Theorem mavmul0g 22781

Description: The result of the 0-dimensional multiplication of a matrix with a vector is always the empty set. (Contributed by AV, 1-Mar-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mavmul0.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
mavmul0g	⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)

Proof of Theorem mavmul0g

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 7426	. . 3 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → (𝑋 · 𝑌) = (∅ · ∅))
2		mavmul0.t	. . . 4 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3	2	mavmul0 22780	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)
4	1, 3	sylan9eq 2817	. 2 ⊢ (((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) ∧ (𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
5		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝑉)
8		0fi 9053	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ Fin
9		eleq1 2850	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
10	8, 9	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ Fin)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
12	2, 5, 6, 7, 11, 11	mvmulfval 22770	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → · = (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))))
13	12	dmeqd 5893	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom · = dom (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))))
14		0ex 5268	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
15		eleq1 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
16	14, 15	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ V)
17	16	mptexd 7227	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V)
18	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V)
19	18	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V)
20	19	ralrimivva 3207	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ∀𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))∀𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)(𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V)
21		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))) = (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))))
22	21	dmmpoga 8076	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))∀𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)(𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V → dom (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))) = (((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)))
23	20, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))) = (((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)))
24		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝑁 = ∅)
25	24, 24	xpeq12d 5690	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 × 𝑁) = (∅ × ∅))
26		0xp 5758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ × ∅) = ∅
27	25, 26	eqtrdi 2813	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 × 𝑁) = ∅)
28	27	oveq2d 7433	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
29		fvex 6895	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
30		map0e 8893	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
31	29, 30	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
32	28, 31	eqtrd 2797	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 1o)
33	32	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 1o)
34		df1o2 8466	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
35	33, 34	eqtrdi 2813	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = {∅})
36		oveq2 7425	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
37	29, 30	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
38	37, 34	eqtrdi 2813	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = {∅})
39	36, 38	sylan9eq 2817	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = {∅})
40	35, 39	xpeq12d 5690	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)) = ({∅} × {∅}))
41	13, 23, 40	3eqtrd 2801	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom · = ({∅} × {∅}))
42		elsni 4604	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {∅} → 𝑋 = ∅)
43		elsni 4604	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ {∅} → 𝑌 = ∅)
44	42, 43	anim12i 625	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 ∈ {∅}) → (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅))
45	44	con3i 155	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ¬ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 ∈ {∅}))
46		ndmovg 7601	. . 3 ⊢ ((dom · = ({∅} × {∅}) ∧ ¬ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 ∈ {∅})) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
47	41, 45, 46	syl2anr 609	. 2 ⊢ ((¬ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) ∧ (𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
48	4, 47	pm2.61ian 824	1 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3078  Vcvv 3453  ∅c0 4282  {csn 4587  ⟨cop 4593   ↦ cmpt 5190   × cxp 5657  dom cdm 5659  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∈ cmpo 7419  1_oc1o 8452   ↑_m cmap 8830  Fincfn 8956  Basecbs 17307  ._rcmulr 17349   Σ_g cgsu 17531   maVecMul cmvmul 22768

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4594  df-ot 4596  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-supp 8163  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-map 8832  df-ixp 8909  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fsupp 9336  df-sup 9416  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-4 12333  df-5 12334  df-6 12335  df-7 12336  df-8 12337  df-9 12338  df-n0 12533  df-z 12620  df-dec 12741  df-uz 12892  df-fz 13566  df-struct 17245  df-sets 17262  df-slot 17280  df-ndx 17292  df-base 17308  df-ress 17329  df-plusg 17361  df-mulr 17362  df-sca 17364  df-vsca 17365  df-ip 17366  df-tset 17367  df-ple 17368  df-ds 17370  df-hom 17372  df-cco 17373  df-0g 17532  df-prds 17538  df-pws 17540  df-sra 21363  df-rgmod 21364  df-dsmm 21951  df-frlm 21966  df-mat 22636  df-mvmul 22769

This theorem is used by: (None)