![]() |
Metamath Proof Explorer |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > mavmul0 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Multiplication of a 0-dimensional matrix with a 0-dimensional vector. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.) |
Ref | Expression |
---|---|
mavmul0.t | โข ยท = (๐ maVecMul โจ๐, ๐โฉ) |
Ref | Expression |
---|---|
mavmul0 | โข ((๐ = โ โง ๐ โ ๐) โ (โ ยท โ ) = โ ) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | eqid 2726 | . . 3 โข (๐ Mat ๐ ) = (๐ Mat ๐ ) | |
2 | mavmul0.t | . . 3 โข ยท = (๐ maVecMul โจ๐, ๐โฉ) | |
3 | eqid 2726 | . . 3 โข (Baseโ๐ ) = (Baseโ๐ ) | |
4 | eqid 2726 | . . 3 โข (.rโ๐ ) = (.rโ๐ ) | |
5 | simpr 484 | . . 3 โข ((๐ = โ โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ ๐) | |
6 | 0fin 9170 | . . . . 5 โข โ โ Fin | |
7 | eleq1 2815 | . . . . 5 โข (๐ = โ โ (๐ โ Fin โ โ โ Fin)) | |
8 | 6, 7 | mpbiri 258 | . . . 4 โข (๐ = โ โ ๐ โ Fin) |
9 | 8 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ = โ โง ๐ โ ๐) โ ๐ โ Fin) |
10 | 0ex 5300 | . . . . 5 โข โ โ V | |
11 | snidg 4657 | . . . . 5 โข (โ โ V โ โ โ {โ }) | |
12 | 10, 11 | mp1i 13 | . . . 4 โข ((๐ = โ โง ๐ โ ๐) โ โ โ {โ }) |
13 | oveq1 7411 | . . . . . . 7 โข (๐ = โ โ (๐ Mat ๐ ) = (โ Mat ๐ )) | |
14 | 13 | adantr 480 | . . . . . 6 โข ((๐ = โ โง ๐ โ ๐) โ (๐ Mat ๐ ) = (โ Mat ๐ )) |
15 | 14 | fveq2d 6888 | . . . . 5 โข ((๐ = โ โง ๐ โ ๐) โ (Baseโ(๐ Mat ๐ )) = (Baseโ(โ Mat ๐ ))) |
16 | mat0dimbas0 22318 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ (Baseโ(โ Mat ๐ )) = {โ }) | |
17 | 16 | adantl 481 | . . . . 5 โข ((๐ = โ โง ๐ โ ๐) โ (Baseโ(โ Mat ๐ )) = {โ }) |
18 | 15, 17 | eqtrd 2766 | . . . 4 โข ((๐ = โ โง ๐ โ ๐) โ (Baseโ(๐ Mat ๐ )) = {โ }) |
19 | 12, 18 | eleqtrrd 2830 | . . 3 โข ((๐ = โ โง ๐ โ ๐) โ โ โ (Baseโ(๐ Mat ๐ ))) |
20 | eqidd 2727 | . . . . . 6 โข (๐ = โ โ โ = โ ) | |
21 | el1o 8493 | . . . . . 6 โข (โ โ 1o โ โ = โ ) | |
22 | 20, 21 | sylibr 233 | . . . . 5 โข (๐ = โ โ โ โ 1o) |
23 | oveq2 7412 | . . . . . 6 โข (๐ = โ โ ((Baseโ๐ ) โm ๐) = ((Baseโ๐ ) โm โ )) | |
24 | fvex 6897 | . . . . . . 7 โข (Baseโ๐ ) โ V | |
25 | map0e 8875 | . . . . . . 7 โข ((Baseโ๐ ) โ V โ ((Baseโ๐ ) โm โ ) = 1o) | |
26 | 24, 25 | mp1i 13 | . . . . . 6 โข (๐ = โ โ ((Baseโ๐ ) โm โ ) = 1o) |
27 | 23, 26 | eqtrd 2766 | . . . . 5 โข (๐ = โ โ ((Baseโ๐ ) โm ๐) = 1o) |
28 | 22, 27 | eleqtrrd 2830 | . . . 4 โข (๐ = โ โ โ โ ((Baseโ๐ ) โm ๐)) |
29 | 28 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ = โ โง ๐ โ ๐) โ โ โ ((Baseโ๐ ) โm ๐)) |
30 | 1, 2, 3, 4, 5, 9, 19, 29 | mavmulval 22397 | . 2 โข ((๐ = โ โง ๐ โ ๐) โ (โ ยท โ ) = (๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐โ ๐)(.rโ๐ )(โ โ๐)))))) |
31 | mpteq1 5234 | . . . 4 โข (๐ = โ โ (๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐โ ๐)(.rโ๐ )(โ โ๐))))) = (๐ โ โ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐โ ๐)(.rโ๐ )(โ โ๐)))))) | |
32 | 31 | adantr 480 | . . 3 โข ((๐ = โ โง ๐ โ ๐) โ (๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐โ ๐)(.rโ๐ )(โ โ๐))))) = (๐ โ โ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐โ ๐)(.rโ๐ )(โ โ๐)))))) |
33 | mpt0 6685 | . . 3 โข (๐ โ โ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐โ ๐)(.rโ๐ )(โ โ๐))))) = โ | |
34 | 32, 33 | eqtrdi 2782 | . 2 โข ((๐ = โ โง ๐ โ ๐) โ (๐ โ ๐ โฆ (๐ ฮฃg (๐ โ ๐ โฆ ((๐โ ๐)(.rโ๐ )(โ โ๐))))) = โ ) |
35 | 30, 34 | eqtrd 2766 | 1 โข ((๐ = โ โง ๐ โ ๐) โ (โ ยท โ ) = โ ) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 โง wa 395 = wceq 1533 โ wcel 2098 Vcvv 3468 โ c0 4317 {csn 4623 โจcop 4629 โฆ cmpt 5224 โcfv 6536 (class class class)co 7404 1oc1o 8457 โm cmap 8819 Fincfn 8938 Basecbs 17150 .rcmulr 17204 ฮฃg cgsu 17392 Mat cmat 22257 maVecMul cmvmul 22392 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-rep 5278 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-tp 4628 df-op 4630 df-ot 4632 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7852 df-1st 7971 df-2nd 7972 df-supp 8144 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-1o 8464 df-er 8702 df-map 8821 df-ixp 8891 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-fin 8942 df-fsupp 9361 df-sup 9436 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-nn 12214 df-2 12276 df-3 12277 df-4 12278 df-5 12279 df-6 12280 df-7 12281 df-8 12282 df-9 12283 df-n0 12474 df-z 12560 df-dec 12679 df-uz 12824 df-fz 13488 df-struct 17086 df-sets 17103 df-slot 17121 df-ndx 17133 df-base 17151 df-ress 17180 df-plusg 17216 df-mulr 17217 df-sca 17219 df-vsca 17220 df-ip 17221 df-tset 17222 df-ple 17223 df-ds 17225 df-hom 17227 df-cco 17228 df-0g 17393 df-prds 17399 df-pws 17401 df-sra 21018 df-rgmod 21019 df-dsmm 21622 df-frlm 21637 df-mat 22258 df-mvmul 22393 |
This theorem is referenced by: mavmul0g 22405 cramer0 22542 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |