MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mat0dimbas0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mat0dimbas0 21831
Description: The empty set is the one and only matrix of dimension 0, called "the empty matrix". (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)
Assertion
Ref Expression
mat0dimbas0 (𝑅𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})

Proof of Theorem mat0dimbas0
StepHypRef Expression
1 0xp 5735 . . . . 5 (∅ × ∅) = ∅
21a1i 11 . . . 4 (𝑅𝑉 → (∅ × ∅) = ∅)
32oveq2d 7378 . . 3 (𝑅𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m (∅ × ∅)) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
4 fvex 6860 . . . 4 (Base‘𝑅) ∈ V
5 map0e 8827 . . . 4 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
64, 5mp1i 13 . . 3 (𝑅𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
73, 6eqtrd 2777 . 2 (𝑅𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m (∅ × ∅)) = 1o)
8 0fin 9122 . . 3 ∅ ∈ Fin
9 eqid 2737 . . . 4 (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
10 eqid 2737 . . . 4 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
119, 10matbas2 21786 . . 3 ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (∅ × ∅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
128, 11mpan 689 . 2 (𝑅𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m (∅ × ∅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
13 df1o2 8424 . . 3 1o = {∅}
1413a1i 11 . 2 (𝑅𝑉 → 1o = {∅})
157, 12, 143eqtr3d 2785 1 (𝑅𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3448  c0 4287  {csn 4591   × cxp 5636  cfv 6501  (class class class)co 7362  1oc1o 8410  m cmap 8772  Fincfn 8890  Basecbs 17090   Mat cmat 21770
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-ot 4600  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-sup 9385  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-fz 13432  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-hom 17164  df-cco 17165  df-0g 17330  df-prds 17336  df-pws 17338  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-dsmm 21154  df-frlm 21169  df-mat 21771
This theorem is referenced by:  mat0dim0  21832  mat0dimid  21833  mat0dimscm  21834  mat0dimcrng  21835  mat0scmat  21903  mavmul0  21917  mdet0pr  21957  cramer0  22055  d0mat2pmat  22103  chpmat0d  22199  matunitlindf  36105
  Copyright terms: Public domain W3C validator