Theorem ltsne 27742

Description: Surreal less-than implies not equal. (Contributed by Scott Fenton, 12-Mar-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ltsne	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem ltsne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltsirr 27714	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ No → ¬ 𝐴 <s 𝐴)
2		breq2 5102	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ 𝐴 <s 𝐴))
3	2	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 <s 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 <s 𝐴))
4	1, 3	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐵 = 𝐴 → ¬ 𝐴 <s 𝐵))
5	4	necon2ad 2947	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 <s 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴))
6	5	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098   No csur 27607   <s clts 27608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-1o 8397  df-2o 8398  df-no 27610  df-lts 27611

This theorem is referenced by:  ltlesnd  27743  gt0ne0s  27814  0elright  27908