MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cramer0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cramer0 22653
Description: Special case of Cramer's rule for 0-dimensional matrices/vectors. (Contributed by AV, 28-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
cramer.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
cramer.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
cramer.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
cramer.d 𝐷 = (𝑁 maDet 𝑅)
cramer.x · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
cramer.q / = (/r𝑅)
Assertion
Ref Expression
cramer0 (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑖   𝐷,𝑖   𝑖,𝑁   𝑅,𝑖   𝑖,𝑉   𝑖,𝑋   𝑖,𝑌   𝑖,𝑍   · ,𝑖   / ,𝑖
Allowed substitution hint:   𝐴(𝑖)

Proof of Theorem cramer0
StepHypRef Expression
1 cramer.b . . . . . . . . 9 𝐵 = (Base‘𝐴)
2 cramer.a . . . . . . . . . 10 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
32fveq2i 6899 . . . . . . . . 9 (Base‘𝐴) = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
41, 3eqtri 2753 . . . . . . . 8 𝐵 = (Base‘(𝑁 Mat 𝑅))
5 fvoveq1 7442 . . . . . . . 8 (𝑁 = ∅ → (Base‘(𝑁 Mat 𝑅)) = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
64, 5eqtrid 2777 . . . . . . 7 (𝑁 = ∅ → 𝐵 = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
76adantr 479 . . . . . 6 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝐵 = (Base‘(∅ Mat 𝑅)))
87eleq2d 2811 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅))))
9 mat0dimbas0 22429 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ CRing → (Base‘(∅ Mat 𝑅)) = {∅})
109eleq2d 2811 . . . . . 6 (𝑅 ∈ CRing → (𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {∅}))
1110adantl 480 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋 ∈ (Base‘(∅ Mat 𝑅)) ↔ 𝑋 ∈ {∅}))
128, 11bitrd 278 . . . 4 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑋𝐵𝑋 ∈ {∅}))
13 cramer.v . . . . . . . 8 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
1413a1i 11 . . . . . . 7 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))
15 oveq2 7427 . . . . . . . 8 (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
1615adantr 479 . . . . . . 7 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
17 fvex 6909 . . . . . . . 8 (Base‘𝑅) ∈ V
18 map0e 8901 . . . . . . . 8 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
1917, 18mp1i 13 . . . . . . 7 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
2014, 16, 193eqtrd 2769 . . . . . 6 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → 𝑉 = 1o)
2120eleq2d 2811 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑌𝑉𝑌 ∈ 1o))
22 el1o 8516 . . . . 5 (𝑌 ∈ 1o𝑌 = ∅)
2321, 22bitrdi 286 . . . 4 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (𝑌𝑉𝑌 = ∅))
2412, 23anbi12d 630 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋𝐵𝑌𝑉) ↔ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 = ∅)))
25 elsni 4647 . . . 4 (𝑋 ∈ {∅} → 𝑋 = ∅)
26 mpteq1 5242 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = ∅ → (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) = (𝑖 ∈ ∅ ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))))
27 mpt0 6698 . . . . . . . . . 10 (𝑖 ∈ ∅ ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) = ∅
2826, 27eqtrdi 2781 . . . . . . . . 9 (𝑁 = ∅ → (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) = ∅)
2928eqeq2d 2736 . . . . . . . 8 (𝑁 = ∅ → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) ↔ 𝑍 = ∅))
3029ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) ↔ 𝑍 = ∅))
31 simplrl 775 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → 𝑋 = ∅)
32 simpr 483 . . . . . . . . . 10 ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → 𝑍 = ∅)
3331, 32oveq12d 7437 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (𝑋 · 𝑍) = (∅ · ∅))
34 cramer.x . . . . . . . . . . 11 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3534mavmul0 22515 . . . . . . . . . 10 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → (∅ · ∅) = ∅)
3635ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (∅ · ∅) = ∅)
37 simpr 483 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → 𝑌 = ∅)
3837eqcomd 2731 . . . . . . . . . 10 ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ∅ = 𝑌)
3938ad2antlr 725 . . . . . . . . 9 ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → ∅ = 𝑌)
4033, 36, 393eqtrd 2769 . . . . . . . 8 ((((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) ∧ 𝑍 = ∅) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)
4140ex 411 . . . . . . 7 (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = ∅ → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
4230, 41sylbid 239 . . . . . 6 (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
4342a1d 25 . . . . 5 (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅)) → ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌)))
4443ex 411 . . . 4 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
4525, 44sylani 602 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 = ∅) → ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
4624, 45sylbid 239 . 2 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) → ((𝑋𝐵𝑌𝑉) → ((𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))))
47463imp 1108 1 (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ CRing) ∧ (𝑋𝐵𝑌𝑉) ∧ (𝐷𝑋) ∈ (Unit‘𝑅)) → (𝑍 = (𝑖𝑁 ↦ ((𝐷‘((𝑋(𝑁 matRepV 𝑅)𝑌)‘𝑖)) / (𝐷𝑋))) → (𝑋 · 𝑍) = 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1533  wcel 2098  Vcvv 3461  c0 4322  {csn 4630  cop 4636  cmpt 5232  cfv 6549  (class class class)co 7419  1oc1o 8480  m cmap 8845  Basecbs 17199  CRingccrg 20203  Unitcui 20323  /rcdvr 20368   Mat cmat 22368   maVecMul cmvmul 22503   matRepV cmatrepV 22520   maDet cmdat 22547
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9393  df-sup 9472  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17135  df-sets 17152  df-slot 17170  df-ndx 17182  df-base 17200  df-ress 17229  df-plusg 17265  df-mulr 17266  df-sca 17268  df-vsca 17269  df-ip 17270  df-tset 17271  df-ple 17272  df-ds 17274  df-hom 17276  df-cco 17277  df-0g 17442  df-prds 17448  df-pws 17450  df-sra 21087  df-rgmod 21088  df-dsmm 21700  df-frlm 21715  df-mat 22369  df-mvmul 22504
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator