MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mavmul0g Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mavmul0g 22475
Description: The result of the 0-dimensional multiplication of a matrix with a vector is always the empty set. (Contributed by AV, 1-Mar-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
mavmul0.t ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
Assertion
Ref Expression
mavmul0g ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = โˆ…)

Proof of Theorem mavmul0g
Dummy variables ๐‘– ๐‘— ๐‘˜ ๐‘™ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 7435 . . 3 ((๐‘‹ = โˆ… โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = (โˆ… ยท โˆ…))
2 mavmul0.t . . . 4 ยท = (๐‘… maVecMul โŸจ๐‘, ๐‘โŸฉ)
32mavmul0 22474 . . 3 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (โˆ… ยท โˆ…) = โˆ…)
41, 3sylan9eq 2788 . 2 (((๐‘‹ = โˆ… โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โˆง (๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = โˆ…)
5 eqid 2728 . . . . . 6 (Baseโ€˜๐‘…) = (Baseโ€˜๐‘…)
6 eqid 2728 . . . . . 6 (.rโ€˜๐‘…) = (.rโ€˜๐‘…)
7 simpr 483 . . . . . 6 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)
8 0fin 9202 . . . . . . . 8 โˆ… โˆˆ Fin
9 eleq1 2817 . . . . . . . 8 (๐‘ = โˆ… โ†’ (๐‘ โˆˆ Fin โ†” โˆ… โˆˆ Fin))
108, 9mpbiri 257 . . . . . . 7 (๐‘ = โˆ… โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
1110adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ๐‘ โˆˆ Fin)
122, 5, 6, 7, 11, 11mvmulfval 22464 . . . . 5 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ยท = (๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)), ๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™)))))))
1312dmeqd 5912 . . . 4 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ dom ยท = dom (๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)), ๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™)))))))
14 0ex 5311 . . . . . . . . . 10 โˆ… โˆˆ V
15 eleq1 2817 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = โˆ… โ†’ (๐‘ โˆˆ V โ†” โˆ… โˆˆ V))
1614, 15mpbiri 257 . . . . . . . . 9 (๐‘ = โˆ… โ†’ ๐‘ โˆˆ V)
1716mptexd 7242 . . . . . . . 8 (๐‘ = โˆ… โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™))))) โˆˆ V)
1817adantr 479 . . . . . . 7 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™))))) โˆˆ V)
1918adantr 479 . . . . . 6 (((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โˆง (๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) โˆง ๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘))) โ†’ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™))))) โˆˆ V)
2019ralrimivva 3198 . . . . 5 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ โˆ€๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘))โˆ€๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘)(๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™))))) โˆˆ V)
21 eqid 2728 . . . . . 6 (๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)), ๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™)))))) = (๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)), ๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™))))))
2221dmmpoga 8083 . . . . 5 (โˆ€๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘))โˆ€๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘)(๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™))))) โˆˆ V โ†’ dom (๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)), ๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™)))))) = (((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) ร— ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘)))
2320, 22syl 17 . . . 4 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ dom (๐‘– โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)), ๐‘— โˆˆ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) โ†ฆ (๐‘˜ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ (๐‘… ฮฃg (๐‘™ โˆˆ ๐‘ โ†ฆ ((๐‘˜๐‘–๐‘™)(.rโ€˜๐‘…)(๐‘—โ€˜๐‘™)))))) = (((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) ร— ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘)))
24 id 22 . . . . . . . . . . 11 (๐‘ = โˆ… โ†’ ๐‘ = โˆ…)
2524, 24xpeq12d 5713 . . . . . . . . . 10 (๐‘ = โˆ… โ†’ (๐‘ ร— ๐‘) = (โˆ… ร— โˆ…))
26 0xp 5780 . . . . . . . . . 10 (โˆ… ร— โˆ…) = โˆ…
2725, 26eqtrdi 2784 . . . . . . . . 9 (๐‘ = โˆ… โ†’ (๐‘ ร— ๐‘) = โˆ…)
2827oveq2d 7442 . . . . . . . 8 (๐‘ = โˆ… โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m โˆ…))
29 fvex 6915 . . . . . . . . 9 (Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V
30 map0e 8907 . . . . . . . . 9 ((Baseโ€˜๐‘…) โˆˆ V โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m โˆ…) = 1o)
3129, 30mp1i 13 . . . . . . . 8 (๐‘ = โˆ… โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m โˆ…) = 1o)
3228, 31eqtrd 2768 . . . . . . 7 (๐‘ = โˆ… โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = 1o)
3332adantr 479 . . . . . 6 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = 1o)
34 df1o2 8500 . . . . . 6 1o = {โˆ…}
3533, 34eqtrdi 2784 . . . . 5 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) = {โˆ…})
36 oveq2 7434 . . . . . 6 (๐‘ = โˆ… โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) = ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m โˆ…))
3729, 30mp1i 13 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m โˆ…) = 1o)
3837, 34eqtrdi 2784 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ ๐‘‰ โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m โˆ…) = {โˆ…})
3936, 38sylan9eq 2788 . . . . 5 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘) = {โˆ…})
4035, 39xpeq12d 5713 . . . 4 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m (๐‘ ร— ๐‘)) ร— ((Baseโ€˜๐‘…) โ†‘m ๐‘)) = ({โˆ…} ร— {โˆ…}))
4113, 23, 403eqtrd 2772 . . 3 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ dom ยท = ({โˆ…} ร— {โˆ…}))
42 elsni 4649 . . . . 5 (๐‘‹ โˆˆ {โˆ…} โ†’ ๐‘‹ = โˆ…)
43 elsni 4649 . . . . 5 (๐‘Œ โˆˆ {โˆ…} โ†’ ๐‘Œ = โˆ…)
4442, 43anim12i 611 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ {โˆ…} โˆง ๐‘Œ โˆˆ {โˆ…}) โ†’ (๐‘‹ = โˆ… โˆง ๐‘Œ = โˆ…))
4544con3i 154 . . 3 (ยฌ (๐‘‹ = โˆ… โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โ†’ ยฌ (๐‘‹ โˆˆ {โˆ…} โˆง ๐‘Œ โˆˆ {โˆ…}))
46 ndmovg 7610 . . 3 ((dom ยท = ({โˆ…} ร— {โˆ…}) โˆง ยฌ (๐‘‹ โˆˆ {โˆ…} โˆง ๐‘Œ โˆˆ {โˆ…})) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = โˆ…)
4741, 45, 46syl2anr 595 . 2 ((ยฌ (๐‘‹ = โˆ… โˆง ๐‘Œ = โˆ…) โˆง (๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰)) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = โˆ…)
484, 47pm2.61ian 810 1 ((๐‘ = โˆ… โˆง ๐‘… โˆˆ ๐‘‰) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘Œ) = โˆ…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 394   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  โˆ€wral 3058  Vcvv 3473  โˆ…c0 4326  {csn 4632  โŸจcop 4638   โ†ฆ cmpt 5235   ร— cxp 5680  dom cdm 5682  โ€˜cfv 6553  (class class class)co 7426   โˆˆ cmpo 7428  1oc1o 8486   โ†‘m cmap 8851  Fincfn 8970  Basecbs 17187  .rcmulr 17241   ฮฃg cgsu 17429   maVecMul cmvmul 22462
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-tp 4637  df-op 4639  df-ot 4641  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-supp 8172  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-1o 8493  df-er 8731  df-map 8853  df-ixp 8923  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-fin 8974  df-fsupp 9394  df-sup 9473  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-3 12314  df-4 12315  df-5 12316  df-6 12317  df-7 12318  df-8 12319  df-9 12320  df-n0 12511  df-z 12597  df-dec 12716  df-uz 12861  df-fz 13525  df-struct 17123  df-sets 17140  df-slot 17158  df-ndx 17170  df-base 17188  df-ress 17217  df-plusg 17253  df-mulr 17254  df-sca 17256  df-vsca 17257  df-ip 17258  df-tset 17259  df-ple 17260  df-ds 17262  df-hom 17264  df-cco 17265  df-0g 17430  df-prds 17436  df-pws 17438  df-sra 21065  df-rgmod 21066  df-dsmm 21673  df-frlm 21688  df-mat 22328  df-mvmul 22463
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator