MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubfval 18407
Description: Value of the least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubfval.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubfval.l = (le‘𝐾)
lubfval.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
lubfval.p (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
lubfval.k (𝜑𝐾𝑉)
Assertion
Ref Expression
lubfval (𝜑𝑈 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑠,𝑧,𝐵   𝑦,𝑠,𝐾,𝑥,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝐵(𝑦)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   (𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem lubfval
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubfval.k . 2 (𝜑𝐾𝑉)
2 elex 3498 . 2 (𝐾𝑉𝐾 ∈ V)
3 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐾 → (Base‘𝑝) = (Base‘𝐾))
4 lubfval.b . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘𝐾)
53, 4eqtr4di 2792 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 → (Base‘𝑝) = 𝐵)
65pweqd 4621 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐾 → 𝒫 (Base‘𝑝) = 𝒫 𝐵)
7 fveq2 6906 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝐾 → (le‘𝑝) = (le‘𝐾))
8 lubfval.l . . . . . . . . . . 11 = (le‘𝐾)
97, 8eqtr4di 2792 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝐾 → (le‘𝑝) = )
109breqd 5158 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝐾 → (𝑦(le‘𝑝)𝑥𝑦 𝑥))
1110ralbidv 3175 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐾 → (∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ↔ ∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥))
129breqd 5158 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝐾 → (𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑦 𝑧))
1312ralbidv 3175 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝐾 → (∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧 ↔ ∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧))
149breqd 5158 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝐾 → (𝑥(le‘𝑝)𝑧𝑥 𝑧))
1513, 14imbi12d 344 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝐾 → ((∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧) ↔ (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
165, 15raleqbidv 3343 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐾 → (∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧) ↔ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
1711, 16anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 → ((∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧)) ↔ (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
185, 17riotaeqbidv 7390 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐾 → (𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧))) = (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
196, 18mpteq12dv 5238 . . . . 5 (𝑝 = 𝐾 → (𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑝) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧)))) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))))
2017reubidv 3395 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 → (∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧)) ↔ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
21 reueq1 3414 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑝) = 𝐵 → (∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)) ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
225, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 → (∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)) ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
2320, 22bitrd 279 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐾 → (∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧)) ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
2423abbidv 2805 . . . . 5 (𝑝 = 𝐾 → {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧))} = {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))})
2519, 24reseq12d 6000 . . . 4 (𝑝 = 𝐾 → ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑝) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧))}) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))}))
26 df-lub 18403 . . . 4 lub = (𝑝 ∈ V ↦ ((𝑠 ∈ 𝒫 (Base‘𝑝) ↦ (𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑥 ∧ ∀𝑧 ∈ (Base‘𝑝)(∀𝑦𝑠 𝑦(le‘𝑝)𝑧𝑥(le‘𝑝)𝑧))}))
274fvexi 6920 . . . . . . 7 𝐵 ∈ V
2827pwex 5385 . . . . . 6 𝒫 𝐵 ∈ V
2928mptex 7242 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ∈ V
3029resex 6048 . . . 4 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))}) ∈ V
3125, 26, 30fvmpt 7015 . . 3 (𝐾 ∈ V → (lub‘𝐾) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))}))
32 lubfval.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
33 lubfval.p . . . . . . 7 (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
3433a1i 11 . . . . . 6 (𝑥𝐵 → (𝜓 ↔ (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
3534riotabiia 7407 . . . . 5 (𝑥𝐵 𝜓) = (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
3635mpteq2i 5252 . . . 4 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))))
3733reubii 3386 . . . . 5 (∃!𝑥𝐵 𝜓 ↔ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))
3837abbii 2806 . . . 4 {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓} = {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))}
3936, 38reseq12i 5997 . . 3 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧)))) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑥 ∧ ∀𝑧𝐵 (∀𝑦𝑠 𝑦 𝑧𝑥 𝑧))})
4031, 32, 393eqtr4g 2799 . 2 (𝐾 ∈ V → 𝑈 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}))
411, 2, 403syl 18 1 (𝜑𝑈 = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐵 ↦ (𝑥𝐵 𝜓)) ↾ {𝑠 ∣ ∃!𝑥𝐵 𝜓}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  {cab 2711  wral 3058  ∃!wreu 3375  Vcvv 3477  𝒫 cpw 4604   class class class wbr 5147  cmpt 5230  cres 5690  cfv 6562  crio 7386  Basecbs 17244  lecple 17304  lubclub 18366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-lub 18403
This theorem is referenced by:  lubdm  18408  lubfun  18409  lubval  18413  join0  18462  odulub  18464  oduglb  18466
  Copyright terms: Public domain W3C validator