Theorem mavmul0 22574

Description: Multiplication of a 0-dimensional matrix with a 0-dimensional vector. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mavmul0.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
mavmul0	⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)

Proof of Theorem mavmul0

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2735	. . 3 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
2		mavmul0.t	. . 3 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3		eqid 2735	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2735	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝑉)
6		0fi 9081	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
7		eleq1 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
8	6, 7	mpbiri 258	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
10		0ex 5313	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
11		snidg 4665	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → ∅ ∈ {∅})
12	10, 11	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ∅ ∈ {∅})
13		oveq1 7438	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅))
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑁 Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅))
15	14	fveq2d 6911	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
16		mat0dimbas0 22488	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
18	15, 17	eqtrd 2775	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = {∅})
19	12, 18	eleqtrrd 2842	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ∅ ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
20		eqidd 2736	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ∅ = ∅)
21		el1o 8532	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 1o ↔ ∅ = ∅)
22	20, 21	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ∅ → ∅ ∈ 1o)
23		oveq2 7439	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
24		fvex 6920	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
25		map0e 8921	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
27	23, 26	eqtrd 2775	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = 1o)
28	22, 27	eleqtrrd 2842	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ → ∅ ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
29	28	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ∅ ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
30	1, 2, 3, 4, 5, 9, 19, 29	mavmulval 22567	. 2 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∅ · ∅) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))))
31		mpteq1 5241	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))))
32	31	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))))
33		mpt0 6711	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))) = ∅
34	32, 33	eqtrdi 2791	. 2 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))) = ∅)
35	30, 34	eqtrd 2775	1 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  Vcvv 3478  ∅c0 4339  {csn 4631  ⟨cop 4637   ↦ cmpt 5231  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1_oc1o 8498   ↑_m cmap 8865  Fincfn 8984  Basecbs 17245  ._rcmulr 17299   Σ_g cgsu 17487   Mat cmat 22427   maVecMul cmvmul 22562

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-mat 22428  df-mvmul 22563

This theorem is referenced by:  mavmul0g  22575  cramer0  22712