Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmul0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmul0 20763
 Description: Multiplication of a 0-dimensional matrix with a 0-dimensional vector. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mavmul0.t · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
mavmul0 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)

Proof of Theorem mavmul0
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2778 . . 3 (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
2 mavmul0.t . . 3 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3 eqid 2778 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 eqid 2778 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 simpr 479 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → 𝑅𝑉)
6 0fin 8476 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
7 eleq1 2847 . . . . 5 (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
86, 7mpbiri 250 . . . 4 (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ Fin)
98adantr 474 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
10 0ex 5026 . . . . 5 ∅ ∈ V
11 snidg 4428 . . . . 5 (∅ ∈ V → ∅ ∈ {∅})
1210, 11mp1i 13 . . . 4 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → ∅ ∈ {∅})
13 oveq1 6929 . . . . . . 7 (𝑁 = ∅ → (𝑁 Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅))
1413adantr 474 . . . . . 6 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑁 Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅))
1514fveq2d 6450 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
16 mat0dimbas0 20677 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
1716adantl 475 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
1815, 17eqtrd 2814 . . . 4 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = {∅})
1912, 18eleqtrrd 2862 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → ∅ ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
20 eqidd 2779 . . . . . 6 (𝑁 = ∅ → ∅ = ∅)
21 el1o 7863 . . . . . 6 (∅ ∈ 1o ↔ ∅ = ∅)
2220, 21sylibr 226 . . . . 5 (𝑁 = ∅ → ∅ ∈ 1o)
23 oveq2 6930 . . . . . 6 (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ∅))
24 fvex 6459 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
25 map0e 8179 . . . . . . 7 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ∅) = 1o)
2624, 25mp1i 13 . . . . . 6 (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ∅) = 1o)
2723, 26eqtrd 2814 . . . . 5 (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) = 1o)
2822, 27eleqtrrd 2862 . . . 4 (𝑁 = ∅ → ∅ ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁))
2928adantr 474 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → ∅ ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁))
301, 2, 3, 4, 5, 9, 19, 29mavmulval 20756 . 2 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (∅ · ∅) = (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑗)(.r𝑅)(∅‘𝑗))))))
31 mpteq1 4972 . . . 4 (𝑁 = ∅ → (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑗)(.r𝑅)(∅‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑗)(.r𝑅)(∅‘𝑗))))))
3231adantr 474 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑗)(.r𝑅)(∅‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑗)(.r𝑅)(∅‘𝑗))))))
33 mpt0 6267 . . 3 (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑗)(.r𝑅)(∅‘𝑗))))) = ∅
3432, 33syl6eq 2830 . 2 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑗)(.r𝑅)(∅‘𝑗))))) = ∅)
3530, 34eqtrd 2814 1 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  Vcvv 3398  ∅c0 4141  {csn 4398  ⟨cop 4404   ↦ cmpt 4965  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  1oc1o 7836   ↑𝑚 cmap 8140  Fincfn 8241  Basecbs 16255  .rcmulr 16339   Σg cgsu 16487   Mat cmat 20617   maVecMul cmvmul 20751 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-prds 16494  df-pws 16496  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-dsmm 20475  df-frlm 20490  df-mat 20618  df-mvmul 20752 This theorem is referenced by:  mavmul0g  20764  cramer0  20903
 Copyright terms: Public domain W3C validator