MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubdm 18308
Description: Domain of the least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubfval.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lubfval.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lubfval.u π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
lubfval.p (πœ“ ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
lubfval.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lubdm (πœ‘ β†’ dom π‘ˆ = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑠,𝑧,𝐡   𝑦,𝑠,𝐾,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)   πœ“(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)   𝐡(𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)   ≀ (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem lubdm
StepHypRef Expression
1 lubfval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 lubfval.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 lubfval.u . . . 4 π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
4 lubfval.p . . . 4 (πœ“ ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
5 lubfval.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
61, 2, 3, 4, 5lubfval 18307 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}))
76dmeqd 5896 . 2 (πœ‘ β†’ dom π‘ˆ = dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}))
8 riotaex 7362 . . . . 5 (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“) ∈ V
9 eqid 2724 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
108, 9dmmpti 6685 . . . 4 dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) = 𝒫 𝐡
1110ineq2i 4202 . . 3 ({𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“} ∩ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))) = ({𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“} ∩ 𝒫 𝐡)
12 dmres 5994 . . 3 dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}) = ({𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“} ∩ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)))
13 dfrab2 4303 . . 3 {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“} = ({𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“} ∩ 𝒫 𝐡)
1411, 12, 133eqtr4i 2762 . 2 dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}
157, 14eqtrdi 2780 1 (πœ‘ β†’ dom π‘ˆ = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  {cab 2701  βˆ€wral 3053  βˆƒ!wreu 3366  {crab 3424   ∩ cin 3940  π’« cpw 4595   class class class wbr 5139   ↦ cmpt 5222  dom cdm 5667   β†Ύ cres 5669  β€˜cfv 6534  β„©crio 7357  Basecbs 17145  lecple 17205  lubclub 18266
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-lub 18303
This theorem is referenced by:  lubeldm  18310  xrsclat  32651  isclatd  47820
  Copyright terms: Public domain W3C validator