Theorem mavmul0g 22912

Description: The result of the 0-dimensional multiplication of a matrix with a vector is always the empty set. (Contributed by AV, 1-Mar-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mavmul0.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
mavmul0g	⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)

Proof of Theorem mavmul0g

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 7458	. . 3 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → (𝑋 · 𝑌) = (∅ · ∅))
2		mavmul0.t	. . . 4 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3	2	mavmul0 22911	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)
4	1, 3	sylan9eq 2818	. 2 ⊢ (((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) ∧ (𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
5		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝑉)
8		0fi 9106	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ Fin
9		eleq1 2852	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
10	8, 9	mpbiri 261	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ Fin)
11	10	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
12	2, 5, 6, 7, 11, 11	mvmulfval 22901	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → · = (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))))
13	12	dmeqd 5897	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom · = dom (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))))
14		0ex 5265	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
15		eleq1 2852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
16	14, 15	mpbiri 261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ V)
17	16	mptexd 7259	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V)
18	17	adantr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V)
19	18	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V)
20	19	ralrimivva 3209	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ∀𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))∀𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)(𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V)
21		eqid 2763	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))) = (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))))
22	21	dmmpoga 8119	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))∀𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)(𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V → dom (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))) = (((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)))
23	20, 22	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))) = (((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)))
24		id 23	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝑁 = ∅)
25	24, 24	xpeq12d 5687	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 × 𝑁) = (∅ × ∅))
26		0xp 5756	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ × ∅) = ∅
27	25, 26	eqtrdi 2814	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 × 𝑁) = ∅)
28	27	oveq2d 7465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
29		fvex 6927	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
30		map0e 8946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
31	29, 30	mp1i 14	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
32	28, 31	eqtrd 2798	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 1o)
33	32	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 1o)
34		df1o2 8519	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
35	33, 34	eqtrdi 2814	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = {∅})
36		oveq2 7457	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
37	29, 30	mp1i 14	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
38	37, 34	eqtrdi 2814	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = {∅})
39	36, 38	sylan9eq 2818	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = {∅})
40	35, 39	xpeq12d 5687	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)) = ({∅} × {∅}))
41	13, 23, 40	3eqtrd 2802	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom · = ({∅} × {∅}))
42		elsni 4601	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {∅} → 𝑋 = ∅)
43		elsni 4601	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ {∅} → 𝑌 = ∅)
44	42, 43	anim12i 625	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 ∈ {∅}) → (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅))
45	44	con3i 155	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ¬ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 ∈ {∅}))
46		ndmovg 7634	. . 3 ⊢ ((dom · = ({∅} × {∅}) ∧ ¬ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 ∈ {∅})) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
47	41, 45, 46	syl2anr 609	. 2 ⊢ ((¬ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) ∧ (𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
48	4, 47	pm2.61ian 824	1 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  Vcvv 3454  ∅c0 4281  {csn 4588  ⟨cop 4838   ↦ cmpt 5190   × cxp 5654  dom cdm 5656  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449   ∈ cmpo 7451  1_oc1o 8505   ↑_m cmap 8883  Fincfn 9009  Basecbs 17428  ._rcmulr 17470   Σ_g cgsu 17652   maVecMul cmvmul 22899

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-supp 8213  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-map 8885  df-ixp 8962  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-fin 9013  df-fsupp 9390  df-sup 9469  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-2 12443  df-3 12444  df-4 12445  df-5 12446  df-6 12447  df-7 12448  df-8 12449  df-9 12450  df-n0 12645  df-z 12732  df-dec 12853  df-uz 13004  df-fz 13678  df-struct 17366  df-sets 17383  df-slot 17401  df-ndx 17413  df-base 17429  df-ress 17450  df-plusg 17482  df-mulr 17483  df-sca 17485  df-vsca 17486  df-ip 17487  df-tset 17488  df-ple 17489  df-ds 17491  df-hom 17493  df-cco 17494  df-0g 17653  df-prds 17659  df-pws 17661  df-sra 21490  df-rgmod 21491  df-dsmm 22082  df-frlm 22097  df-mat 22767  df-mvmul 22900

This theorem is used by: (None)