Theorem ltsso 27717

Description: Less-than totally orders the surreals. Axiom O of [Alling] p. 184. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ltsso	⊢ <s Or No

Proof of Theorem ltsso

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltssolem1 27716	. 2 ⊢ {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} Or ({1o, 2o} ∪ {∅})
2		df-no 27684	. 2 ⊢ No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1o, 2o}}
3		df-lts 27685	. 2 ⊢ <s = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ No ∧ 𝑔 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑔‘𝑥)))}
4		nosgnn0 27699	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
5	1, 2, 3, 4	soseq 8134	1 ⊢ <s Or No

Syntax hints:  ∅c0 4285  {cpr 4583  {ctp 4585  ⟨cop 4587   Or wor 5552  1_oc1o 8425  2_oc2o 8426   No csur 27681   <s clts 27682

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-uni 4865  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-ord 6345  df-on 6346  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-fv 6525  df-1o 8432  df-2o 8433  df-no 27684  df-lts 27685

This theorem is referenced by:  nosepne  27721  nosepdm  27725  nodenselem4  27728  nodenselem5  27729  nodenselem7  27731  nolt02o  27736  nogt01o  27737  noresle  27738  nomaxmo  27739  nominmo  27740  nosupprefixmo  27741  noinfprefixmo  27742  nosupbnd1lem1  27749  nosupbnd1lem2  27750  nosupbnd1lem4  27752  nosupbnd1lem6  27754  nosupbnd1  27755  nosupbnd2lem1  27756  nosupbnd2  27757  noinfbnd1lem1  27764  noinfbnd1lem2  27765  noinfbnd1lem4  27767  noinfbnd1lem6  27769  noinfbnd1  27770  noinfbnd2lem1  27771  noinfbnd2  27772  noetasuplem4  27777  noetainflem4  27781  ltsirr  27787  ltstr  27788  ltsasym  27789  ltslin  27790  ltstrieq2  27791  ltstrine  27792  lesloe  27795  ltlestr  27801  leltstr  27802  n0fincut  28425  bdayfinbndlem1  28537