Theorem ltsso 28015

Description: Less-than totally orders the surreals. Axiom O of [Alling] p. 184. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ltsso	⊢ <s Or No

Proof of Theorem ltsso

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltssolem1 28014	. 2 ⊢ {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} Or ({1o, 2o} ∪ {∅})
2		df-no 27982	. 2 ⊢ No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1o, 2o}}
3		df-lts 27983	. 2 ⊢ <s = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ No ∧ 𝑔 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑔‘𝑥)))}
4		nosgnn0 27997	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
5	1, 2, 3, 4	soseq 8160	1 ⊢ <s Or No

This proof depends on syntax axioms:  ∅c0 4279  {cpr 4586  {ctp 4588  ⟨cop 4590   Or wor 5558  1_oc1o 8453  2_oc2o 8454   No csur 27979   <s clts 27980

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-1o 8460  df-2o 8461  df-no 27982  df-lts 27983

This theorem is used by:  nosepne  28019  nosepdm  28023  nodenselem4  28026  nodenselem5  28027  nodenselem7  28029  nolt02o  28034  nogt01o  28035  noresle  28036  nomaxmo  28037  nominmo  28038  nosupprefixmo  28039  noinfprefixmo  28040  nosupbnd1lem1  28047  nosupbnd1lem2  28048  nosupbnd1lem4  28050  nosupbnd1lem6  28052  nosupbnd1  28053  nosupbnd2lem1  28054  nosupbnd2  28055  noinfbnd1lem1  28062  noinfbnd1lem2  28063  noinfbnd1lem4  28065  noinfbnd1lem6  28067  noinfbnd1  28068  noinfbnd2lem1  28069  noinfbnd2  28070  noetasuplem4  28075  noetainflem4  28079  ltsirr  28085  ltstr  28086  ltsasym  28087  ltslin  28088  ltstrieq2  28089  ltstrine  28090  lesloe  28093  ltlestr  28099  leltstr  28100  n0fincut  28723  bdayfinbndlem1  28835