MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmul0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmul0g 22575
Description: The result of the 0-dimensional multiplication of a matrix with a vector is always the empty set. (Contributed by AV, 1-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mavmul0.t · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
Assertion
Ref Expression
mavmul0g ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)

Proof of Theorem mavmul0g
Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 7440 . . 3 ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → (𝑋 · 𝑌) = (∅ · ∅))
2 mavmul0.t . . . 4 · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
32mavmul0 22574 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)
41, 3sylan9eq 2795 . 2 (((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) ∧ (𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉)) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
5 eqid 2735 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6 eqid 2735 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
7 simpr 484 . . . . . 6 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → 𝑅𝑉)
8 0fi 9081 . . . . . . . 8 ∅ ∈ Fin
9 eleq1 2827 . . . . . . . 8 (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
108, 9mpbiri 258 . . . . . . 7 (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ Fin)
1110adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
122, 5, 6, 7, 11, 11mvmulfval 22564 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → · = (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙)))))))
1312dmeqd 5919 . . . 4 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → dom · = dom (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙)))))))
14 0ex 5313 . . . . . . . . . 10 ∅ ∈ V
15 eleq1 2827 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
1614, 15mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ V)
1716mptexd 7244 . . . . . . . 8 (𝑁 = ∅ → (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙))))) ∈ V)
1817adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙))))) ∈ V)
1918adantr 480 . . . . . 6 (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) ∧ (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))) → (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙))))) ∈ V)
2019ralrimivva 3200 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → ∀𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))∀𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)(𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙))))) ∈ V)
21 eqid 2735 . . . . . 6 (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙)))))) = (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙))))))
2221dmmpoga 8097 . . . . 5 (∀𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))∀𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)(𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙))))) ∈ V → dom (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙)))))) = (((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)))
2320, 22syl 17 . . . 4 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → dom (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r𝑅)(𝑗𝑙)))))) = (((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)))
24 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 = ∅ → 𝑁 = ∅)
2524, 24xpeq12d 5720 . . . . . . . . . 10 (𝑁 = ∅ → (𝑁 × 𝑁) = (∅ × ∅))
26 0xp 5787 . . . . . . . . . 10 (∅ × ∅) = ∅
2725, 26eqtrdi 2791 . . . . . . . . 9 (𝑁 = ∅ → (𝑁 × 𝑁) = ∅)
2827oveq2d 7447 . . . . . . . 8 (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
29 fvex 6920 . . . . . . . . 9 (Base‘𝑅) ∈ V
30 map0e 8921 . . . . . . . . 9 ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
3129, 30mp1i 13 . . . . . . . 8 (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
3228, 31eqtrd 2775 . . . . . . 7 (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 1o)
3332adantr 480 . . . . . 6 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 1o)
34 df1o2 8512 . . . . . 6 1o = {∅}
3533, 34eqtrdi 2791 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = {∅})
36 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
3729, 30mp1i 13 . . . . . . 7 (𝑅𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
3837, 34eqtrdi 2791 . . . . . 6 (𝑅𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = {∅})
3936, 38sylan9eq 2795 . . . . 5 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = {∅})
4035, 39xpeq12d 5720 . . . 4 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)) = ({∅} × {∅}))
4113, 23, 403eqtrd 2779 . . 3 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → dom · = ({∅} × {∅}))
42 elsni 4648 . . . . 5 (𝑋 ∈ {∅} → 𝑋 = ∅)
43 elsni 4648 . . . . 5 (𝑌 ∈ {∅} → 𝑌 = ∅)
4442, 43anim12i 613 . . . 4 ((𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 ∈ {∅}) → (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅))
4544con3i 154 . . 3 (¬ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ¬ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 ∈ {∅}))
46 ndmovg 7616 . . 3 ((dom · = ({∅} × {∅}) ∧ ¬ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 ∈ {∅})) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
4741, 45, 46syl2anr 597 . 2 ((¬ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) ∧ (𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉)) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
484, 47pm2.61ian 812 1 ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅𝑉) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  c0 4339  {csn 4631  cop 4637  cmpt 5231   × cxp 5687  dom cdm 5689  cfv 6563  (class class class)co 7431  cmpo 7433  1oc1o 8498  m cmap 8865  Fincfn 8984  Basecbs 17245  .rcmulr 17299   Σg cgsu 17487   maVecMul cmvmul 22562
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-ot 4640  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-supp 8185  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-ixp 8937  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-fsupp 9400  df-sup 9480  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-fz 13545  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-hom 17322  df-cco 17323  df-0g 17488  df-prds 17494  df-pws 17496  df-sra 21190  df-rgmod 21191  df-dsmm 21770  df-frlm 21785  df-mat 22428  df-mvmul 22563
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator