Theorem cramer0 23013

Description: Special case of Cramer's rule for 0-dimensional matrices/vectors. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cramer.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramer.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cramer.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
cramer.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
cramer.x	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
cramer.q	⊢ / = (/r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cramer0	⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝑖,𝑍   · ,𝑖   / ,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem cramer0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cramer.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
2		cramer.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3	2	fveq2i 6888	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4	1, 3	eqtri 2783	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
5		fvoveq1 7443	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
6	4, 5	eqtrid 2807	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝐵 = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
7	6	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐵 = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
8	7	eleq2d 2846	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅))))
9		mat0dimbas0 22786	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
10	9	eleq2d 2846	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {∅}))
11	10	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {∅}))
12	8, 11	bitrd 282	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ {∅}))
13		cramer.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
15		oveq2 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
16	15	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
17		fvex 6898	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
18		map0e 8913	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
19	17, 18	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
20	14, 16, 19	3eqtrd 2799	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑉 = 1o)
21	20	eleq2d 2846	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑌 ∈ 𝑉 ↔ 𝑌 ∈ 1o))
22		el1o 8506	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 1o ↔ 𝑌 = ∅)
23	21, 22	bitrdi 290	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑌 ∈ 𝑉 ↔ 𝑌 = ∅))
24	12, 23	anbi12d 644	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ↔ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 = ∅)))
25		elsni 4597	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {∅} → 𝑋 = ∅)
26		mpteq1 5193	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))))
27		mpt0 6681	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ∅ ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) = ∅
28	26, 27	eqtrdi 2811	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) = ∅)
29	28	eqeq2d 2771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) ↔ 𝑍 = ∅))
30	29	ad2antrr 739	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) ↔ 𝑍 = ∅))
31		simplrl 789	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → 𝑋 = ∅)
32		simpr 490	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → 𝑍 = ∅)
33	31, 32	oveq12d 7438	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (𝑋 · 𝑍) = (∅ · ∅))
34		cramer.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
35	34	mavmul0 22872	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (∅ · ∅) = ∅)
36	35	ad2antrr 739	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (∅ · ∅) = ∅)
37		simpr 490	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → 𝑌 = ∅)
38	37	eqcomd 2766	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ∅ = 𝑌)
39	38	ad2antlr 740	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → ∅ = 𝑌)
40	33, 36, 39	3eqtrd 2799	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
41	40	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = ∅ → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
42	30, 41	sylbid 243	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
43	42	a1d 26	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)))
44	43	ex 418	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
45	25, 44	sylani 616	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
46	24, 45	sylbid 243	. 2 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
47	46	3imp 1128	1 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ∅c0 4278  {csn 4584  ⟨cop 4834   ↦ cmpt 5185  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420  1_oc1o 8472   ↑_m cmap 8850  Basecbs 17392  CRingccrg 20465  Unitcui 20590  /_rcdvr 20635   Mat cmat 22727   maVecMul cmvmul 22860   matRepV cmatrepV 22877   maDet cmdat 22904

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-sup 9437  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-hom 17457  df-cco 17458  df-0g 17617  df-prds 17623  df-pws 17625  df-sra 21453  df-rgmod 21454  df-dsmm 22043  df-frlm 22058  df-mat 22728  df-mvmul 22861

This theorem is used by: (None)