MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmul0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmul0g 22405
Description: The result of the 0-dimensional multiplication of a matrix with a vector is always the empty set. (Contributed by AV, 1-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mavmul0.t ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
Assertion
Ref Expression
mavmul0g ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = โˆ…)

Proof of Theorem mavmul0g
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘˜ ๐‘™ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 7413 . . 3 ((๐‘‹ = โˆ… โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = (โˆ… ยท โˆ…))
2 mavmul0.t . . . 4 ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
32mavmul0 22404 . . 3 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (โˆ… ยท โˆ…) = โˆ…)
41, 3sylan9eq 2786 . 2 (((๐‘‹ = โˆ… โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โˆง (๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = โˆ…)
5 eqid 2726 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
6 eqid 2726 . . . . . 6 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
7 simpr 484 . . . . . 6 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
8 0fin 9170 . . . . . . . 8 โˆ… โˆˆ Fin
9 eleq1 2815 . . . . . . . 8 (๐‘ = โˆ… โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โ†” โˆ… โˆˆ Fin))
108, 9mpbiri 258 . . . . . . 7 (๐‘ = โˆ… โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
122, 5, 6, 7, 11, 11mvmulfval 22394 . . . . 5 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ยท = (๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)), ๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™)))))))
1312dmeqd 5898 . . . 4 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ dom ยท = dom (๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)), ๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™)))))))
14 0ex 5300 . . . . . . . . . 10 โˆ… โˆˆ V
15 eleq1 2815 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = โˆ… โ†’ (๐‘ โˆˆ V โ†” โˆ… โˆˆ V))
1614, 15mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (๐‘ = โˆ… โ†’ ๐‘ โˆˆ V)
1716mptexd 7220 . . . . . . . 8 (๐‘ = โˆ… โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™))))) โˆˆ V)
1817adantr 480 . . . . . . 7 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™))))) โˆˆ V)
1918adantr 480 . . . . . 6 (((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โˆง ๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™))))) โˆˆ V)
2019ralrimivva 3194 . . . . 5 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘))โˆ€๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘)(๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™))))) โˆˆ V)
21 eqid 2726 . . . . . 6 (๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)), ๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™)))))) = (๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)), ๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™))))))
2221dmmpoga 8055 . . . . 5 (โˆ€๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘))โˆ€๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘)(๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™))))) โˆˆ V โ†’ dom (๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)), ๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™)))))) = (((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) ร— ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘)))
2320, 22syl 17 . . . 4 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ dom (๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)), ๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™)))))) = (((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) ร— ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘)))
24 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = โˆ… โ†’ ๐‘ = โˆ…)
2524, 24xpeq12d 5700 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = โˆ… โ†’ (๐‘ ร— ๐‘) = (โˆ… ร— โˆ…))
26 0xp 5767 . . . . . . . . . 10 (โˆ… ร— โˆ…) = โˆ…
2725, 26eqtrdi 2782 . . . . . . . . 9 (๐‘ = โˆ… โ†’ (๐‘ ร— ๐‘) = โˆ…)
2827oveq2d 7420 . . . . . . . 8 (๐‘ = โˆ… โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m โˆ…))
29 fvex 6897 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V
30 map0e 8875 . . . . . . . . 9 ((Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m โˆ…) = 1o)
3129, 30mp1i 13 . . . . . . . 8 (๐‘ = โˆ… โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m โˆ…) = 1o)
3228, 31eqtrd 2766 . . . . . . 7 (๐‘ = โˆ… โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = 1o)
3332adantr 480 . . . . . 6 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = 1o)
34 df1o2 8471 . . . . . 6 1o = {โˆ…}
3533, 34eqtrdi 2782 . . . . 5 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = {โˆ…})
36 oveq2 7412 . . . . . 6 (๐‘ = โˆ… โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) = ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m โˆ…))
3729, 30mp1i 13 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m โˆ…) = 1o)
3837, 34eqtrdi 2782 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m โˆ…) = {โˆ…})
3936, 38sylan9eq 2786 . . . . 5 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) = {โˆ…})
4035, 39xpeq12d 5700 . . . 4 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) ร— ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘)) = ({โˆ…} ร— {โˆ…}))
4113, 23, 403eqtrd 2770 . . 3 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ dom ยท = ({โˆ…} ร— {โˆ…}))
42 elsni 4640 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ {โˆ…} โ†’ ๐‘‹ = โˆ…)
43 elsni 4640 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ {โˆ…} โ†’ ๐‘Œ = โˆ…)
4442, 43anim12i 612 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ {โˆ…} โˆง ๐‘Œ โˆˆ {โˆ…}) โ†’ (๐‘‹ = โˆ… โˆง ๐‘Œ = โˆ…))
4544con3i 154 . . 3 (ยฌ (๐‘‹ = โˆ… โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ ยฌ (๐‘‹ โˆˆ {โˆ…} โˆง ๐‘Œ โˆˆ {โˆ…}))
46 ndmovg 7586 . . 3 ((dom ยท = ({โˆ…} ร— {โˆ…}) โˆง ยฌ (๐‘‹ โˆˆ {โˆ…} โˆง ๐‘Œ โˆˆ {โˆ…})) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = โˆ…)
4741, 45, 46syl2anr 596 . 2 ((ยฌ (๐‘‹ = โˆ… โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โˆง (๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = โˆ…)
484, 47pm2.61ian 809 1 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = โˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3055  Vcvv 3468  โˆ…c0 4317  {csn 4623  โŸจcop 4629   โ†ฆ cmpt 5224   ร— cxp 5667  dom cdm 5669  โ€˜cfv 6536  (class class class)co 7404   โˆˆ cmpo 7406  1oc1o 8457   โ†‘m cmap 8819  Fincfn 8938  Basecbs 17150  .rcmulr 17204   ฮฃg cgsu 17392   maVecMul cmvmul 22392
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-ot 4632  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8144  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-map 8821  df-ixp 8891  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-fsupp 9361  df-sup 9436  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-ress 17180  df-plusg 17216  df-mulr 17217  df-sca 17219  df-vsca 17220  df-ip 17221  df-tset 17222  df-ple 17223  df-ds 17225  df-hom 17227  df-cco 17228  df-0g 17393  df-prds 17399  df-pws 17401  df-sra 21018  df-rgmod 21019  df-dsmm 21622  df-frlm 21637  df-mat 22258  df-mvmul 22393
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator