Theorem ltsso 27665

Description: Less-than totally orders the surreals. Axiom O of [Alling] p. 184. (Contributed by Scott Fenton, 9-Jun-2011.)

Assertion

Ref	Expression
ltsso	⊢ <s Or No

Proof of Theorem ltsso

Dummy variables 𝑓 𝑔 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltssolem1 27664	. 2 ⊢ {⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} Or ({1o, 2o} ∪ {∅})
2		df-no 27631	. 2 ⊢ No = {𝑓 ∣ ∃𝑥 ∈ On 𝑓:𝑥⟶{1o, 2o}}
3		df-lts 27632	. 2 ⊢ <s = {⟨𝑓, 𝑔⟩ ∣ ((𝑓 ∈ No ∧ 𝑔 ∈ No ) ∧ ∃𝑥 ∈ On (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑓‘𝑦) = (𝑔‘𝑦) ∧ (𝑓‘𝑥){⟨1o, ∅⟩, ⟨1o, 2o⟩, ⟨∅, 2o⟩} (𝑔‘𝑥)))}
4		nosgnn0 27647	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ {1o, 2o}
5	1, 2, 3, 4	soseq 8106	1 ⊢ <s Or No

Syntax hints:  ∅c0 4268  {cpr 4564  {ctp 4566  ⟨cop 4568   Or wor 5532  1_oc1o 8395  2_oc2o 8396   No csur 27628   <s clts 27629

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pr 5369

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-ral 3055  df-rex 3065  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-tp 4567  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-1o 8402  df-2o 8403  df-no 27631  df-lts 27632

This theorem is referenced by:  nosepne  27669  nosepdm  27673  nodenselem4  27676  nodenselem5  27677  nodenselem7  27679  nolt02o  27684  nogt01o  27685  noresle  27686  nomaxmo  27687  nominmo  27688  nosupprefixmo  27689  noinfprefixmo  27690  nosupbnd1lem1  27697  nosupbnd1lem2  27698  nosupbnd1lem4  27700  nosupbnd1lem6  27702  nosupbnd1  27703  nosupbnd2lem1  27704  nosupbnd2  27705  noinfbnd1lem1  27712  noinfbnd1lem2  27713  noinfbnd1lem4  27715  noinfbnd1lem6  27717  noinfbnd1  27718  noinfbnd2lem1  27719  noinfbnd2  27720  noetasuplem4  27725  noetainflem4  27729  ltsirr  27735  ltstr  27736  ltsasym  27737  ltslin  27738  ltstrieq2  27739  ltstrine  27740  lesloe  27743  ltlestr  27749  leltstr  27750  n0fincut  28372  bdayfinbndlem1  28484