Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramer0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cramer0 21304
 Description: Special case of Cramer's rule for 0-dimensional matrices/vectors. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramer.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramer.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cramer.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
cramer.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
cramer.x · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
cramer.q / = (/r𝑅)
Assertion
Ref Expression
cramer0 (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝑖,𝑍   · ,𝑖   / ,𝑖
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem cramer0
StepHypRef Expression
1 cramer.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
2 cramer.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
32fveq2i 6666 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
41, 3eqtri 2847 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
5 fvoveq1 7174 . . . . . . . 8 (𝑁 = ∅ → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
64, 5syl5eq 2871 . . . . . . 7 (𝑁 = ∅ → 𝐵 = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
76adantr 484 . . . . . 6 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐵 = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
87eleq2d 2901 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅))))
9 mat0dimbas0 21080 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
109eleq2d 2901 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {∅}))
1110adantl 485 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {∅}))
128, 11bitrd 282 . . . 4 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ {∅}))
13 cramer.v . . . . . . . 8 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
15 oveq2 7159 . . . . . . . 8 (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
1615adantr 484 . . . . . . 7 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
17 fvex 6676 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) ∈ V
18 map0e 8444 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
1917, 18mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
2014, 16, 193eqtrd 2863 . . . . . 6 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑉 = 1o)
2120eleq2d 2901 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑌𝑉𝑌 ∈ 1o))
22 el1o 8122 . . . . 5 (𝑌 ∈ 1o𝑌 = ∅)
2321, 22syl6bb 290 . . . 4 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑌𝑉𝑌 = ∅))
2412, 23anbi12d 633 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋𝐵𝑌𝑉) ↔ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 = ∅)))
25 elsni 4567 . . . 4 (𝑋 ∈ {∅} → 𝑋 = ∅)
26 mpteq1 5141 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = ∅ → (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))))
27 mpt0 6481 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ∅ ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) = ∅
2826, 27syl6eq 2875 . . . . . . . . 9 (𝑁 = ∅ → (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) = ∅)
2928eqeq2d 2835 . . . . . . . 8 (𝑁 = ∅ → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) ↔ 𝑍 = ∅))
3029ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) ↔ 𝑍 = ∅))
31 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → 𝑋 = ∅)
32 simpr 488 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → 𝑍 = ∅)
3331, 32oveq12d 7169 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (𝑋 · 𝑍) = (∅ · ∅))
34 cramer.x . . . . . . . . . . 11 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3534mavmul0 21166 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (∅ · ∅) = ∅)
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (∅ · ∅) = ∅)
37 simpr 488 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → 𝑌 = ∅)
3837eqcomd 2830 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ∅ = 𝑌)
3938ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → ∅ = 𝑌)
4033, 36, 393eqtrd 2863 . . . . . . . 8 ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
4140ex 416 . . . . . . 7 (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = ∅ → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
4230, 41sylbid 243 . . . . . 6 (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
4342a1d 25 . . . . 5 (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)))
4443ex 416 . . . 4 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
4525, 44sylani 606 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
4624, 45sylbid 243 . 2 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
47463imp 1108 1 (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  Vcvv 3480  ∅c0 4276  {csn 4550  ⟨cop 4556   ↦ cmpt 5133  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  1oc1o 8093   ↑m cmap 8404  Basecbs 16485  CRingccrg 19300  Unitcui 19394  /rcdvr 19437   Mat cmat 21021   maVecMul cmvmul 21154   matRepV cmatrepV 21171   maDet cmdat 21198 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-ot 4559  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-supp 7829  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-oadd 8104  df-er 8287  df-map 8406  df-ixp 8460  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-fin 8511  df-fsupp 8833  df-sup 8905  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-nn 11637  df-2 11699  df-3 11700  df-4 11701  df-5 11702  df-6 11703  df-7 11704  df-8 11705  df-9 11706  df-n0 11897  df-z 11981  df-dec 12098  df-uz 12243  df-fz 12897  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-hom 16591  df-cco 16592  df-0g 16717  df-prds 16723  df-pws 16725  df-sra 19946  df-rgmod 19947  df-dsmm 20430  df-frlm 20445  df-mat 21022  df-mvmul 21155 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator