MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubdm 18166
Description: Domain of the least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubfval.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lubfval.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lubfval.u π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
lubfval.p (πœ“ ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
lubfval.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lubdm (πœ‘ β†’ dom π‘ˆ = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑠,𝑧,𝐡   𝑦,𝑠,𝐾,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)   πœ“(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)   𝐡(𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)   ≀ (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem lubdm
StepHypRef Expression
1 lubfval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 lubfval.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 lubfval.u . . . 4 π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
4 lubfval.p . . . 4 (πœ“ ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
5 lubfval.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
61, 2, 3, 4, 5lubfval 18165 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}))
76dmeqd 5847 . 2 (πœ‘ β†’ dom π‘ˆ = dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}))
8 riotaex 7297 . . . . 5 (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“) ∈ V
9 eqid 2736 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
108, 9dmmpti 6628 . . . 4 dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) = 𝒫 𝐡
1110ineq2i 4156 . . 3 ({𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“} ∩ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))) = ({𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“} ∩ 𝒫 𝐡)
12 dmres 5945 . . 3 dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}) = ({𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“} ∩ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)))
13 dfrab2 4257 . . 3 {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“} = ({𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“} ∩ 𝒫 𝐡)
1411, 12, 133eqtr4i 2774 . 2 dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}
157, 14eqtrdi 2792 1 (πœ‘ β†’ dom π‘ˆ = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  {cab 2713  βˆ€wral 3061  βˆƒ!wreu 3347  {crab 3403   ∩ cin 3897  π’« cpw 4547   class class class wbr 5092   ↦ cmpt 5175  dom cdm 5620   β†Ύ cres 5622  β€˜cfv 6479  β„©crio 7292  Basecbs 17009  lecple 17066  lubclub 18124
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-id 5518  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-lub 18161
This theorem is referenced by:  lubeldm  18168  xrsclat  31576  isclatd  46628
  Copyright terms: Public domain W3C validator