Theorem lincval0 47798

Description: The value of an empty linear combination. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lincval0	⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (0g‘𝑀))

Proof of Theorem lincval0

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5312	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	snid 4669	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
3		fvex 6914	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
4		map0e 8911	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅) = 1o)
5	3, 4	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅) = 1o)
6		df1o2 8503	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
7	5, 6	eqtrdi 2782	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅) = {∅})
8	2, 7	eleqtrrid 2833	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → ∅ ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅))
9		0elpw 5360	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
11		lincval 47792	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑋 ∧ ∅ ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅) ∧ ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
12	8, 10, 11	mpd3an23 1460	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
13		mpt0 6703	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) = ∅
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) = ∅)
15	14	oveq2d 7440	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (𝑀 Σg ∅))
16		eqid 2726	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
17	16	gsum0 18677	. . 3 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (0g‘𝑀)
18	15, 17	eqtrdi 2782	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (0g‘𝑀))
19	12, 18	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (0g‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3462  ∅c0 4325  𝒫 cpw 4607  {csn 4633   ↦ cmpt 5236  ‘cfv 6554  (class class class)co 7424  1_oc1o 8489   ↑_m cmap 8855  Basecbs 17213  Scalarcsca 17269   ·_𝑠 cvsca 17270  0_gc0g 17454   Σ_g cgsu 17455   linC clinc 47787

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-iun 5003  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-map 8857  df-seq 14022  df-gsum 17457  df-linc 47789

This theorem is referenced by:  lco0  47810