Theorem ltlesnd 27897

Description: Surreal less-than in terms of less-than or equal. (Contributed by Scott Fenton, 15-Apr-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltlesn.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltlesn.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
ltlesnd	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))

Proof of Theorem ltlesnd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltlesn.1	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2	1	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ∈ No )
3		ltlesn.2	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
4	3	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 ∈ No )
5		simpr 489	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 <s 𝐵)
6	2, 4, 5	ltlesd 27895	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐴 ≤s 𝐵)
7	6	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 → 𝐴 ≤s 𝐵))
8		ltsne 27896	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
9	1, 8	sylan 591	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 <s 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)
10	9	ex 417	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴))
11	7, 10	jcad 521	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 → (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))
12		lesloe 27876	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
13	1, 3, 12	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 ↔ (𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵)))
14		eqneqall 2971	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 <s 𝐵))
15	14	eqcoms 2773	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = 𝐵 → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 <s 𝐵))
16	15	jao1i 871	. . . 4 ⊢ ((𝐴 <s 𝐵 ∨ 𝐴 = 𝐵) → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 <s 𝐵))
17	13, 16	biimtrdi 256	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s 𝐵 → (𝐵 ≠ 𝐴 → 𝐴 <s 𝐵)))
18	17	impd 415	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴) → 𝐴 <s 𝐵))
19	11, 18	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 ≤s 𝐵 ∧ 𝐵 ≠ 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960   class class class wbr 5105   No csur 27762   <s clts 27763   ≤s cles 27866

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pr 5395

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4869  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-ord 6353  df-on 6354  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-1o 8441  df-2o 8442  df-no 27765  df-lts 27766  df-les 27867

This theorem is referenced by:  nnsgt0  28490  n0subs2  28515