . . . 10 10 ∈ ℕ0
174173numexp0 16017 . . . . . . . . 9 (10↑0) = 1
175 0z 11674 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
17618, 175, 1463pm3.2i 1431 . . . . . . . . . 10 (10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ)
177 1lt10 11918 . . . . . . . . . . 11 1 < 10
178177, 141pm3.2i 458 . . . . . . . . . 10 (1 < 10 ∧ 0 < 27)
179 ltexp2a 13155 . . . . . . . . . 10 (((10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 0 < 27)) → (10↑0) < (10↑27))
180176, 178, 179mp2an 675 . . . . . . . . 9 (10↑0) < (10↑27)
181174, 180eqbrtrri 4878 . . . . . . . 8 1 < (10↑27)
182 loggt0b 24615 . . . . . . . . 9 ((10↑27) ∈ ℝ+ → (0 < (log‘(10↑27)) ↔ 1 < (10↑27)))
18349, 182ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (log‘(10↑27)) ↔ 1 < (10↑27))
184181, 183mpbir 222 . . . . . . 7 0 < (log‘(10↑27))
18551, 52divgt0i 11227 . . . . . . 7 ((0 < (log‘(10↑27)) ∧ 0 < (√‘(10↑27))) → 0 < ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))))
186184, 53, 185mp2an 675 . . . . . 6 0 < ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))
18712, 18, 55ltmul1i 11237 . . . . . 6 (0 < ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) → ((7.348) < 10 ↔ ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))))))
188186, 187ax-mp 5 . . . . 5 ((7.348) < 10 ↔ ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))))
189172, 188mpbi 221 . . . 4 ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))))
19018recni 10349 . . . . . . . . . . . . 13 10 ∈ ℂ
191 expmul 13148 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (10↑(7 · 2)) = ((10↑7)↑2))
192190, 1, 19, 191mp3an 1578 . . . . . . . . . . . 12 (10↑(7 · 2)) = ((10↑7)↑2)
193 7t2e14 11888 . . . . . . . . . . . . 13 (7 · 2) = 14
194193oveq2i 6895 . . . . . . . . . . . 12 (10↑(7 · 2)) = (10↑14)
195192, 194eqtr3i 2841 . . . . . . . . . . 11 ((10↑7)↑2) = (10↑14)
196195fveq2i 6421 . . . . . . . . . 10 (√‘((10↑7)↑2)) = (√‘(10↑14))
197 reexpcl 13120 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (10↑7) ∈ ℝ)
19818, 1, 197mp2an 675 . . . . . . . . . . 11 (10↑7) ∈ ℝ
1991nn0zi 11688 . . . . . . . . . . . . 13 7 ∈ ℤ
200 expgt0 13136 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ ℤ ∧ 0 < 10) → 0 < (10↑7))
20118, 199, 123, 200mp3an 1578 . . . . . . . . . . . 12 0 < (10↑7)
20216, 198, 201ltleii 10455 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ (10↑7)
203 sqrtsq 14253 . . . . . . . . . . 11 (((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑7)) → (√‘((10↑7)↑2)) = (10↑7))
204198, 202, 203mp2an 675 . . . . . . . . . 10 (√‘((10↑7)↑2)) = (10↑7)
205196, 204eqtr3i 2841 . . . . . . . . 9 (√‘(10↑14)) = (10↑7)
20627, 59deccl 11794 . . . . . . . . . . . . 13 14 ∈ ℕ0
207206nn0zi 11688 . . . . . . . . . . . 12 14 ∈ ℤ
20818, 207, 1463pm3.2i 1431 . . . . . . . . . . 11 (10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ)
209 1lt2 11490 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
21027, 19, 59, 1, 164, 209decltc 11808 . . . . . . . . . . . 12 14 < 27
211177, 210pm3.2i 458 . . . . . . . . . . 11 (1 < 10 ∧ 14 < 27)
212 ltexp2a 13155 . . . . . . . . . . 11 (((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 14 < 27)) → (10↑14) < (10↑27))
213208, 211, 212mp2an 675 . . . . . . . . . 10 (10↑14) < (10↑27)
214 reexpcl 13120 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℕ0) → (10↑14) ∈ ℝ)
21518, 206, 214mp2an 675 . . . . . . . . . . . 12 (10↑14) ∈ ℝ
216 expgt0 13136 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 0 < 10) → 0 < (10↑14))
21718, 207, 123, 216mp3an 1578 . . . . . . . . . . . . 13 0 < (10↑14)
21816, 215, 217ltleii 10455 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (10↑14)
219215, 218pm3.2i 458 . . . . . . . . . . 11 ((10↑14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑14))
22016, 22, 36ltleii 10455 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (10↑27)
22122, 220pm3.2i 458 . . . . . . . . . . 11 ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑27))
222 sqrtlt 14245 . . . . . . . . . . 11 ((((10↑14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑14)) ∧ ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑27))) → ((10↑14) < (10↑27) ↔ (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27))))
223219, 221, 222mp2an 675 . . . . . . . . . 10 ((10↑14) < (10↑27) ↔ (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27)))
224213, 223mpbi 221 . . . . . . . . 9 (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27))
225205, 224eqbrtrri 4878 . . . . . . . 8 (10↑7) < (√‘(10↑27))
226198, 201pm3.2i 458 . . . . . . . . 9 ((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑7))
22752, 53pm3.2i 458 . . . . . . . . 9 ((√‘(10↑27)) ∈ ℝ ∧ 0 < (√‘(10↑27)))
22851, 184pm3.2i 458 . . . . . . . . 9 ((log‘(10↑27)) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘(10↑27)))
229 ltdiv2 11204 . . . . . . . . 9 ((((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑7)) ∧ ((√‘(10↑27)) ∈ ℝ ∧ 0 < (√‘(10↑27))) ∧ ((log‘(10↑27)) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘(10↑27)))) → ((10↑7) < (√‘(10↑27)) ↔ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((log‘(10↑27)) / (10↑7))))
230226, 227, 228, 229mp3an 1578 . . . . . . . 8 ((10↑7) < (√‘(10↑27)) ↔ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((log‘(10↑27)) / (10↑7)))
231225, 230mpbi 221 . . . . . . 7 ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((log‘(10↑27)) / (10↑7))
232 6nn 11405 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℕ
233232nngt0i 11352 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 6
23427, 26, 232, 233declt 11807 . . . . . . . . . . . . 13 10 < 16
235 6nn0 11600 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℕ0
23627, 235deccl 11794 . . . . . . . . . . . . . . . 16 16 ∈ ℕ0
237236nn0rei 11590 . . . . . . . . . . . . . . 15 16 ∈ ℝ
23825, 235, 26, 123declti 11817 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 16
239 elrp 12068 . . . . . . . . . . . . . . 15 (16 ∈ ℝ+ ↔ (16 ∈ ℝ ∧ 0 < 16))
240237, 238, 239mpbir2an 693 . . . . . . . . . . . . . 14 16 ∈ ℝ+
241 logltb 24583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10 ∈ ℝ+16 ∈ ℝ+) → (10 < 16 ↔ (log‘10) < (log‘16)))
242125, 240, 241mp2an 675 . . . . . . . . . . . . 13 (10 < 16 ↔ (log‘10) < (log‘16))
243234, 242mpbi 221 . . . . . . . . . . . 12 (log‘10) < (log‘16)
244 2exp4 16026 . . . . . . . . . . . . . 14 (2↑4) = 16
245244fveq2i 6421 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘(2↑4)) = (log‘16)
246 2rp 12071 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
24759nn0zi 11688 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
248 relogexp 24579 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (log‘(2↑4)) = (4 · (log‘2)))
249246, 247, 248mp2an 675 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘(2↑4)) = (4 · (log‘2))
250245, 249eqtr3i 2841 . . . . . . . . . . . 12 (log‘16) = (4 · (log‘2))
251243, 250breqtri 4880 . . . . . . . . . . 11 (log‘10) < (4 · (log‘2))
252100simpli 472 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 < e
253 logltb 24583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℝ+ ∧ e ∈ ℝ+) → (2 < e ↔ (log‘2) < (log‘e)))
254246, 102, 253mp2an 675 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 < e ↔ (log‘2) < (log‘e))
255252, 254mpbi 221 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘2) < (log‘e)
256255, 99breqtri 4880 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘2) < 1
257 4pos 11427 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 4
258 relogcl 24559 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
259246, 258ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (log‘2) ∈ ℝ
260259, 28, 3ltmul2i 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 < 4 → ((log‘2) < 1 ↔ (4 · (log‘2)) < (4 · 1)))
261257, 260ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘2) < 1 ↔ (4 · (log‘2)) < (4 · 1))
262256, 261mpbi 221 . . . . . . . . . . . 12 (4 · (log‘2)) < (4 · 1)
263 4cn 11399 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
264263mulid1i 10339 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 1) = 4
265262, 264breqtri 4880 . . . . . . . . . . 11 (4 · (log‘2)) < 4
2663, 259remulcli 10351 . . . . . . . . . . . 12 (4 · (log‘2)) ∈ ℝ
267134, 266, 3lttri 10458 . . . . . . . . . . 11 (((log‘10) < (4 · (log‘2)) ∧ (4 · (log‘2)) < 4) → (log‘10) < 4)
268251, 265, 267mp2an 675 . . . . . . . . . 10 (log‘10) < 4
269134, 3, 92ltmul2i 11240 . . . . . . . . . . 11 (0 < 27 → ((log‘10) < 4 ↔ (27 · (log‘10)) < (27 · 4)))
270141, 269ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((log‘10) < 4 ↔ (27 · (log‘10)) < (27 · 4))
271268, 270mpbi 221 . . . . . . . . 9 (27 · (log‘10)) < (27 · 4)
272148, 271eqbrtri 4876 . . . . . . . 8 (log‘(10↑27)) < (27 · 4)
27392, 3remulcli 10351 . . . . . . . . . 10 (27 · 4) ∈ ℝ
27451, 273, 198ltdiv1i 11238 . . . . . . . . 9 (0 < (10↑7) → ((log‘(10↑27)) < (27 · 4) ↔ ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) < ((27 · 4) / (10↑7))))
275201, 274ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((log‘(10↑27)) < (27 · 4) ↔ ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) < ((27 · 4) / (10↑7)))
276272, 275mpbi 221 . . . . . . 7 ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) < ((27 · 4) / (10↑7))
27716, 201gtneii 10444 . . . . . . . . 9 (10↑7) ≠ 0
27851, 198, 277redivcli 11087 . . . . . . . 8 ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) ∈ ℝ
279273, 198, 277redivcli 11087 . . . . . . . 8 ((27 · 4) / (10↑7)) ∈ ℝ
28055, 278, 279lttri 10458 . . . . . . 7 ((((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) ∧ ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) < ((27 · 4) / (10↑7))) → ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((27 · 4) / (10↑7)))
281231, 276, 280mp2an 675 . . . . . 6 ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((27 · 4) / (10↑7))
282 7lt10 11912 . . . . . . . . . 10 7 < 10
283 2lt10 11917 . . . . . . . . . 10 2 < 10
28419, 173, 1, 26, 282, 283decltc 11808 . . . . . . . . 9 27 < 100
285 10nn 11795 . . . . . . . . . . . . 13 10 ∈ ℕ
286285decnncl2 11803 . . . . . . . . . . . 12 100 ∈ ℕ
287286nnrei 11325 . . . . . . . . . . 11 100 ∈ ℝ
28892, 287, 3ltmul1i 11237 . . . . . . . . . 10 (0 < 4 → (27 < 100 ↔ (27 · 4) < (100 · 4)))
289257, 288ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (27 < 100 ↔ (27 · 4) < (100 · 4))
290284, 289mpbi 221 . . . . . . . 8 (27 · 4) < (100 · 4)
291287, 3remulcli 10351 . . . . . . . . . 10 (100 · 4) ∈ ℝ
292273, 291, 198ltdiv1i 11238 . . . . . . . . 9 (0 < (10↑7) → ((27 · 4) < (100 · 4) ↔ ((27 · 4) / (10↑7)) < ((100 · 4) / (10↑7))))
293201, 292ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((27 · 4) < (100 · 4) ↔ ((27 · 4) / (10↑7)) < ((100 · 4) / (10↑7)))
294290, 293mpbi 221 . . . . . . 7 ((27 · 4) / (10↑7)) < ((100 · 4) / (10↑7))
295 8nn 11413 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ ℕ
296 nnrp 12076 . . . . . . . . . . . . . . 15 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
297295, 296ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ ℝ+
29859, 297rpdp2cl 29938 . . . . . . . . . . . . 13 48 ∈ ℝ+
29919, 298rpdp2cl 29938 . . . . . . . . . . . 12 248 ∈ ℝ+
30019, 299rpdp2cl 29938 . . . . . . . . . . 11 2248 ∈ ℝ+
30159, 300dpgti 29962 . . . . . . . . . 10 4 < (4.2248)
30272recni 10349 . . . . . . . . . . . . 13 (0.00042248) ∈ ℂ
303198recni 10349 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑7) ∈ ℂ
304302, 303mulcli 10342 . . . . . . . . . . . 12 ((0.00042248) · (10↑7)) ∈ ℂ
30516, 123gtneii 10444 . . . . . . . . . . . . 13 10 ≠ 0
306190, 305pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . 12 (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)
307287recni 10349 . . . . . . . . . . . . 13 100 ∈ ℂ
308286nnne0i 11353 . . . . . . . . . . . . 13 100 ≠ 0
309307, 308pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . 12 (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)
310 divdiv1 11031 . . . . . . . . . . . 12 ((((0.00042248) · (10↑7)) ∈ ℂ ∧ (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0) ∧ (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)) → ((((0.00042248) · (10↑7)) / 10) / 100) = (((0.00042248) · (10↑7)) / (10 · 100)))
311304, 306, 309, 310mp3an 1578 . . . . . . . . . . 11 ((((0.00042248) · (10↑7)) / 10) / 100) = (((0.00042248) · (10↑7)) / (10 · 100))
312302, 303, 190, 305div23i 11078 . . . . . . . . . . . 12 (((0.00042248) · (10↑7)) / 10) = (((0.00042248) / 10) · (10↑7))
313312oveq1i 6894 . . . . . . . . . . 11 ((((0.00042248) · (10↑7)) / 10) / 100) = ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100)
314190, 307mulcli 10342 . . . . . . . . . . . . 13 (10 · 100) ∈ ℂ
315190, 307, 305, 308mulne0i 10965 . . . . . . . . . . . . 13 (10 · 100) ≠ 0
316302, 303, 314, 315divassi 11076 . . . . . . . . . . . 12 (((0.00042248) · (10↑7)) / (10 · 100)) = ((0.00042248) · ((10↑7) / (10 · 100)))
317 expp1 13110 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((10 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (10↑(2 + 1)) = ((10↑2) · 10))
318190, 19, 317mp2an 675 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (10↑(2 + 1)) = ((10↑2) · 10)
319 sq10 13291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (10↑2) = 100
320319oveq1i 6894 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((10↑2) · 10) = (100 · 10)
321307, 190mulcomi 10343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (100 · 10) = (10 · 100)
322318, 320, 3213eqtrri 2844 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (10 · 100) = (10↑(2 + 1))
323 2p1e3 11462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 + 1) = 3
324323oveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (10↑(2 + 1)) = (10↑3)
325322, 324eqtri 2839 . . . . . . . . . . . . . . 15 (10 · 100) = (10↑3)
326325oveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10↑7) / (10 · 100)) = ((10↑7) / (10↑3))
32774nn0zi 11688 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℤ
328199, 327pm3.2i 458 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
329 expsub 13151 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0) ∧ (7 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)) → (10↑(7 − 3)) = ((10↑7) / (10↑3)))
330306, 328, 329mp2an 675 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑(7 − 3)) = ((10↑7) / (10↑3))
331 7cn 11411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 7 ∈ ℂ
332 4p3e7 11473 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 + 3) = 7
333263, 112, 332addcomli 10523 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 + 4) = 7
334331, 112, 263, 333subaddrii 10665 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 − 3) = 4
335334oveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑(7 − 3)) = (10↑4)
336326, 330, 3353eqtr2i 2845 . . . . . . . . . . . . 13 ((10↑7) / (10 · 100)) = (10↑4)
337336oveq2i 6895 . . . . . . . . . . . 12 ((0.00042248) · ((10↑7) / (10 · 100))) = ((0.00042248) · (10↑4))
338173numexp1 16018 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑1) = 10
339338oveq2i 6895 . . . . . . . . . . . . 13 ((0.42248) · (10↑1)) = ((0.42248) · 10)
34059, 300rpdp2cl 29938 . . . . . . . . . . . . . . 15 42248 ∈ ℝ+
34125nnzi 11687 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℤ
34289nnzi 11687 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
34326, 340, 98, 341, 342dpexpp1 29964 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0.42248) · (10↑1)) = ((0.042248) · (10↑2))
34426, 340rpdp2cl 29938 . . . . . . . . . . . . . . 15 042248 ∈ ℝ+
34526, 344, 323, 342, 327dpexpp1 29964 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0.042248) · (10↑2)) = ((0.0042248) · (10↑3))
34626, 344rpdp2cl 29938 . . . . . . . . . . . . . . 15 0042248 ∈ ℝ+
347 3p1e4 11464 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 + 1) = 4
34826, 346, 347, 327, 247dpexpp1 29964 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0.0042248) · (10↑3)) = ((0.00042248) · (10↑4))
349343, 345, 3483eqtri 2843 . . . . . . . . . . . . 13 ((0.42248) · (10↑1)) = ((0.00042248) · (10↑4))
35059, 3000dp2dp 29965 . . . . . . . . . . . . 13 ((0.42248) · 10) = (4.2248)
351339, 349, 3503eqtr3i 2847 . . . . . . . . . . . 12 ((0.00042248) · (10↑4)) = (4.2248)
352316, 337, 3513eqtri 2843 . . . . . . . . . . 11 (((0.00042248) · (10↑7)) / (10 · 100)) = (4.2248)
353311, 313, 3523eqtr3i 2847 . . . . . . . . . 10 ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100) = (4.2248)
354301, 353breqtrri 4882 . . . . . . . . 9 4 < ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100)
35572, 18, 305redivcli 11087 . . . . . . . . . . 11 ((0.00042248) / 10) ∈ ℝ
356355, 198remulcli 10351 . . . . . . . . . 10 (((0.00042248) / 10) · (10↑7)) ∈ ℝ
357286nngt0i 11352 . . . . . . . . . . 11 0 < 100
358287, 357pm3.2i 458 . . . . . . . . . 10 (100 ∈ ℝ ∧ 0 < 100)
359 ltmuldiv2 11192 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ (((0.00042248) / 10) · (10↑7)) ∈ ℝ ∧ (100 ∈ ℝ ∧ 0 < 100)) → ((100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7)) ↔ 4 < ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100)))
3603, 356, 358, 359mp3an 1578 . . . . . . . . 9 ((100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7)) ↔ 4 < ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100))
361354, 360mpbir 222 . . . . . . . 8 (100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7))
362 ltdivmul2 11195 . . . . . . . . 9 (((100 · 4) ∈ ℝ ∧ ((0.00042248) / 10) ∈ ℝ ∧ ((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑7))) → (((100 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10) ↔ (100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7))))
363291, 355, 226, 362mp3an 1578 . . . . . . . 8 (((100 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10) ↔ (100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7)))
364361, 363mpbir 222 . . . . . . 7 ((100 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10)
365291, 198, 277redivcli 11087 . . . . . . . 8 ((100 · 4) / (10↑7)) ∈ ℝ
366279, 365, 355lttri 10458 . . . . . . 7 ((((27 · 4) / (10↑7)) < ((100 · 4) / (10↑7)) ∧ ((100 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10)) → ((27 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10))
367294, 364, 366mp2an 675 . . . . . 6 ((27 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10)
368226simpli 472 . . . . . . . 8 (10↑7) ∈ ℝ
369273, 368, 277redivcli 11087 . . . . . . 7 ((27 · 4) / (10↑7)) ∈ ℝ
37055, 369, 355lttri 10458 . . . . . 6 ((((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((27 · 4) / (10↑7)) ∧ ((27 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10)) → ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((0.00042248) / 10))
371281, 367, 370mp2an 675 . . . . 5 ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((0.00042248) / 10)
372125, 124mpbi 221 . . . . . 6 (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)
373 ltmuldiv2 11192 . . . . . 6 ((((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) ∈ ℝ ∧ (0.00042248) ∈ ℝ ∧ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)) → ((10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248) ↔ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((0.00042248) / 10)))
37455, 72, 372, 373mp3an 1578 . . . . 5 ((10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248) ↔ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((0.00042248) / 10))
375371, 374mpbir 222 . . . 4 (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248)
37612, 55remulcli 10351 . . . . 5 ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) ∈ ℝ
37718, 55remulcli 10351 . . . . 5 (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) ∈ ℝ
378376, 377, 72lttri 10458 . . . 4 ((((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) ∧ (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248)) → ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248))
379189, 375, 378mp2an 675 . . 3 ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248)
380379a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248))
38147, 57, 73, 162, 380lelttrd 10490 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) < (0.00042248))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wcel 2157  wne 2989   class class class wbr 4855  cfv 6111  (class class class)co 6884  cc 10229  cr 10230  0cc0 10231  1c1 10232   + caddc 10234   · cmul 10236   < clt 10369  cle 10370  cmin 10561   / cdiv 10979  cn 11315  2c2 11368  3c3 11369  4c4 11370  6c6 11372  7c7 11373  8c8 11374  9c9 11375  0cn0 11579  cz 11663  cdc 11779  cq 12027  +crp 12066  cexp 13103  csqrt 14216  expce 15032  eceu 15033  logclog 24538  cdp2 29927  .cdp 29944
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2795  ax-rep 4977  ax-sep 4988  ax-nul 4996  ax-pow 5048  ax-pr 5109  ax-un 7189  ax-inf2 8795  ax-cc 9552  ax-cnex 10287  ax-resscn 10288  ax-1cn 10289  ax-icn 10290  ax-addcl 10291  ax-addrcl 10292  ax-mulcl 10293  ax-mulrcl 10294  ax-mulcom 10295  ax-addass 10296  ax-mulass 10297  ax-distr 10298  ax-i2m1 10299  ax-1ne0 10300  ax-1rid 10301  ax-rnegex 10302  ax-rrecex 10303  ax-cnre 10304  ax-pre-lttri 10305  ax-pre-lttrn 10306  ax-pre-ltadd 10307  ax-pre-mulgt0 10308  ax-pre-sup 10309  ax-addf 10310  ax-mulf 10311
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2642  df-clab 2804  df-cleq 2810  df-clel 2813  df-nfc 2948  df-ne 2990  df-nel 3093  df-ral 3112  df-rex 3113  df-reu 3114  df-rmo 3115  df-rab 3116  df-v 3404  df-sbc 3645  df-csb 3740  df-dif 3783  df-un 3785  df-in 3787  df-ss 3794  df-pss 3796  df-symdif 4053  df-nul 4128  df-if 4291  df-pw 4364  df-sn 4382  df-pr 4384  df-tp 4386  df-op 4388  df-uni 4642  df-int 4681  df-iun 4725  df-iin 4726  df-disj 4824  df-br 4856  df-opab 4918  df-mpt 4935  df-tr 4958  df-id 5232  df-eprel 5237  df-po 5245  df-so 5246  df-fr 5283  df-se 5284  df-we 5285  df-xp 5330  df-rel 5331  df-cnv 5332  df-co 5333  df-dm 5334  df-rn 5335  df-res 5336  df-ima 5337  df-pred 5907  df-ord 5953  df-on 5954  df-lim 5955  df-suc 5956  df-iota 6074  df-fun 6113  df-fn 6114  df-f 6115  df-f1 6116  df-fo 6117  df-f1o 6118  df-fv 6119  df-isom 6120  df-riota 6845  df-ov 6887  df-oprab 6888  df-mpt2 6889  df-of 7137  df-ofr 7138  df-om 7306  df-1st 7408  df-2nd 7409  df-supp 7540  df-wrecs 7652  df-recs 7714  df-rdg 7752  df-1o 7806  df-2o 7807  df-oadd 7810  df-omul 7811  df-er 7989  df-map 8104  df-pm 8105  df-ixp 8156  df-en 8203  df-dom 8204  df-sdom 8205  df-fin 8206  df-fsupp 8525  df-fi 8566  df-sup 8597  df-inf 8598  df-oi 8664  df-card 9058  df-acn 9061  df-cda 9285  df-pnf 10371  df-mnf 10372  df-xr 10373  df-ltxr 10374  df-le 10375  df-sub 10563  df-neg 10564  df-div 10980  df-nn 11316  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11580  df-z 11664  df-dec 11780  df-uz 11925  df-q 12028  df-rp 12067  df-xneg 12182  df-xadd 12183  df-xmul 12184  df-ioo 12417  df-ioc 12418  df-ico 12419  df-icc 12420  df-fz 12570  df-fzo 12710  df-fl 12837  df-mod 12913  df-seq 13045  df-exp 13104  df-fac 13301  df-bc 13330  df-hash 13358  df-shft 14050  df-cj 14082  df-re 14083  df-im 14084  df-sqrt 14218  df-abs 14219  df-limsup 14445  df-clim 14462  df-rlim 14463  df-sum 14660  df-ef 15038  df-e 15039  df-sin 15040  df-cos 15041  df-tan 15042  df-pi 15043  df-struct 16090  df-ndx 16091  df-slot 16092  df-base 16094  df-sets 16095  df-ress 16096  df-plusg 16186  df-mulr 16187  df-starv 16188  df-sca 16189  df-vsca 16190  df-ip 16191  df-tset 16192  df-ple 16193  df-ds 16195  df-unif 16196  df-hom 16197  df-cco 16198  df-rest 16308  df-topn 16309  df-0g 16327  df-gsum 16328  df-topgen 16329  df-pt 16330  df-prds 16333  df-xrs 16387  df-qtop 16392  df-imas 16393  df-xps 16395  df-mre 16471  df-mrc 16472  df-acs 16474  df-mgm 17467  df-sgrp 17509  df-mnd 17520  df-submnd 17561  df-mulg 17766  df-cntz 17971  df-cmn 18416  df-psmet 19966  df-xmet 19967  df-met 19968  df-bl 19969  df-mopn 19970  df-fbas 19971  df-fg 19972  df-cnfld 19975  df-top 20933  df-topon 20950  df-topsp 20972  df-bases 20985  df-cld 21058  df-ntr 21059  df-cls 21060  df-nei 21137  df-lp 21175  df-perf 21176  df-cn 21266  df-cnp 21267  df-haus 21354  df-cmp 21425  df-tx 21600  df-hmeo 21793  df-fil 21884  df-fm 21976  df-flim 21977  df-flf 21978  df-xms 22359  df-ms 22360  df-tms 22361  df-cncf 22915  df-ovol 23468  df-vol 23469  df-mbf 23623  df-itg1 23624  df-itg2 23625  df-ibl 23626  df-itg 23627  df-0p 23674  df-limc 23867  df-dv 23868  df-log 24540  df-cxp 24541  df-dp2 29928  df-dp 29945
This theorem is referenced by:  tgoldbachgtde  31086
  Copyright terms: Public domain W3C validator