Theorem mat0dimbas0 22335

Description: The empty set is the one and only matrix of dimension 0, called "the empty matrix". (Contributed by AV, 27-Feb-2019.)

Assertion

Ref	Expression
mat0dimbas0	⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})

Proof of Theorem mat0dimbas0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0xp 5712	. . . . 5 ⊢ (∅ × ∅) = ∅
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (∅ × ∅) = ∅)
3	2	oveq2d 7356	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m (∅ × ∅)) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
4		fvex 6829	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
5		map0e 8800	. . . 4 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
6	4, 5	mp1i 13	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
7	3, 6	eqtrd 2764	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m (∅ × ∅)) = 1o)
8		0fi 8958	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Fin
9		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (∅ Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅)
10		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
11	9, 10	matbas2 22290	. . 3 ⊢ ((∅ ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (∅ × ∅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
12	8, 11	mpan 690	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m (∅ × ∅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
13		df1o2 8386	. . 3 ⊢ 1o = {∅}
14	13	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 1o = {∅})
15	7, 12, 14	3eqtr3d 2772	1 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3433  ∅c0 4280  {csn 4573   × cxp 5611  ‘cfv 6476  (class class class)co 7340  1_oc1o 8372   ↑_m cmap 8744  Fincfn 8863  Basecbs 17107   Mat cmat 22276

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-ot 4582  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-1st 7915  df-2nd 7916  df-supp 8085  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-1o 8379  df-er 8616  df-map 8746  df-ixp 8816  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-fin 8867  df-fsupp 9240  df-sup 9320  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-9 12186  df-n0 12373  df-z 12460  df-dec 12580  df-uz 12724  df-fz 13399  df-struct 17045  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-ress 17129  df-plusg 17161  df-mulr 17162  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-ip 17166  df-tset 17167  df-ple 17168  df-ds 17170  df-hom 17172  df-cco 17173  df-0g 17332  df-prds 17338  df-pws 17340  df-sra 21061  df-rgmod 21062  df-dsmm 21623  df-frlm 21638  df-mat 22277

This theorem is referenced by:  mat0dim0  22336  mat0dimid  22337  mat0dimscm  22338  mat0dimcrng  22339  mat0scmat  22407  mavmul0  22421  mdet0pr  22461  cramer0  22559  d0mat2pmat  22607  chpmat0d  22703  matunitlindf  37615