Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lincval0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lincval0 43201
 Description: The value of an empty linear combination. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
lincval0 (𝑀𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (0g𝑀))

Proof of Theorem lincval0
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ex 5026 . . . . 5 ∅ ∈ V
21snid 4429 . . . 4 ∅ ∈ {∅}
3 fvex 6459 . . . . . 6 (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
4 map0e 8179 . . . . . 6 ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 ∅) = 1o)
53, 4mp1i 13 . . . . 5 (𝑀𝑋 → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 ∅) = 1o)
6 df1o2 7856 . . . . 5 1o = {∅}
75, 6syl6eq 2829 . . . 4 (𝑀𝑋 → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 ∅) = {∅})
82, 7syl5eleqr 2865 . . 3 (𝑀𝑋 → ∅ ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 ∅))
9 0elpw 5068 . . . 4 ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)
109a1i 11 . . 3 (𝑀𝑋 → ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
11 lincval 43195 . . 3 ((𝑀𝑋 ∧ ∅ ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑𝑚 ∅) ∧ ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
128, 10, 11mpd3an23 1536 . 2 (𝑀𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))))
13 mpt0 6267 . . . . 5 (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = ∅
1413a1i 11 . . . 4 (𝑀𝑋 → (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣)) = ∅)
1514oveq2d 6938 . . 3 (𝑀𝑋 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (𝑀 Σg ∅))
16 eqid 2777 . . . 4 (0g𝑀) = (0g𝑀)
1716gsum0 17664 . . 3 (𝑀 Σg ∅) = (0g𝑀)
1815, 17syl6eq 2829 . 2 (𝑀𝑋 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠𝑀)𝑣))) = (0g𝑀))
1912, 18eqtrd 2813 1 (𝑀𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (0g𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2106  Vcvv 3397  ∅c0 4140  𝒫 cpw 4378  {csn 4397   ↦ cmpt 4965  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922  1oc1o 7836   ↑𝑚 cmap 8140  Basecbs 16255  Scalarcsca 16341   ·𝑠 cvsca 16342  0gc0g 16486   Σg cgsu 16487   linC clinc 43190 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2054  ax-8 2108  ax-9 2115  ax-10 2134  ax-11 2149  ax-12 2162  ax-13 2333  ax-ext 2753  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2550  df-eu 2586  df-clab 2763  df-cleq 2769  df-clel 2773  df-nfc 2920  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3399  df-sbc 3652  df-csb 3751  df-dif 3794  df-un 3796  df-in 3798  df-ss 3805  df-nul 4141  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-map 8142  df-seq 13120  df-gsum 16489  df-linc 43192 This theorem is referenced by:  lco0  43213
 Copyright terms: Public domain W3C validator