Theorem 0elright 27799

Description: Zero is in the right set of any negative number. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0elright.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
0elright.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 0s )

Assertion

Ref	Expression
0elright	⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( R ‘𝐴))

Proof of Theorem 0elright

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elright.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		0elright.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 0s )
3		sltne 27658	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 <s 0s ) → 0s ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s ≠ 𝐴)
5	4	necomd 2980	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0s )
6	1, 5	0elold 27797	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)))
7		elright 27750	. 2 ⊢ ( 0s ∈ ( R ‘𝐴) ↔ ( 0s ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 𝐴 <s 0s ))
8	6, 2, 7	sylanbrc 583	1 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( R ‘𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499   No csur 27527   <s cslt 27528   bday cbday 27529   0_s c0s 27710   O cold 27727   R cright 27730

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-1o 8411  df-2o 8412  df-no 27530  df-slt 27531  df-bday 27532  df-sslt 27669  df-scut 27671  df-0s 27712  df-made 27731  df-old 27732  df-left 27734  df-right 27735

This theorem is referenced by: (None)