Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg18a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemg18a 40062
Description: Show two lines are different. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 14-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg12.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg12.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg18a (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
Proof of Theorem cdlemg18a
StepHypRef Expression
1 simp3r 1199 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))
2 simpl1l 1221 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 simpl21 1248 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
4 simpl1 1188 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
5 simpl23 1250 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
6 simpl22 1249 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
7 cdlemg12.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 cdlemg12.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
9 cdlemg12.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 cdlemg12.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
117, 8, 9, 10ltrnat 39524 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴)
124, 5, 6, 11syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴)
137, 8, 9, 10ltrnat 39524 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
144, 5, 3, 13syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
15 simpl3l 1225 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
168, 9, 10ltrn11at 39531 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘„))
174, 5, 3, 6, 15, 16syl113anc 1379 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘„))
1817necomd 2990 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (πΉβ€˜π‘„) β‰  (πΉβ€˜π‘ƒ))
19 simpr 484 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
20 cdlemg12.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2120, 8hlatexch4 38865 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘„) β‰  (πΉβ€˜π‘ƒ) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
222, 3, 12, 6, 14, 15, 18, 19, 21syl323anc 1397 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
2322eqcomd 2732 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ 𝑄))
2423ex 412 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
2524necon3d 2955 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
261, 25mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Atomscatm 38646  HLchlt 38733  LHypclh 39368  LTrncltrn 39485  trLctrl 39542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-map 8824  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-lhyp 39372  df-laut 39373  df-ldil 39488  df-ltrn 39489
This theorem is referenced by:  cdlemg18c  40064
  Copyright terms: Public domain W3C validator