Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hgt750lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hgt750lem 33264
Description: Lemma for tgoldbachgtd 33275. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Dec-2021.)
Assertion
Ref Expression
hgt750lem ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) < (0.00042248))

Proof of Theorem hgt750lem
StepHypRef Expression
1 7nn0 12435 . . . . 5 7 ∈ ℕ0
2 3re 12233 . . . . . . 7 3 ∈ ℝ
3 4re 12237 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℝ
4 8re 12249 . . . . . . . . 9 8 ∈ ℝ
53, 4pm3.2i 471 . . . . . . . 8 (4 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ)
6 dp2cl 31736 . . . . . . . 8 ((4 ∈ ℝ ∧ 8 ∈ ℝ) → 48 ∈ ℝ)
75, 6ax-mp 5 . . . . . . 7 48 ∈ ℝ
82, 7pm3.2i 471 . . . . . 6 (3 ∈ ℝ ∧ 48 ∈ ℝ)
9 dp2cl 31736 . . . . . 6 ((3 ∈ ℝ ∧ 48 ∈ ℝ) → 348 ∈ ℝ)
108, 9ax-mp 5 . . . . 5 348 ∈ ℝ
11 dpcl 31747 . . . . 5 ((7 ∈ ℕ0348 ∈ ℝ) → (7.348) ∈ ℝ)
121, 10, 11mp2an 690 . . . 4 (7.348) ∈ ℝ
1312a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (7.348) ∈ ℝ)
14 nn0re 12422 . . . . . . 7 (𝑁 ∈ ℕ0𝑁 ∈ ℝ)
1514adantr 481 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ)
16 0re 11157 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
1716a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 ∈ ℝ)
18 10re 12637 . . . . . . . . 9 10 ∈ ℝ
19 2nn0 12430 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℕ0
2019, 1deccl 12633 . . . . . . . . 9 27 ∈ ℕ0
21 reexpcl 13984 . . . . . . . . 9 ((10 ∈ ℝ ∧ 27 ∈ ℕ0) → (10↑27) ∈ ℝ)
2218, 20, 21mp2an 690 . . . . . . . 8 (10↑27) ∈ ℝ
2322a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (10↑27) ∈ ℝ)
24 0lt1 11677 . . . . . . . . 9 0 < 1
25 1nn 12164 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ
26 0nn0 12428 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℕ0
27 1nn0 12429 . . . . . . . . . . 11 1 ∈ ℕ0
28 1re 11155 . . . . . . . . . . . 12 1 ∈ ℝ
29 9re 12252 . . . . . . . . . . . 12 9 ∈ ℝ
30 1lt9 12359 . . . . . . . . . . . 12 1 < 9
3128, 29, 30ltleii 11278 . . . . . . . . . . 11 1 ≤ 9
3225, 26, 27, 31declei 12654 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 10
33 expge1 14005 . . . . . . . . . 10 ((10 ∈ ℝ ∧ 27 ∈ ℕ0 ∧ 1 ≤ 10) → 1 ≤ (10↑27))
3418, 20, 32, 33mp3an 1461 . . . . . . . . 9 1 ≤ (10↑27)
3516, 28, 22ltletri 11283 . . . . . . . . 9 ((0 < 1 ∧ 1 ≤ (10↑27)) → 0 < (10↑27))
3624, 34, 35mp2an 690 . . . . . . . 8 0 < (10↑27)
3736a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 < (10↑27))
38 simpr 485 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (10↑27) ≤ 𝑁)
3917, 23, 15, 37, 38ltletrd 11315 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 < 𝑁)
4015, 39elrpd 12954 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 𝑁 ∈ ℝ+)
4140relogcld 25978 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (log‘𝑁) ∈ ℝ)
4240rpge0d 12961 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 ≤ 𝑁)
4315, 42resqrtcld 15302 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (√‘𝑁) ∈ ℝ)
4440sqrtgt0d 15297 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 < (√‘𝑁))
4517, 44gtned 11290 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (√‘𝑁) ≠ 0)
4641, 43, 45redivcld 11983 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ∈ ℝ)
4713, 46remulcld 11185 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) ∈ ℝ)
48 elrp 12917 . . . . . . 7 ((10↑27) ∈ ℝ+ ↔ ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑27)))
4922, 36, 48mpbir2an 709 . . . . . 6 (10↑27) ∈ ℝ+
50 relogcl 25931 . . . . . 6 ((10↑27) ∈ ℝ+ → (log‘(10↑27)) ∈ ℝ)
5149, 50ax-mp 5 . . . . 5 (log‘(10↑27)) ∈ ℝ
5222, 36sqrtpclii 15267 . . . . 5 (√‘(10↑27)) ∈ ℝ
5322, 36sqrtgt0ii 15268 . . . . . 6 0 < (√‘(10↑27))
5416, 53gtneii 11267 . . . . 5 (√‘(10↑27)) ≠ 0
5551, 52, 54redivcli 11922 . . . 4 ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) ∈ ℝ
5655a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) ∈ ℝ)
5713, 56remulcld 11185 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) ∈ ℝ)
58 qssre 12884 . . . . 5 ℚ ⊆ ℝ
59 4nn0 12432 . . . . . . . . 9 4 ∈ ℕ0
60 nn0ssq 12882 . . . . . . . . . . . . 13 0 ⊆ ℚ
61 8nn0 12436 . . . . . . . . . . . . 13 8 ∈ ℕ0
6260, 61sselii 3941 . . . . . . . . . . . 12 8 ∈ ℚ
6359, 62dp2clq 31737 . . . . . . . . . . 11 48 ∈ ℚ
6419, 63dp2clq 31737 . . . . . . . . . 10 248 ∈ ℚ
6519, 64dp2clq 31737 . . . . . . . . 9 2248 ∈ ℚ
6659, 65dp2clq 31737 . . . . . . . 8 42248 ∈ ℚ
6726, 66dp2clq 31737 . . . . . . 7 042248 ∈ ℚ
6826, 67dp2clq 31737 . . . . . 6 0042248 ∈ ℚ
6926, 68dp2clq 31737 . . . . 5 00042248 ∈ ℚ
7058, 69sselii 3941 . . . 4 00042248 ∈ ℝ
71 dpcl 31747 . . . 4 ((0 ∈ ℕ000042248 ∈ ℝ) → (0.00042248) ∈ ℝ)
7226, 70, 71mp2an 690 . . 3 (0.00042248) ∈ ℝ
7372a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (0.00042248) ∈ ℝ)
74 3nn0 12431 . . . . . . . . 9 3 ∈ ℕ0
75 8pos 12265 . . . . . . . . . . 11 0 < 8
76 elrp 12917 . . . . . . . . . . 11 (8 ∈ ℝ+ ↔ (8 ∈ ℝ ∧ 0 < 8))
774, 75, 76mpbir2an 709 . . . . . . . . . 10 8 ∈ ℝ+
7859, 77rpdp2cl 31738 . . . . . . . . 9 48 ∈ ℝ+
7974, 78rpdp2cl 31738 . . . . . . . 8 348 ∈ ℝ+
801, 79rpdpcl 31759 . . . . . . 7 (7.348) ∈ ℝ+
81 elrp 12917 . . . . . . 7 ((7.348) ∈ ℝ+ ↔ ((7.348) ∈ ℝ ∧ 0 < (7.348)))
8280, 81mpbi 229 . . . . . 6 ((7.348) ∈ ℝ ∧ 0 < (7.348))
8382simpri 486 . . . . 5 0 < (7.348)
8416, 12, 83ltleii 11278 . . . 4 0 ≤ (7.348)
8584a1i 11 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → 0 ≤ (7.348))
8649a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (10↑27) ∈ ℝ+)
87 2cn 12228 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℂ
8887mulid2i 11160 . . . . . . . . 9 (1 · 2) = 2
89 2nn 12226 . . . . . . . . . . 11 2 ∈ ℕ
9089, 1, 27, 31declei 12654 . . . . . . . . . 10 1 ≤ 27
91 2pos 12256 . . . . . . . . . . 11 0 < 2
9220nn0rei 12424 . . . . . . . . . . . 12 27 ∈ ℝ
93 2re 12227 . . . . . . . . . . . 12 2 ∈ ℝ
9428, 92, 93lemul1i 12077 . . . . . . . . . . 11 (0 < 2 → (1 ≤ 27 ↔ (1 · 2) ≤ (27 · 2)))
9591, 94ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 (1 ≤ 27 ↔ (1 · 2) ≤ (27 · 2))
9690, 95mpbi 229 . . . . . . . . 9 (1 · 2) ≤ (27 · 2)
9788, 96eqbrtrri 5128 . . . . . . . 8 2 ≤ (27 · 2)
98 1p1e2 12278 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) = 2
99 loge 25942 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘e) = 1
100 egt2lt3 16088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 < e ∧ e < 3)
101100simpri 486 . . . . . . . . . . . . . . 15 e < 3
102 epr 16090 . . . . . . . . . . . . . . . 16 e ∈ ℝ+
103 3rp 12921 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℝ+
104 logltb 25955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((e ∈ ℝ+ ∧ 3 ∈ ℝ+) → (e < 3 ↔ (log‘e) < (log‘3)))
105102, 103, 104mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (e < 3 ↔ (log‘e) < (log‘3))
106101, 105mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘e) < (log‘3)
10799, 106eqbrtrri 5128 . . . . . . . . . . . . 13 1 < (log‘3)
108 relogcl 25931 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 ∈ ℝ+ → (log‘3) ∈ ℝ)
109103, 108ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘3) ∈ ℝ
11028, 28, 109, 109lt2addi 11717 . . . . . . . . . . . . 13 ((1 < (log‘3) ∧ 1 < (log‘3)) → (1 + 1) < ((log‘3) + (log‘3)))
111107, 107, 110mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (1 + 1) < ((log‘3) + (log‘3))
112 3cn 12234 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ∈ ℂ
113 3ne0 12259 . . . . . . . . . . . . . 14 3 ≠ 0
114 logmul2 25971 . . . . . . . . . . . . . 14 ((3 ∈ ℂ ∧ 3 ≠ 0 ∧ 3 ∈ ℝ+) → (log‘(3 · 3)) = ((log‘3) + (log‘3)))
115112, 113, 103, 114mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘(3 · 3)) = ((log‘3) + (log‘3))
116 3t3e9 12320 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 · 3) = 9
117116fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘(3 · 3)) = (log‘9)
118 9lt10 12749 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 < 10
11929, 18, 118ltleii 11278 . . . . . . . . . . . . . . 15 9 ≤ 10
120 9pos 12266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 9
121 elrp 12917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (9 ∈ ℝ+ ↔ (9 ∈ ℝ ∧ 0 < 9))
12229, 120, 121mpbir2an 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 9 ∈ ℝ+
123 10pos 12635 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 < 10
124 elrp 12917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (10 ∈ ℝ+ ↔ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10))
12518, 123, 124mpbir2an 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16 10 ∈ ℝ+
126 logleb 25958 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((9 ∈ ℝ+10 ∈ ℝ+) → (9 ≤ 10 ↔ (log‘9) ≤ (log‘10)))
127122, 125, 126mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (9 ≤ 10 ↔ (log‘9) ≤ (log‘10))
128119, 127mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘9) ≤ (log‘10)
129117, 128eqbrtri 5126 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘(3 · 3)) ≤ (log‘10)
130115, 129eqbrtrri 5128 . . . . . . . . . . . 12 ((log‘3) + (log‘3)) ≤ (log‘10)
13128, 28readdcli 11170 . . . . . . . . . . . . 13 (1 + 1) ∈ ℝ
132109, 109readdcli 11170 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘3) + (log‘3)) ∈ ℝ
133 relogcl 25931 . . . . . . . . . . . . . 14 (10 ∈ ℝ+ → (log‘10) ∈ ℝ)
134125, 133ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘10) ∈ ℝ
135131, 132, 134ltletri 11283 . . . . . . . . . . . 12 (((1 + 1) < ((log‘3) + (log‘3)) ∧ ((log‘3) + (log‘3)) ≤ (log‘10)) → (1 + 1) < (log‘10))
136111, 130, 135mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (1 + 1) < (log‘10)
13798, 136eqbrtrri 5128 . . . . . . . . . 10 2 < (log‘10)
13893, 134ltlei 11277 . . . . . . . . . 10 (2 < (log‘10) → 2 ≤ (log‘10))
139137, 138ax-mp 5 . . . . . . . . 9 2 ≤ (log‘10)
14016, 29, 120ltleii 11278 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ 9
14189, 1, 26, 140decltdi 12657 . . . . . . . . . 10 0 < 27
14293, 134, 92lemul2i 12078 . . . . . . . . . 10 (0 < 27 → (2 ≤ (log‘10) ↔ (27 · 2) ≤ (27 · (log‘10))))
143141, 142ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (2 ≤ (log‘10) ↔ (27 · 2) ≤ (27 · (log‘10)))
144139, 143mpbi 229 . . . . . . . 8 (27 · 2) ≤ (27 · (log‘10))
14592, 93remulcli 11171 . . . . . . . . 9 (27 · 2) ∈ ℝ
14620nn0zi 12528 . . . . . . . . . . 11 27 ∈ ℤ
147 relogexp 25951 . . . . . . . . . . 11 ((10 ∈ ℝ+27 ∈ ℤ) → (log‘(10↑27)) = (27 · (log‘10)))
148125, 146, 147mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (log‘(10↑27)) = (27 · (log‘10))
149148, 51eqeltrri 2835 . . . . . . . . 9 (27 · (log‘10)) ∈ ℝ
15093, 145, 149letri 11284 . . . . . . . 8 ((2 ≤ (27 · 2) ∧ (27 · 2) ≤ (27 · (log‘10))) → 2 ≤ (27 · (log‘10)))
15197, 144, 150mp2an 690 . . . . . . 7 2 ≤ (27 · (log‘10))
152 relogef 25938 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ → (log‘(exp‘2)) = 2)
15393, 152ax-mp 5 . . . . . . 7 (log‘(exp‘2)) = 2
154151, 153, 1483brtr4i 5135 . . . . . 6 (log‘(exp‘2)) ≤ (log‘(10↑27))
155 rpefcl 15986 . . . . . . . 8 (2 ∈ ℝ → (exp‘2) ∈ ℝ+)
15693, 155ax-mp 5 . . . . . . 7 (exp‘2) ∈ ℝ+
157 logleb 25958 . . . . . . 7 (((exp‘2) ∈ ℝ+ ∧ (10↑27) ∈ ℝ+) → ((exp‘2) ≤ (10↑27) ↔ (log‘(exp‘2)) ≤ (log‘(10↑27))))
158156, 49, 157mp2an 690 . . . . . 6 ((exp‘2) ≤ (10↑27) ↔ (log‘(exp‘2)) ≤ (log‘(10↑27)))
159154, 158mpbir 230 . . . . 5 (exp‘2) ≤ (10↑27)
160159a1i 11 . . . 4 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → (exp‘2) ≤ (10↑27))
16186, 40, 160, 38logdivsqrle 33263 . . 3 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((log‘𝑁) / (√‘𝑁)) ≤ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))))
16246, 56, 13, 85, 161lemul2ad 12095 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) ≤ ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))))
163 3lt10 12755 . . . . . . . 8 3 < 10
164 4lt10 12754 . . . . . . . . 9 4 < 10
165 8lt10 12750 . . . . . . . . 9 8 < 10
16659, 77, 164, 165dp2lt10 31740 . . . . . . . 8 48 < 10
16774, 78, 163, 166dp2lt10 31740 . . . . . . 7 348 < 10
168 7p1e8 12302 . . . . . . 7 (7 + 1) = 8
1691, 79, 61, 167, 168dplti 31761 . . . . . 6 (7.348) < 8
17058, 62sselii 3941 . . . . . . 7 8 ∈ ℝ
17112, 170, 18lttri 11281 . . . . . 6 (((7.348) < 8 ∧ 8 < 10) → (7.348) < 10)
172169, 165, 171mp2an 690 . . . . 5 (7.348) < 10
17327, 26deccl 12633 . . . . . . . . . 10 10 ∈ ℕ0
174173numexp0 16948 . . . . . . . . 9 (10↑0) = 1
175 0z 12510 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ ℤ
17618, 175, 1463pm3.2i 1339 . . . . . . . . . 10 (10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ)
177 1lt10 12757 . . . . . . . . . . 11 1 < 10
178177, 141pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (1 < 10 ∧ 0 < 27)
179 ltexp2a 14071 . . . . . . . . . 10 (((10 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 0 < 27)) → (10↑0) < (10↑27))
180176, 178, 179mp2an 690 . . . . . . . . 9 (10↑0) < (10↑27)
181174, 180eqbrtrri 5128 . . . . . . . 8 1 < (10↑27)
182 loggt0b 25987 . . . . . . . . 9 ((10↑27) ∈ ℝ+ → (0 < (log‘(10↑27)) ↔ 1 < (10↑27)))
18349, 182ax-mp 5 . . . . . . . 8 (0 < (log‘(10↑27)) ↔ 1 < (10↑27))
184181, 183mpbir 230 . . . . . . 7 0 < (log‘(10↑27))
18551, 52divgt0i 12063 . . . . . . 7 ((0 < (log‘(10↑27)) ∧ 0 < (√‘(10↑27))) → 0 < ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))))
186184, 53, 185mp2an 690 . . . . . 6 0 < ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))
18712, 18, 55ltmul1i 12073 . . . . . 6 (0 < ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) → ((7.348) < 10 ↔ ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))))))
188186, 187ax-mp 5 . . . . 5 ((7.348) < 10 ↔ ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))))
189172, 188mpbi 229 . . . 4 ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))))
19018recni 11169 . . . . . . . . . . . . 13 10 ∈ ℂ
191 expmul 14013 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℂ ∧ 7 ∈ ℕ0 ∧ 2 ∈ ℕ0) → (10↑(7 · 2)) = ((10↑7)↑2))
192190, 1, 19, 191mp3an 1461 . . . . . . . . . . . 12 (10↑(7 · 2)) = ((10↑7)↑2)
193 7t2e14 12727 . . . . . . . . . . . . 13 (7 · 2) = 14
194193oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . 12 (10↑(7 · 2)) = (10↑14)
195192, 194eqtr3i 2766 . . . . . . . . . . 11 ((10↑7)↑2) = (10↑14)
196195fveq2i 6845 . . . . . . . . . 10 (√‘((10↑7)↑2)) = (√‘(10↑14))
197 reexpcl 13984 . . . . . . . . . . . 12 ((10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ ℕ0) → (10↑7) ∈ ℝ)
19818, 1, 197mp2an 690 . . . . . . . . . . 11 (10↑7) ∈ ℝ
1991nn0zi 12528 . . . . . . . . . . . . 13 7 ∈ ℤ
200 expgt0 14001 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℝ ∧ 7 ∈ ℤ ∧ 0 < 10) → 0 < (10↑7))
20118, 199, 123, 200mp3an 1461 . . . . . . . . . . . 12 0 < (10↑7)
20216, 198, 201ltleii 11278 . . . . . . . . . . 11 0 ≤ (10↑7)
203 sqrtsq 15154 . . . . . . . . . . 11 (((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑7)) → (√‘((10↑7)↑2)) = (10↑7))
204198, 202, 203mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (√‘((10↑7)↑2)) = (10↑7)
205196, 204eqtr3i 2766 . . . . . . . . 9 (√‘(10↑14)) = (10↑7)
20627, 59deccl 12633 . . . . . . . . . . . . 13 14 ∈ ℕ0
207206nn0zi 12528 . . . . . . . . . . . 12 14 ∈ ℤ
20818, 207, 1463pm3.2i 1339 . . . . . . . . . . 11 (10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ)
209 1lt2 12324 . . . . . . . . . . . . 13 1 < 2
21027, 19, 59, 1, 164, 209decltc 12647 . . . . . . . . . . . 12 14 < 27
211177, 210pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 (1 < 10 ∧ 14 < 27)
212 ltexp2a 14071 . . . . . . . . . . 11 (((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 27 ∈ ℤ) ∧ (1 < 10 ∧ 14 < 27)) → (10↑14) < (10↑27))
213208, 211, 212mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (10↑14) < (10↑27)
214 reexpcl 13984 . . . . . . . . . . . . 13 ((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℕ0) → (10↑14) ∈ ℝ)
21518, 206, 214mp2an 690 . . . . . . . . . . . 12 (10↑14) ∈ ℝ
216 expgt0 14001 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10 ∈ ℝ ∧ 14 ∈ ℤ ∧ 0 < 10) → 0 < (10↑14))
21718, 207, 123, 216mp3an 1461 . . . . . . . . . . . . 13 0 < (10↑14)
21816, 215, 217ltleii 11278 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (10↑14)
219215, 218pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 ((10↑14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑14))
22016, 22, 36ltleii 11278 . . . . . . . . . . . 12 0 ≤ (10↑27)
22122, 220pm3.2i 471 . . . . . . . . . . 11 ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑27))
222 sqrtlt 15146 . . . . . . . . . . 11 ((((10↑14) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑14)) ∧ ((10↑27) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (10↑27))) → ((10↑14) < (10↑27) ↔ (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27))))
223219, 221, 222mp2an 690 . . . . . . . . . 10 ((10↑14) < (10↑27) ↔ (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27)))
224213, 223mpbi 229 . . . . . . . . 9 (√‘(10↑14)) < (√‘(10↑27))
225205, 224eqbrtrri 5128 . . . . . . . 8 (10↑7) < (√‘(10↑27))
226198, 201pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 ((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑7))
22752, 53pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 ((√‘(10↑27)) ∈ ℝ ∧ 0 < (√‘(10↑27)))
22851, 184pm3.2i 471 . . . . . . . . 9 ((log‘(10↑27)) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘(10↑27)))
229 ltdiv2 12041 . . . . . . . . 9 ((((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑7)) ∧ ((√‘(10↑27)) ∈ ℝ ∧ 0 < (√‘(10↑27))) ∧ ((log‘(10↑27)) ∈ ℝ ∧ 0 < (log‘(10↑27)))) → ((10↑7) < (√‘(10↑27)) ↔ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((log‘(10↑27)) / (10↑7))))
230226, 227, 228, 229mp3an 1461 . . . . . . . 8 ((10↑7) < (√‘(10↑27)) ↔ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((log‘(10↑27)) / (10↑7)))
231225, 230mpbi 229 . . . . . . 7 ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((log‘(10↑27)) / (10↑7))
232 6nn 12242 . . . . . . . . . . . . . 14 6 ∈ ℕ
233232nngt0i 12192 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 6
23427, 26, 232, 233declt 12646 . . . . . . . . . . . . 13 10 < 16
235 6nn0 12434 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 6 ∈ ℕ0
23627, 235deccl 12633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 16 ∈ ℕ0
237236nn0rei 12424 . . . . . . . . . . . . . . 15 16 ∈ ℝ
23825, 235, 26, 123declti 12656 . . . . . . . . . . . . . . 15 0 < 16
239 elrp 12917 . . . . . . . . . . . . . . 15 (16 ∈ ℝ+ ↔ (16 ∈ ℝ ∧ 0 < 16))
240237, 238, 239mpbir2an 709 . . . . . . . . . . . . . 14 16 ∈ ℝ+
241 logltb 25955 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10 ∈ ℝ+16 ∈ ℝ+) → (10 < 16 ↔ (log‘10) < (log‘16)))
242125, 240, 241mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (10 < 16 ↔ (log‘10) < (log‘16))
243234, 242mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (log‘10) < (log‘16)
244 2exp4 16957 . . . . . . . . . . . . . 14 (2↑4) = 16
245244fveq2i 6845 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘(2↑4)) = (log‘16)
246 2rp 12920 . . . . . . . . . . . . . 14 2 ∈ ℝ+
24759nn0zi 12528 . . . . . . . . . . . . . 14 4 ∈ ℤ
248 relogexp 25951 . . . . . . . . . . . . . 14 ((2 ∈ ℝ+ ∧ 4 ∈ ℤ) → (log‘(2↑4)) = (4 · (log‘2)))
249246, 247, 248mp2an 690 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘(2↑4)) = (4 · (log‘2))
250245, 249eqtr3i 2766 . . . . . . . . . . . 12 (log‘16) = (4 · (log‘2))
251243, 250breqtri 5130 . . . . . . . . . . 11 (log‘10) < (4 · (log‘2))
252100simpli 484 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 < e
253 logltb 25955 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℝ+ ∧ e ∈ ℝ+) → (2 < e ↔ (log‘2) < (log‘e)))
254246, 102, 253mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . 15 (2 < e ↔ (log‘2) < (log‘e))
255252, 254mpbi 229 . . . . . . . . . . . . . 14 (log‘2) < (log‘e)
256255, 99breqtri 5130 . . . . . . . . . . . . 13 (log‘2) < 1
257 4pos 12260 . . . . . . . . . . . . . 14 0 < 4
258 relogcl 25931 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (2 ∈ ℝ+ → (log‘2) ∈ ℝ)
259246, 258ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . 15 (log‘2) ∈ ℝ
260259, 28, 3ltmul2i 12076 . . . . . . . . . . . . . 14 (0 < 4 → ((log‘2) < 1 ↔ (4 · (log‘2)) < (4 · 1)))
261257, 260ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 ((log‘2) < 1 ↔ (4 · (log‘2)) < (4 · 1))
262256, 261mpbi 229 . . . . . . . . . . . 12 (4 · (log‘2)) < (4 · 1)
263 4cn 12238 . . . . . . . . . . . . 13 4 ∈ ℂ
264263mulid1i 11159 . . . . . . . . . . . 12 (4 · 1) = 4
265262, 264breqtri 5130 . . . . . . . . . . 11 (4 · (log‘2)) < 4
2663, 259remulcli 11171 . . . . . . . . . . . 12 (4 · (log‘2)) ∈ ℝ
267134, 266, 3lttri 11281 . . . . . . . . . . 11 (((log‘10) < (4 · (log‘2)) ∧ (4 · (log‘2)) < 4) → (log‘10) < 4)
268251, 265, 267mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (log‘10) < 4
269134, 3, 92ltmul2i 12076 . . . . . . . . . . 11 (0 < 27 → ((log‘10) < 4 ↔ (27 · (log‘10)) < (27 · 4)))
270141, 269ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 ((log‘10) < 4 ↔ (27 · (log‘10)) < (27 · 4))
271268, 270mpbi 229 . . . . . . . . 9 (27 · (log‘10)) < (27 · 4)
272148, 271eqbrtri 5126 . . . . . . . 8 (log‘(10↑27)) < (27 · 4)
27392, 3remulcli 11171 . . . . . . . . . 10 (27 · 4) ∈ ℝ
27451, 273, 198ltdiv1i 12074 . . . . . . . . 9 (0 < (10↑7) → ((log‘(10↑27)) < (27 · 4) ↔ ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) < ((27 · 4) / (10↑7))))
275201, 274ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((log‘(10↑27)) < (27 · 4) ↔ ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) < ((27 · 4) / (10↑7)))
276272, 275mpbi 229 . . . . . . 7 ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) < ((27 · 4) / (10↑7))
27716, 201gtneii 11267 . . . . . . . . 9 (10↑7) ≠ 0
27851, 198, 277redivcli 11922 . . . . . . . 8 ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) ∈ ℝ
279273, 198, 277redivcli 11922 . . . . . . . 8 ((27 · 4) / (10↑7)) ∈ ℝ
28055, 278, 279lttri 11281 . . . . . . 7 ((((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) ∧ ((log‘(10↑27)) / (10↑7)) < ((27 · 4) / (10↑7))) → ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((27 · 4) / (10↑7)))
281231, 276, 280mp2an 690 . . . . . 6 ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((27 · 4) / (10↑7))
282 7lt10 12751 . . . . . . . . . 10 7 < 10
283 2lt10 12756 . . . . . . . . . 10 2 < 10
28419, 173, 1, 26, 282, 283decltc 12647 . . . . . . . . 9 27 < 100
285 10nn 12634 . . . . . . . . . . . . 13 10 ∈ ℕ
286285decnncl2 12642 . . . . . . . . . . . 12 100 ∈ ℕ
287286nnrei 12162 . . . . . . . . . . 11 100 ∈ ℝ
28892, 287, 3ltmul1i 12073 . . . . . . . . . 10 (0 < 4 → (27 < 100 ↔ (27 · 4) < (100 · 4)))
289257, 288ax-mp 5 . . . . . . . . 9 (27 < 100 ↔ (27 · 4) < (100 · 4))
290284, 289mpbi 229 . . . . . . . 8 (27 · 4) < (100 · 4)
291287, 3remulcli 11171 . . . . . . . . . 10 (100 · 4) ∈ ℝ
292273, 291, 198ltdiv1i 12074 . . . . . . . . 9 (0 < (10↑7) → ((27 · 4) < (100 · 4) ↔ ((27 · 4) / (10↑7)) < ((100 · 4) / (10↑7))))
293201, 292ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((27 · 4) < (100 · 4) ↔ ((27 · 4) / (10↑7)) < ((100 · 4) / (10↑7)))
294290, 293mpbi 229 . . . . . . 7 ((27 · 4) / (10↑7)) < ((100 · 4) / (10↑7))
295 8nn 12248 . . . . . . . . . . . . . . 15 8 ∈ ℕ
296 nnrp 12926 . . . . . . . . . . . . . . 15 (8 ∈ ℕ → 8 ∈ ℝ+)
297295, 296ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 8 ∈ ℝ+
29859, 297rpdp2cl 31738 . . . . . . . . . . . . 13 48 ∈ ℝ+
29919, 298rpdp2cl 31738 . . . . . . . . . . . 12 248 ∈ ℝ+
30019, 299rpdp2cl 31738 . . . . . . . . . . 11 2248 ∈ ℝ+
30159, 300dpgti 31762 . . . . . . . . . 10 4 < (4.2248)
30272recni 11169 . . . . . . . . . . . . 13 (0.00042248) ∈ ℂ
303198recni 11169 . . . . . . . . . . . . 13 (10↑7) ∈ ℂ
304302, 303mulcli 11162 . . . . . . . . . . . 12 ((0.00042248) · (10↑7)) ∈ ℂ
30516, 123gtneii 11267 . . . . . . . . . . . . 13 10 ≠ 0
306190, 305pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0)
307287recni 11169 . . . . . . . . . . . . 13 100 ∈ ℂ
308286nnne0i 12193 . . . . . . . . . . . . 13 100 ≠ 0
309307, 308pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . 12 (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)
310 divdiv1 11866 . . . . . . . . . . . 12 ((((0.00042248) · (10↑7)) ∈ ℂ ∧ (10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0) ∧ (100 ∈ ℂ ∧ 100 ≠ 0)) → ((((0.00042248) · (10↑7)) / 10) / 100) = (((0.00042248) · (10↑7)) / (10 · 100)))
311304, 306, 309, 310mp3an 1461 . . . . . . . . . . 11 ((((0.00042248) · (10↑7)) / 10) / 100) = (((0.00042248) · (10↑7)) / (10 · 100))
312302, 303, 190, 305div23i 11913 . . . . . . . . . . . 12 (((0.00042248) · (10↑7)) / 10) = (((0.00042248) / 10) · (10↑7))
313312oveq1i 7367 . . . . . . . . . . 11 ((((0.00042248) · (10↑7)) / 10) / 100) = ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100)
314190, 307mulcli 11162 . . . . . . . . . . . . 13 (10 · 100) ∈ ℂ
315190, 307, 305, 308mulne0i 11798 . . . . . . . . . . . . 13 (10 · 100) ≠ 0
316302, 303, 314, 315divassi 11911 . . . . . . . . . . . 12 (((0.00042248) · (10↑7)) / (10 · 100)) = ((0.00042248) · ((10↑7) / (10 · 100)))
317 expp1 13974 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((10 ∈ ℂ ∧ 2 ∈ ℕ0) → (10↑(2 + 1)) = ((10↑2) · 10))
318190, 19, 317mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (10↑(2 + 1)) = ((10↑2) · 10)
319 sq10 14164 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (10↑2) = 100
320319oveq1i 7367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((10↑2) · 10) = (100 · 10)
321307, 190mulcomi 11163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (100 · 10) = (10 · 100)
322318, 320, 3213eqtrri 2769 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (10 · 100) = (10↑(2 + 1))
323 2p1e3 12295 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (2 + 1) = 3
324323oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (10↑(2 + 1)) = (10↑3)
325322, 324eqtri 2764 . . . . . . . . . . . . . . 15 (10 · 100) = (10↑3)
326325oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . 14 ((10↑7) / (10 · 100)) = ((10↑7) / (10↑3))
32774nn0zi 12528 . . . . . . . . . . . . . . . 16 3 ∈ ℤ
328199, 327pm3.2i 471 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)
329 expsub 14016 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((10 ∈ ℂ ∧ 10 ≠ 0) ∧ (7 ∈ ℤ ∧ 3 ∈ ℤ)) → (10↑(7 − 3)) = ((10↑7) / (10↑3)))
330306, 328, 329mp2an 690 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑(7 − 3)) = ((10↑7) / (10↑3))
331 7cn 12247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 7 ∈ ℂ
332 4p3e7 12307 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (4 + 3) = 7
333263, 112, 332addcomli 11347 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (3 + 4) = 7
334331, 112, 263, 333subaddrii 11490 . . . . . . . . . . . . . . 15 (7 − 3) = 4
335334oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑(7 − 3)) = (10↑4)
336326, 330, 3353eqtr2i 2770 . . . . . . . . . . . . 13 ((10↑7) / (10 · 100)) = (10↑4)
337336oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . 12 ((0.00042248) · ((10↑7) / (10 · 100))) = ((0.00042248) · (10↑4))
338173numexp1 16949 . . . . . . . . . . . . . 14 (10↑1) = 10
339338oveq2i 7368 . . . . . . . . . . . . 13 ((0.42248) · (10↑1)) = ((0.42248) · 10)
34059, 300rpdp2cl 31738 . . . . . . . . . . . . . . 15 42248 ∈ ℝ+
34125nnzi 12527 . . . . . . . . . . . . . . 15 1 ∈ ℤ
34289nnzi 12527 . . . . . . . . . . . . . . 15 2 ∈ ℤ
34326, 340, 98, 341, 342dpexpp1 31764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0.42248) · (10↑1)) = ((0.042248) · (10↑2))
34426, 340rpdp2cl 31738 . . . . . . . . . . . . . . 15 042248 ∈ ℝ+
34526, 344, 323, 342, 327dpexpp1 31764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0.042248) · (10↑2)) = ((0.0042248) · (10↑3))
34626, 344rpdp2cl 31738 . . . . . . . . . . . . . . 15 0042248 ∈ ℝ+
347 3p1e4 12298 . . . . . . . . . . . . . . 15 (3 + 1) = 4
34826, 346, 347, 327, 247dpexpp1 31764 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0.0042248) · (10↑3)) = ((0.00042248) · (10↑4))
349343, 345, 3483eqtri 2768 . . . . . . . . . . . . 13 ((0.42248) · (10↑1)) = ((0.00042248) · (10↑4))
35059, 3000dp2dp 31765 . . . . . . . . . . . . 13 ((0.42248) · 10) = (4.2248)
351339, 349, 3503eqtr3i 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((0.00042248) · (10↑4)) = (4.2248)
352316, 337, 3513eqtri 2768 . . . . . . . . . . 11 (((0.00042248) · (10↑7)) / (10 · 100)) = (4.2248)
353311, 313, 3523eqtr3i 2772 . . . . . . . . . 10 ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100) = (4.2248)
354301, 353breqtrri 5132 . . . . . . . . 9 4 < ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100)
35572, 18, 305redivcli 11922 . . . . . . . . . . 11 ((0.00042248) / 10) ∈ ℝ
356355, 198remulcli 11171 . . . . . . . . . 10 (((0.00042248) / 10) · (10↑7)) ∈ ℝ
357286nngt0i 12192 . . . . . . . . . . 11 0 < 100
358287, 357pm3.2i 471 . . . . . . . . . 10 (100 ∈ ℝ ∧ 0 < 100)
359 ltmuldiv2 12029 . . . . . . . . . 10 ((4 ∈ ℝ ∧ (((0.00042248) / 10) · (10↑7)) ∈ ℝ ∧ (100 ∈ ℝ ∧ 0 < 100)) → ((100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7)) ↔ 4 < ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100)))
3603, 356, 358, 359mp3an 1461 . . . . . . . . 9 ((100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7)) ↔ 4 < ((((0.00042248) / 10) · (10↑7)) / 100))
361354, 360mpbir 230 . . . . . . . 8 (100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7))
362 ltdivmul2 12032 . . . . . . . . 9 (((100 · 4) ∈ ℝ ∧ ((0.00042248) / 10) ∈ ℝ ∧ ((10↑7) ∈ ℝ ∧ 0 < (10↑7))) → (((100 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10) ↔ (100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7))))
363291, 355, 226, 362mp3an 1461 . . . . . . . 8 (((100 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10) ↔ (100 · 4) < (((0.00042248) / 10) · (10↑7)))
364361, 363mpbir 230 . . . . . . 7 ((100 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10)
365291, 198, 277redivcli 11922 . . . . . . . 8 ((100 · 4) / (10↑7)) ∈ ℝ
366279, 365, 355lttri 11281 . . . . . . 7 ((((27 · 4) / (10↑7)) < ((100 · 4) / (10↑7)) ∧ ((100 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10)) → ((27 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10))
367294, 364, 366mp2an 690 . . . . . 6 ((27 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10)
368226simpli 484 . . . . . . . 8 (10↑7) ∈ ℝ
369273, 368, 277redivcli 11922 . . . . . . 7 ((27 · 4) / (10↑7)) ∈ ℝ
37055, 369, 355lttri 11281 . . . . . 6 ((((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((27 · 4) / (10↑7)) ∧ ((27 · 4) / (10↑7)) < ((0.00042248) / 10)) → ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((0.00042248) / 10))
371281, 367, 370mp2an 690 . . . . 5 ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((0.00042248) / 10)
372125, 124mpbi 229 . . . . . 6 (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)
373 ltmuldiv2 12029 . . . . . 6 ((((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) ∈ ℝ ∧ (0.00042248) ∈ ℝ ∧ (10 ∈ ℝ ∧ 0 < 10)) → ((10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248) ↔ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((0.00042248) / 10)))
37455, 72, 372, 373mp3an 1461 . . . . 5 ((10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248) ↔ ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27))) < ((0.00042248) / 10))
375371, 374mpbir 230 . . . 4 (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248)
37612, 55remulcli 11171 . . . . 5 ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) ∈ ℝ
37718, 55remulcli 11171 . . . . 5 (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) ∈ ℝ
378376, 377, 72lttri 11281 . . . 4 ((((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) ∧ (10 · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248)) → ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248))
379189, 375, 378mp2an 690 . . 3 ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248)
380379a1i 11 . 2 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘(10↑27)) / (√‘(10↑27)))) < (0.00042248))
38147, 57, 73, 162, 380lelttrd 11313 1 ((𝑁 ∈ ℕ0 ∧ (10↑27) ≤ 𝑁) → ((7.348) · ((log‘𝑁) / (√‘𝑁))) < (0.00042248))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943   class class class wbr 5105  cfv 6496  (class class class)co 7357  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051  1c1 11052   + caddc 11054   · cmul 11056   < clt 11189  cle 11190  cmin 11385   / cdiv 11812  cn 12153  2c2 12208  3c3 12209  4c4 12210  6c6 12212  7c7 12213  8c8 12214  9c9 12215  0cn0 12413  cz 12499  cdc 12618  cq 12873  +crp 12915  cexp 13967  csqrt 15118  expce 15944  eceu 15945  logclog 25910  cdp2 31727  .cdp 31744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-symdif 4202  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ioc 13269  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-mod 13775  df-seq 13907  df-exp 13968  df-fac 14174  df-bc 14203  df-hash 14231  df-shft 14952  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-limsup 15353  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-ef 15950  df-e 15951  df-sin 15952  df-cos 15953  df-tan 15954  df-pi 15955  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-lp 22487  df-perf 22488  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-haus 22666  df-cmp 22738  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cncf 24241  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-itg 24987  df-0p 25034  df-limc 25230  df-dv 25231  df-log 25912  df-cxp 25913  df-dp2 31728  df-dp 31745
This theorem is referenced by:  tgoldbachgtde  33273
  Copyright terms: Public domain W3C validator