Theorem mat0dimbas0 22588

Description: The empty set is the one and only matrix of dimension 0, called "the empty matrix". (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mat0dimbas0	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})

Proof of Theorem mat0dimbas0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xp 5758	. . . . 5 ⊢ (∅ × ∅) = ∅
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (∅ × ∅) = ∅)
3	2	oveq2d 7424	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m (∅ × ∅)) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
4		fvex 6892	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
5		map0e 8876	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
6	4, 5	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
7	3, 6	eqtrd 2804	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m (∅ × ∅)) = 1o)
8		0fi 9035	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
10		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11	9, 10	matbas2 22543	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (∅ × ∅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
12	8, 11	mpan 702	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m (∅ × ∅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
13		df1o2 8456	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1o = {∅})
15	7, 12, 14	3eqtr3d 2812	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  Vcvv 3463  ∅c0 4294  {csn 4591   × cxp 5657  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  1_oc1o 8442   ↑_m cmap 8820  Fincfn 8939  Basecbs 17265   Mat cmat 22529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-supp 8153  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9318  df-sup 9398  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-ip 17324  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-hom 17330  df-cco 17331  df-0g 17490  df-prds 17496  df-pws 17498  df-sra 21268  df-rgmod 21269  df-dsmm 21847  df-frlm 21862  df-mat 22530

This theorem is referenced by:  mat0dim0  22589  mat0dimid  22590  mat0dimscm  22591  mat0dimcrng  22592  mat0scmat  22660  mavmul0  22674  mdet0pr  22714  cramer0  22812  d0mat2pmat  22860  chpmat0d  22956  matunitlindf  38152