Theorem pwslnmlem0 40619

Description: Zeroeth powers are Noetherian. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Jan-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
pwslnmlem0.y	⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s ∅)

Assertion

Ref	Expression
pwslnmlem0	⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑌 ∈ LNoeM)

Proof of Theorem pwslnmlem0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5200	. . 3 ⊢ ∅ ∈ V
2		pwslnmlem0.y	. . . 4 ⊢ 𝑌 = (𝑊 ↑s ∅)
3	2	pwslmod 20007	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∅ ∈ V) → 𝑌 ∈ LMod)
4	1, 3	mpan2 691	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑌 ∈ LMod)
5		eqid 2737	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘𝑊)
6	2, 5	pwsbas 16992	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ∅ ∈ V) → ((Base‘𝑊) ↑m ∅) = (Base‘𝑌))
7	1, 6	mpan2 691	. . 3 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((Base‘𝑊) ↑m ∅) = (Base‘𝑌))
8		fvex 6730	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑊) ∈ V
9		map0e 8563	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘𝑊) ∈ V → ((Base‘𝑊) ↑m ∅) = 1o)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ((Base‘𝑊) ↑m ∅) = 1o
11		df1o2 8214	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
12	10, 11	eqtri 2765	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑊) ↑m ∅) = {∅}
13		snfi 8721	. . . 4 ⊢ {∅} ∈ Fin
14	12, 13	eqeltri 2834	. . 3 ⊢ ((Base‘𝑊) ↑m ∅) ∈ Fin
15	7, 14	eqeltrrdi 2847	. 2 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Base‘𝑌) ∈ Fin)
16		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑌) = (Base‘𝑌)
17	16	filnm 40618	. 2 ⊢ ((𝑌 ∈ LMod ∧ (Base‘𝑌) ∈ Fin) → 𝑌 ∈ LNoeM)
18	4, 15, 17	syl2anc 587	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑌 ∈ LNoeM)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  Vcvv 3408  ∅c0 4237  {csn 4541  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  1_oc1o 8195   ↑_m cmap 8508  Fincfn 8626  Basecbs 16760   ↑_s cpws 16951  LModclmod 19899  LNoeMclnm 40603

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-ixp 8579  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-fz 13096  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-sca 16818  df-vsca 16819  df-ip 16820  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-hom 16826  df-cco 16827  df-0g 16946  df-prds 16952  df-pws 16954  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-subg 18540  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-lmod 19901  df-lss 19969  df-lsp 20009  df-lfig 40596  df-lnm 40604

This theorem is referenced by:  pwslnm  40622