Theorem pwslnmlem0 43549

Description: Zeroeth powers are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pwslnmlem0.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s ∅)

Assertion

Ref	Expression
pwslnmlem0	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑌 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem pwslnmlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5231	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		pwslnmlem0.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s ∅)
3	2	pwslmod 20963	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∅ ∈ V) → 𝑌 ∈ LMod)
4	1, 3	mpan2 698	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑌 ∈ LMod)
5		eqid 2741	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	2, 5	pwsbas 17445	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∅ ∈ V) → ((Base‘𝑊) ↑m ∅) = (Base‘𝑌))
7	1, 6	mpan2 698	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((Base‘𝑊) ↑m ∅) = (Base‘𝑌))
8		fvex 6843	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
9		map0e 8824	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝑊) ∈ V → ((Base‘𝑊) ↑m ∅) = 1o)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑊) ↑m ∅) = 1o
11		df1o2 8406	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
12	10, 11	eqtri 2764	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) ↑m ∅) = {∅}
13		snfi 8984	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Fin
14	12, 13	eqeltri 2837	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑊) ↑m ∅) ∈ Fin
15	7, 14	eqeltrrdi 2850	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
16		eqid 2741	. . 3 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
17	16	filnm 43548	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (Base‘𝑌) ∈ Fin) → 𝑌 ∈ LNoeM)
18	4, 15, 17	syl2anc 591	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑌 ∈ LNoeM)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121  Vcvv 3433  ∅c0 4263  {csn 4557  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359  1_oc1o 8392   ↑_m cmap 8767  Fincfn 8887  Basecbs 17174   ↑_s cpws 17404  LModclmod 20853  LNoeMclnm 43533

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-map 8769  df-ixp 8840  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-9 12246  df-n0 12433  df-z 12520  df-dec 12640  df-uz 12784  df-fz 13457  df-struct 17112  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-ress 17196  df-plusg 17228  df-mulr 17229  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-tset 17234  df-ple 17235  df-ds 17237  df-hom 17239  df-cco 17240  df-0g 17399  df-prds 17405  df-pws 17407  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-grp 18907  df-minusg 18908  df-sbg 18909  df-subg 19094  df-mgp 20116  df-ur 20157  df-ring 20210  df-lmod 20855  df-lss 20925  df-lsp 20965  df-lfig 43526  df-lnm 43534

This theorem is referenced by:  pwslnm  43552