Theorem mavmul0g 20764

Description: The result of the 0-dimensional multiplication of a matrix with a vector is always the empty set. (Contributed by AV, 1-Mar-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mavmul0.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
mavmul0g	⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)

Proof of Theorem mavmul0g

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 6931	. . 3 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → (𝑋 · 𝑌) = (∅ · ∅))
2		mavmul0.t	. . . 4 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3	2	mavmul0 20763	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)
4	1, 3	sylan9eq 2834	. 2 ⊢ (((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) ∧ (𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
5		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		simpr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝑉)
8		0fin 8476	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ Fin
9		eleq1 2847	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
10	8, 9	mpbiri 250	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ Fin)
11	10	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
12	2, 5, 6, 7, 11, 11	mvmulfval 20753	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → · = (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))))
13	12	dmeqd 5571	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom · = dom (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))))
14		0ex 5026	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
15		eleq1 2847	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
16	14, 15	mpbiri 250	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ V)
17		mptexg 6756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ V → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V)
18	16, 17	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V)
19	18	adantr 474	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V)
20	19	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁))) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V)
21	20	ralrimivva 3153	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ∀𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))∀𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)(𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V)
22		eqid 2778	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))) = (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))))
23	22	dmmpt2ga 7522	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁))∀𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)(𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V → dom (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))) = (((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)))
24	21, 23	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))) = (((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)))
25		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝑁 = ∅)
26	25, 25	xpeq12d 5386	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 × 𝑁) = (∅ × ∅))
27		0xp 5447	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ × ∅) = ∅
28	26, 27	syl6eq 2830	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 × 𝑁) = ∅)
29	28	oveq2d 6938	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ∅))
30		fvex 6459	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
31		map0e 8179	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ∅) = 1o)
32	30, 31	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ∅) = 1o)
33	29, 32	eqtrd 2814	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = 1o)
34	33	adantr 474	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = 1o)
35		df1o2 7856	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
36	34, 35	syl6eq 2830	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) = {∅})
37		oveq2 6930	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ∅))
38	30, 31	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ∅) = 1o)
39	38, 35	syl6eq 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 ∅) = {∅})
40	37, 39	sylan9eq 2834	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁) = {∅})
41	36, 40	xpeq12d 5386	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (((Base‘𝑅) ↑𝑚 (𝑁 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑𝑚 𝑁)) = ({∅} × {∅}))
42	13, 24, 41	3eqtrd 2818	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom · = ({∅} × {∅}))
43		elsni 4415	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {∅} → 𝑋 = ∅)
44		elsni 4415	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ {∅} → 𝑌 = ∅)
45	43, 44	anim12i 606	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 ∈ {∅}) → (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅))
46	45	con3i 152	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ¬ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 ∈ {∅}))
47		ndmovg 7094	. . 3 ⊢ ((dom · = ({∅} × {∅}) ∧ ¬ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 ∈ {∅})) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
48	42, 46, 47	syl2anr 590	. 2 ⊢ ((¬ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) ∧ (𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
49	4, 48	pm2.61ian 802	1 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ∀wral 3090  Vcvv 3398  ∅c0 4141  {csn 4398  ⟨cop 4404   ↦ cmpt 4965   × cxp 5353  dom cdm 5355  ‘cfv 6135  (class class class)co 6922   ↦ cmpt2 6924  1_oc1o 7836   ↑_𝑚 cmap 8140  Fincfn 8241  Basecbs 16255  ._rcmulr 16339   Σ_g cgsu 16487   maVecMul cmvmul 20751

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-ot 4407  df-uni 4672  df-int 4711  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-1st 7445  df-2nd 7446  df-supp 7577  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-1o 7843  df-oadd 7847  df-er 8026  df-map 8142  df-ixp 8195  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-fin 8245  df-fsupp 8564  df-sup 8636  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-3 11439  df-4 11440  df-5 11441  df-6 11442  df-7 11443  df-8 11444  df-9 11445  df-n0 11643  df-z 11729  df-dec 11846  df-uz 11993  df-fz 12644  df-struct 16257  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-mulr 16352  df-sca 16354  df-vsca 16355  df-ip 16356  df-tset 16357  df-ple 16358  df-ds 16360  df-hom 16362  df-cco 16363  df-0g 16488  df-prds 16494  df-pws 16496  df-sra 19569  df-rgmod 19570  df-dsmm 20475  df-frlm 20490  df-mat 20618  df-mvmul 20752

This theorem is referenced by: (None)