MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramer0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cramer0 22412
Description: Special case of Cramer's rule for 0-dimensional matrices/vectors. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramer.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramer.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
cramer.v 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁)
cramer.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
cramer.x Β· = (𝑅 maVecMul βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
cramer.q / = (/rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
cramer0 (((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑋   𝑖,π‘Œ   𝑖,𝑍   Β· ,𝑖   / ,𝑖
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem cramer0
StepHypRef Expression
1 cramer.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
2 cramer.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
32fveq2i 6893 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑅))
41, 3eqtri 2758 . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑅))
5 fvoveq1 7434 . . . . . . . 8 (𝑁 = βˆ… β†’ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑅)) = (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)))
64, 5eqtrid 2782 . . . . . . 7 (𝑁 = βˆ… β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)))
76adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)))
87eleq2d 2817 . . . . 5 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅))))
9 mat0dimbas0 22188 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing β†’ (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)) = {βˆ…})
109eleq2d 2817 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {βˆ…}))
1110adantl 480 . . . . 5 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {βˆ…}))
128, 11bitrd 278 . . . 4 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ {βˆ…}))
13 cramer.v . . . . . . . 8 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁)
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁))
15 oveq2 7419 . . . . . . . 8 (𝑁 = βˆ… β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁) = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m βˆ…))
1615adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁) = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m βˆ…))
17 fvex 6903 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
18 map0e 8878 . . . . . . . 8 ((Baseβ€˜π‘…) ∈ V β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m βˆ…) = 1o)
1917, 18mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m βˆ…) = 1o)
2014, 16, 193eqtrd 2774 . . . . . 6 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑉 = 1o)
2120eleq2d 2817 . . . . 5 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑉 ↔ π‘Œ ∈ 1o))
22 el1o 8497 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 1o ↔ π‘Œ = βˆ…)
2321, 22bitrdi 286 . . . 4 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑉 ↔ π‘Œ = βˆ…))
2412, 23anbi12d 629 . . 3 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ↔ (𝑋 ∈ {βˆ…} ∧ π‘Œ = βˆ…)))
25 elsni 4644 . . . 4 (𝑋 ∈ {βˆ…} β†’ 𝑋 = βˆ…)
26 mpteq1 5240 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = βˆ… β†’ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) = (𝑖 ∈ βˆ… ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))))
27 mpt0 6691 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ βˆ… ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) = βˆ…
2826, 27eqtrdi 2786 . . . . . . . . 9 (𝑁 = βˆ… β†’ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) = βˆ…)
2928eqeq2d 2741 . . . . . . . 8 (𝑁 = βˆ… β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) ↔ 𝑍 = βˆ…))
3029ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) ↔ 𝑍 = βˆ…))
31 simplrl 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) ∧ 𝑍 = βˆ…) β†’ 𝑋 = βˆ…)
32 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) ∧ 𝑍 = βˆ…) β†’ 𝑍 = βˆ…)
3331, 32oveq12d 7429 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) ∧ 𝑍 = βˆ…) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = (βˆ… Β· βˆ…))
34 cramer.x . . . . . . . . . . 11 Β· = (𝑅 maVecMul βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
3534mavmul0 22274 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (βˆ… Β· βˆ…) = βˆ…)
3635ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) ∧ 𝑍 = βˆ…) β†’ (βˆ… Β· βˆ…) = βˆ…)
37 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ π‘Œ = βˆ…)
3837eqcomd 2736 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ βˆ… = π‘Œ)
3938ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) ∧ 𝑍 = βˆ…) β†’ βˆ… = π‘Œ)
4033, 36, 393eqtrd 2774 . . . . . . . 8 ((((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) ∧ 𝑍 = βˆ…) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)
4140ex 411 . . . . . . 7 (((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) β†’ (𝑍 = βˆ… β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))
4230, 41sylbid 239 . . . . . 6 (((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))
4342a1d 25 . . . . 5 (((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) β†’ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)))
4443ex 411 . . . 4 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ ((𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))))
4525, 44sylani 602 . . 3 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ ((𝑋 ∈ {βˆ…} ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))))
4624, 45sylbid 239 . 2 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))))
47463imp 1109 1 (((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472  βˆ…c0 4321  {csn 4627  βŸ¨cop 4633   ↦ cmpt 5230  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  1oc1o 8461   ↑m cmap 8822  Basecbs 17148  CRingccrg 20128  Unitcui 20246  /rcdvr 20291   Mat cmat 22127   maVecMul cmvmul 22262   matRepV cmatrepV 22279   maDet cmdat 22306
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-ot 4636  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-prds 17397  df-pws 17399  df-sra 20930  df-rgmod 20931  df-dsmm 21506  df-frlm 21521  df-mat 22128  df-mvmul 22263
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator