Theorem 0elright 27883

Description: Zero is in the right set of any negative number. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0elright.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
0elright.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 0s )

Assertion

Ref	Expression
0elright	⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( R ‘𝐴))

Proof of Theorem 0elright

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elright.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		0elright.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 0s )
3		sltne 27749	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 <s 0s ) → 0s ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s ≠ 𝐴)
5	4	necomd 2985	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0s )
6	1, 5	0elold 27881	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)))
7		breq2 5153	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0s → (𝐴 <s 𝑥 ↔ 𝐴 <s 0s ))
8		rightval 27837	. . 3 ⊢ ( R ‘𝐴) = {𝑥 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∣ 𝐴 <s 𝑥}
9	7, 8	elrab2 3682	. 2 ⊢ ( 0s ∈ ( R ‘𝐴) ↔ ( 0s ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 𝐴 <s 0s ))
10	6, 2, 9	sylanbrc 581	1 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( R ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549   No csur 27618   <s cslt 27619   bday cbday 27620   0_s c0s 27801   O cold 27816   R cright 27819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-1o 8487  df-2o 8488  df-no 27621  df-slt 27622  df-bday 27623  df-sslt 27760  df-scut 27762  df-0s 27803  df-made 27820  df-old 27821  df-left 27823  df-right 27824

This theorem is referenced by: (None)