Theorem ltsso 27818

Description: Less-than totally orders the surreals. Axiom O of [Alling] p. 184. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ltsso	⊢ <s Or No

Proof of Theorem ltsso

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltssolem1 27817	. 2 ⊢ {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} Or ({1o, 2o} ∪ {∅})
2		df-no 27785	. 2 ⊢ No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1o, 2o}}
3		df-lts 27786	. 2 ⊢ <s = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ No ∧ 𝑔 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑔‘𝑥)))}
4		nosgnn0 27800	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
5	1, 2, 3, 4	soseq 8156	1 ⊢ <s Or No

Syntax hints:  ∅c0 4287  {cpr 4592  {ctp 4594  ⟨cop 4596   Or wor 5570  1_oc1o 8447  2_oc2o 8448   No csur 27782   <s clts 27783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pr 5406

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-1o 8454  df-2o 8455  df-no 27785  df-lts 27786

This theorem is referenced by:  nosepne  27822  nosepdm  27826  nodenselem4  27829  nodenselem5  27830  nodenselem7  27832  nolt02o  27837  nogt01o  27838  noresle  27839  nomaxmo  27840  nominmo  27841  nosupprefixmo  27842  noinfprefixmo  27843  nosupbnd1lem1  27850  nosupbnd1lem2  27851  nosupbnd1lem4  27853  nosupbnd1lem6  27855  nosupbnd1  27856  nosupbnd2lem1  27857  nosupbnd2  27858  noinfbnd1lem1  27865  noinfbnd1lem2  27866  noinfbnd1lem4  27868  noinfbnd1lem6  27870  noinfbnd1  27871  noinfbnd2lem1  27872  noinfbnd2  27873  noetasuplem4  27878  noetainflem4  27882  ltsirr  27888  ltstr  27889  ltsasym  27890  ltslin  27891  ltstrieq2  27892  ltstrine  27893  lesloe  27896  ltlestr  27902  leltstr  27903  n0fincut  28526  bdayfinbndlem1  28638