Theorem mat0dimbas0 22825

Description: The empty set is the one and only matrix of dimension 0, called "the empty matrix". (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mat0dimbas0	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})

Proof of Theorem mat0dimbas0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xp 5756	. . . . 5 ⊢ (∅ × ∅) = ∅
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (∅ × ∅) = ∅)
3	2	oveq2d 7465	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m (∅ × ∅)) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
4		fvex 6927	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
5		map0e 8946	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
6	4, 5	mp1i 14	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
7	3, 6	eqtrd 2798	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m (∅ × ∅)) = 1o)
8		0fi 9106	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
10		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11	9, 10	matbas2 22780	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (∅ × ∅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
12	8, 11	mpan 703	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m (∅ × ∅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
13		df1o2 8519	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1o = {∅})
15	7, 12, 14	3eqtr3d 2806	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ∅c0 4281  {csn 4588   × cxp 5654  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449  1_oc1o 8505   ↑_m cmap 8883  Fincfn 9009  Basecbs 17428   Mat cmat 22766

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-map 8885  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-sup 9469  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-fz 13678  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-hom 17493  df-cco 17494  df-0g 17653  df-prds 17659  df-pws 17661  df-sra 21490  df-rgmod 21491  df-dsmm 22082  df-frlm 22097  df-mat 22767

This theorem is used by:  mat0dim0  22826  mat0dimid  22827  mat0dimscm  22828  mat0dimcrng  22829  mat0scmat  22897  mavmul0  22911  mdet0pr  22951  matunitlindf  23040  cramer0  23052  d0mat2pmat  23100  chpmat0d  23196