Theorem mavmul0g 22601

Description: The result of the 0-dimensional multiplication of a matrix with a vector is always the empty set. (Contributed by AV, 1-Mar-2019.)

Hypothesis

Ref	Expression
mavmul0.t	⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)

Assertion

Ref	Expression
mavmul0g	⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)

Proof of Theorem mavmul0g

Dummy variables 𝑖 𝑗 𝑘 𝑙 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 7400	. . 3 ⊢ ((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → (𝑋 · 𝑌) = (∅ · ∅))
2		mavmul0.t	. . . 4 ⊢ · = (𝑅 maVecMul ⟨𝑁, 𝑁⟩)
3	2	mavmul0 22600	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (∅ · ∅) = ∅)
4	1, 3	sylan9eq 2816	. 2 ⊢ (((𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) ∧ (𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
5		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
6		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
7		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑅 ∈ 𝑉)
8		0fi 9017	. . . . . . . 8 ⊢ ∅ ∈ Fin
9		eleq1 2849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ Fin ↔ ∅ ∈ Fin))
10	8, 9	mpbiri 260	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ Fin)
11	10	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → 𝑁 ∈ Fin)
12	2, 5, 6, 7, 11, 11	mvmulfval 22590	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → · = (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))))
13	12	dmeqd 5877	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom · = dom (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))))
14		0ex 5254	. . . . . . . . . 10 ⊢ ∅ ∈ V
15		eleq1 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 ∈ V ↔ ∅ ∈ V))
16	14, 15	mpbiri 260	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝑁 ∈ V)
17	16	mptexd 7203	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V)
18	17	adantr 484	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V)
19	18	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) ∧ (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) ∧ 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁))) → (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V)
20	19	ralrimivva 3204	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ∀𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))∀𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)(𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V)
21		eqid 2761	. . . . . 6 ⊢ (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))) = (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))))
22	21	dmmpoga 8049	. . . . 5 ⊢ (∀𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁))∀𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)(𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙))))) ∈ V → dom (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))) = (((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)))
23	20, 22	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom (𝑖 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)), 𝑗 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) ↦ (𝑘 ∈ 𝑁 ↦ (𝑅 Σg (𝑙 ∈ 𝑁 ↦ ((𝑘𝑖𝑙)(.r‘𝑅)(𝑗‘𝑙)))))) = (((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)))
24		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑁 = ∅ → 𝑁 = ∅)
25	24, 24	xpeq12d 5674	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 × 𝑁) = (∅ × ∅))
26		0xp 5742	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∅ × ∅) = ∅
27	25, 26	eqtrdi 2812	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 = ∅ → (𝑁 × 𝑁) = ∅)
28	27	oveq2d 7407	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
29		fvex 6875	. . . . . . . . 9 ⊢ (Base‘𝑅) ∈ V
30		map0e 8858	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Base‘𝑅) ∈ V → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
31	29, 30	mp1i 13	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
32	28, 31	eqtrd 2796	. . . . . . 7 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 1o)
33	32	adantr 484	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = 1o)
34		df1o2 8438	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
35	33, 34	eqtrdi 2812	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) = {∅})
36		oveq2 7399	. . . . . 6 ⊢ (𝑁 = ∅ → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = ((Base‘𝑅) ↑m ∅))
37	29, 30	mp1i 13	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = 1o)
38	37, 34	eqtrdi 2812	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → ((Base‘𝑅) ↑m ∅) = {∅})
39	36, 38	sylan9eq 2816	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) = {∅})
40	35, 39	xpeq12d 5674	. . . 4 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (((Base‘𝑅) ↑m (𝑁 × 𝑁)) × ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)) = ({∅} × {∅}))
41	13, 23, 40	3eqtrd 2800	. . 3 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → dom · = ({∅} × {∅}))
42		elsni 4596	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ {∅} → 𝑋 = ∅)
43		elsni 4596	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ {∅} → 𝑌 = ∅)
44	42, 43	anim12i 622	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 ∈ {∅}) → (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅))
45	44	con3i 154	. . 3 ⊢ (¬ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) → ¬ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 ∈ {∅}))
46		ndmovg 7574	. . 3 ⊢ ((dom · = ({∅} × {∅}) ∧ ¬ (𝑋 ∈ {∅} ∧ 𝑌 ∈ {∅})) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
47	41, 45, 46	syl2anr 606	. 2 ⊢ ((¬ (𝑋 = ∅ ∧ 𝑌 = ∅) ∧ (𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉)) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)
48	4, 47	pm2.61ian 821	1 ⊢ ((𝑁 = ∅ ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (𝑋 · 𝑌) = ∅)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  ∀wral 3075  Vcvv 3453  ∅c0 4283  {csn 4579  ⟨cop 4585   ↦ cmpt 5178   × cxp 5641  dom cdm 5643  ‘cfv 6516  (class class class)co 7391   ∈ cmpo 7393  1_oc1o 8424   ↑_m cmap 8802  Fincfn 8921  Basecbs 17236  ._rcmulr 17278   Σ_g cgsu 17460   maVecMul cmvmul 22588

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-1st 7965  df-2nd 7966  df-supp 8135  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-1o 8431  df-er 8672  df-map 8804  df-ixp 8874  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-fsupp 9302  df-sup 9382  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-3 12275  df-4 12276  df-5 12277  df-6 12278  df-7 12279  df-8 12280  df-9 12281  df-n0 12476  df-z 12563  df-dec 12683  df-uz 12834  df-fz 13507  df-struct 17174  df-sets 17191  df-slot 17209  df-ndx 17221  df-base 17237  df-ress 17258  df-plusg 17290  df-mulr 17291  df-sca 17293  df-vsca 17294  df-ip 17295  df-tset 17296  df-ple 17297  df-ds 17299  df-hom 17301  df-cco 17302  df-0g 17461  df-prds 17467  df-pws 17469  df-sra 21228  df-rgmod 21229  df-dsmm 21772  df-frlm 21787  df-mat 22456  df-mvmul 22589

This theorem is referenced by: (None)