Theorem mavmul0g 22861

Description: The result of the 0-dimensional multiplication of a matrix with a vector is always the empty set. (Contributed by AV, 1-Mar-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mavmul0.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
mavmul0g	⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)

Proof of Theorem mavmul0g

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 7427	. . 3 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → (𝑋 · 𝑌) = (∅ · ∅))
2		mavmul0.t	. . . 4 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3	2	mavmul0 22860	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)
4	1, 3	sylan9eq 2816	. 2 ⊢ (((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) ∧ (𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
5		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝑉)
8		0fi 9063	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ Fin
9		eleq1 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
10	8, 9	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ Fin)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
12	2, 5, 6, 7, 11, 11	mvmulfval 22850	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → · = (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))))
13	12	dmeqd 5887	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom · = dom (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))))
14		0ex 5261	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
15		eleq1 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
16	14, 15	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ V)
17	16	mptexd 7228	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V)
18	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V)
19	18	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V)
20	19	ralrimivva 3206	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ∀𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))∀𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)(𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V)
21		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))) = (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))))
22	21	dmmpoga 8084	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))∀𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)(𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V → dom (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))) = (((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)))
23	20, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))) = (((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)))
24		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝑁 = ∅)
25	24, 24	xpeq12d 5682	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 × 𝑁) = (∅ × ∅))
26		0xp 5750	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ × ∅) = ∅
27	25, 26	eqtrdi 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 × 𝑁) = ∅)
28	27	oveq2d 7434	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
29		fvex 6896	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
30		map0e 8903	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
31	29, 30	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
32	28, 31	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 1o)
33	32	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 1o)
34		df1o2 8476	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
35	33, 34	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = {∅})
36		oveq2 7426	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
37	29, 30	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
38	37, 34	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = {∅})
39	36, 38	sylan9eq 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = {∅})
40	35, 39	xpeq12d 5682	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)) = ({∅} × {∅}))
41	13, 23, 40	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom · = ({∅} × {∅}))
42		elsni 4601	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {∅} → 𝑋 = ∅)
43		elsni 4601	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ {∅} → 𝑌 = ∅)
44	42, 43	anim12i 625	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 ∈ {∅}) → (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅))
45	44	con3i 155	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ¬ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 ∈ {∅}))
46		ndmovg 7602	. . 3 ⊢ ((dom · = ({∅} × {∅}) ∧ ¬ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 ∈ {∅})) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
47	41, 45, 46	syl2anr 609	. 2 ⊢ ((¬ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) ∧ (𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
48	4, 47	pm2.61ian 824	1 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077  Vcvv 3451  ∅c0 4279  {csn 4584  ⟨cop 4590   ↦ cmpt 5186   × cxp 5649  dom cdm 5651  ‘cfv 6537  (class class class)co 7418   ∈ cmpo 7420  1_oc1o 8462   ↑_m cmap 8840  Fincfn 8966  Basecbs 17380  ._rcmulr 17422   Σ_g cgsu 17604   maVecMul cmvmul 22848

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-cnex 11249  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269  ax-pre-mulgt0 11270

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-ot 4593  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7375  df-ov 7421  df-oprab 7422  df-mpo 7423  df-om 7876  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8171  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8469  df-er 8710  df-map 8842  df-ixp 8919  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-fin 8970  df-fsupp 9347  df-sup 9427  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-sub 11536  df-neg 11537  df-nn 12329  df-2 12398  df-3 12399  df-4 12400  df-5 12401  df-6 12402  df-7 12403  df-8 12404  df-9 12405  df-n0 12600  df-z 12687  df-dec 12808  df-uz 12959  df-fz 13633  df-struct 17318  df-sets 17335  df-slot 17353  df-ndx 17365  df-base 17381  df-ress 17402  df-plusg 17434  df-mulr 17435  df-sca 17437  df-vsca 17438  df-ip 17439  df-tset 17440  df-ple 17441  df-ds 17443  df-hom 17445  df-cco 17446  df-0g 17605  df-prds 17611  df-pws 17613  df-sra 21441  df-rgmod 21442  df-dsmm 22031  df-frlm 22046  df-mat 22716  df-mvmul 22849

This theorem is used by: (None)