Theorem ltrn11at 40114

Description: Frequently used one-to-one property of lattice translation atoms. (Contributed by NM, 5-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltrneq2.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
ltrneq2.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
ltrneq2.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
ltrn11at	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑄))

Proof of Theorem ltrn11at

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp33 1212	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑃 ≠ 𝑄)
2		simp1 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		simp2 1137	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝐹 ∈ 𝑇)
4		simp31 1210	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
5		eqid 2729	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6		ltrneq2.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	5, 6	atbase 39255	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
8	4, 7	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
9		simp32 1211	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
10	5, 6	atbase 39255	. . . . 5 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
11	9, 10	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
12		ltrneq2.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
13		ltrneq2.t	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
14	5, 12, 13	ltrn11 40093	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))
15	2, 3, 8, 11, 14	syl112anc 1376	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ((𝐹‘𝑃) = (𝐹‘𝑄) ↔ 𝑃 = 𝑄))
16	15	necon3bid 2969	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → ((𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑄) ↔ 𝑃 ≠ 𝑄))
17	1, 16	mpbird 257	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑄))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  Atomscatm 39229  HLchlt 39316  LHypclh 39951  LTrncltrn 40068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-map 8778  df-ats 39233  df-laut 39956  df-ldil 40071  df-ltrn 40072

This theorem is referenced by:  cdlemg10a  40607  cdlemg12d  40613  cdlemg18a  40645