Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11l 1285 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β πΎ β HL) |
2 | | simp23r 1296 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ))) |
3 | | simp11 1204 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΎ β HL β§ π β π»)) |
4 | | simp22l 1293 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β πΉ β π) |
5 | | simp21l 1291 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β π β π΄) |
6 | | cdlemg12.l |
. . . . . . . . 9
β’ β€ =
(leβπΎ) |
7 | | cdlemg12.a |
. . . . . . . . 9
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | | cdlemg12.h |
. . . . . . . . 9
β’ π» = (LHypβπΎ) |
9 | | cdlemg12.t |
. . . . . . . . 9
β’ π = ((LTrnβπΎ)βπ) |
10 | 6, 7, 8, 9 | ltrncnvat 38633 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ π β π΄) β (β‘πΉβπ) β π΄) |
11 | 3, 4, 5, 10 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (β‘πΉβπ) β π΄) |
12 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
13 | 12, 7 | atbase 37780 |
. . . . . . 7
β’ ((β‘πΉβπ) β π΄ β (β‘πΉβπ) β (BaseβπΎ)) |
14 | 11, 13 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (β‘πΉβπ) β (BaseβπΎ)) |
15 | | simp12l 1287 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β π β π΄) |
16 | | simp13l 1289 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β π β π΄) |
17 | | cdlemg12.j |
. . . . . . . 8
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
18 | 12, 17, 7 | hlatjcl 37858 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
19 | 1, 15, 16, 18 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
20 | 12, 6, 8, 9 | ltrnle 38621 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ ((β‘πΉβπ) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ))) β ((β‘πΉβπ) β€ (π β¨ π) β (πΉβ(β‘πΉβπ)) β€ (πΉβ(π β¨ π)))) |
21 | 3, 4, 14, 19, 20 | syl112anc 1375 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((β‘πΉβπ) β€ (π β¨ π) β (πΉβ(β‘πΉβπ)) β€ (πΉβ(π β¨ π)))) |
22 | 12, 8, 9 | ltrn1o 38616 |
. . . . . . . 8
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π) β πΉ:(BaseβπΎ)β1-1-ontoβ(BaseβπΎ)) |
23 | 3, 4, 22 | syl2anc 585 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β πΉ:(BaseβπΎ)β1-1-ontoβ(BaseβπΎ)) |
24 | 12, 7 | atbase 37780 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
25 | 5, 24 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β π β (BaseβπΎ)) |
26 | | f1ocnvfv2 7228 |
. . . . . . 7
β’ ((πΉ:(BaseβπΎ)β1-1-ontoβ(BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (πΉβ(β‘πΉβπ)) = π) |
27 | 23, 25, 26 | syl2anc 585 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΉβ(β‘πΉβπ)) = π) |
28 | 12, 7 | atbase 37780 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
29 | 15, 28 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β π β (BaseβπΎ)) |
30 | 12, 7 | atbase 37780 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
31 | 16, 30 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β π β (BaseβπΎ)) |
32 | 12, 17, 8, 9 | ltrnj 38624 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β (πΉβ(π β¨ π)) = ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ))) |
33 | 3, 4, 29, 31, 32 | syl112anc 1375 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (πΉβ(π β¨ π)) = ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ))) |
34 | 27, 33 | breq12d 5123 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((πΉβ(β‘πΉβπ)) β€ (πΉβ(π β¨ π)) β π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) |
35 | 21, 34 | bitr2d 280 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)) β (β‘πΉβπ) β€ (π β¨ π))) |
36 | 2, 35 | mpbid 231 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (β‘πΉβπ) β€ (π β¨ π)) |
37 | | simp33 1212 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) |
38 | | simp23l 1295 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β π β π) |
39 | | simp21 1207 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
40 | 6, 7, 8, 9 | ltrncnvel 38634 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ πΉ β π β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β ((β‘πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (β‘πΉβπ) β€ π)) |
41 | 3, 4, 39, 40 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((β‘πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (β‘πΉβπ) β€ π)) |
42 | 6, 17, 7 | cdleme0nex 38782 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ (β‘πΉβπ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π))) β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π) β§ ((β‘πΉβπ) β π΄ β§ Β¬ (β‘πΉβπ) β€ π)) β ((β‘πΉβπ) = π β¨ (β‘πΉβπ) = π)) |
43 | 1, 36, 37, 15, 16, 38, 41, 42 | syl331anc 1396 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((β‘πΉβπ) = π β¨ (β‘πΉβπ) = π)) |
44 | | f1ocnvfvb 7230 |
. . . . 5
β’ ((πΉ:(BaseβπΎ)β1-1-ontoβ(BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((πΉβπ) = π β (β‘πΉβπ) = π)) |
45 | 23, 29, 25, 44 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((πΉβπ) = π β (β‘πΉβπ) = π)) |
46 | | eqcom 2744 |
. . . 4
β’ ((πΉβπ) = π β π = (πΉβπ)) |
47 | 45, 46 | bitr3di 286 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((β‘πΉβπ) = π β π = (πΉβπ))) |
48 | | f1ocnvfvb 7230 |
. . . . 5
β’ ((πΉ:(BaseβπΎ)β1-1-ontoβ(BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((πΉβπ) = π β (β‘πΉβπ) = π)) |
49 | 23, 31, 25, 48 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((πΉβπ) = π β (β‘πΉβπ) = π)) |
50 | | eqcom 2744 |
. . . 4
β’ ((πΉβπ) = π β π = (πΉβπ)) |
51 | 49, 50 | bitr3di 286 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β ((β‘πΉβπ) = π β π = (πΉβπ))) |
52 | 47, 51 | orbi12d 918 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (((β‘πΉβπ) = π β¨ (β‘πΉβπ) = π) β (π = (πΉβπ) β¨ π = (πΉβπ)))) |
53 | 43, 52 | mpbid 231 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (πΉ β π β§ πΊ β π) β§ (π β π β§ π β€ ((πΉβπ) β¨ (πΉβπ)))) β§ ((πΊβπ) β π β§ (π
βπΊ) β€ (π β¨ π) β§ Β¬ βπ β π΄ (Β¬ π β€ π β§ (π β¨ π) = (π β¨ π)))) β (π = (πΉβπ) β¨ π = (πΉβπ))) |