MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubfval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubfval 18303
Description: Value of the least upper bound function of a poset. (Contributed by NM, 12-Sep-2011.) (Revised by NM, 6-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
lubfval.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lubfval.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lubfval.u π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
lubfval.p (πœ“ ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
lubfval.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lubfval (πœ‘ β†’ π‘ˆ = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑠,𝑧,𝐡   𝑦,𝑠,𝐾,π‘₯,𝑧
Allowed substitution hints:   πœ‘(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)   πœ“(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)   𝐡(𝑦)   π‘ˆ(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)   ≀ (π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)   𝑉(π‘₯,𝑦,𝑧,𝑠)

Proof of Theorem lubfval
Dummy variable 𝑝 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 lubfval.k . 2 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
2 elex 3493 . 2 (𝐾 ∈ 𝑉 β†’ 𝐾 ∈ V)
3 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐾 β†’ (Baseβ€˜π‘) = (Baseβ€˜πΎ))
4 lubfval.b . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
53, 4eqtr4di 2791 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 β†’ (Baseβ€˜π‘) = 𝐡)
65pweqd 4620 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐾 β†’ 𝒫 (Baseβ€˜π‘) = 𝒫 𝐡)
7 fveq2 6892 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝐾 β†’ (leβ€˜π‘) = (leβ€˜πΎ))
8 lubfval.l . . . . . . . . . . 11 ≀ = (leβ€˜πΎ)
97, 8eqtr4di 2791 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝐾 β†’ (leβ€˜π‘) = ≀ )
109breqd 5160 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝐾 β†’ (𝑦(leβ€˜π‘)π‘₯ ↔ 𝑦 ≀ π‘₯))
1110ralbidv 3178 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)π‘₯ ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯))
129breqd 5160 . . . . . . . . . . 11 (𝑝 = 𝐾 β†’ (𝑦(leβ€˜π‘)𝑧 ↔ 𝑦 ≀ 𝑧))
1312ralbidv 3178 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)𝑧 ↔ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧))
149breqd 5160 . . . . . . . . . 10 (𝑝 = 𝐾 β†’ (π‘₯(leβ€˜π‘)𝑧 ↔ π‘₯ ≀ 𝑧))
1513, 14imbi12d 345 . . . . . . . . 9 (𝑝 = 𝐾 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)𝑧 β†’ π‘₯(leβ€˜π‘)𝑧) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
165, 15raleqbidv 3343 . . . . . . . 8 (𝑝 = 𝐾 β†’ (βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)𝑧 β†’ π‘₯(leβ€˜π‘)𝑧) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
1711, 16anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 β†’ ((βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)𝑧 β†’ π‘₯(leβ€˜π‘)𝑧)) ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))
185, 17riotaeqbidv 7368 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐾 β†’ (β„©π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)𝑧 β†’ π‘₯(leβ€˜π‘)𝑧))) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))
196, 18mpteq12dv 5240 . . . . 5 (𝑝 = 𝐾 β†’ (𝑠 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘) ↦ (β„©π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)𝑧 β†’ π‘₯(leβ€˜π‘)𝑧)))) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))))
2017reubidv 3395 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)𝑧 β†’ π‘₯(leβ€˜π‘)𝑧)) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))
21 reueq1 3416 . . . . . . . 8 ((Baseβ€˜π‘) = 𝐡 β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))
225, 21syl 17 . . . . . . 7 (𝑝 = 𝐾 β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))
2320, 22bitrd 279 . . . . . 6 (𝑝 = 𝐾 β†’ (βˆƒ!π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)𝑧 β†’ π‘₯(leβ€˜π‘)𝑧)) ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))
2423abbidv 2802 . . . . 5 (𝑝 = 𝐾 β†’ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)𝑧 β†’ π‘₯(leβ€˜π‘)𝑧))} = {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))})
2519, 24reseq12d 5983 . . . 4 (𝑝 = 𝐾 β†’ ((𝑠 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘) ↦ (β„©π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)𝑧 β†’ π‘₯(leβ€˜π‘)𝑧)))) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)𝑧 β†’ π‘₯(leβ€˜π‘)𝑧))}) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))}))
26 df-lub 18299 . . . 4 lub = (𝑝 ∈ V ↦ ((𝑠 ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘) ↦ (β„©π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)𝑧 β†’ π‘₯(leβ€˜π‘)𝑧)))) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ (Baseβ€˜π‘)(βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦(leβ€˜π‘)𝑧 β†’ π‘₯(leβ€˜π‘)𝑧))}))
274fvexi 6906 . . . . . . 7 𝐡 ∈ V
2827pwex 5379 . . . . . 6 𝒫 𝐡 ∈ V
2928mptex 7225 . . . . 5 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))) ∈ V
3029resex 6030 . . . 4 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))}) ∈ V
3125, 26, 30fvmpt 6999 . . 3 (𝐾 ∈ V β†’ (lubβ€˜πΎ) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))}))
32 lubfval.u . . 3 π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
33 lubfval.p . . . . . . 7 (πœ“ ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
3433a1i 11 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ 𝐡 β†’ (πœ“ ↔ (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))
3534riotabiia 7386 . . . . 5 (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
3635mpteq2i 5254 . . . 4 (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) = (𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))
3733reubii 3386 . . . . 5 (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“ ↔ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
3837abbii 2803 . . . 4 {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“} = {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))}
3936, 38reseq12i 5980 . . 3 ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}) = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ π‘₯ ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑠 𝑦 ≀ 𝑧 β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))})
4031, 32, 393eqtr4g 2798 . 2 (𝐾 ∈ V β†’ π‘ˆ = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}))
411, 2, 403syl 18 1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = ((𝑠 ∈ 𝒫 𝐡 ↦ (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“)) β†Ύ {𝑠 ∣ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 πœ“}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {cab 2710  βˆ€wral 3062  βˆƒ!wreu 3375  Vcvv 3475  π’« cpw 4603   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   β†Ύ cres 5679  β€˜cfv 6544  β„©crio 7364  Basecbs 17144  lecple 17204  lubclub 18262
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-lub 18299
This theorem is referenced by:  lubdm  18304  lubfun  18305  lubval  18309  join0  18358  odulub  18360  oduglb  18362
  Copyright terms: Public domain W3C validator