Theorem cramer0 22665

Description: Special case of Cramer's rule for 0-dimensional matrices/vectors. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cramer.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramer.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cramer.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
cramer.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
cramer.x	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
cramer.q	⊢ / = (/r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cramer0	⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝑖,𝑍   · ,𝑖   / ,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem cramer0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cramer.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
2		cramer.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3	2	fveq2i 6837	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4	1, 3	eqtri 2760	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
5		fvoveq1 7383	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
6	4, 5	eqtrid 2784	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝐵 = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐵 = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
8	7	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅))))
9		mat0dimbas0 22441	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
10	9	eleq2d 2823	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {∅}))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {∅}))
12	8, 11	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ {∅}))
13		cramer.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
15		oveq2 7368	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
17		fvex 6847	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
18		map0e 8823	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
19	17, 18	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
20	14, 16, 19	3eqtrd 2776	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑉 = 1o)
21	20	eleq2d 2823	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑌 ∈ 𝑉 ↔ 𝑌 ∈ 1o))
22		el1o 8423	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 1o ↔ 𝑌 = ∅)
23	21, 22	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑌 ∈ 𝑉 ↔ 𝑌 = ∅))
24	12, 23	anbi12d 633	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ↔ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 = ∅)))
25		elsni 4585	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {∅} → 𝑋 = ∅)
26		mpteq1 5175	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))))
27		mpt0 6634	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ∅ ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) = ∅
28	26, 27	eqtrdi 2788	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) = ∅)
29	28	eqeq2d 2748	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) ↔ 𝑍 = ∅))
30	29	ad2antrr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) ↔ 𝑍 = ∅))
31		simplrl 777	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → 𝑋 = ∅)
32		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → 𝑍 = ∅)
33	31, 32	oveq12d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (𝑋 · 𝑍) = (∅ · ∅))
34		cramer.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
35	34	mavmul0 22527	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (∅ · ∅) = ∅)
36	35	ad2antrr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (∅ · ∅) = ∅)
37		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → 𝑌 = ∅)
38	37	eqcomd 2743	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ∅ = 𝑌)
39	38	ad2antlr 728	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → ∅ = 𝑌)
40	33, 36, 39	3eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
41	40	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = ∅ → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
42	30, 41	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
43	42	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)))
44	43	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
45	25, 44	sylani 605	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
46	24, 45	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
47	46	3imp 1111	1 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ∅c0 4274  {csn 4568  ⟨cop 4574   ↦ cmpt 5167  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  1_oc1o 8391   ↑_m cmap 8766  Basecbs 17170  CRingccrg 20206  Unitcui 20326  /_rcdvr 20371   Mat cmat 22382   maVecMul cmvmul 22515   matRepV cmatrepV 22532   maDet cmdat 22559

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-prds 17401  df-pws 17403  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-dsmm 21722  df-frlm 21737  df-mat 22383  df-mvmul 22516

This theorem is referenced by: (None)