MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmul0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmul0g 21925
Description: The result of the 0-dimensional multiplication of a matrix with a vector is always the empty set. (Contributed by AV, 1-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mavmul0.t ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
Assertion
Ref Expression
mavmul0g ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = โˆ…)

Proof of Theorem mavmul0g
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘˜ ๐‘™ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 7370 . . 3 ((๐‘‹ = โˆ… โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = (โˆ… ยท โˆ…))
2 mavmul0.t . . . 4 ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
32mavmul0 21924 . . 3 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (โˆ… ยท โˆ…) = โˆ…)
41, 3sylan9eq 2793 . 2 (((๐‘‹ = โˆ… โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โˆง (๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = โˆ…)
5 eqid 2733 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
6 eqid 2733 . . . . . 6 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
7 simpr 486 . . . . . 6 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
8 0fin 9121 . . . . . . . 8 โˆ… โˆˆ Fin
9 eleq1 2822 . . . . . . . 8 (๐‘ = โˆ… โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โ†” โˆ… โˆˆ Fin))
108, 9mpbiri 258 . . . . . . 7 (๐‘ = โˆ… โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
1110adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
122, 5, 6, 7, 11, 11mvmulfval 21914 . . . . 5 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ยท = (๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)), ๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™)))))))
1312dmeqd 5865 . . . 4 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ dom ยท = dom (๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)), ๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™)))))))
14 0ex 5268 . . . . . . . . . 10 โˆ… โˆˆ V
15 eleq1 2822 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = โˆ… โ†’ (๐‘ โˆˆ V โ†” โˆ… โˆˆ V))
1614, 15mpbiri 258 . . . . . . . . 9 (๐‘ = โˆ… โ†’ ๐‘ โˆˆ V)
1716mptexd 7178 . . . . . . . 8 (๐‘ = โˆ… โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™))))) โˆˆ V)
1817adantr 482 . . . . . . 7 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™))))) โˆˆ V)
1918adantr 482 . . . . . 6 (((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โˆง ๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™))))) โˆˆ V)
2019ralrimivva 3194 . . . . 5 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘))โˆ€๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘)(๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™))))) โˆˆ V)
21 eqid 2733 . . . . . 6 (๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)), ๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™)))))) = (๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)), ๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™))))))
2221dmmpoga 8009 . . . . 5 (โˆ€๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘))โˆ€๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘)(๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™))))) โˆˆ V โ†’ dom (๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)), ๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™)))))) = (((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) ร— ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘)))
2320, 22syl 17 . . . 4 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ dom (๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)), ๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™)))))) = (((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) ร— ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘)))
24 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = โˆ… โ†’ ๐‘ = โˆ…)
2524, 24xpeq12d 5668 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = โˆ… โ†’ (๐‘ ร— ๐‘) = (โˆ… ร— โˆ…))
26 0xp 5734 . . . . . . . . . 10 (โˆ… ร— โˆ…) = โˆ…
2725, 26eqtrdi 2789 . . . . . . . . 9 (๐‘ = โˆ… โ†’ (๐‘ ร— ๐‘) = โˆ…)
2827oveq2d 7377 . . . . . . . 8 (๐‘ = โˆ… โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m โˆ…))
29 fvex 6859 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V
30 map0e 8826 . . . . . . . . 9 ((Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m โˆ…) = 1o)
3129, 30mp1i 13 . . . . . . . 8 (๐‘ = โˆ… โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m โˆ…) = 1o)
3228, 31eqtrd 2773 . . . . . . 7 (๐‘ = โˆ… โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = 1o)
3332adantr 482 . . . . . 6 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = 1o)
34 df1o2 8423 . . . . . 6 1o = {โˆ…}
3533, 34eqtrdi 2789 . . . . 5 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = {โˆ…})
36 oveq2 7369 . . . . . 6 (๐‘ = โˆ… โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) = ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m โˆ…))
3729, 30mp1i 13 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m โˆ…) = 1o)
3837, 34eqtrdi 2789 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m โˆ…) = {โˆ…})
3936, 38sylan9eq 2793 . . . . 5 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) = {โˆ…})
4035, 39xpeq12d 5668 . . . 4 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) ร— ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘)) = ({โˆ…} ร— {โˆ…}))
4113, 23, 403eqtrd 2777 . . 3 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ dom ยท = ({โˆ…} ร— {โˆ…}))
42 elsni 4607 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ {โˆ…} โ†’ ๐‘‹ = โˆ…)
43 elsni 4607 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ {โˆ…} โ†’ ๐‘Œ = โˆ…)
4442, 43anim12i 614 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ {โˆ…} โˆง ๐‘Œ โˆˆ {โˆ…}) โ†’ (๐‘‹ = โˆ… โˆง ๐‘Œ = โˆ…))
4544con3i 154 . . 3 (ยฌ (๐‘‹ = โˆ… โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ ยฌ (๐‘‹ โˆˆ {โˆ…} โˆง ๐‘Œ โˆˆ {โˆ…}))
46 ndmovg 7541 . . 3 ((dom ยท = ({โˆ…} ร— {โˆ…}) โˆง ยฌ (๐‘‹ โˆˆ {โˆ…} โˆง ๐‘Œ โˆˆ {โˆ…})) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = โˆ…)
4741, 45, 46syl2anr 598 . 2 ((ยฌ (๐‘‹ = โˆ… โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โˆง (๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = โˆ…)
484, 47pm2.61ian 811 1 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = โˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3061  Vcvv 3447  โˆ…c0 4286  {csn 4590  โŸจcop 4596   โ†ฆ cmpt 5192   ร— cxp 5635  dom cdm 5637  โ€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   โˆˆ cmpo 7363  1oc1o 8409   โ†‘m cmap 8771  Fincfn 8889  Basecbs 17091  .rcmulr 17142   ฮฃg cgsu 17330   maVecMul cmvmul 21912
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-ot 4599  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-sup 9386  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-fz 13434  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-hom 17165  df-cco 17166  df-0g 17331  df-prds 17337  df-pws 17339  df-sra 20678  df-rgmod 20679  df-dsmm 21161  df-frlm 21176  df-mat 21778  df-mvmul 21913
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator