MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramer0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cramer0 21820
Description: Special case of Cramer's rule for 0-dimensional matrices/vectors. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramer.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramer.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cramer.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
cramer.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
cramer.x · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
cramer.q / = (/r𝑅)
Assertion
Ref Expression
cramer0 (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝑖,𝑍   · ,𝑖   / ,𝑖
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem cramer0
StepHypRef Expression
1 cramer.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
2 cramer.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
32fveq2i 6771 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
41, 3eqtri 2767 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
5 fvoveq1 7291 . . . . . . . 8 (𝑁 = ∅ → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
64, 5eqtrid 2791 . . . . . . 7 (𝑁 = ∅ → 𝐵 = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐵 = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
87eleq2d 2825 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅))))
9 mat0dimbas0 21596 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
109eleq2d 2825 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {∅}))
1110adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {∅}))
128, 11bitrd 278 . . . 4 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ {∅}))
13 cramer.v . . . . . . . 8 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
15 oveq2 7276 . . . . . . . 8 (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
17 fvex 6781 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) ∈ V
18 map0e 8644 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
1917, 18mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
2014, 16, 193eqtrd 2783 . . . . . 6 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑉 = 1o)
2120eleq2d 2825 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑌𝑉𝑌 ∈ 1o))
22 el1o 8305 . . . . 5 (𝑌 ∈ 1o𝑌 = ∅)
2321, 22bitrdi 286 . . . 4 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑌𝑉𝑌 = ∅))
2412, 23anbi12d 630 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋𝐵𝑌𝑉) ↔ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 = ∅)))
25 elsni 4583 . . . 4 (𝑋 ∈ {∅} → 𝑋 = ∅)
26 mpteq1 5171 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = ∅ → (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))))
27 mpt0 6571 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ∅ ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) = ∅
2826, 27eqtrdi 2795 . . . . . . . . 9 (𝑁 = ∅ → (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) = ∅)
2928eqeq2d 2750 . . . . . . . 8 (𝑁 = ∅ → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) ↔ 𝑍 = ∅))
3029ad2antrr 722 . . . . . . 7 (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) ↔ 𝑍 = ∅))
31 simplrl 773 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → 𝑋 = ∅)
32 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → 𝑍 = ∅)
3331, 32oveq12d 7286 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (𝑋 · 𝑍) = (∅ · ∅))
34 cramer.x . . . . . . . . . . 11 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3534mavmul0 21682 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (∅ · ∅) = ∅)
3635ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (∅ · ∅) = ∅)
37 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → 𝑌 = ∅)
3837eqcomd 2745 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ∅ = 𝑌)
3938ad2antlr 723 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → ∅ = 𝑌)
4033, 36, 393eqtrd 2783 . . . . . . . 8 ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
4140ex 412 . . . . . . 7 (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = ∅ → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
4230, 41sylbid 239 . . . . . 6 (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
4342a1d 25 . . . . 5 (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)))
4443ex 412 . . . 4 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
4525, 44sylani 603 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
4624, 45sylbid 239 . 2 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
47463imp 1109 1 (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  Vcvv 3430  c0 4261  {csn 4566  cop 4572  cmpt 5161  cfv 6430  (class class class)co 7268  1oc1o 8274  m cmap 8589  Basecbs 16893  CRingccrg 19765  Unitcui 19862  /rcdvr 19905   Mat cmat 21535   maVecMul cmvmul 21670   matRepV cmatrepV 21687   maDet cmdat 21714
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-sup 9162  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-fz 13222  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-hom 16967  df-cco 16968  df-0g 17133  df-prds 17139  df-pws 17141  df-sra 20415  df-rgmod 20416  df-dsmm 20920  df-frlm 20935  df-mat 21536  df-mvmul 21671
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator