Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg18a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg18a 36699
Description: Show two lines are different. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 14-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg18a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑃 (𝐹𝑄)) ≠ (𝑄 (𝐹𝑃)))

Proof of Theorem cdlemg18a
StepHypRef Expression
1 simp3r 1260 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))
2 simpl1l 1294 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → 𝐾 ∈ HL)
3 simpl21 1336 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → 𝑃𝐴)
4 simpl1 1243 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 simpl23 1340 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → 𝐹𝑇)
6 simpl22 1338 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → 𝑄𝐴)
7 cdlemg12.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
8 cdlemg12.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 cdlemg12.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 cdlemg12.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
117, 8, 9, 10ltrnat 36161 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑄𝐴) → (𝐹𝑄) ∈ 𝐴)
124, 5, 6, 11syl3anc 1491 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝐹𝑄) ∈ 𝐴)
137, 8, 9, 10ltrnat 36161 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
144, 5, 3, 13syl3anc 1491 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
15 simpl3l 1302 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → 𝑃𝑄)
168, 9, 10ltrn11at 36168 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → (𝐹𝑃) ≠ (𝐹𝑄))
174, 5, 3, 6, 15, 16syl113anc 1502 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝐹𝑃) ≠ (𝐹𝑄))
1817necomd 3026 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝐹𝑄) ≠ (𝐹𝑃))
19 simpr 478 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃)))
20 cdlemg12.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
2120, 8hlatexch4 35502 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝐹𝑄) ∈ 𝐴) ∧ (𝑄𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑄) ≠ (𝐹𝑃) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃)))) → (𝑃 𝑄) = ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)))
222, 3, 12, 6, 14, 15, 18, 19, 21syl323anc 1520 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝑃 𝑄) = ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)))
2322eqcomd 2805 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) = (𝑃 𝑄))
2423ex 402 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃)) → ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) = (𝑃 𝑄)))
2524necon3d 2992 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) → (((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄) → (𝑃 (𝐹𝑄)) ≠ (𝑄 (𝐹𝑃))))
261, 25mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑃 (𝐹𝑄)) ≠ (𝑄 (𝐹𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  cfv 6101  (class class class)co 6878  lecple 16274  joincjn 17259  meetcmee 17260  Atomscatm 35284  HLchlt 35371  LHypclh 36005  LTrncltrn 36122  trLctrl 36179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-map 8097  df-proset 17243  df-poset 17261  df-plt 17273  df-lub 17289  df-glb 17290  df-join 17291  df-meet 17292  df-p0 17354  df-lat 17361  df-oposet 35197  df-ol 35199  df-oml 35200  df-covers 35287  df-ats 35288  df-atl 35319  df-cvlat 35343  df-hlat 35372  df-lhyp 36009  df-laut 36010  df-ldil 36125  df-ltrn 36126
This theorem is referenced by:  cdlemg18c  36701
  Copyright terms: Public domain W3C validator