Theorem 0elright 28161

Description: Zero is in the right set of any negative number. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0elright.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
0elright.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 0s )

Assertion

Ref	Expression
0elright	⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( R ‘𝐴))

Proof of Theorem 0elright

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elright.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		0elright.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 0s )
3		ltsne 27994	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 <s 0s ) → 0s ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s ≠ 𝐴)
5	4	necomd 3015	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0s )
6	1, 5	0elold 28159	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)))
7		elright 28101	. 2 ⊢ ( 0s ∈ ( R ‘𝐴) ↔ ( 0s ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 𝐴 <s 0s ))
8	6, 2, 7	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( R ‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ‘cfv 6541   No csur 27860   <s clts 27861   bday cbday 27862   0_s c0s 28054   O cold 28072   R cright 28075

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7743

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-1o 8460  df-2o 8461  df-no 27863  df-lts 27864  df-bday 27865  df-slts 28007  df-cuts 28009  df-0s 28056  df-made 28076  df-old 28077  df-left 28079  df-right 28080

This theorem is used by: (None)