MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubdm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubdm 18336
Description: Domain of the least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubfval.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lubfval.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lubfval.u π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
lubfval.p (πœ“ ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
lubfval.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lubdm (πœ‘ β†’ dom π‘ˆ = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑠,𝑧,𝐡   𝑦,𝑠,𝐾,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)   πœ“(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)   𝐡(𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)   ≀ (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem lubdm
StepHypRef Expression
1 lubfval.b . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 lubfval.l . . . 4 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 lubfval.u . . . 4 π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
4 lubfval.p . . . 4 (πœ“ ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
5 lubfval.k . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
61, 2, 3, 4, 5lubfval 18335 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}))
76dmeqd 5902 . 2 (πœ‘ β†’ dom π‘ˆ = dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}))
8 riotaex 7374 . . . . 5 (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“) ∈ V
9 eqid 2728 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))
108, 9dmmpti 6693 . . . 4 dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) = 𝒫 𝐡
1110ineq2i 4205 . . 3 ({𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“} ∩ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“))) = ({𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“} ∩ 𝒫 𝐡)
12 dmres 6001 . . 3 dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}) = ({𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“} ∩ dom (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)))
13 dfrab2 4306 . . 3 {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“} = ({𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“} ∩ 𝒫 𝐡)
1411, 12, 133eqtr4i 2766 . 2 dom ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}) = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}
157, 14eqtrdi 2784 1 (πœ‘ β†’ dom π‘ˆ = {𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  {cab 2705  βˆ€wral 3057  βˆƒ!wreu 3370  {crab 3428   ∩ cin 3944  π’« cpw 4598   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225  dom cdm 5672   β†Ύ cres 5674  β€˜cfv 6542  β„©crio 7369  Basecbs 17173  lecple 17233  lubclub 18294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-lub 18331
This theorem is referenced by:  lubeldm  18338  xrsclat  32732  isclatd  47988
  Copyright terms: Public domain W3C validator