Theorem ltsso 27877

Description: Less-than totally orders the surreals. Axiom O of [Alling] p. 184. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ltsso	⊢ <s Or No

Proof of Theorem ltsso

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltssolem1 27876	. 2 ⊢ {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} Or ({1o, 2o} ∪ {∅})
2		df-no 27844	. 2 ⊢ No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1o, 2o}}
3		df-lts 27845	. 2 ⊢ <s = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ No ∧ 𝑔 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑔‘𝑥)))}
4		nosgnn0 27859	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
5	1, 2, 3, 4	soseq 8164	1 ⊢ <s Or No

This proof depends on syntax axioms:  ∅c0 4289  {cpr 4596  {ctp 4598  ⟨cop 4600   Or wor 5573  1_oc1o 8455  2_oc2o 8456   No csur 27841   <s clts 27842

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-tp 4599  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-ord 6370  df-on 6371  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-fv 6551  df-1o 8462  df-2o 8463  df-no 27844  df-lts 27845

This theorem is used by:  nosepne  27881  nosepdm  27885  nodenselem4  27888  nodenselem5  27889  nodenselem7  27891  nolt02o  27896  nogt01o  27897  noresle  27898  nomaxmo  27899  nominmo  27900  nosupprefixmo  27901  noinfprefixmo  27902  nosupbnd1lem1  27909  nosupbnd1lem2  27910  nosupbnd1lem4  27912  nosupbnd1lem6  27914  nosupbnd1  27915  nosupbnd2lem1  27916  nosupbnd2  27917  noinfbnd1lem1  27924  noinfbnd1lem2  27925  noinfbnd1lem4  27927  noinfbnd1lem6  27929  noinfbnd1  27930  noinfbnd2lem1  27931  noinfbnd2  27932  noetasuplem4  27937  noetainflem4  27941  ltsirr  27947  ltstr  27948  ltsasym  27949  ltslin  27950  ltstrieq2  27951  ltstrine  27952  lesloe  27955  ltlestr  27961  leltstr  27962  n0fincut  28585  bdayfinbndlem1  28697