Theorem cdlemg18a 40645

Description: Show two lines are different. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 14-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemg12.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
cdlemg12.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
cdlemg12.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t	⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r	⊢ 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
cdlemg18a	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑄)) ≠ (𝑄 ∨ (𝐹‘𝑃)))

Proof of Theorem cdlemg18a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp3r 1203	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))
2		simpl1l 1225	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑄)) = (𝑄 ∨ (𝐹‘𝑃))) → 𝐾 ∈ HL)
3		simpl21 1252	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑄)) = (𝑄 ∨ (𝐹‘𝑃))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		simpl1 1192	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑄)) = (𝑄 ∨ (𝐹‘𝑃))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
5		simpl23 1254	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑄)) = (𝑄 ∨ (𝐹‘𝑃))) → 𝐹 ∈ 𝑇)
6		simpl22 1253	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑄)) = (𝑄 ∨ (𝐹‘𝑃))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
7		cdlemg12.l	. . . . . . . 8 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
8		cdlemg12.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9		cdlemg12.h	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10		cdlemg12.t	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
11	7, 8, 9, 10	ltrnat 40107	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑄) ∈ 𝐴)
12	4, 5, 6, 11	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑄)) = (𝑄 ∨ (𝐹‘𝑃))) → (𝐹‘𝑄) ∈ 𝐴)
13	7, 8, 9, 10	ltrnat 40107	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
14	4, 5, 3, 13	syl3anc 1373	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑄)) = (𝑄 ∨ (𝐹‘𝑃))) → (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴)
15		simpl3l 1229	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑄)) = (𝑄 ∨ (𝐹‘𝑃))) → 𝑃 ≠ 𝑄)
16	8, 9, 10	ltrn11at 40114	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑄)) → (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑄))
17	4, 5, 3, 6, 15, 16	syl113anc 1384	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑄)) = (𝑄 ∨ (𝐹‘𝑃))) → (𝐹‘𝑃) ≠ (𝐹‘𝑄))
18	17	necomd 2980	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑄)) = (𝑄 ∨ (𝐹‘𝑃))) → (𝐹‘𝑄) ≠ (𝐹‘𝑃))
19		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑄)) = (𝑄 ∨ (𝐹‘𝑃))) → (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑄)) = (𝑄 ∨ (𝐹‘𝑃)))
20		cdlemg12.j	. . . . . . 7 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
21	20, 8	hlatexch4 39448	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑄) ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑃) ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ (𝐹‘𝑄) ≠ (𝐹‘𝑃) ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑄)) = (𝑄 ∨ (𝐹‘𝑃)))) → (𝑃 ∨ 𝑄) = ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)))
22	2, 3, 12, 6, 14, 15, 18, 19, 21	syl323anc 1402	. . . . 5 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑄)) = (𝑄 ∨ (𝐹‘𝑃))) → (𝑃 ∨ 𝑄) = ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)))
23	22	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑄)) = (𝑄 ∨ (𝐹‘𝑃))) → ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) = (𝑃 ∨ 𝑄))
24	23	ex 412	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → ((𝑃 ∨ (𝐹‘𝑄)) = (𝑄 ∨ (𝐹‘𝑃)) → ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
25	24	necon3d 2946	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄) → (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑄)) ≠ (𝑄 ∨ (𝐹‘𝑃))))
26	1, 25	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 ≠ 𝑄 ∧ ((𝐹‘𝑄) ∨ (𝐹‘𝑃)) ≠ (𝑃 ∨ 𝑄))) → (𝑃 ∨ (𝐹‘𝑄)) ≠ (𝑄 ∨ (𝐹‘𝑃)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  lecple 17203  joincjn 18248  meetcmee 18249  Atomscatm 39229  HLchlt 39316  LHypclh 39951  LTrncltrn 40068  trLctrl 40125

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-map 8778  df-proset 18231  df-poset 18250  df-plt 18265  df-lub 18281  df-glb 18282  df-join 18283  df-meet 18284  df-p0 18360  df-lat 18367  df-oposet 39142  df-ol 39144  df-oml 39145  df-covers 39232  df-ats 39233  df-atl 39264  df-cvlat 39288  df-hlat 39317  df-lhyp 39955  df-laut 39956  df-ldil 40071  df-ltrn 40072

This theorem is referenced by:  cdlemg18c  40647