Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt750lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt750lem 31539
Description: Lemma for tgoldbachgtd 31550. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
hgt750lem ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) < (0.00042248))

Proof of Theorem hgt750lem
StepHypRef Expression
1 7nn0 11767 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
2 3re 11565 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
3 4re 11569 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
4 8re 11581 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℝ
53, 4pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ)
6 dp2cl 30240 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → 48 ∈ ℝ)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 48 ∈ ℝ
82, 7pm3.2i 471 . . . . . 6 (3 ∈ ℝ ∧ 48 ∈ ℝ)
9 dp2cl 30240 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 48 ∈ ℝ) → 348 ∈ ℝ)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 348 ∈ ℝ
11 dpcl 30251 . . . . 5 ((7 ∈ ℕ0348 ∈ ℝ) → (7.348) ∈ ℝ)
121, 10, 11mp2an 688 . . . 4 (7.348) ∈ ℝ
1312a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (7.348) ∈ ℝ)
14 nn0re 11754 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
16 0re 10489 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
18 10re 11966 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℝ
19 2nn0 11762 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
2019, 1deccl 11962 . . . . . . . . 9 27 ∈ ℕ0
21 reexpcl 13296 . . . . . . . . 9 ((10 ∈ ℝ ∧ 27 ∈ ℕ0) → (10↑27) ∈ ℝ)
2218, 20, 21mp2an 688 . . . . . . . 8 (10↑27) ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (10↑27) ∈ ℝ)
24 0lt1 11010 . . . . . . . . 9 0 < 1
25 1nn 11497 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
26 0nn0 11760 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
27 1nn0 11761 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
28 1re 10487 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
29 9re 11584 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℝ
30 1lt9 11691 . . . . . . . . . . . 12 1 < 9
3128, 29, 30ltleii 10610 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 9
3225, 26, 27, 31declei 11983 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 10
33 expge1 13316 . . . . . . . . . 10 ((10 ∈ ℝ ∧ 27 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 10) → 1 ≤ (10↑27))
3418, 20, 32, 33mp3an 1453 . . . . . . . . 9 1 ≤ (10↑27)
3516, 28, 22ltletri 10615 . . . . . . . . 9 ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (10↑27)) → 0 < (10↑27))
3624, 34, 35mp2an 688 . . . . . . . 8 0 < (10↑27)
3736a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 < (10↑27))
38 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (10↑27) ≤ 𝑁)
3917, 23, 15, 37, 38ltletrd 10647 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
4015, 39elrpd 12278 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
4140relogcld 24887 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
4240rpge0d 12285 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
4315, 42resqrtcld 14611 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
4440sqrtgt0d 14606 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 < (√‘𝑁))
4517, 44gtned 10622 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (√‘𝑁) ≠ 0)
4641, 43, 45redivcld 11316 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
4713, 46remulcld 10517 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) ∈ ℝ)
48 elrp 12241 . . . . . . 7 ((10↑27) ∈ ℝ+ ↔ ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑27)))
4922, 36, 48mpbir2an 707 . . . . . 6 (10↑27) ∈ ℝ+
50 relogcl 24840 . . . . . 6 ((10↑27) ∈ ℝ+ → (log‘(10↑27)) ∈ ℝ)
5149, 50ax-mp 5 . . . . 5 (log‘(10↑27)) ∈ ℝ
5222, 36sqrtpclii 14576 . . . . 5 (√‘(10↑27)) ∈ ℝ
5322, 36sqrtgt0ii 14577 . . . . . 6 0 < (√‘(10↑27))
5416, 53gtneii 10599 . . . . 5 (√‘(10↑27)) ≠ 0
5551, 52, 54redivcli 11255 . . . 4 ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) ∈ ℝ
5655a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) ∈ ℝ)
5713, 56remulcld 10517 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) ∈ ℝ)
58 qssre 12208 . . . . 5 ℚ ⊆ ℝ
59 4nn0 11764 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
60 nn0ssq 12206 . . . . . . . . . . . . 13 0 ⊆ ℚ
61 8nn0 11768 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℕ0
6260, 61sselii 3886 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℚ
6359, 62dp2clq 30241 . . . . . . . . . . 11 48 ∈ ℚ
6419, 63dp2clq 30241 . . . . . . . . . 10 248 ∈ ℚ
6519, 64dp2clq 30241 . . . . . . . . 9 2248 ∈ ℚ
6659, 65dp2clq 30241 . . . . . . . 8 42248 ∈ ℚ
6726, 66dp2clq 30241 . . . . . . 7 042248 ∈ ℚ
6826, 67dp2clq 30241 . . . . . 6 0042248 ∈ ℚ
6926, 68dp2clq 30241 . . . . 5 00042248 ∈ ℚ
7058, 69sselii 3886 . . . 4 00042248 ∈ ℝ
71 dpcl 30251 . . . 4 ((0 ∈ ℕ000042248 ∈ ℝ) → (0.00042248) ∈ ℝ)
7226, 70, 71mp2an 688 . . 3 (0.00042248) ∈ ℝ
7372a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (0.00042248) ∈ ℝ)
74 3nn0 11763 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
75 8pos 11597 . . . . . . . . . . 11 0 < 8
76 elrp 12241 . . . . . . . . . . 11 (8 ∈ ℝ+ ↔ (8 ∈ ℝ ∧ 0 < 8))
774, 75, 76mpbir2an 707 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℝ+
7859, 77rpdp2cl 30242 . . . . . . . . 9 48 ∈ ℝ+
7974, 78rpdp2cl 30242 . . . . . . . 8 348 ∈ ℝ+
801, 79rpdpcl 30263 . . . . . . 7 (7.348) ∈ ℝ+
81 elrp 12241 . . . . . . 7 ((7.348) ∈ ℝ+ ↔ ((7.348) ∈ ℝ ∧ 0 < (7.348)))
8280, 81mpbi 231 . . . . . 6 ((7.348) ∈ ℝ ∧ 0 < (7.348))
8382simpri 486 . . . . 5 0 < (7.348)
8416, 12, 83ltleii 10610 . . . 4 0 ≤ (7.348)
8584a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 ≤ (7.348))
8649a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (10↑27) ∈ ℝ+)
87 2cn 11560 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
8887mulid2i 10492 . . . . . . . . 9 (1 · 2) = 2
89 2nn 11558 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
9089, 1, 27, 31declei 11983 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 27
91 2pos 11588 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
9220nn0rei 11756 . . . . . . . . . . . 12 27 ∈ ℝ
93 2re 11559 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
9428, 92, 93lemul1i 11410 . . . . . . . . . . 11 (0 < 2 → (1 ≤ 27 ↔ (1 · 2) ≤ (27 · 2)))
9591, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1 ≤ 27 ↔ (1 · 2) ≤ (27 · 2))
9690, 95mpbi 231 . . . . . . . . 9 (1 · 2) ≤ (27 · 2)
9788, 96eqbrtrri 4985 . . . . . . . 8 2 ≤ (27 · 2)
98 1p1e2 11610 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
99 loge 24851 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘e) = 1
100 egt2lt3 15392 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 < e ∧ e < 3)
101100simpri 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 e < 3
102 epr 15394 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ∈ ℝ+
103 3rp 12245 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ+
104 logltb 24864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((e ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (e < 3 ↔ (log‘e) < (log‘3)))
105102, 103, 104mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (e < 3 ↔ (log‘e) < (log‘3))
106101, 105mpbi 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘e) < (log‘3)
10799, 106eqbrtrri 4985 . . . . . . . . . . . . 13 1 < (log‘3)
108 relogcl 24840 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 ∈ ℝ+ → (log‘3) ∈ ℝ)
109103, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘3) ∈ ℝ
11028, 28, 109, 109lt2addi 11050 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 < (log‘3) ∧ 1 < (log‘3)) → (1 + 1) < ((log‘3) + (log‘3)))
111107, 107, 110mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) < ((log‘3) + (log‘3))
112 3cn 11566 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℂ
113 3ne0 11591 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ≠ 0
114 logmul2 24880 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0 ∧ 3 ∈ ℝ+) → (log‘(3 · 3)) = ((log‘3) + (log‘3)))
115112, 113, 103, 114mp3an 1453 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘(3 · 3)) = ((log‘3) + (log‘3))
116 3t3e9 11652 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 3) = 9
117116fveq2i 6541 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘(3 · 3)) = (log‘9)
118 9lt10 12079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 < 10
11929, 18, 118ltleii 10610 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 ≤ 10
120 9pos 11598 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 9
121 elrp 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (9 ∈ ℝ+ ↔ (9 ∈ ℝ ∧ 0 < 9))
12229, 120, 121mpbir2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 ∈ ℝ+
123 10pos 11964 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 10
124 elrp 12241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (10 ∈ ℝ+ ↔ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10))
12518, 123, 124mpbir2an 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16 10 ∈ ℝ+
126 logleb 24867 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((9 ∈ ℝ+10 ∈ ℝ+) → (9 ≤ 10 ↔ (log‘9) ≤ (log‘10)))
127122, 125, 126mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (9 ≤ 10 ↔ (log‘9) ≤ (log‘10))
128119, 127mpbi 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘9) ≤ (log‘10)
129117, 128eqbrtri 4983 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘(3 · 3)) ≤ (log‘10)
130115, 129eqbrtrri 4985 . . . . . . . . . . . 12 ((log‘3) + (log‘3)) ≤ (log‘10)
13128, 28readdcli 10502 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) ∈ ℝ
132109, 109readdcli 10502 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘3) + (log‘3)) ∈ ℝ
133 relogcl 24840 . . . . . . . . . . . . . 14 (10 ∈ ℝ+ → (log‘10) ∈ ℝ)
134125, 133ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘10) ∈ ℝ
135131, 132, 134ltletri 10615 . . . . . . . . . . . 12 (((1 + 1) < ((log‘3) + (log‘3)) ∧ ((log‘3) + (log‘3)) ≤ (log‘10)) → (1 + 1) < (log‘10))
136111, 130, 135mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) < (log‘10)
13798, 136eqbrtrri 4985 . . . . . . . . . 10 2 < (log‘10)
13893, 134ltlei 10609 . . . . . . . . . 10 (2 < (log‘10) → 2 ≤ (log‘10))
139137, 138ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2 ≤ (log‘10)
14016, 29, 120ltleii 10610 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 9
14189, 1, 26, 140decltdi 11986 . . . . . . . . . 10 0 < 27
14293, 134, 92lemul2i 11411 . . . . . . . . . 10 (0 < 27 → (2 ≤ (log‘10) ↔ (27 · 2) ≤ (27 · (log‘10))))
143141, 142ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (2 ≤ (log‘10) ↔ (27 · 2) ≤ (27 · (log‘10)))
144139, 143mpbi 231 . . . . . . . 8 (27 · 2) ≤ (27 · (log‘10))
14592, 93remulcli 10503 . . . . . . . . 9 (27 · 2) ∈ ℝ
14620nn0zi 11856 . . . . . . . . . . 11 27 ∈ ℤ
147 relogexp 24860 . . . . . . . . . . 11 ((10 ∈ ℝ+27 ∈ ℤ) → (log‘(10↑27)) = (27 · (log‘10)))
148125, 146, 147mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (log‘(10↑27)) = (27 · (log‘10))
149148, 51eqeltrri 2880 . . . . . . . . 9 (27 · (log‘10)) ∈ ℝ
15093, 145, 149letri 10616 . . . . . . . 8 ((2 ≤ (27 · 2) ∧ (27 · 2) ≤ (27 · (log‘10))) → 2 ≤ (27 · (log‘10)))
15197, 144, 150mp2an 688 . . . . . . 7 2 ≤ (27 · (log‘10))
152 relogef 24847 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ → (log‘(exp‘2)) = 2)
15393, 152ax-mp 5 . . . . . . 7 (log‘(exp‘2)) = 2
154151, 153, 1483brtr4i 4992 . . . . . 6 (log‘(exp‘2)) ≤ (log‘(10↑27))
155 rpefcl 15290 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ → (exp‘2) ∈ ℝ+)
15693, 155ax-mp 5 . . . . . . 7 (exp‘2) ∈ ℝ+
157 logleb 24867 . . . . . . 7 (((exp‘2) ∈ ℝ+ ∧ (10↑27) ∈ ℝ+) → ((exp‘2) ≤ (10↑27) ↔ (log‘(exp‘2)) ≤ (log‘(10↑27))))
158156, 49, 157mp2an 688 . . . . . 6 ((exp‘2) ≤ (10↑27) ↔ (log‘(exp‘2)) ≤ (log‘(10↑27)))
159154, 158mpbir 232 . . . . 5 (exp‘2) ≤ (10↑27)
160159a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (exp‘2) ≤ (10↑27))
16186, 40, 160, 38logdivsqrle 31538 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ≤ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))))
16246, 56, 13, 85, 161lemul2ad 11428 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) ≤ ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))))
163 3lt10 12085 . . . . . . . 8 3 < 10
164 4lt10 12084 . . . . . . . . 9 4 < 10
165 8lt10 12080 . . . . . . . . 9 8 < 10
16659, 77, 164, 165dp2lt10 30244 . . . . . . . 8 48 < 10
16774, 78, 163, 166dp2lt10 30244 . . . . . . 7 348 < 10
168 7p1e8 11634 . . . . . . 7 (7 + 1) = 8
1691, 79, 61, 167, 168dplti 30265 . . . . . 6 (7.348) < 8
17058, 62sselii 3886 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
17112, 170, 18lttri 10613 . . . . . 6 (((7.348) < 8 ∧ 8 < 10) → (7.348) < 10)
172169, 165, 171mp2an 688 . . . . 5 (7.348) < 10
17327, 26deccl 11962 . . . . . . . . . 10 10 ∈ ℕ0
174173numexp0 16241 . . . . . . . . 9 (10↑0) = 1
175 0z 11840 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
17618, 175, 1463pm3.2i 1332 . . . . . . . . . 10 (10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ)
177 1lt10 12087 . . . . . . . . . . 11 1 < 10
178177, 141pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (1 < 10 ∧ 0 < 27)
179 ltexp2a 13380 . . . . . . . . . 10 (((10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 0 < 27)) → (10↑0) < (10↑27))
180176, 178, 179mp2an 688 . . . . . . . . 9 (10↑0) < (10↑27)
181174, 180eqbrtrri 4985 . . . . . . . 8 1 < (10↑27)
182 loggt0b 24896 . . . . . . . . 9 ((10↑27) ∈ ℝ+ → (0 < (log‘(10↑27)) ↔ 1 < (10↑27)))
18349, 182ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (log‘(10↑27)) ↔ 1 < (10↑27))
184181, 183mpbir 232 . . . . . . 7 0 < (log‘(10↑27))
18551, 52divgt0i 11396 . . . . . . 7 ((0 < (log‘(10↑27)) ∧ 0 < (√‘(10↑27))) → 0 < ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))))
186184, 53, 185mp2an 688 . . . . . 6 0 < ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))
18712, 18, 55ltmul1i 11406 . . . . . 6 (0 < ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) → ((7.348) < 10 ↔ ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))))))
188186, 187ax-mp 5 . . . . 5 ((7.348) < 10 ↔ ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))))
189172, 188mpbi 231 . . . 4 ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))))
19018recni 10501 . . . . . . . . . . . . 13 10 ∈ ℂ
191 expmul 13324 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (10↑(7 · 2)) = ((10↑7)↑2))
192190, 1, 19, 191mp3an 1453 . . . . . . . . . . . 12 (10↑(7 · 2)) = ((10↑7)↑2)
193 7t2e14 12057 . . . . . . . . . . . . 13 (7 · 2) = 14
194193oveq2i 7027 . . . . . . . . . . . 12 (10↑(7 · 2)) = (10↑14)
195192, 194eqtr3i 2821 . . . . . . . . . . 11 ((10↑7)↑2) = (10↑14)
196195fveq2i 6541 . . . . . . . . . 10 (√‘((10↑7)↑2)) = (√‘(10↑14))
197 reexpcl 13296 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (10↑7) ∈ ℝ)
19818, 1, 197mp2an 688 . . . . . . . . . . 11 (10↑7) ∈ ℝ
1991nn0zi 11856 . . . . . . . . . . . . 13 7 ∈ ℤ
200 expgt0 13312 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ ℤ ∧ 0 < 10) → 0 < (10↑7))
20118, 199, 123, 200mp3an 1453 . . . . . . . . . . . 12 0 < (10↑7)
20216, 198, 201ltleii 10610 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ (10↑7)
203 sqrtsq 14463 . . . . . . . . . . 11 (((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑7)) → (√‘((10↑7)↑2)) = (10↑7))
204198, 202, 203mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (√‘((10↑7)↑2)) = (10↑7)
205196, 204eqtr3i 2821 . . . . . . . . 9 (√‘(10↑14)) = (10↑7)
20627, 59deccl 11962 . . . . . . . . . . . . 13 14 ∈ ℕ0
207206nn0zi 11856 . . . . . . . . . . . 12 14 ∈ ℤ
20818, 207, 1463pm3.2i 1332 . . . . . . . . . . 11 (10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ)
209 1lt2 11656 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
21027, 19, 59, 1, 164, 209decltc 11976 . . . . . . . . . . . 12 14 < 27
211177, 210pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 (1 < 10 ∧ 14 < 27)
212 ltexp2a 13380 . . . . . . . . . . 11 (((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 14 < 27)) → (10↑14) < (10↑27))
213208, 211, 212mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (10↑14) < (10↑27)
214 reexpcl 13296 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℕ0) → (10↑14) ∈ ℝ)
21518, 206, 214mp2an 688 . . . . . . . . . . . 12 (10↑14) ∈ ℝ
216 expgt0 13312 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 0 < 10) → 0 < (10↑14))
21718, 207, 123, 216mp3an 1453 . . . . . . . . . . . . 13 0 < (10↑14)
21816, 215, 217ltleii 10610 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (10↑14)
219215, 218pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 ((10↑14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑14))
22016, 22, 36ltleii 10610 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (10↑27)
22122, 220pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑27))
222 sqrtlt 14455 . . . . . . . . . . 11 ((((10↑14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑14)) ∧ ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑27))) → ((10↑14) < (10↑27) ↔ (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27))))
223219, 221, 222mp2an 688 . . . . . . . . . 10 ((10↑14) < (10↑27) ↔ (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27)))
224213, 223mpbi 231 . . . . . . . . 9 (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27))
225205, 224eqbrtrri 4985 . . . . . . . 8 (10↑7) < (√‘(10↑27))
226198, 201pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 ((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑7))
22752, 53pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 ((√‘(10↑27)) ∈ ℝ ∧ 0 < (√‘(10↑27)))
22851, 184pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 ((log‘(10↑27)) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘(10↑27)))
229 ltdiv2 11374 . . . . . . . . 9 ((((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑7)) ∧ ((√‘(10↑27)) ∈ ℝ ∧ 0 < (√‘(10↑27))) ∧ ((log‘(10↑27)) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘(10↑27)))) → ((10↑7) < (√‘(10↑27)) ↔ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((log‘(10↑27)) / (10↑7))))
230226, 227, 228, 229mp3an 1453 . . . . . . . 8 ((10↑7) < (√‘(10↑27)) ↔ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((log‘(10↑27)) / (10↑7)))
231225, 230mpbi 231 . . . . . . 7 ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((log‘(10↑27)) / (10↑7))
232 6nn 11574 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℕ
233232nngt0i 11524 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 6
23427, 26, 232, 233declt 11975 . . . . . . . . . . . . 13 10 < 16
235 6nn0 11766 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℕ0
23627, 235deccl 11962 . . . . . . . . . . . . . . . 16 16 ∈ ℕ0
237236nn0rei 11756 . . . . . . . . . . . . . . 15 16 ∈ ℝ
23825, 235, 26, 123declti 11985 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 16
239 elrp 12241 . . . . . . . . . . . . . . 15 (16 ∈ ℝ+ ↔ (16 ∈ ℝ ∧ 0 < 16))
240237, 238, 239mpbir2an 707 . . . . . . . . . . . . . 14 16 ∈ ℝ+
241 logltb 24864 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10 ∈ ℝ+16 ∈ ℝ+) → (10 < 16 ↔ (log‘10) < (log‘16)))
242125, 240, 241mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 (10 < 16 ↔ (log‘10) < (log‘16))
243234, 242mpbi 231 . . . . . . . . . . . 12 (log‘10) < (log‘16)
244 2exp4 16250 . . . . . . . . . . . . . 14 (2↑4) = 16
245244fveq2i 6541 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘(2↑4)) = (log‘16)
246 2rp 12244 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
24759nn0zi 11856 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
248 relogexp 24860 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (log‘(2↑4)) = (4 · (log‘2)))
249246, 247, 248mp2an 688 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘(2↑4)) = (4 · (log‘2))
250245, 249eqtr3i 2821 . . . . . . . . . . . 12 (log‘16) = (4 · (log‘2))
251243, 250breqtri 4987 . . . . . . . . . . 11 (log‘10) < (4 · (log‘2))
252100simpli 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 < e
253 logltb 24864 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℝ+ ∧ e ∈ ℝ+) → (2 < e ↔ (log‘2) < (log‘e)))
254246, 102, 253mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 < e ↔ (log‘2) < (log‘e))
255252, 254mpbi 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘2) < (log‘e)
256255, 99breqtri 4987 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘2) < 1
257 4pos 11592 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 4
258 relogcl 24840 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
259246, 258ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (log‘2) ∈ ℝ
260259, 28, 3ltmul2i 11409 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 < 4 → ((log‘2) < 1 ↔ (4 · (log‘2)) < (4 · 1)))
261257, 260ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘2) < 1 ↔ (4 · (log‘2)) < (4 · 1))
262256, 261mpbi 231 . . . . . . . . . . . 12 (4 · (log‘2)) < (4 · 1)
263 4cn 11570 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
264263mulid1i 10491 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 1) = 4
265262, 264breqtri 4987 . . . . . . . . . . 11 (4 · (log‘2)) < 4
2663, 259remulcli 10503 . . . . . . . . . . . 12 (4 · (log‘2)) ∈ ℝ
267134, 266, 3lttri 10613 . . . . . . . . . . 11 (((log‘10) < (4 · (log‘2)) ∧ (4 · (log‘2)) < 4) → (log‘10) < 4)
268251, 265, 267mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (log‘10) < 4
269134, 3, 92ltmul2i 11409 . . . . . . . . . . 11 (0 < 27 → ((log‘10) < 4 ↔ (27 · (log‘10)) < (27 · 4)))
270141, 269ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((log‘10) < 4 ↔ (27 · (log‘10)) < (27 · 4))
271268, 270mpbi 231 . . . . . . . . 9 (27 · (log‘10)) < (27 · 4)
272148, 271eqbrtri 4983 . . . . . . . 8 (log‘(10↑27)) < (27 · 4)
27392, 3remulcli 10503 . . . . . . . . . 10 (27 · 4) ∈ ℝ
27451, 273, 198ltdiv1i 11407 . . . . . . . . 9 (0 < (10↑7) → ((log‘(10↑27)) < (27 · 4) ↔ ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) < ((27 · 4) / (10↑7))))
275201, 274ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((log‘(10↑27)) < (27 · 4) ↔ ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) < ((27 · 4) / (10↑7)))
276272, 275mpbi 231 . . . . . . 7 ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) < ((27 · 4) / (10↑7))
27716, 201gtneii 10599 . . . . . . . . 9 (10↑7) ≠ 0
27851, 198, 277redivcli 11255 . . . . . . . 8 ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) ∈ ℝ
279273, 198, 277redivcli 11255 . . . . . . . 8 ((27 · 4) / (10↑7)) ∈ ℝ
28055, 278, 279lttri 10613 . . . . . . 7 ((((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) ∧ ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) < ((27 · 4) / (10↑7))) → ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((27 · 4) / (10↑7)))
281231, 276, 280mp2an 688 . . . . . 6 ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((27 · 4) / (10↑7))
282 7lt10 12081 . . . . . . . . . 10 7 < 10
283 2lt10 12086 . . . . . . . . . 10 2 < 10
28419, 173, 1, 26, 282, 283decltc 11976 . . . . . . . . 9 27 < 100
285 10nn 11963 . . . . . . . . . . . . 13 10 ∈ ℕ
286285decnncl2 11971 . . . . . . . . . . . 12 100 ∈ ℕ
287286nnrei 11495 . . . . . . . . . . 11 100 ∈ ℝ
28892, 287, 3ltmul1i 11406 . . . . . . . . . 10 (0 < 4 → (27 < 100 ↔ (27 · 4) < (100 · 4)))
289257, 288ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (27 < 100 ↔ (27 · 4) < (100 · 4))
290284, 289mpbi 231 . . . . . . . 8 (27 · 4) < (100 · 4)
291287, 3remulcli 10503 . . . . . . . . . 10 (100 · 4) ∈ ℝ
292273, 291, 198ltdiv1i 11407 . . . . . . . . 9 (0 < (10↑7) → ((27 · 4) < (100 · 4) ↔ ((27 · 4) / (10↑7)) < ((100 · 4) / (10↑7))))
293201, 292ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((27 · 4) < (100 · 4) ↔ ((27 · 4) / (10↑7)) < ((100 · 4) / (10↑7)))
294290, 293mpbi 231 . . . . . . 7 ((27 · 4) / (10↑7)) < ((100 · 4) / (10↑7))
295 8nn 11580 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ ℕ
296 nnrp 12250 . . . . . . . . . . . . . . 15 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
297295, 296ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ ℝ+
29859, 297rpdp2cl 30242 . . . . . . . . . . . . 13 48 ∈ ℝ+
29919, 298rpdp2cl 30242 . . . . . . . . . . . 12 248 ∈ ℝ+
30019, 299rpdp2cl 30242 . . . . . . . . . . 11 2248 ∈ ℝ+
30159, 300dpgti 30266 . . . . . . . . . 10 4 < (4.2248)
30272recni 10501 . . . . . . . . . . . . 13 (0.00042248) ∈ ℂ
303198recni 10501 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑7) ∈ ℂ
304302, 303mulcli 10494 . . . . . . . . . . . 12 ((0.00042248) · (10↑7)) ∈ ℂ
30516, 123gtneii 10599 . . . . . . . . . . . . 13 10 ≠ 0
306190, 305pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)
307287recni 10501 . . . . . . . . . . . . 13 100 ∈ ℂ
308286nnne0i 11525 . . . . . . . . . . . . 13 100 ≠ 0
309307, 308pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)
310 divdiv1 11199 . . . . . . . . . . . 12 ((((0.00042248) · (10↑7)) ∈ ℂ ∧ (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0) ∧ (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)) → ((((0.00042248) · (10↑7)) / 10) / 100) = (((0.00042248) · (10↑7)) / (10 · 100)))
311304, 306, 309, 310mp3an 1453 . . . . . . . . . . 11 ((((0.00042248) · (10↑7)) / 10) / 100) = (((0.00042248) · (10↑7)) / (10 · 100))
312302, 303, 190, 305div23i 11246 . . . . . . . . . . . 12 (((0.00042248) · (10↑7)) / 10) = (((0.00042248) / 10) · (10↑7))
313312oveq1i 7026 . . . . . . . . . . 11 ((((0.00042248) · (10↑7)) / 10) / 100) = ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100)
314190, 307mulcli 10494 . . . . . . . . . . . . 13 (10 · 100) ∈ ℂ
315190, 307, 305, 308mulne0i 11131 . . . . . . . . . . . . 13 (10 · 100) ≠ 0
316302, 303, 314, 315divassi 11244 . . . . . . . . . . . 12 (((0.00042248) · (10↑7)) / (10 · 100)) = ((0.00042248) · ((10↑7) / (10 · 100)))
317 expp1 13286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((10 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (10↑(2 + 1)) = ((10↑2) · 10))
318190, 19, 317mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (10↑(2 + 1)) = ((10↑2) · 10)
319 sq10 13474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (10↑2) = 100
320319oveq1i 7026 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((10↑2) · 10) = (100 · 10)
321307, 190mulcomi 10495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (100 · 10) = (10 · 100)
322318, 320, 3213eqtrri 2824 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (10 · 100) = (10↑(2 + 1))
323 2p1e3 11627 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 + 1) = 3
324323oveq2i 7027 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (10↑(2 + 1)) = (10↑3)
325322, 324eqtri 2819 . . . . . . . . . . . . . . 15 (10 · 100) = (10↑3)
326325oveq2i 7027 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10↑7) / (10 · 100)) = ((10↑7) / (10↑3))
32774nn0zi 11856 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℤ
328199, 327pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
329 expsub 13327 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0) ∧ (7 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)) → (10↑(7 − 3)) = ((10↑7) / (10↑3)))
330306, 328, 329mp2an 688 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑(7 − 3)) = ((10↑7) / (10↑3))
331 7cn 11579 . . . . . . . . . . . . . . . 16 7 ∈ ℂ
332 4p3e7 11639 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 + 3) = 7
333263, 112, 332addcomli 10679 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 + 4) = 7
334331, 112, 263, 333subaddrii 10823 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 − 3) = 4
335334oveq2i 7027 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑(7 − 3)) = (10↑4)
336326, 330, 3353eqtr2i 2825 . . . . . . . . . . . . 13 ((10↑7) / (10 · 100)) = (10↑4)
337336oveq2i 7027 . . . . . . . . . . . 12 ((0.00042248) · ((10↑7) / (10 · 100))) = ((0.00042248) · (10↑4))
338173numexp1 16242 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑1) = 10
339338oveq2i 7027 . . . . . . . . . . . . 13 ((0.42248) · (10↑1)) = ((0.42248) · 10)
34059, 300rpdp2cl 30242 . . . . . . . . . . . . . . 15 42248 ∈ ℝ+
34125nnzi 11855 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℤ
34289nnzi 11855 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
34326, 340, 98, 341, 342dpexpp1 30268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0.42248) · (10↑1)) = ((0.042248) · (10↑2))
34426, 340rpdp2cl 30242 . . . . . . . . . . . . . . 15 042248 ∈ ℝ+
34526, 344, 323, 342, 327dpexpp1 30268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0.042248) · (10↑2)) = ((0.0042248) · (10↑3))
34626, 344rpdp2cl 30242 . . . . . . . . . . . . . . 15 0042248 ∈ ℝ+
347 3p1e4 11630 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 + 1) = 4
34826, 346, 347, 327, 247dpexpp1 30268 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0.0042248) · (10↑3)) = ((0.00042248) · (10↑4))
349343, 345, 3483eqtri 2823 . . . . . . . . . . . . 13 ((0.42248) · (10↑1)) = ((0.00042248) · (10↑4))
35059, 3000dp2dp 30269 . . . . . . . . . . . . 13 ((0.42248) · 10) = (4.2248)
351339, 349, 3503eqtr3i 2827 . . . . . . . . . . . 12 ((0.00042248) · (10↑4)) = (4.2248)
352316, 337, 3513eqtri 2823 . . . . . . . . . . 11 (((0.00042248) · (10↑7)) / (10 · 100)) = (4.2248)
353311, 313, 3523eqtr3i 2827 . . . . . . . . . 10 ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100) = (4.2248)
354301, 353breqtrri 4989 . . . . . . . . 9 4 < ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100)
35572, 18, 305redivcli 11255 . . . . . . . . . . 11 ((0.00042248) / 10) ∈ ℝ
356355, 198remulcli 10503 . . . . . . . . . 10 (((0.00042248) / 10) · (10↑7)) ∈ ℝ
357286nngt0i 11524 . . . . . . . . . . 11 0 < 100
358287, 357pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (100 ∈ ℝ ∧ 0 < 100)
359 ltmuldiv2 11362 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ (((0.00042248) / 10) · (10↑7)) ∈ ℝ ∧ (100 ∈ ℝ ∧ 0 < 100)) → ((100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7)) ↔ 4 < ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100)))
3603, 356, 358, 359mp3an 1453 . . . . . . . . 9 ((100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7)) ↔ 4 < ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100))
361354, 360mpbir 232 . . . . . . . 8 (100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7))
362 ltdivmul2 11365 . . . . . . . . 9 (((100 · 4) ∈ ℝ ∧ ((0.00042248) / 10) ∈ ℝ ∧ ((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑7))) → (((100 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10) ↔ (100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7))))
363291, 355, 226, 362mp3an 1453 . . . . . . . 8 (((100 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10) ↔ (100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7)))
364361, 363mpbir 232 . . . . . . 7 ((100 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10)
365291, 198, 277redivcli 11255 . . . . . . . 8 ((100 · 4) / (10↑7)) ∈ ℝ
366279, 365, 355lttri 10613 . . . . . . 7 ((((27 · 4) / (10↑7)) < ((100 · 4) / (10↑7)) ∧ ((100 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10)) → ((27 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10))
367294, 364, 366mp2an 688 . . . . . 6 ((27 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10)
368226simpli 484 . . . . . . . 8 (10↑7) ∈ ℝ
369273, 368, 277redivcli 11255 . . . . . . 7 ((27 · 4) / (10↑7)) ∈ ℝ
37055, 369, 355lttri 10613 . . . . . 6 ((((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((27 · 4) / (10↑7)) ∧ ((27 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10)) → ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((0.00042248) / 10))
371281, 367, 370mp2an 688 . . . . 5 ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((0.00042248) / 10)
372125, 124mpbi 231 . . . . . 6 (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)
373 ltmuldiv2 11362 . . . . . 6 ((((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) ∈ ℝ ∧ (0.00042248) ∈ ℝ ∧ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)) → ((10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248) ↔ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((0.00042248) / 10)))
37455, 72, 372, 373mp3an 1453 . . . . 5 ((10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248) ↔ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((0.00042248) / 10))
375371, 374mpbir 232 . . . 4 (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248)
37612, 55remulcli 10503 . . . . 5 ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) ∈ ℝ
37718, 55remulcli 10503 . . . . 5 (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) ∈ ℝ
378376, 377, 72lttri 10613 . . . 4 ((((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) ∧ (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248)) → ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248))
379189, 375, 378mp2an 688 . . 3 ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248)
380379a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248))
38147, 57, 73, 162, 380lelttrd 10645 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) < (0.00042248))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984   class class class wbr 4962  cfv 6225  (class class class)co 7016  cc 10381  cr 10382  0cc0 10383  1c1 10384   + caddc 10386   · cmul 10388   < clt 10521  cle 10522  cmin 10717   / cdiv 11145  cn 11486  2c2 11540  3c3 11541  4c4 11542  6c6 11544  7c7 11545  8c8 11546  9c9 11547  0cn0 11745  cz 11829  cdc 11947  cq 12197  +crp 12239  cexp 13279  csqrt 14426  expce 15248  eceu 15249  logclog 24819  cdp2 30231  .cdp 30248
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cc 9703  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-symdif 4139  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-disj 4931  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-ofr 7268  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-omul 7958  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-dju 9176  df-card 9214  df-acn 9217  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-fac 13484  df-bc 13513  df-hash 13541  df-shft 14260  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-limsup 14662  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-ef 15254  df-e 15255  df-sin 15256  df-cos 15257  df-tan 15258  df-pi 15259  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-fbas 20224  df-fg 20225  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cld 21311  df-ntr 21312  df-cls 21313  df-nei 21390  df-lp 21428  df-perf 21429  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-haus 21607  df-cmp 21679  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-fil 22138  df-fm 22230  df-flim 22231  df-flf 22232  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cncf 23169  df-ovol 23748  df-vol 23749  df-mbf 23903  df-itg1 23904  df-itg2 23905  df-ibl 23906  df-itg 23907  df-0p 23954  df-limc 24147  df-dv 24148  df-log 24821  df-cxp 24822  df-dp2 30232  df-dp 30249
This theorem is referenced by:  tgoldbachgtde  31548
  Copyright terms: Public domain W3C validator