Theorem mavmul0 22592

Description: Multiplication of a 0-dimensional matrix with a 0-dimensional vector. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mavmul0.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
mavmul0	⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)

Proof of Theorem mavmul0

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2761	. . 3 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
2		mavmul0.t	. . 3 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3		eqid 2761	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2761	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		simpr 488	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝑉)
6		0fi 9019	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
7		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
8	6, 7	mpbiri 260	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
10		0ex 5256	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
11		snidg 4618	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → ∅ ∈ {∅})
12	10, 11	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ∅ ∈ {∅})
13		oveq1 7399	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅))
14	13	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑁 Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅))
15	14	fveq2d 6867	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
16		mat0dimbas0 22506	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
17	16	adantl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
18	15, 17	eqtrd 2796	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = {∅})
19	12, 18	eleqtrrd 2864	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ∅ ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
20		eqidd 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ∅ = ∅)
21		el1o 8459	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 1o ↔ ∅ = ∅)
22	20, 21	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ∅ → ∅ ∈ 1o)
23		oveq2 7400	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
24		fvex 6876	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
25		map0e 8860	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
27	23, 26	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = 1o)
28	22, 27	eleqtrrd 2864	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ → ∅ ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
29	28	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ∅ ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
30	1, 2, 3, 4, 5, 9, 19, 29	mavmulval 22585	. 2 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∅ · ∅) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))))
31		mpteq1 5188	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))))
32	31	adantr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))))
33		mpt0 6659	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))) = ∅
34	32, 33	eqtrdi 2812	. 2 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))) = ∅)
35	30, 34	eqtrd 2796	1 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  Vcvv 3453  ∅c0 4285  {csn 4581  ⟨cop 4587   ↦ cmpt 5180  ‘cfv 6517  (class class class)co 7392  1_oc1o 8425   ↑_m cmap 8803  Fincfn 8923  Basecbs 17228  ._rcmulr 17270   Σ_g cgsu 17452   Mat cmat 22447   maVecMul cmvmul 22580

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5226  ax-sep 5245  ax-nul 5255  ax-pow 5321  ax-pr 5389  ax-un 7714  ax-cnex 11126  ax-resscn 11127  ax-1cn 11128  ax-icn 11129  ax-addcl 11130  ax-addrcl 11131  ax-mulcl 11132  ax-mulrcl 11133  ax-mulcom 11134  ax-addass 11135  ax-mulass 11136  ax-distr 11137  ax-i2m1 11138  ax-1ne0 11139  ax-1rid 11140  ax-rnegex 11141  ax-rrecex 11142  ax-cnre 11143  ax-pre-lttri 11144  ax-pre-lttrn 11145  ax-pre-ltadd 11146  ax-pre-mulgt0 11147

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4582  df-pr 4584  df-tp 4586  df-op 4588  df-ot 4590  df-uni 4865  df-iun 4950  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5540  df-eprel 5545  df-po 5553  df-so 5554  df-fr 5598  df-we 5600  df-xp 5651  df-rel 5652  df-cnv 5653  df-co 5654  df-dm 5655  df-rn 5656  df-res 5657  df-ima 5658  df-pred 6284  df-ord 6345  df-on 6346  df-lim 6347  df-suc 6348  df-iota 6473  df-fun 6519  df-fn 6520  df-f 6521  df-f1 6522  df-fo 6523  df-f1o 6524  df-fv 6525  df-riota 7349  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-om 7843  df-1st 7966  df-2nd 7967  df-supp 8136  df-frecs 8257  df-wrecs 8288  df-recs 8337  df-rdg 8376  df-1o 8432  df-er 8673  df-map 8805  df-ixp 8876  df-en 8924  df-dom 8925  df-sdom 8926  df-fin 8927  df-fsupp 9305  df-sup 9385  df-pnf 11215  df-mnf 11216  df-xr 11217  df-ltxr 11218  df-le 11219  df-sub 11413  df-neg 11414  df-nn 12208  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12479  df-z 12566  df-dec 12686  df-uz 12837  df-fz 13510  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17250  df-plusg 17282  df-mulr 17283  df-sca 17285  df-vsca 17286  df-ip 17287  df-tset 17288  df-ple 17289  df-ds 17291  df-hom 17293  df-cco 17294  df-0g 17453  df-prds 17459  df-pws 17461  df-sra 21220  df-rgmod 21221  df-dsmm 21764  df-frlm 21779  df-mat 22448  df-mvmul 22581

This theorem is referenced by:  mavmul0g  22593  cramer0  22730