Theorem ltlesnd 28114

Description: Surreal less-than in terms of less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltlesn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltlesn.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
ltlesnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))

Proof of Theorem ltlesnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlesn.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2	1	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ∈ No )
3		ltlesn.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
4	3	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 ∈ No )
5		simpr 490	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 <s 𝐵)
6	2, 4, 5	ltlesd 28112	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ≤s 𝐵)
7	6	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 → 𝐴 ≤s 𝐵))
8		ltsne 28113	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
9	1, 8	sylan 592	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
10	9	ex 418	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴))
11	7, 10	jcad 522	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 → (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))
12		lesloe 28093	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
13	1, 3, 12	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
14		eqneqall 2967	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 <s 𝐵))
15	14	eqcoms 2769	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 <s 𝐵))
16	15	jao1i 872	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 <s 𝐵))
17	13, 16	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 <s 𝐵)))
18	17	impd 416	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → 𝐴 <s 𝐵))
19	11, 18	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103   No csur 27979   <s clts 27980   ≤s cles 28083

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-ord 6358  df-on 6359  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-1o 8460  df-2o 8461  df-no 27982  df-lts 27983  df-les 28084

This theorem is used by:  nnsgt0  28707  n0subs2  28732