Theorem mavmul0 21682

Description: Multiplication of a 0-dimensional matrix with a 0-dimensional vector. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mavmul0.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
mavmul0	⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)

Proof of Theorem mavmul0

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2739	. . 3 ⊢ (𝑁 Mat 𝑅) = (𝑁 Mat 𝑅)
2		mavmul0.t	. . 3 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3		eqid 2739	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
4		eqid 2739	. . 3 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
5		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝑉)
6		0fin 8919	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ Fin
7		eleq1 2827	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
8	6, 7	mpbiri 257	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ Fin)
9	8	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
10		0ex 5234	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
11		snidg 4600	. . . . 5 ⊢ (∅ ∈ V → ∅ ∈ {∅})
12	10, 11	mp1i 13	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ∅ ∈ {∅})
13		oveq1 7275	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅))
14	13	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑁 Mat 𝑅) = (∅ Mat 𝑅))
15	14	fveq2d 6772	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
16		mat0dimbas0 21596	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
17	16	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
18	15, 17	eqtrd 2779	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = {∅})
19	12, 18	eleqtrrd 2843	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ∅ ∈ (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)))
20		eqidd 2740	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ∅ = ∅)
21		el1o 8305	. . . . . 6 ⊢ (∅ ∈ 1o ↔ ∅ = ∅)
22	20, 21	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ∅ → ∅ ∈ 1o)
23		oveq2 7276	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
24		fvex 6781	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
25		map0e 8644	. . . . . . 7 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
26	24, 25	mp1i 13	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
27	23, 26	eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = 1o)
28	22, 27	eleqtrrd 2843	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ → ∅ ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
29	28	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ∅ ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
30	1, 2, 3, 4, 5, 9, 19, 29	mavmulval 21675	. 2 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∅ · ∅) = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))))
31		mpteq1 5171	. . . 4 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))))
32	31	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))))
33		mpt0 6571	. . 3 ⊢ (𝑖 ∈ ∅ ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))) = ∅
34	32, 33	eqtrdi 2795	. 2 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑗 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑖∅𝑗)(.r‘𝑅)(∅‘𝑗))))) = ∅)
35	30, 34	eqtrd 2779	1 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2109  Vcvv 3430  ∅c0 4261  {csn 4566  ⟨cop 4572   ↦ cmpt 5161  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  1_oc1o 8274   ↑_m cmap 8589  Fincfn 8707  Basecbs 16893  ._rcmulr 16944   Σ_g cgsu 17132   Mat cmat 21535   maVecMul cmvmul 21670

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-sup 9162  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-fz 13222  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-hom 16967  df-cco 16968  df-0g 17133  df-prds 17139  df-pws 17141  df-sra 20415  df-rgmod 20416  df-dsmm 20920  df-frlm 20935  df-mat 21536  df-mvmul 21671

This theorem is referenced by:  mavmul0g  21683  cramer0  21820