Theorem cramer0 22633

Description: Special case of Cramer's rule for 0-dimensional matrices/vectors. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
cramer.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramer.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
cramer.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
cramer.d	⊢ 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
cramer.x	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
cramer.q	⊢ / = (/r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
cramer0	⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))

Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝑖,𝑍   · ,𝑖   / ,𝑖

Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem cramer0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cramer.b	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
2		cramer.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
3	2	fveq2i 6884	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
4	1, 3	eqtri 2759	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
5		fvoveq1 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
6	4, 5	eqtrid 2783	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝐵 = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
7	6	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐵 = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
8	7	eleq2d 2821	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅))))
9		mat0dimbas0 22409	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
10	9	eleq2d 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {∅}))
11	10	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {∅}))
12	8, 11	bitrd 279	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 ∈ 𝐵 ↔ 𝑋 ∈ {∅}))
13		cramer.v	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
14	13	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
15		oveq2 7418	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
16	15	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
17		fvex 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
18		map0e 8901	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
19	17, 18	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
20	14, 16, 19	3eqtrd 2775	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑉 = 1o)
21	20	eleq2d 2821	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑌 ∈ 𝑉 ↔ 𝑌 ∈ 1o))
22		el1o 8512	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ 1o ↔ 𝑌 = ∅)
23	21, 22	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑌 ∈ 𝑉 ↔ 𝑌 = ∅))
24	12, 23	anbi12d 632	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ↔ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 = ∅)))
25		elsni 4623	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ {∅} → 𝑋 = ∅)
26		mpteq1 5214	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))))
27		mpt0 6685	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑖 ∈ ∅ ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) = ∅
28	26, 27	eqtrdi 2787	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) = ∅)
29	28	eqeq2d 2747	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) ↔ 𝑍 = ∅))
30	29	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) ↔ 𝑍 = ∅))
31		simplrl 776	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → 𝑋 = ∅)
32		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → 𝑍 = ∅)
33	31, 32	oveq12d 7428	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (𝑋 · 𝑍) = (∅ · ∅))
34		cramer.x	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
35	34	mavmul0 22495	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (∅ · ∅) = ∅)
36	35	ad2antrr 726	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (∅ · ∅) = ∅)
37		simpr 484	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → 𝑌 = ∅)
38	37	eqcomd 2742	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ∅ = 𝑌)
39	38	ad2antlr 727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → ∅ = 𝑌)
40	33, 36, 39	3eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
41	40	ex 412	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = ∅ → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
42	30, 41	sylbid 240	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
43	42	a1d 25	. . . . 5 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)))
44	43	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
45	25, 44	sylani 604	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
46	24, 45	sylbid 240	. 2 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → ((𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
47	46	3imp 1110	1 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) ∧ (𝐷‘𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷‘𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3464  ∅c0 4313  {csn 4606  ⟨cop 4612   ↦ cmpt 5206  ‘cfv 6536  (class class class)co 7410  1_oc1o 8478   ↑_m cmap 8845  Basecbs 17233  CRingccrg 20199  Unitcui 20320  /_rcdvr 20365   Mat cmat 22350   maVecMul cmvmul 22483   matRepV cmatrepV 22500   maDet cmdat 22527

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-ot 4615  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8165  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8724  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9379  df-sup 9459  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-9 12315  df-n0 12507  df-z 12594  df-dec 12714  df-uz 12858  df-fz 13530  df-struct 17171  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-ress 17257  df-plusg 17289  df-mulr 17290  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-tset 17295  df-ple 17296  df-ds 17298  df-hom 17300  df-cco 17301  df-0g 17460  df-prds 17466  df-pws 17468  df-sra 21136  df-rgmod 21137  df-dsmm 21697  df-frlm 21712  df-mat 22351  df-mvmul 22484

This theorem is referenced by: (None)