Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincval0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincval0 44763
 Description: The value of an empty linear combination. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
lincval0 (𝑀𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (0g𝑀))

Proof of Theorem lincval0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5187 . . . . 5 ∅ ∈ V
21snid 4575 . . . 4 ∅ ∈ {∅}
3 fvex 6665 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
4 map0e 8433 . . . . . 6 ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅) = 1o)
53, 4mp1i 13 . . . . 5 (𝑀𝑋 → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅) = 1o)
6 df1o2 8103 . . . . 5 1o = {∅}
75, 6syl6eq 2873 . . . 4 (𝑀𝑋 → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅) = {∅})
82, 7eleqtrrid 2921 . . 3 (𝑀𝑋 → ∅ ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅))
9 0elpw 5233 . . . 4 ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)
109a1i 11 . . 3 (𝑀𝑋 → ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
11 lincval 44757 . . 3 ((𝑀𝑋 ∧ ∅ ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅) ∧ ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
128, 10, 11mpd3an23 1460 . 2 (𝑀𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
13 mpt0 6470 . . . . 5 (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = ∅
1413a1i 11 . . . 4 (𝑀𝑋 → (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = ∅)
1514oveq2d 7156 . . 3 (𝑀𝑋 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (𝑀 Σg ∅))
16 eqid 2822 . . . 4 (0g𝑀) = (0g𝑀)
1716gsum0 17885 . . 3 (𝑀 Σg ∅) = (0g𝑀)
1815, 17syl6eq 2873 . 2 (𝑀𝑋 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (0g𝑀))
1912, 18eqtrd 2857 1 (𝑀𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (0g𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2114  Vcvv 3469  ∅c0 4265  𝒫 cpw 4511  {csn 4539   ↦ cmpt 5122  ‘cfv 6334  (class class class)co 7140  1oc1o 8082   ↑m cmap 8393  Basecbs 16474  Scalarcsca 16559   ·𝑠 cvsca 16560  0gc0g 16704   Σg cgsu 16705   linC clinc 44752 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-rep 5166  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-map 8395  df-seq 13365  df-gsum 16707  df-linc 44754 This theorem is referenced by:  lco0  44775
 Copyright terms: Public domain W3C validator