Theorem cramer0 21747

Description: Special case of Cramer's rule for 0-dimensional matrices/vectors. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cramer.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramer.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cramer.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
cramer.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
cramer.x	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
cramer.q	⊢ / = (/r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cramer0	⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝑖,𝑍   · ,𝑖   / ,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem cramer0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cramer.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
2		cramer.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3	2	fveq2i 6759	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4	1, 3	eqtri 2766	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
5		fvoveq1 7278	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
6	4, 5	eqtrid 2790	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝐵 = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐵 = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
8	7	eleq2d 2824	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅))))
9		mat0dimbas0 21523	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
10	9	eleq2d 2824	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {∅}))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {∅}))
12	8, 11	bitrd 278	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ {∅}))
13		cramer.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
15		oveq2 7263	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
17		fvex 6769	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
18		map0e 8628	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
19	17, 18	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
20	14, 16, 19	3eqtrd 2782	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑉 = 1o)
21	20	eleq2d 2824	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑌 ∈ 𝑉 ↔ 𝑌 ∈ 1o))
22		el1o 8291	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 1o ↔ 𝑌 = ∅)
23	21, 22	bitrdi 286	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑌 ∈ 𝑉 ↔ 𝑌 = ∅))
24	12, 23	anbi12d 630	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ↔ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 = ∅)))
25		elsni 4575	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {∅} → 𝑋 = ∅)
26		mpteq1 5163	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))))
27		mpt0 6559	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ∅ ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) = ∅
28	26, 27	eqtrdi 2795	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) = ∅)
29	28	eqeq2d 2749	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) ↔ 𝑍 = ∅))
30	29	ad2antrr 722	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) ↔ 𝑍 = ∅))
31		simplrl 773	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → 𝑋 = ∅)
32		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → 𝑍 = ∅)
33	31, 32	oveq12d 7273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (𝑋 · 𝑍) = (∅ · ∅))
34		cramer.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
35	34	mavmul0 21609	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (∅ · ∅) = ∅)
36	35	ad2antrr 722	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (∅ · ∅) = ∅)
37		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → 𝑌 = ∅)
38	37	eqcomd 2744	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ∅ = 𝑌)
39	38	ad2antlr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → ∅ = 𝑌)
40	33, 36, 39	3eqtrd 2782	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
41	40	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = ∅ → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
42	30, 41	sylbid 239	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
43	42	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)))
44	43	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
45	25, 44	sylani 603	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
46	24, 45	sylbid 239	. 2 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
47	46	3imp 1109	1 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  ∅c0 4253  {csn 4558  ⟨cop 4564   ↦ cmpt 5153  ‘cfv 6418  (class class class)co 7255  1_oc1o 8260   ↑_m cmap 8573  Basecbs 16840  CRingccrg 19699  Unitcui 19796  /_rcdvr 19839   Mat cmat 21464   maVecMul cmvmul 21597   matRepV cmatrepV 21614   maDet cmdat 21641

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-ot 4567  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-supp 7949  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-ixp 8644  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-fsupp 9059  df-sup 9131  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-3 11967  df-4 11968  df-5 11969  df-6 11970  df-7 11971  df-8 11972  df-9 11973  df-n0 12164  df-z 12250  df-dec 12367  df-uz 12512  df-fz 13169  df-struct 16776  df-sets 16793  df-slot 16811  df-ndx 16823  df-base 16841  df-ress 16868  df-plusg 16901  df-mulr 16902  df-sca 16904  df-vsca 16905  df-ip 16906  df-tset 16907  df-ple 16908  df-ds 16910  df-hom 16912  df-cco 16913  df-0g 17069  df-prds 17075  df-pws 17077  df-sra 20349  df-rgmod 20350  df-dsmm 20849  df-frlm 20864  df-mat 21465  df-mvmul 21598

This theorem is referenced by: (None)