Theorem mavmul0 22496

Description: Multiplication of a 0-dimensional matrix with a 0-dimensional vector. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mavmul0.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
mavmul0	⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)

Proof of Theorem mavmul0

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2736	. . 3 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
2		mavmul0.t	. . 3 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2736	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝑉)
6		0fi 8979	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
7		eleq1 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
8	6, 7	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
10		0ex 5252	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
11		snidg 4617	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → ∅ ∈ {∅})
12	10, 11	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ∅ ∈ {∅})
13		oveq1 7365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅))
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑁 Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅))
15	14	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
16		mat0dimbas0 22410	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
18	15, 17	eqtrd 2771	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = {∅})
19	12, 18	eleqtrrd 2839	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ∅ ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
20		eqidd 2737	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ∅ = ∅)
21		el1o 8422	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 1o ↔ ∅ = ∅)
22	20, 21	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ∅ → ∅ ∈ 1o)
23		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
24		fvex 6847	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
25		map0e 8820	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
27	23, 26	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = 1o)
28	22, 27	eleqtrrd 2839	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ → ∅ ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
29	28	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ∅ ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
30	1, 2, 3, 4, 5, 9, 19, 29	mavmulval 22489	. 2 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∅ · ∅) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))))
31		mpteq1 5187	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))))
32	31	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))))
33		mpt0 6634	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))) = ∅
34	32, 33	eqtrdi 2787	. 2 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))) = ∅)
35	30, 34	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3440  ∅c0 4285  {csn 4580  ⟨cop 4586   ↦ cmpt 5179  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  1_oc1o 8390   ↑_m cmap 8763  Fincfn 8883  Basecbs 17136  ._rcmulr 17178   Σ_g cgsu 17360   Mat cmat 22351   maVecMul cmvmul 22484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-map 8765  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-sup 9345  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-fz 13424  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-hom 17201  df-cco 17202  df-0g 17361  df-prds 17367  df-pws 17369  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-dsmm 21687  df-frlm 21702  df-mat 22352  df-mvmul 22485

This theorem is referenced by:  mavmul0g  22497  cramer0  22634