Theorem cramer0 21302

Description: Special case of Cramer's rule for 0-dimensional matrices/vectors. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cramer.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramer.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cramer.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
cramer.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
cramer.x	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
cramer.q	⊢ / = (/r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cramer0	⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝑖,𝑍   · ,𝑖   / ,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem cramer0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cramer.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
2		cramer.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3	2	fveq2i 6676	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4	1, 3	eqtri 2847	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
5		fvoveq1 7182	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
6	4, 5	syl5eq 2871	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝐵 = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
7	6	adantr 483	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐵 = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
8	7	eleq2d 2901	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅))))
9		mat0dimbas0 21078	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
10	9	eleq2d 2901	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {∅}))
11	10	adantl 484	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {∅}))
12	8, 11	bitrd 281	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ {∅}))
13		cramer.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
15		oveq2 7167	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
16	15	adantr 483	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
17		fvex 6686	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
18		map0e 8449	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
19	17, 18	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
20	14, 16, 19	3eqtrd 2863	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑉 = 1o)
21	20	eleq2d 2901	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑌 ∈ 𝑉 ↔ 𝑌 ∈ 1o))
22		el1o 8127	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 1o ↔ 𝑌 = ∅)
23	21, 22	syl6bb 289	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑌 ∈ 𝑉 ↔ 𝑌 = ∅))
24	12, 23	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ↔ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 = ∅)))
25		elsni 4587	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {∅} → 𝑋 = ∅)
26		mpteq1 5157	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))))
27		mpt0 6493	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ∅ ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) = ∅
28	26, 27	syl6eq 2875	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) = ∅)
29	28	eqeq2d 2835	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) ↔ 𝑍 = ∅))
30	29	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) ↔ 𝑍 = ∅))
31		simplrl 775	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → 𝑋 = ∅)
32		simpr 487	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → 𝑍 = ∅)
33	31, 32	oveq12d 7177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (𝑋 · 𝑍) = (∅ · ∅))
34		cramer.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
35	34	mavmul0 21164	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (∅ · ∅) = ∅)
36	35	ad2antrr 724	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (∅ · ∅) = ∅)
37		simpr 487	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → 𝑌 = ∅)
38	37	eqcomd 2830	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ∅ = 𝑌)
39	38	ad2antlr 725	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → ∅ = 𝑌)
40	33, 36, 39	3eqtrd 2863	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
41	40	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = ∅ → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
42	30, 41	sylbid 242	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
43	42	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)))
44	43	ex 415	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
45	25, 44	sylani 605	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
46	24, 45	sylbid 242	. 2 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
47	46	3imp 1107	1 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1536   ∈ wcel 2113  Vcvv 3497  ∅c0 4294  {csn 4570  ⟨cop 4576   ↦ cmpt 5149  ‘cfv 6358  (class class class)co 7159  1_oc1o 8098   ↑_m cmap 8409  Basecbs 16486  CRingccrg 19301  Unitcui 19392  /_rcdvr 19435   Mat cmat 21019   maVecMul cmvmul 21152   matRepV cmatrepV 21169   maDet cmdat 21196

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-rep 5193  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-ot 4579  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-supp 7834  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-map 8411  df-ixp 8465  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-fsupp 8837  df-sup 8909  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-ress 16494  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-sca 16584  df-vsca 16585  df-ip 16586  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-hom 16592  df-cco 16593  df-0g 16718  df-prds 16724  df-pws 16726  df-sra 19947  df-rgmod 19948  df-dsmm 20879  df-frlm 20894  df-mat 21020  df-mvmul 21153

This theorem is referenced by: (None)