Theorem 0elright 28209

Description: Zero is in the right set of any negative number. (Contributed by Scott Fenton, 13-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
0elright.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
0elright.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 0s )

Assertion

Ref	Expression
0elright	⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( R ‘𝐴))

Proof of Theorem 0elright

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0elright.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		0elright.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 <s 0s )
3		ltsne 28042	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 <s 0s ) → 0s ≠ 𝐴)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0s ≠ 𝐴)
5	4	necomd 3010	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≠ 0s )
6	1, 5	0elold 28207	. 2 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)))
7		elright 28149	. 2 ⊢ ( 0s ∈ ( R ‘𝐴) ↔ ( 0s ∈ ( O ‘( bday ‘𝐴)) ∧ 𝐴 <s 0s ))
8	6, 2, 7	sylanbrc 595	1 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ ( R ‘𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ‘cfv 6535   No csur 27908   <s clts 27909   bday cbday 27910   0_s c0s 28102   O cold 28120   R cright 28123

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6301  df-ord 6362  df-on 6363  df-suc 6365  df-iota 6491  df-fun 6537  df-fn 6538  df-f 6539  df-f1 6540  df-fo 6541  df-f1o 6542  df-fv 6543  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8365  df-1o 8462  df-2o 8463  df-no 27911  df-lts 27912  df-bday 27913  df-slts 28055  df-cuts 28057  df-0s 28104  df-made 28124  df-old 28125  df-left 28127  df-right 28128

This theorem is used by: (None)