Theorem lubdm 18310

Description: Domain of the least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 6-Sep-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubfval.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubfval.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lubfval.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
lubfval.p	⊢ (𝜓 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑦 ≤ 𝑧 → 𝑥 ≤ 𝑧)))
lubfval.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lubdm	⊢ (𝜑 → dom 𝑈 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓})

Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑧,𝐵   𝑦,𝑠,𝐾,𝑥,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝐵(𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   ≤ (𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem lubdm

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lubfval.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		lubfval.l	. . . 4 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		lubfval.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
4		lubfval.p	. . . 4 ⊢ (𝜓 ↔ (∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑦 ≤ 𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝐵 (∀𝑦 ∈ 𝑠 𝑦 ≤ 𝑧 → 𝑥 ≤ 𝑧)))
5		lubfval.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
6	1, 2, 3, 4, 5	lubfval 18309	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓}))
7	6	dmeqd 5856	. 2 ⊢ (𝜑 → dom 𝑈 = dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓}))
8		riotaex 7323	. . . . 5 ⊢ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓) ∈ V
9		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))
10	8, 9	dmmpti 6638	. . . 4 ⊢ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) = 𝒫 𝐵
11	10	ineq2i 4158	. . 3 ⊢ ({𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓} ∩ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓))) = ({𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓} ∩ 𝒫 𝐵)
12		dmres 5973	. . 3 ⊢ dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓}) = ({𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓} ∩ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)))
13		dfrab2 4261	. . 3 ⊢ {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓} = ({𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓} ∩ 𝒫 𝐵)
14	11, 12, 13	3eqtr4i 2770	. 2 ⊢ dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (℩𝑥 ∈ 𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓}
15	7, 14	eqtrdi 2788	1 ⊢ (𝜑 → dom 𝑈 = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ∣ ∃!𝑥 ∈ 𝐵 𝜓})

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2715  ∀wral 3052  ∃!wreu 3341  {crab 3390   ∩ cin 3889  𝒫 cpw 4542   class class class wbr 5086   ↦ cmpt 5167  dom cdm 5626   ↾ cres 5628  ‘cfv 6494  ℩crio 7318  Basecbs 17174  lecple 17222  lubclub 18270

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5213  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-riota 7319  df-lub 18305

This theorem is referenced by:  lubeldm  18312  xrsclat  33090  isclatd  49474