MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infmap2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infmap2 10161
Description: An exponentiation law for infinite cardinals. Similar to Lemma 6.2 of [Jech] p. 43. Although this version of infmap 10519 avoids the axiom of choice, it requires the powerset of an infinite set to be well-orderable and so is usually not applicable. (Contributed by NM, 1-Oct-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
infmap2 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) β†’ (𝐴 ↑m 𝐡) β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)})
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐡

Proof of Theorem infmap2
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7370 . . 3 (𝐡 = βˆ… β†’ (𝐴 ↑m 𝐡) = (𝐴 ↑m βˆ…))
2 breq2 5114 . . . . 5 (𝐡 = βˆ… β†’ (π‘₯ β‰ˆ 𝐡 ↔ π‘₯ β‰ˆ βˆ…))
32anbi2d 630 . . . 4 (𝐡 = βˆ… β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ βˆ…)))
43abbidv 2806 . . 3 (𝐡 = βˆ… β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} = {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ βˆ…)})
51, 4breq12d 5123 . 2 (𝐡 = βˆ… β†’ ((𝐴 ↑m 𝐡) β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} ↔ (𝐴 ↑m βˆ…) β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ βˆ…)}))
6 simpl2 1193 . . . . . . . . . 10 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ 𝐡 β‰Ό 𝐴)
7 reldom 8896 . . . . . . . . . . 11 Rel β‰Ό
87brrelex1i 5693 . . . . . . . . . 10 (𝐡 β‰Ό 𝐴 β†’ 𝐡 ∈ V)
96, 8syl 17 . . . . . . . . 9 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ 𝐡 ∈ V)
107brrelex2i 5694 . . . . . . . . . 10 (𝐡 β‰Ό 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ V)
116, 10syl 17 . . . . . . . . 9 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ V)
12 xpcomeng 9015 . . . . . . . . 9 ((𝐡 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ V) β†’ (𝐡 Γ— 𝐴) β‰ˆ (𝐴 Γ— 𝐡))
139, 11, 12syl2anc 585 . . . . . . . 8 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝐡 Γ— 𝐴) β‰ˆ (𝐴 Γ— 𝐡))
14 simpl3 1194 . . . . . . . . . 10 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card)
15 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ 𝐡 β‰  βˆ…)
16 mapdom3 9100 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐡 ∈ V ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 β‰Ό (𝐴 ↑m 𝐡))
1711, 9, 15, 16syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 β‰Ό (𝐴 ↑m 𝐡))
18 numdom 9981 . . . . . . . . . 10 (((𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card ∧ 𝐴 β‰Ό (𝐴 ↑m 𝐡)) β†’ 𝐴 ∈ dom card)
1914, 17, 18syl2anc 585 . . . . . . . . 9 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ dom card)
20 simpl1 1192 . . . . . . . . 9 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ Ο‰ β‰Ό 𝐴)
21 infxpabs 10155 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ dom card ∧ Ο‰ β‰Ό 𝐴) ∧ (𝐡 β‰  βˆ… ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴)) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) β‰ˆ 𝐴)
2219, 20, 15, 6, 21syl22anc 838 . . . . . . . 8 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴 Γ— 𝐡) β‰ˆ 𝐴)
23 entr 8953 . . . . . . . 8 (((𝐡 Γ— 𝐴) β‰ˆ (𝐴 Γ— 𝐡) ∧ (𝐴 Γ— 𝐡) β‰ˆ 𝐴) β†’ (𝐡 Γ— 𝐴) β‰ˆ 𝐴)
2413, 22, 23syl2anc 585 . . . . . . 7 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝐡 Γ— 𝐴) β‰ˆ 𝐴)
25 ssenen 9102 . . . . . . 7 ((𝐡 Γ— 𝐴) β‰ˆ 𝐴 β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)})
2624, 25syl 17 . . . . . 6 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)})
27 relen 8895 . . . . . . 7 Rel β‰ˆ
2827brrelex1i 5693 . . . . . 6 ({π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} ∈ V)
2926, 28syl 17 . . . . 5 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} ∈ V)
30 abid2 2876 . . . . . 6 {π‘₯ ∣ π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡)} = (𝐴 ↑m 𝐡)
31 elmapi 8794 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) β†’ π‘₯:𝐡⟢𝐴)
32 fssxp 6701 . . . . . . . . 9 (π‘₯:𝐡⟢𝐴 β†’ π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴))
33 ffun 6676 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯:𝐡⟢𝐴 β†’ Fun π‘₯)
34 vex 3452 . . . . . . . . . . . 12 π‘₯ ∈ V
3534fundmen 8982 . . . . . . . . . . 11 (Fun π‘₯ β†’ dom π‘₯ β‰ˆ π‘₯)
36 ensym 8950 . . . . . . . . . . 11 (dom π‘₯ β‰ˆ π‘₯ β†’ π‘₯ β‰ˆ dom π‘₯)
3733, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . 10 (π‘₯:𝐡⟢𝐴 β†’ π‘₯ β‰ˆ dom π‘₯)
38 fdm 6682 . . . . . . . . . 10 (π‘₯:𝐡⟢𝐴 β†’ dom π‘₯ = 𝐡)
3937, 38breqtrd 5136 . . . . . . . . 9 (π‘₯:𝐡⟢𝐴 β†’ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)
4032, 39jca 513 . . . . . . . 8 (π‘₯:𝐡⟢𝐴 β†’ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡))
4131, 40syl 17 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) β†’ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡))
4241ss2abi 4028 . . . . . 6 {π‘₯ ∣ π‘₯ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡)} βŠ† {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)}
4330, 42eqsstrri 3984 . . . . 5 (𝐴 ↑m 𝐡) βŠ† {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)}
44 ssdomg 8947 . . . . 5 ({π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} ∈ V β†’ ((𝐴 ↑m 𝐡) βŠ† {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β†’ (𝐴 ↑m 𝐡) β‰Ό {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)}))
4529, 43, 44mpisyl 21 . . . 4 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴 ↑m 𝐡) β‰Ό {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)})
46 domentr 8960 . . . 4 (((𝐴 ↑m 𝐡) β‰Ό {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} ∧ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† (𝐡 Γ— 𝐴) ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)}) β†’ (𝐴 ↑m 𝐡) β‰Ό {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)})
4745, 26, 46syl2anc 585 . . 3 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴 ↑m 𝐡) β‰Ό {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)})
48 ovex 7395 . . . . . . 7 (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ V
4948mptex 7178 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) ∈ V
5049rnex 7854 . . . . 5 ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) ∈ V
51 ensym 8950 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ β‰ˆ 𝐡 β†’ 𝐡 β‰ˆ π‘₯)
5251ad2antll 728 . . . . . . . . . . 11 ((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) β†’ 𝐡 β‰ˆ π‘₯)
53 bren 8900 . . . . . . . . . . 11 (𝐡 β‰ˆ π‘₯ ↔ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯)
5452, 53sylib 217 . . . . . . . . . 10 ((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯)
55 f1of 6789 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ 𝑓:𝐡⟢π‘₯)
5655adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) ∧ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ 𝑓:𝐡⟢π‘₯)
57 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) ∧ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ π‘₯ βŠ† 𝐴)
5856, 57fssd 6691 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) ∧ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ 𝑓:𝐡⟢𝐴)
5911, 9elmapd 8786 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↔ 𝑓:𝐡⟢𝐴))
6059ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) ∧ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↔ 𝑓:𝐡⟢𝐴))
6158, 60mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) ∧ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ 𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡))
62 f1ofo 6796 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ 𝑓:𝐡–ontoβ†’π‘₯)
63 forn 6764 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝐡–ontoβ†’π‘₯ β†’ ran 𝑓 = π‘₯)
6462, 63syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ ran 𝑓 = π‘₯)
6564adantl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) ∧ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ ran 𝑓 = π‘₯)
6665eqcomd 2743 . . . . . . . . . . . . 13 (((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) ∧ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ π‘₯ = ran 𝑓)
6761, 66jca 513 . . . . . . . . . . . 12 (((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) ∧ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯) β†’ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∧ π‘₯ = ran 𝑓))
6867ex 414 . . . . . . . . . . 11 ((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) β†’ (𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∧ π‘₯ = ran 𝑓)))
6968eximdv 1921 . . . . . . . . . 10 ((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) β†’ (βˆƒπ‘“ 𝑓:𝐡–1-1-ontoβ†’π‘₯ β†’ βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∧ π‘₯ = ran 𝑓)))
7054, 69mpd 15 . . . . . . . . 9 ((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∧ π‘₯ = ran 𝑓))
71 df-rex 3075 . . . . . . . . 9 (βˆƒπ‘“ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡)π‘₯ = ran 𝑓 ↔ βˆƒπ‘“(𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ∧ π‘₯ = ran 𝑓))
7270, 71sylibr 233 . . . . . . . 8 ((((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) ∧ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡)π‘₯ = ran 𝑓)
7372ex 414 . . . . . . 7 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡)π‘₯ = ran 𝑓))
7473ss2abdv 4025 . . . . . 6 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} βŠ† {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡)π‘₯ = ran 𝑓})
75 eqid 2737 . . . . . . 7 (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) = (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓)
7675rnmpt 5915 . . . . . 6 ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) = {π‘₯ ∣ βˆƒπ‘“ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡)π‘₯ = ran 𝑓}
7774, 76sseqtrrdi 4000 . . . . 5 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} βŠ† ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓))
78 ssdomg 8947 . . . . 5 (ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) ∈ V β†’ ({π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} βŠ† ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β‰Ό ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓)))
7950, 77, 78mpsyl 68 . . . 4 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β‰Ό ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓))
80 vex 3452 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
8180rnex 7854 . . . . . . . 8 ran 𝑓 ∈ V
8281rgenw 3069 . . . . . . 7 βˆ€π‘“ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡)ran 𝑓 ∈ V
8375fnmpt 6646 . . . . . . 7 (βˆ€π‘“ ∈ (𝐴 ↑m 𝐡)ran 𝑓 ∈ V β†’ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) Fn (𝐴 ↑m 𝐡))
8482, 83mp1i 13 . . . . . 6 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) Fn (𝐴 ↑m 𝐡))
85 dffn4 6767 . . . . . 6 ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) Fn (𝐴 ↑m 𝐡) ↔ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓):(𝐴 ↑m 𝐡)–ontoβ†’ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓))
8684, 85sylib 217 . . . . 5 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓):(𝐴 ↑m 𝐡)–ontoβ†’ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓))
87 fodomnum 10000 . . . . 5 ((𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card β†’ ((𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓):(𝐴 ↑m 𝐡)–ontoβ†’ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) β†’ ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) β‰Ό (𝐴 ↑m 𝐡)))
8814, 86, 87sylc 65 . . . 4 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) β‰Ό (𝐴 ↑m 𝐡))
89 domtr 8954 . . . 4 (({π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β‰Ό ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) ∧ ran (𝑓 ∈ (𝐴 ↑m 𝐡) ↦ ran 𝑓) β‰Ό (𝐴 ↑m 𝐡)) β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β‰Ό (𝐴 ↑m 𝐡))
9079, 88, 89syl2anc 585 . . 3 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β‰Ό (𝐴 ↑m 𝐡))
91 sbth 9044 . . 3 (((𝐴 ↑m 𝐡) β‰Ό {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} ∧ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)} β‰Ό (𝐴 ↑m 𝐡)) β†’ (𝐴 ↑m 𝐡) β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)})
9247, 90, 91syl2anc 585 . 2 (((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) ∧ 𝐡 β‰  βˆ…) β†’ (𝐴 ↑m 𝐡) β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)})
937brrelex2i 5694 . . . . 5 (Ο‰ β‰Ό 𝐴 β†’ 𝐴 ∈ V)
94933ad2ant1 1134 . . . 4 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) β†’ 𝐴 ∈ V)
95 map0e 8827 . . . 4 (𝐴 ∈ V β†’ (𝐴 ↑m βˆ…) = 1o)
9694, 95syl 17 . . 3 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) β†’ (𝐴 ↑m βˆ…) = 1o)
97 1oex 8427 . . . . 5 1o ∈ V
9897enref 8932 . . . 4 1o β‰ˆ 1o
99 df-sn 4592 . . . . 5 {βˆ…} = {π‘₯ ∣ π‘₯ = βˆ…}
100 df1o2 8424 . . . . 5 1o = {βˆ…}
101 en0 8964 . . . . . . . 8 (π‘₯ β‰ˆ βˆ… ↔ π‘₯ = βˆ…)
102101anbi2i 624 . . . . . . 7 ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ βˆ…) ↔ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ = βˆ…))
103 0ss 4361 . . . . . . . . 9 βˆ… βŠ† 𝐴
104 sseq1 3974 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = βˆ… β†’ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ↔ βˆ… βŠ† 𝐴))
105103, 104mpbiri 258 . . . . . . . 8 (π‘₯ = βˆ… β†’ π‘₯ βŠ† 𝐴)
106105pm4.71ri 562 . . . . . . 7 (π‘₯ = βˆ… ↔ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ = βˆ…))
107102, 106bitr4i 278 . . . . . 6 ((π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ βˆ…) ↔ π‘₯ = βˆ…)
108107abbii 2807 . . . . 5 {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ βˆ…)} = {π‘₯ ∣ π‘₯ = βˆ…}
10999, 100, 1083eqtr4ri 2776 . . . 4 {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ βˆ…)} = 1o
11098, 109breqtrri 5137 . . 3 1o β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ βˆ…)}
11196, 110eqbrtrdi 5149 . 2 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) β†’ (𝐴 ↑m βˆ…) β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ βˆ…)})
1125, 92, 111pm2.61ne 3031 1 ((Ο‰ β‰Ό 𝐴 ∧ 𝐡 β‰Ό 𝐴 ∧ (𝐴 ↑m 𝐡) ∈ dom card) β†’ (𝐴 ↑m 𝐡) β‰ˆ {π‘₯ ∣ (π‘₯ βŠ† 𝐴 ∧ π‘₯ β‰ˆ 𝐡)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  {cab 2714   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  Vcvv 3448   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  {csn 4591   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193   Γ— cxp 5636  dom cdm 5638  ran crn 5639  Fun wfun 6495   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€“ontoβ†’wfo 6499  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6500  (class class class)co 7362  Ο‰com 7807  1oc1o 8410   ↑m cmap 8772   β‰ˆ cen 8887   β‰Ό cdom 8888  cardccrd 9878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-oi 9453  df-card 9882  df-acn 9885
This theorem is referenced by:  infmap  10519
  Copyright terms: Public domain W3C validator