MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramer0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cramer0 22579
Description: Special case of Cramer's rule for 0-dimensional matrices/vectors. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramer.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramer.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
cramer.v 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁)
cramer.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
cramer.x Β· = (𝑅 maVecMul βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
cramer.q / = (/rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
cramer0 (((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑋   𝑖,π‘Œ   𝑖,𝑍   Β· ,𝑖   / ,𝑖
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem cramer0
StepHypRef Expression
1 cramer.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
2 cramer.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
32fveq2i 6894 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑅))
41, 3eqtri 2755 . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑅))
5 fvoveq1 7437 . . . . . . . 8 (𝑁 = βˆ… β†’ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑅)) = (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)))
64, 5eqtrid 2779 . . . . . . 7 (𝑁 = βˆ… β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)))
76adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)))
87eleq2d 2814 . . . . 5 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅))))
9 mat0dimbas0 22355 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing β†’ (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)) = {βˆ…})
109eleq2d 2814 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {βˆ…}))
1110adantl 481 . . . . 5 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {βˆ…}))
128, 11bitrd 279 . . . 4 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ {βˆ…}))
13 cramer.v . . . . . . . 8 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁)
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁))
15 oveq2 7422 . . . . . . . 8 (𝑁 = βˆ… β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁) = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m βˆ…))
1615adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁) = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m βˆ…))
17 fvex 6904 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
18 map0e 8892 . . . . . . . 8 ((Baseβ€˜π‘…) ∈ V β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m βˆ…) = 1o)
1917, 18mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m βˆ…) = 1o)
2014, 16, 193eqtrd 2771 . . . . . 6 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑉 = 1o)
2120eleq2d 2814 . . . . 5 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑉 ↔ π‘Œ ∈ 1o))
22 el1o 8509 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 1o ↔ π‘Œ = βˆ…)
2321, 22bitrdi 287 . . . 4 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑉 ↔ π‘Œ = βˆ…))
2412, 23anbi12d 630 . . 3 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ↔ (𝑋 ∈ {βˆ…} ∧ π‘Œ = βˆ…)))
25 elsni 4641 . . . 4 (𝑋 ∈ {βˆ…} β†’ 𝑋 = βˆ…)
26 mpteq1 5235 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = βˆ… β†’ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) = (𝑖 ∈ βˆ… ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))))
27 mpt0 6691 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ βˆ… ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) = βˆ…
2826, 27eqtrdi 2783 . . . . . . . . 9 (𝑁 = βˆ… β†’ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) = βˆ…)
2928eqeq2d 2738 . . . . . . . 8 (𝑁 = βˆ… β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) ↔ 𝑍 = βˆ…))
3029ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) ↔ 𝑍 = βˆ…))
31 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) ∧ 𝑍 = βˆ…) β†’ 𝑋 = βˆ…)
32 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) ∧ 𝑍 = βˆ…) β†’ 𝑍 = βˆ…)
3331, 32oveq12d 7432 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) ∧ 𝑍 = βˆ…) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = (βˆ… Β· βˆ…))
34 cramer.x . . . . . . . . . . 11 Β· = (𝑅 maVecMul βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
3534mavmul0 22441 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (βˆ… Β· βˆ…) = βˆ…)
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) ∧ 𝑍 = βˆ…) β†’ (βˆ… Β· βˆ…) = βˆ…)
37 simpr 484 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ π‘Œ = βˆ…)
3837eqcomd 2733 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ βˆ… = π‘Œ)
3938ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) ∧ 𝑍 = βˆ…) β†’ βˆ… = π‘Œ)
4033, 36, 393eqtrd 2771 . . . . . . . 8 ((((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) ∧ 𝑍 = βˆ…) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)
4140ex 412 . . . . . . 7 (((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) β†’ (𝑍 = βˆ… β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))
4230, 41sylbid 239 . . . . . 6 (((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))
4342a1d 25 . . . . 5 (((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) β†’ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)))
4443ex 412 . . . 4 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ ((𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))))
4525, 44sylani 603 . . 3 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ ((𝑋 ∈ {βˆ…} ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))))
4624, 45sylbid 239 . 2 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))))
47463imp 1109 1 (((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  Vcvv 3469  βˆ…c0 4318  {csn 4624  βŸ¨cop 4630   ↦ cmpt 5225  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  1oc1o 8473   ↑m cmap 8836  Basecbs 17171  CRingccrg 20165  Unitcui 20283  /rcdvr 20328   Mat cmat 22294   maVecMul cmvmul 22429   matRepV cmatrepV 22446   maDet cmdat 22473
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-ot 4633  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-ixp 8908  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-sup 9457  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-9 12304  df-n0 12495  df-z 12581  df-dec 12700  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-tset 17243  df-ple 17244  df-ds 17246  df-hom 17248  df-cco 17249  df-0g 17414  df-prds 17420  df-pws 17422  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-dsmm 21653  df-frlm 21668  df-mat 22295  df-mvmul 22430
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator