Theorem ltrn11at 38716

Description: Frequently used one-to-one property of lattice translation atoms. (Contributed by NM, 5-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrneq2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrneq2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrneq2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrn11at	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑄))

Proof of Theorem ltrn11at

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp33 1211	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑃 ≠ 𝑄)
2		simp1 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		simp2 1137	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
4		simp31 1209	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
5		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		ltrneq2.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atbase 37857	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9		simp32 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
10	5, 6	atbase 37857	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
12		ltrneq2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13		ltrneq2.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14	5, 12, 13	ltrn11 38695	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))
15	2, 3, 8, 11, 14	syl112anc 1374	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))
16	15	necon3bid 2984	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑄) ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
17	1, 16	mpbird 256	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2939  ‘cfv 6516  Basecbs 17109  Atomscatm 37831  HLchlt 37918  LHypclh 38553  LTrncltrn 38670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5262  ax-sep 5276  ax-nul 5283  ax-pow 5340  ax-pr 5404  ax-un 7692

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3365  df-rab 3419  df-v 3461  df-sbc 3758  df-csb 3874  df-dif 3931  df-un 3933  df-in 3935  df-ss 3945  df-nul 4303  df-if 4507  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4886  df-iun 4976  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5209  df-id 5551  df-xp 5659  df-rel 5660  df-cnv 5661  df-co 5662  df-dm 5663  df-rn 5664  df-res 5665  df-ima 5666  df-iota 6468  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-ov 7380  df-oprab 7381  df-mpo 7382  df-map 8789  df-ats 37835  df-laut 38558  df-ldil 38673  df-ltrn 38674

This theorem is referenced by:  cdlemg10a  39209  cdlemg12d  39215  cdlemg18a  39247