Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg18a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemg18a 37684
Description: Show two lines are different. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 14-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l = (le‘𝐾)
cdlemg12.j = (join‘𝐾)
cdlemg12.m = (meet‘𝐾)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdlemg18a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑃 (𝐹𝑄)) ≠ (𝑄 (𝐹𝑃)))

Proof of Theorem cdlemg18a
StepHypRef Expression
1 simp3r 1196 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))
2 simpl1l 1218 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → 𝐾 ∈ HL)
3 simpl21 1245 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → 𝑃𝐴)
4 simpl1 1185 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 simpl23 1247 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → 𝐹𝑇)
6 simpl22 1246 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → 𝑄𝐴)
7 cdlemg12.l . . . . . . . 8 = (le‘𝐾)
8 cdlemg12.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
9 cdlemg12.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
10 cdlemg12.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
117, 8, 9, 10ltrnat 37146 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑄𝐴) → (𝐹𝑄) ∈ 𝐴)
124, 5, 6, 11syl3anc 1365 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝐹𝑄) ∈ 𝐴)
137, 8, 9, 10ltrnat 37146 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝑃𝐴) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
144, 5, 3, 13syl3anc 1365 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝐹𝑃) ∈ 𝐴)
15 simpl3l 1222 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → 𝑃𝑄)
168, 9, 10ltrn11at 37153 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇 ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑃𝑄)) → (𝐹𝑃) ≠ (𝐹𝑄))
174, 5, 3, 6, 15, 16syl113anc 1376 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝐹𝑃) ≠ (𝐹𝑄))
1817necomd 3076 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝐹𝑄) ≠ (𝐹𝑃))
19 simpr 485 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃)))
20 cdlemg12.j . . . . . . 7 = (join‘𝐾)
2120, 8hlatexch4 36487 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴 ∧ (𝐹𝑄) ∈ 𝐴) ∧ (𝑄𝐴 ∧ (𝐹𝑃) ∈ 𝐴) ∧ (𝑃𝑄 ∧ (𝐹𝑄) ≠ (𝐹𝑃) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃)))) → (𝑃 𝑄) = ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)))
222, 3, 12, 6, 14, 15, 18, 19, 21syl323anc 1394 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → (𝑃 𝑄) = ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)))
2322eqcomd 2832 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) ∧ (𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃))) → ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) = (𝑃 𝑄))
2423ex 413 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) → ((𝑃 (𝐹𝑄)) = (𝑄 (𝐹𝑃)) → ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) = (𝑃 𝑄)))
2524necon3d 3042 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) → (((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄) → (𝑃 (𝐹𝑄)) ≠ (𝑄 (𝐹𝑃))))
261, 25mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝐹𝑇) ∧ (𝑃𝑄 ∧ ((𝐹𝑄) (𝐹𝑃)) ≠ (𝑃 𝑄))) → (𝑃 (𝐹𝑄)) ≠ (𝑄 (𝐹𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1081   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3021  cfv 6352  (class class class)co 7148  lecple 16562  joincjn 17544  meetcmee 17545  Atomscatm 36269  HLchlt 36356  LHypclh 36990  LTrncltrn 37107  trLctrl 37164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2798  ax-rep 5187  ax-sep 5200  ax-nul 5207  ax-pow 5263  ax-pr 5326  ax-un 7451
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2620  df-eu 2652  df-clab 2805  df-cleq 2819  df-clel 2898  df-nfc 2968  df-ne 3022  df-ral 3148  df-rex 3149  df-reu 3150  df-rab 3152  df-v 3502  df-sbc 3777  df-csb 3888  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3956  df-nul 4296  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4565  df-pr 4567  df-op 4571  df-uni 4838  df-iun 4919  df-br 5064  df-opab 5126  df-mpt 5144  df-id 5459  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-iota 6312  df-fun 6354  df-fn 6355  df-f 6356  df-f1 6357  df-fo 6358  df-f1o 6359  df-fv 6360  df-riota 7106  df-ov 7151  df-oprab 7152  df-mpo 7153  df-map 8398  df-proset 17528  df-poset 17546  df-plt 17558  df-lub 17574  df-glb 17575  df-join 17576  df-meet 17577  df-p0 17639  df-lat 17646  df-oposet 36182  df-ol 36184  df-oml 36185  df-covers 36272  df-ats 36273  df-atl 36304  df-cvlat 36328  df-hlat 36357  df-lhyp 36994  df-laut 36995  df-ldil 37110  df-ltrn 37111
This theorem is referenced by:  cdlemg18c  37686
  Copyright terms: Public domain W3C validator