Theorem ltsso 28038

Description: Less-than totally orders the surreals. Axiom O of [Alling] p. 184. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ltsso	⊢ <s Or No

Proof of Theorem ltsso

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltssolem1 28037	. 2 ⊢ {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} Or ({1o, 2o} ∪ {∅})
2		df-no 28005	. 2 ⊢ No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1o, 2o}}
3		df-lts 28006	. 2 ⊢ <s = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ No ∧ 𝑔 ∈ No) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑔‘𝑥)))}
4		nosgnn0 28020	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
5	1, 2, 3, 4	soseq 8178	1 ⊢ <s Or No

This proof depends on syntax axioms:  ∅c0 4278  {cpr 4586  {ctp 4588  ⟨cop 4834   Or wor 5557  1_oc1o 8472  2_oc2o 8473  Nocsur 28002   <s clts 28003

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-fv 6546  df-1o 8479  df-2o 8480  df-no 28005  df-lts 28006

This theorem is used by:  nosepne  28042  nosepdm  28046  nodenselem4  28049  nodenselem5  28050  nodenselem7  28052  nolt02o  28057  nogt01o  28058  noresle  28059  nomaxmo  28060  nominmo  28061  nosupprefixmo  28062  noinfprefixmo  28063  nosupbnd1lem1  28070  nosupbnd1lem2  28071  nosupbnd1lem4  28073  nosupbnd1lem6  28075  nosupbnd1  28076  nosupbnd2lem1  28077  nosupbnd2  28078  noinfbnd1lem1  28085  noinfbnd1lem2  28086  noinfbnd1lem4  28088  noinfbnd1lem6  28090  noinfbnd1  28091  noinfbnd2lem1  28092  noinfbnd2  28093  noetasuplem4  28098  noetainflem4  28102  ltsirr  28108  ltstr  28109  ltsasym  28110  ltslin  28111  ltstrieq2  28112  ltstrine  28113  lesloe  28116  ltlestr  28122  leltstr  28123  n0fincut  28746  bdayfinbndlem1  28858