Theorem ltsso 27798

Description: Less-than totally orders the surreals. Axiom O of [Alling] p. 184. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ltsso	⊢ <s Or No

Proof of Theorem ltsso

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltssolem1 27797	. 2 ⊢ {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} Or ({1o, 2o} ∪ {∅})
2		df-no 27765	. 2 ⊢ No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1o, 2o}}
3		df-lts 27766	. 2 ⊢ <s = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ No ∧ 𝑔 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑔‘𝑥)))}
4		nosgnn0 27780	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
5	1, 2, 3, 4	soseq 8143	1 ⊢ <s Or No

Syntax hints:  ∅c0 4288  {cpr 4587  {ctp 4589  ⟨cop 4591   Or wor 5559  1_oc1o 8434  2_oc2o 8435   No csur 27762   <s clts 27763

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-ord 6353  df-on 6354  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-1o 8441  df-2o 8442  df-no 27765  df-lts 27766

This theorem is referenced by:  nosepne  27802  nosepdm  27806  nodenselem4  27809  nodenselem5  27810  nodenselem7  27812  nolt02o  27817  nogt01o  27818  noresle  27819  nomaxmo  27820  nominmo  27821  nosupprefixmo  27822  noinfprefixmo  27823  nosupbnd1lem1  27830  nosupbnd1lem2  27831  nosupbnd1lem4  27833  nosupbnd1lem6  27835  nosupbnd1  27836  nosupbnd2lem1  27837  nosupbnd2  27838  noinfbnd1lem1  27845  noinfbnd1lem2  27846  noinfbnd1lem4  27848  noinfbnd1lem6  27850  noinfbnd1  27851  noinfbnd2lem1  27852  noinfbnd2  27853  noetasuplem4  27858  noetainflem4  27862  ltsirr  27868  ltstr  27869  ltsasym  27870  ltslin  27871  ltstrieq2  27872  ltstrine  27873  lesloe  27876  ltlestr  27882  leltstr  27883  n0fincut  28506  bdayfinbndlem1  28618