Theorem ltsso 27654

Description: Less-than totally orders the surreals. Axiom O of [Alling] p. 184. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ltsso	⊢ <s Or No

Proof of Theorem ltsso

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltssolem1 27653	. 2 ⊢ {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} Or ({1o, 2o} ∪ {∅})
2		df-no 27620	. 2 ⊢ No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1o, 2o}}
3		df-lts 27621	. 2 ⊢ <s = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ No ∧ 𝑔 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑔‘𝑥)))}
4		nosgnn0 27636	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
5	1, 2, 3, 4	soseq 8102	1 ⊢ <s Or No

Syntax hints:  ∅c0 4274  {cpr 4570  {ctp 4572  ⟨cop 4574   Or wor 5531  1_oc1o 8391  2_oc2o 8392   No csur 27617   <s clts 27618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pr 5370

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-1o 8398  df-2o 8399  df-no 27620  df-lts 27621

This theorem is referenced by:  nosepne  27658  nosepdm  27662  nodenselem4  27665  nodenselem5  27666  nodenselem7  27668  nolt02o  27673  nogt01o  27674  noresle  27675  nomaxmo  27676  nominmo  27677  nosupprefixmo  27678  noinfprefixmo  27679  nosupbnd1lem1  27686  nosupbnd1lem2  27687  nosupbnd1lem4  27689  nosupbnd1lem6  27691  nosupbnd1  27692  nosupbnd2lem1  27693  nosupbnd2  27694  noinfbnd1lem1  27701  noinfbnd1lem2  27702  noinfbnd1lem4  27704  noinfbnd1lem6  27706  noinfbnd1  27707  noinfbnd2lem1  27708  noinfbnd2  27709  noetasuplem4  27714  noetainflem4  27718  ltsirr  27724  ltstr  27725  ltsasym  27726  ltslin  27727  ltstrieq2  27728  ltstrine  27729  lesloe  27732  ltlestr  27738  leltstr  27739  n0fincut  28361  bdayfinbndlem1  28473