Theorem lincval0 49635

Description: The value of an empty linear combination. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)

Assertion

Ref	Expression
lincval0	⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (0g‘𝑀))

Proof of Theorem lincval0

Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ex 5260	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
2	1	snid 4619	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ {∅}
3		fvex 6903	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V
4		map0e 8917	. . . . . 6 ⊢ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ∈ V → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅) = 1o)
5	3, 4	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅) = 1o)
6		df1o2 8490	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
7	5, 6	eqtrdi 2811	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅) = {∅})
8	2, 7	eleqtrrid 2867	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → ∅ ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅))
9		0elpw 5317	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)
10	9	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀))
11		lincval 49629	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝑋 ∧ ∅ ∈ ((Base‘(Scalar‘𝑀)) ↑m ∅) ∧ ∅ ∈ 𝒫 (Base‘𝑀)) → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
12	8, 10, 11	mpd3an23 1492	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))))
13		mpt0 6686	. . . . 5 ⊢ (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) = ∅
14	13	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣)) = ∅)
15	14	oveq2d 7440	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (𝑀 Σg ∅))
16		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (0g‘𝑀) = (0g‘𝑀)
17	16	gsum0 18882	. . 3 ⊢ (𝑀 Σg ∅) = (0g‘𝑀)
18	15, 17	eqtrdi 2811	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (𝑀 Σg (𝑣 ∈ ∅ ↦ ((∅‘𝑣)( ·𝑠 ‘𝑀)𝑣))) = (0g‘𝑀))
19	12, 18	eqtrd 2795	1 ⊢ (𝑀 ∈ 𝑋 → (∅( linC ‘𝑀)∅) = (0g‘𝑀))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4277  𝒫 cpw 4556  {csn 4584   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6543  (class class class)co 7424  1_oc1o 8476   ↑_m cmap 8854  Basecbs 17396  Scalarcsca 17440   ·_𝑠 cvsca 17441  0_gc0g 17619   Σ_g cgsu 17620   linC clinc 49624

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-1o 8483  df-map 8856  df-seq 14152  df-gsum 17622  df-linc 49626

This theorem is used by:  lco0  49647