Theorem lubdm 18523

Description: Domain of the least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lubfval.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
lubfval.p	⊢ (𝜓 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑦 ≤ 𝑧 → 𝑥 ≤ 𝑧)))
lubfval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lubdm	⊢ (𝜑 → dom 𝑈 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑧,𝐵   𝑦,𝑠,𝐾,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑠)   𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑠)   𝐵(𝑦)   𝑈(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑠)   ≤ (𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑠)   𝑉(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑠)

Proof of Theorem lubdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubfval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		lubfval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		lubfval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
4		lubfval.p	. . . 4 ⊢ (𝜓 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑦 ≤ 𝑧 → 𝑥 ≤ 𝑧)))
5		lubfval.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
6	1, 2, 3, 4, 5	lubfval 18522	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓}))
7	6	dmeqd 5886	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝑈 = dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓}))
8		riotaex 7381	. . . . 5 ⊢ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓) ∈ V
9		eqid 2760	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
10	8, 9	dmmpti 6683	. . . 4 ⊢ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) = 𝒫 𝐵
11	10	ineq2i 4114	. . 3 ⊢ ({𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓} ∩ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))) = ({𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓} ∩ 𝒫 𝐵)
12		dmres 6002	. . 3 ⊢ dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓}) = ({𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓} ∩ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)))
13		dfrab2 4265	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓} = ({𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓} ∩ 𝒫 𝐵)
14	11, 12, 13	3eqtr4i 2793	. 2 ⊢ dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓}
15	7, 14	eqtrdi 2811	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝑈 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  {cab 2738  ∀wral 3076  ∃!wreu 3363  {crab 3412   ∩ cin 4089  𝒫 cpw 4556   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  dom cdm 5650   ↾ cres 5652  ‘cfv 6538  ℩crio 7376  Basecbs 17387  lecple 17435  lubclub 18483

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-lub 18518

This theorem is used by:  lubeldm  18525  xrsclat  33572  isclatd  50091