MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmap2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem infmap2 10215
Description: An exponentiation law for infinite cardinals. Similar to Lemma 6.2 of [Jech] p. 43. Although this version of infmap 10573 avoids the axiom of choice, it requires the powerset of an infinite set to be well-orderable and so is usually not applicable. (Contributed by NM, 1-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infmap2 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) β†’ (𝐴 ↑m 𝐡) β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡
Proof of Theorem infmap2
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7419 . . 3 (𝐡 = βˆ… β†’ (𝐴 ↑m 𝐡) = (𝐴 ↑m βˆ…))
2 breq2 5151 . . . . 5 (𝐡 = βˆ… β†’ (π‘₯ β‰ˆ 𝐡 ↔ π‘₯ β‰ˆ βˆ…))
32anbi2d 627 . . . 4 (𝐡 = βˆ… β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ βˆ…)))
43abbidv 2799 . . 3 (𝐡 = βˆ… β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ βˆ…)})
51, 4breq12d 5160 . 2 (𝐡 = βˆ… β†’ ((𝐴 ↑m 𝐡) β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} ↔ (𝐴 ↑m βˆ…) β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ βˆ…)}))
6 simpl2 1190 . . . . . . . . . 10 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ 𝐡 β‰Ό 𝐴)
7 reldom 8947 . . . . . . . . . . 11 Rel β‰Ό
87brrelex1i 5731 . . . . . . . . . 10 (𝐡 β‰Ό 𝐴 β†’ 𝐡 ∈ V)
96, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ 𝐡 ∈ V)
107brrelex2i 5732 . . . . . . . . . 10 (𝐡 β‰Ό 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ V)
116, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ V)
12 xpcomeng 9066 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝐡 Γ— 𝐴) β‰ˆ (𝐴 Γ— 𝐡))
139, 11, 12syl2anc 582 . . . . . . . 8 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝐡 Γ— 𝐴) β‰ˆ (𝐴 Γ— 𝐡))
14 simpl3 1191 . . . . . . . . . 10 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card)
15 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
16 mapdom3 9151 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 β‰Ό (𝐴 ↑m 𝐡))
1711, 9, 15, 16syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 β‰Ό (𝐴 ↑m 𝐡))
18 numdom 10035 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card ∧ 𝐴 β‰Ό (𝐴 ↑m 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ dom card)
1914, 17, 18syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ dom card)
20 simpl1 1189 . . . . . . . . 9 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ Ο‰ β‰Ό 𝐴)
21 infxpabs 10209 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom card ∧ Ο‰ β‰Ό 𝐴) ∧ (𝐡 β‰  βˆ… ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) β‰ˆ 𝐴)
2219, 20, 15, 6, 21syl22anc 835 . . . . . . . 8 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) β‰ˆ 𝐴)
23 entr 9004 . . . . . . . 8 (((𝐡 Γ— 𝐴) β‰ˆ (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ (𝐴 Γ— 𝐡) β‰ˆ 𝐴) β†’ (𝐡 Γ— 𝐴) β‰ˆ 𝐴)
2413, 22, 23syl2anc 582 . . . . . . 7 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝐡 Γ— 𝐴) β‰ˆ 𝐴)
25 ssenen 9153 . . . . . . 7 ((𝐡 Γ— 𝐴) β‰ˆ 𝐴 β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)})
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)})
27 relen 8946 . . . . . . 7 Rel β‰ˆ
2827brrelex1i 5731 . . . . . 6 ({π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} ∈ V)
2926, 28syl 17 . . . . 5 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} ∈ V)
30 abid2 2869 . . . . . 6 {π‘₯ ∣ π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡)} = (𝐴 ↑m 𝐡)
31 elmapi 8845 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) β†’ π‘₯:𝐡⟢𝐴)
32 fssxp 6744 . . . . . . . . 9 (π‘₯:𝐡⟢𝐴 β†’ π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴))
33 ffun 6719 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯:𝐡⟢𝐴 β†’ Fun π‘₯)
34 vex 3476 . . . . . . . . . . . 12 π‘₯ ∈ V
3534fundmen 9033 . . . . . . . . . . 11 (Fun π‘₯ β†’ dom π‘₯ β‰ˆ π‘₯)
36 ensym 9001 . . . . . . . . . . 11 (dom π‘₯ β‰ˆ π‘₯ β†’ π‘₯ β‰ˆ dom π‘₯)
3733, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . 10 (π‘₯:𝐡⟢𝐴 β†’ π‘₯ β‰ˆ dom π‘₯)
38 fdm 6725 . . . . . . . . . 10 (π‘₯:𝐡⟢𝐴 β†’ dom π‘₯ = 𝐡)
3937, 38breqtrd 5173 . . . . . . . . 9 (π‘₯:𝐡⟢𝐴 β†’ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)
4032, 39jca 510 . . . . . . . 8 (π‘₯:𝐡⟢𝐴 β†’ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡))
4131, 40syl 17 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) β†’ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡))
4241ss2abi 4062 . . . . . 6 {π‘₯ ∣ π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡)} βŠ† {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)}
4330, 42eqsstrri 4016 . . . . 5 (𝐴 ↑m 𝐡) βŠ† {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)}
44 ssdomg 8998 . . . . 5 ({π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} ∈ V β†’ ((𝐴 ↑m 𝐡) βŠ† {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β†’ (𝐴 ↑m 𝐡) β‰Ό {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)}))
4529, 43, 44mpisyl 21 . . . 4 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴 ↑m 𝐡) β‰Ό {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)})
46 domentr 9011 . . . 4 (((𝐴 ↑m 𝐡) β‰Ό {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} ∧ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)}) β†’ (𝐴 ↑m 𝐡) β‰Ό {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)})
4745, 26, 46syl2anc 582 . . 3 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴 ↑m 𝐡) β‰Ό {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)})
48 ovex 7444 . . . . . . 7 (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ V
4948mptex 7226 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) ∈ V
5049rnex 7905 . . . . 5 ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) ∈ V
51 ensym 9001 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ β‰ˆ 𝐡 β†’ 𝐡 β‰ˆ π‘₯)
5251ad2antll 725 . . . . . . . . . . 11 ((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) β†’ 𝐡 β‰ˆ π‘₯)
53 bren 8951 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 β‰ˆ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯)
5452, 53sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯)
55 f1of 6832 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ 𝑓:𝐡⟢π‘₯)
5655adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) ∧ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ 𝑓:𝐡⟢π‘₯)
57 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) ∧ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐴)
5856, 57fssd 6734 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) ∧ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ 𝑓:𝐡⟢𝐴)
5911, 9elmapd 8836 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↔ 𝑓:𝐡⟢𝐴))
6059ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) ∧ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↔ 𝑓:𝐡⟢𝐴))
6158, 60mpbird 256 . . . . . . . . . . . . 13 (((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) ∧ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡))
62 f1ofo 6839 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ 𝑓:𝐡–ontoβ†’π‘₯)
63 forn 6807 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝐡–ontoβ†’π‘₯ β†’ ran 𝑓 = π‘₯)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ ran 𝑓 = π‘₯)
6564adantl 480 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) ∧ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ ran 𝑓 = π‘₯)
6665eqcomd 2736 . . . . . . . . . . . . 13 (((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) ∧ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ π‘₯ = ran 𝑓)
6761, 66jca 510 . . . . . . . . . . . 12 (((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) ∧ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∧ π‘₯ = ran 𝑓))
6867ex 411 . . . . . . . . . . 11 ((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) β†’ (𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∧ π‘₯ = ran 𝑓)))
6968eximdv 1918 . . . . . . . . . 10 ((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∧ π‘₯ = ran 𝑓)))
7054, 69mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∧ π‘₯ = ran 𝑓))
71 df-rex 3069 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘“ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡)π‘₯ = ran 𝑓 ↔ βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∧ π‘₯ = ran 𝑓))
7270, 71sylibr 233 . . . . . . . 8 ((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡)π‘₯ = ran 𝑓)
7372ex 411 . . . . . . 7 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡)π‘₯ = ran 𝑓))
7473ss2abdv 4059 . . . . . 6 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} βŠ† {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡)π‘₯ = ran 𝑓})
75 eqid 2730 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) = (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓)
7675rnmpt 5953 . . . . . 6 ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡)π‘₯ = ran 𝑓}
7774, 76sseqtrrdi 4032 . . . . 5 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} βŠ† ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓))
78 ssdomg 8998 . . . . 5 (ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) ∈ V β†’ ({π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} βŠ† ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β‰Ό ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓)))
7950, 77, 78mpsyl 68 . . . 4 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β‰Ό ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓))
80 vex 3476 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
8180rnex 7905 . . . . . . . 8 ran 𝑓 ∈ V
8281rgenw 3063 . . . . . . 7 βˆ€π‘“ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡)ran 𝑓 ∈ V
8375fnmpt 6689 . . . . . . 7 (βˆ€π‘“ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡)ran 𝑓 ∈ V β†’ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) Fn (𝐴 ↑m 𝐡))
8482, 83mp1i 13 . . . . . 6 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) Fn (𝐴 ↑m 𝐡))
85 dffn4 6810 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) Fn (𝐴 ↑m 𝐡) ↔ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓):(𝐴 ↑m 𝐡)–ontoβ†’ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓))
8684, 85sylib 217 . . . . 5 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓):(𝐴 ↑m 𝐡)–ontoβ†’ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓))
87 fodomnum 10054 . . . . 5 ((𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card β†’ ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓):(𝐴 ↑m 𝐡)–ontoβ†’ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) β†’ ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) β‰Ό (𝐴 ↑m 𝐡)))
8814, 86, 87sylc 65 . . . 4 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) β‰Ό (𝐴 ↑m 𝐡))
89 domtr 9005 . . . 4 (({π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β‰Ό ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) ∧ ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) β‰Ό (𝐴 ↑m 𝐡)) β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β‰Ό (𝐴 ↑m 𝐡))
9079, 88, 89syl2anc 582 . . 3 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β‰Ό (𝐴 ↑m 𝐡))
91 sbth 9095 . . 3 (((𝐴 ↑m 𝐡) β‰Ό {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} ∧ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β‰Ό (𝐴 ↑m 𝐡)) β†’ (𝐴 ↑m 𝐡) β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)})
9247, 90, 91syl2anc 582 . 2 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴 ↑m 𝐡) β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)})
937brrelex2i 5732 . . . . 5 (Ο‰ β‰Ό 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ V)
94933ad2ant1 1131 . . . 4 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) β†’ 𝐴 ∈ V)
95 map0e 8878 . . . 4 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ↑m βˆ…) = 1o)
9694, 95syl 17 . . 3 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) β†’ (𝐴 ↑m βˆ…) = 1o)
97 1oex 8478 . . . . 5 1o ∈ V
9897enref 8983 . . . 4 1o β‰ˆ 1o
99 df-sn 4628 . . . . 5 {βˆ…} = {π‘₯ ∣ π‘₯ = βˆ…}
100 df1o2 8475 . . . . 5 1o = {βˆ…}
101 en0 9015 . . . . . . . 8 (π‘₯ β‰ˆ βˆ… ↔ π‘₯ = βˆ…)
102101anbi2i 621 . . . . . . 7 ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ βˆ…) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ = βˆ…))
103 0ss 4395 . . . . . . . . 9 βˆ… βŠ† 𝐴
104 sseq1 4006 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ↔ βˆ… βŠ† 𝐴))
105103, 104mpbiri 257 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆ… β†’ π‘₯ βŠ† 𝐴)
106105pm4.71ri 559 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… ↔ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ = βˆ…))
107102, 106bitr4i 277 . . . . . 6 ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ βˆ…) ↔ π‘₯ = βˆ…)
108107abbii 2800 . . . . 5 {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ βˆ…)} = {π‘₯ ∣ π‘₯ = βˆ…}
10999, 100, 1083eqtr4ri 2769 . . . 4 {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ βˆ…)} = 1o
11098, 109breqtrri 5174 . . 3 1o β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ βˆ…)}
11196, 110eqbrtrdi 5186 . 2 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) β†’ (𝐴 ↑m βˆ…) β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ βˆ…)})
1125, 92, 111pm2.61ne 3025 1 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) β†’ (𝐴 ↑m 𝐡) β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539  βˆƒwex 1779   ∈ wcel 2104  {cab 2707   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  ran crn 5676  Fun wfun 6536   Fn wfn 6537  βŸΆwf 6538  β€“ontoβ†’wfo 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  (class class class)co 7411  Ο‰com 7857  1oc1o 8461   ↑m cmap 8822   β‰ˆ cen 8938   β‰Ό cdom 8939  cardccrd 9932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-oi 9507  df-card 9936  df-acn 9939
This theorem is referenced by:  infmap  10573
  Copyright terms: Public domain W3C validator