Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemg18a Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem cdlemg18a 39549
Description: Show two lines are different. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 14-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg12.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
cdlemg12.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
cdlemg12.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
cdlemg12.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
cdlemg12.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
cdlemg12.t 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
cdlemg12b.r 𝑅 = ((trLβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
cdlemg18a (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
Proof of Theorem cdlemg18a
StepHypRef Expression
1 simp3r 1203 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))
2 simpl1l 1225 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝐾 ∈ HL)
3 simpl21 1252 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
4 simpl1 1192 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
5 simpl23 1254 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝐹 ∈ 𝑇)
6 simpl22 1253 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
7 cdlemg12.l . . . . . . . 8 ≀ = (leβ€˜πΎ)
8 cdlemg12.a . . . . . . . 8 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
9 cdlemg12.h . . . . . . . 8 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
10 cdlemg12.t . . . . . . . 8 𝑇 = ((LTrnβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
117, 8, 9, 10ltrnat 39011 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴)
124, 5, 6, 11syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴)
137, 8, 9, 10ltrnat 39011 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
144, 5, 3, 13syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴)
15 simpl3l 1229 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ 𝑃 β‰  𝑄)
168, 9, 10ltrn11at 39018 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ 𝐹 ∈ 𝑇 ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 β‰  𝑄)) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘„))
174, 5, 3, 6, 15, 16syl113anc 1383 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (πΉβ€˜π‘ƒ) β‰  (πΉβ€˜π‘„))
1817necomd 2997 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (πΉβ€˜π‘„) β‰  (πΉβ€˜π‘ƒ))
19 simpr 486 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
20 cdlemg12.j . . . . . . 7 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
2120, 8hlatexch4 38352 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘„) ∈ 𝐴) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ (πΉβ€˜π‘ƒ) ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ (πΉβ€˜π‘„) β‰  (πΉβ€˜π‘ƒ) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
222, 3, 12, 6, 14, 15, 18, 19, 21syl323anc 1401 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) = ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
2322eqcomd 2739 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) ∧ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ 𝑄))
2423ex 414 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ ((𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) = (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β†’ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) = (𝑃 ∨ 𝑄)))
2524necon3d 2962 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ))))
261, 25mpd 15 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝐹 ∈ 𝑇) ∧ (𝑃 β‰  𝑄 ∧ ((πΉβ€˜π‘„) ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)) β‰  (𝑃 ∨ 𝑄))) β†’ (𝑃 ∨ (πΉβ€˜π‘„)) β‰  (𝑄 ∨ (πΉβ€˜π‘ƒ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  lecple 17204  joincjn 18264  meetcmee 18265  Atomscatm 38133  HLchlt 38220  LHypclh 38855  LTrncltrn 38972  trLctrl 39029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-map 8822  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-lat 18385  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976
This theorem is referenced by:  cdlemg18c  39551
  Copyright terms: Public domain W3C validator