MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmul0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmul0 21147
Description: Multiplication of a 0-dimensional matrix with a 0-dimensional vector. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mavmul0.t · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
mavmul0 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)

Proof of Theorem mavmul0
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2824 . . 3 (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
2 mavmul0.t . . 3 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3 eqid 2824 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4 eqid 2824 . . 3 (.r𝑅) = (.r𝑅)
5 simpr 488 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → 𝑅𝑉)
6 0fin 8730 . . . . 5 ∅ ∈ Fin
7 eleq1 2903 . . . . 5 (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
86, 7mpbiri 261 . . . 4 (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ Fin)
98adantr 484 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
10 0ex 5192 . . . . 5 ∅ ∈ V
11 snidg 4580 . . . . 5 (∅ ∈ V → ∅ ∈ {∅})
1210, 11mp1i 13 . . . 4 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → ∅ ∈ {∅})
13 oveq1 7145 . . . . . . 7 (𝑁 = ∅ → (𝑁 Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅))
1413adantr 484 . . . . . 6 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑁 Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅))
1514fveq2d 6655 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
16 mat0dimbas0 21061 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
1716adantl 485 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
1815, 17eqtrd 2859 . . . 4 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = {∅})
1912, 18eleqtrrd 2919 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → ∅ ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
20 eqidd 2825 . . . . . 6 (𝑁 = ∅ → ∅ = ∅)
21 el1o 8107 . . . . . 6 (∅ ∈ 1o ↔ ∅ = ∅)
2220, 21sylibr 237 . . . . 5 (𝑁 = ∅ → ∅ ∈ 1o)
23 oveq2 7146 . . . . . 6 (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
24 fvex 6664 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) ∈ V
25 map0e 8429 . . . . . . 7 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
2624, 25mp1i 13 . . . . . 6 (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
2723, 26eqtrd 2859 . . . . 5 (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = 1o)
2822, 27eleqtrrd 2919 . . . 4 (𝑁 = ∅ → ∅ ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
2928adantr 484 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → ∅ ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
301, 2, 3, 4, 5, 9, 19, 29mavmulval 21140 . 2 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (∅ · ∅) = (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑗)(.r𝑅)(∅‘𝑗))))))
31 mpteq1 5135 . . . 4 (𝑁 = ∅ → (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑗)(.r𝑅)(∅‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑗)(.r𝑅)(∅‘𝑗))))))
3231adantr 484 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑗)(.r𝑅)(∅‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑗)(.r𝑅)(∅‘𝑗))))))
33 mpt0 6471 . . 3 (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑗)(.r𝑅)(∅‘𝑗))))) = ∅
3432, 33syl6eq 2875 . 2 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑖𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗𝑁 ↦ ((𝑖𝑗)(.r𝑅)(∅‘𝑗))))) = ∅)
3530, 34eqtrd 2859 1 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3479  c0 4274  {csn 4548  cop 4554  cmpt 5127  cfv 6336  (class class class)co 7138  1oc1o 8078  m cmap 8389  Fincfn 8492  Basecbs 16472  .rcmulr 16555   Σg cgsu 16703   Mat cmat 21002   maVecMul cmvmul 21135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5171  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-cnex 10578  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598  ax-pre-mulgt0 10599
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-pss 3937  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-tp 4553  df-op 4555  df-ot 4557  df-uni 4820  df-int 4858  df-iun 4902  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-tr 5154  df-id 5441  df-eprel 5446  df-po 5455  df-so 5456  df-fr 5495  df-we 5497  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6129  df-ord 6175  df-on 6176  df-lim 6177  df-suc 6178  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-om 7564  df-1st 7672  df-2nd 7673  df-supp 7814  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-map 8391  df-ixp 8445  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-fsupp 8818  df-sup 8890  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-xr 10664  df-ltxr 10665  df-le 10666  df-sub 10857  df-neg 10858  df-nn 11624  df-2 11686  df-3 11687  df-4 11688  df-5 11689  df-6 11690  df-7 11691  df-8 11692  df-9 11693  df-n0 11884  df-z 11968  df-dec 12085  df-uz 12230  df-fz 12884  df-struct 16474  df-ndx 16475  df-slot 16476  df-base 16478  df-sets 16479  df-ress 16480  df-plusg 16567  df-mulr 16568  df-sca 16570  df-vsca 16571  df-ip 16572  df-tset 16573  df-ple 16574  df-ds 16576  df-hom 16578  df-cco 16579  df-0g 16704  df-prds 16710  df-pws 16712  df-sra 19930  df-rgmod 19931  df-dsmm 20862  df-frlm 20877  df-mat 21003  df-mvmul 21136
This theorem is referenced by:  mavmul0g  21148  cramer0  21285
  Copyright terms: Public domain W3C validator