Theorem lincval0 48577

Description: The value of an empty linear combination. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lincval0	⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (0g‘𝑀))

Proof of Theorem lincval0

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5249	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	snid 4616	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
3		fvex 6844	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
4		map0e 8816	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅) = 1o)
5	3, 4	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅) = 1o)
6		df1o2 8401	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
7	5, 6	eqtrdi 2784	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅) = {∅})
8	2, 7	eleqtrrid 2840	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → ∅ ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅))
9		0elpw 5298	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
11		lincval 48571	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑋 ∧ ∅ ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅) ∧ ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
12	8, 10, 11	mpd3an23 1465	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
13		mpt0 6631	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) = ∅
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) = ∅)
15	14	oveq2d 7371	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (𝑀 Σg ∅))
16		eqid 2733	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
17	16	gsum0 18600	. . 3 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (0g‘𝑀)
18	15, 17	eqtrdi 2784	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (0g‘𝑀))
19	12, 18	eqtrd 2768	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (0g‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  Vcvv 3437  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4551  {csn 4577   ↦ cmpt 5176  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  1_oc1o 8387   ↑_m cmap 8759  Basecbs 17127  Scalarcsca 17171   ·_𝑠 cvsca 17172  0_gc0g 17350   Σ_g cgsu 17351   linC clinc 48566

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-id 5516  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-map 8761  df-seq 13916  df-gsum 17353  df-linc 48568

This theorem is referenced by:  lco0  48589