Theorem mavmul0 22780

Description: Multiplication of a 0-dimensional matrix with a 0-dimensional vector. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mavmul0.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
mavmul0	⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)

Proof of Theorem mavmul0

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2762	. . 3 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
2		mavmul0.t	. . 3 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2762	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝑉)
6		0fi 9053	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
7		eleq1 2850	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
8	6, 7	mpbiri 261	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
10		0ex 5268	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
11		snidg 4624	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → ∅ ∈ {∅})
12	10, 11	mp1i 14	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ∅ ∈ {∅})
13		oveq1 7424	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅))
14	13	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑁 Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅))
15	14	fveq2d 6886	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
16		mat0dimbas0 22694	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
17	16	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
18	15, 17	eqtrd 2797	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = {∅})
19	12, 18	eleqtrrd 2865	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ∅ ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
20		eqidd 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ∅ = ∅)
21		el1o 8486	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 1o ↔ ∅ = ∅)
22	20, 21	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ∅ → ∅ ∈ 1o)
23		oveq2 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
24		fvex 6895	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
25		map0e 8893	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
26	24, 25	mp1i 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
27	23, 26	eqtrd 2797	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = 1o)
28	22, 27	eleqtrrd 2865	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ → ∅ ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
29	28	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ∅ ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
30	1, 2, 3, 4, 5, 9, 19, 29	mavmulval 22773	. 2 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∅ · ∅) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))))
31		mpteq1 5198	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))))
32	31	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))))
33		mpt0 6678	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))) = ∅
34	32, 33	eqtrdi 2813	. 2 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))) = ∅)
35	30, 34	eqtrd 2797	1 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453  ∅c0 4282  {csn 4587  ⟨cop 4593   ↦ cmpt 5190  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417  1_oc1o 8452   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8956  Basecbs 17307  ._rcmulr 17349   Σ_g cgsu 17531   Mat cmat 22635   maVecMul cmvmul 22768

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-prds 17538  df-pws 17540  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-dsmm 21951  df-frlm 21966  df-mat 22636  df-mvmul 22769

This theorem is used by:  mavmul0g  22781  cramer0  22921