Theorem ltsso 27920

Description: Less-than totally orders the surreals. Axiom O of [Alling] p. 184. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ltsso	⊢ <s Or No

Proof of Theorem ltsso

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltssolem1 27919	. 2 ⊢ {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} Or ({1o, 2o} ∪ {∅})
2		df-no 27887	. 2 ⊢ No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1o, 2o}}
3		df-lts 27888	. 2 ⊢ <s = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ No ∧ 𝑔 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑔‘𝑥)))}
4		nosgnn0 27902	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
5	1, 2, 3, 4	soseq 8161	1 ⊢ <s Or No

This proof depends on syntax axioms:  ∅c0 4282  {cpr 4589  {ctp 4591  ⟨cop 4593   Or wor 5566  1_oc1o 8452  2_oc2o 8453   No csur 27884   <s clts 27885

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-ord 6364  df-on 6365  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-fv 6545  df-1o 8459  df-2o 8460  df-no 27887  df-lts 27888

This theorem is used by:  nosepne  27924  nosepdm  27928  nodenselem4  27931  nodenselem5  27932  nodenselem7  27934  nolt02o  27939  nogt01o  27940  noresle  27941  nomaxmo  27942  nominmo  27943  nosupprefixmo  27944  noinfprefixmo  27945  nosupbnd1lem1  27952  nosupbnd1lem2  27953  nosupbnd1lem4  27955  nosupbnd1lem6  27957  nosupbnd1  27958  nosupbnd2lem1  27959  nosupbnd2  27960  noinfbnd1lem1  27967  noinfbnd1lem2  27968  noinfbnd1lem4  27970  noinfbnd1lem6  27972  noinfbnd1  27973  noinfbnd2lem1  27974  noinfbnd2  27975  noetasuplem4  27980  noetainflem4  27984  ltsirr  27990  ltstr  27991  ltsasym  27992  ltslin  27993  ltstrieq2  27994  ltstrine  27995  lesloe  27998  ltlestr  28004  leltstr  28005  n0fincut  28628  bdayfinbndlem1  28740