Theorem lincval0 43201

Description: The value of an empty linear combination. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lincval0	⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (0g‘𝑀))

Proof of Theorem lincval0

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5026	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	snid 4429	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
3		fvex 6459	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
4		map0e 8179	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 ∅) = 1o)
5	3, 4	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 ∅) = 1o)
6		df1o2 7856	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
7	5, 6	syl6eq 2829	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 ∅) = {∅})
8	2, 7	syl5eleqr 2865	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → ∅ ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 ∅))
9		0elpw 5068	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
11		lincval 43195	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑋 ∧ ∅ ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 ∅) ∧ ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
12	8, 10, 11	mpd3an23 1536	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
13		mpt0 6267	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) = ∅
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) = ∅)
15	14	oveq2d 6938	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (𝑀 Σg ∅))
16		eqid 2777	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
17	16	gsum0 17664	. . 3 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (0g‘𝑀)
18	15, 17	syl6eq 2829	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (0g‘𝑀))
19	12, 18	eqtrd 2813	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (0g‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  Vcvv 3397  ∅c0 4140  𝒫 cpw 4378  {csn 4397   ↦ cmpt 4965  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  1_oc1o 7836   ↑_𝑚 cmap 8140  Basecbs 16255  Scalarcsca 16341   ·_𝑠 cvsca 16342  0_gc0g 16486   Σ_g cgsu 16487   linC clinc 43190

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-map 8142  df-seq 13120  df-gsum 16489  df-linc 43192

This theorem is referenced by:  lco0  43213