MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramer0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cramer0 22192
Description: Special case of Cramer's rule for 0-dimensional matrices/vectors. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramer.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramer.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
cramer.v 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁)
cramer.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
cramer.x Β· = (𝑅 maVecMul βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
cramer.q / = (/rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
cramer0 (((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))
Distinct variable groups:   𝐡,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑋   𝑖,π‘Œ   𝑖,𝑍   Β· ,𝑖   / ,𝑖
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem cramer0
StepHypRef Expression
1 cramer.b . . . . . . . . 9 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
2 cramer.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
32fveq2i 6895 . . . . . . . . 9 (Baseβ€˜π΄) = (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑅))
41, 3eqtri 2761 . . . . . . . 8 𝐡 = (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑅))
5 fvoveq1 7432 . . . . . . . 8 (𝑁 = βˆ… β†’ (Baseβ€˜(𝑁 Mat 𝑅)) = (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)))
64, 5eqtrid 2785 . . . . . . 7 (𝑁 = βˆ… β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)))
76adantr 482 . . . . . 6 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝐡 = (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)))
87eleq2d 2820 . . . . 5 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅))))
9 mat0dimbas0 21968 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing β†’ (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)) = {βˆ…})
109eleq2d 2820 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {βˆ…}))
1110adantl 483 . . . . 5 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑋 ∈ (Baseβ€˜(βˆ… Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {βˆ…}))
128, 11bitrd 279 . . . 4 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (𝑋 ∈ 𝐡 ↔ 𝑋 ∈ {βˆ…}))
13 cramer.v . . . . . . . 8 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁)
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑉 = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁))
15 oveq2 7417 . . . . . . . 8 (𝑁 = βˆ… β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁) = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m βˆ…))
1615adantr 482 . . . . . . 7 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m 𝑁) = ((Baseβ€˜π‘…) ↑m βˆ…))
17 fvex 6905 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) ∈ V
18 map0e 8876 . . . . . . . 8 ((Baseβ€˜π‘…) ∈ V β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m βˆ…) = 1o)
1917, 18mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ ((Baseβ€˜π‘…) ↑m βˆ…) = 1o)
2014, 16, 193eqtrd 2777 . . . . . 6 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ 𝑉 = 1o)
2120eleq2d 2820 . . . . 5 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑉 ↔ π‘Œ ∈ 1o))
22 el1o 8495 . . . . 5 (π‘Œ ∈ 1o ↔ π‘Œ = βˆ…)
2321, 22bitrdi 287 . . . 4 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (π‘Œ ∈ 𝑉 ↔ π‘Œ = βˆ…))
2412, 23anbi12d 632 . . 3 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ↔ (𝑋 ∈ {βˆ…} ∧ π‘Œ = βˆ…)))
25 elsni 4646 . . . 4 (𝑋 ∈ {βˆ…} β†’ 𝑋 = βˆ…)
26 mpteq1 5242 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = βˆ… β†’ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) = (𝑖 ∈ βˆ… ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))))
27 mpt0 6693 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ βˆ… ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) = βˆ…
2826, 27eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (𝑁 = βˆ… β†’ (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) = βˆ…)
2928eqeq2d 2744 . . . . . . . 8 (𝑁 = βˆ… β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) ↔ 𝑍 = βˆ…))
3029ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) ↔ 𝑍 = βˆ…))
31 simplrl 776 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) ∧ 𝑍 = βˆ…) β†’ 𝑋 = βˆ…)
32 simpr 486 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) ∧ 𝑍 = βˆ…) β†’ 𝑍 = βˆ…)
3331, 32oveq12d 7427 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) ∧ 𝑍 = βˆ…) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = (βˆ… Β· βˆ…))
34 cramer.x . . . . . . . . . . 11 Β· = (𝑅 maVecMul βŸ¨π‘, π‘βŸ©)
3534mavmul0 22054 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ (βˆ… Β· βˆ…) = βˆ…)
3635ad2antrr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) ∧ 𝑍 = βˆ…) β†’ (βˆ… Β· βˆ…) = βˆ…)
37 simpr 486 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ π‘Œ = βˆ…)
3837eqcomd 2739 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ βˆ… = π‘Œ)
3938ad2antlr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) ∧ 𝑍 = βˆ…) β†’ βˆ… = π‘Œ)
4033, 36, 393eqtrd 2777 . . . . . . . 8 ((((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) ∧ 𝑍 = βˆ…) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)
4140ex 414 . . . . . . 7 (((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) β†’ (𝑍 = βˆ… β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))
4230, 41sylbid 239 . . . . . 6 (((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))
4342a1d 25 . . . . 5 (((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…)) β†’ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ)))
4443ex 414 . . . 4 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ ((𝑋 = βˆ… ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))))
4525, 44sylani 605 . . 3 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ ((𝑋 ∈ {βˆ…} ∧ π‘Œ = βˆ…) β†’ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))))
4624, 45sylbid 239 . 2 ((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) β†’ ((𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ ((π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))))
47463imp 1112 1 (((𝑁 = βˆ… ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) ∧ (π·β€˜π‘‹) ∈ (Unitβ€˜π‘…)) β†’ (𝑍 = (𝑖 ∈ 𝑁 ↦ ((π·β€˜((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)π‘Œ)β€˜π‘–)) / (π·β€˜π‘‹))) β†’ (𝑋 Β· 𝑍) = π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3475  βˆ…c0 4323  {csn 4629  βŸ¨cop 4635   ↦ cmpt 5232  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  1oc1o 8459   ↑m cmap 8820  Basecbs 17144  CRingccrg 20057  Unitcui 20169  /rcdvr 20214   Mat cmat 21907   maVecMul cmvmul 22042   matRepV cmatrepV 22059   maDet cmdat 22086
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-ot 4638  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-prds 17393  df-pws 17395  df-sra 20785  df-rgmod 20786  df-dsmm 21287  df-frlm 21302  df-mat 21908  df-mvmul 22043
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator