Theorem lincval0 49252

Description: The value of an empty linear combination. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lincval0	⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (0g‘𝑀))

Proof of Theorem lincval0

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5272	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	snid 4630	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
3		fvex 6898	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
4		map0e 8886	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅) = 1o)
5	3, 4	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅) = 1o)
6		df1o2 8466	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
7	5, 6	eqtrdi 2816	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅) = {∅})
8	2, 7	eleqtrrid 2872	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → ∅ ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅))
9		0elpw 5328	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
11		lincval 49246	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑋 ∧ ∅ ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅) ∧ ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
12	8, 10, 11	mpd3an23 1492	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
13		mpt0 6681	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) = ∅
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) = ∅)
15	14	oveq2d 7435	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (𝑀 Σg ∅))
16		eqid 2765	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
17	16	gsum0 18774	. . 3 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (0g‘𝑀)
18	15, 17	eqtrdi 2816	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (0g‘𝑀))
19	12, 18	eqtrd 2800	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (0g‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457  ∅c0 4286  𝒫 cpw 4564  {csn 4591   ↦ cmpt 5194  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  1_oc1o 8452   ↑_m cmap 8830  Basecbs 17291  Scalarcsca 17335   ·_𝑠 cvsca 17336  0_gc0g 17514   Σ_g cgsu 17515   linC clinc 49241

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-1st 7992  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-map 8832  df-seq 14056  df-gsum 17517  df-linc 49243

This theorem is used by:  lco0  49264