Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lco0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lco0 47418
Description: The set of empty linear combinations over a monoid is the singleton with the identity element of the monoid. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
lco0 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑀 LinCo βˆ…) = {(0gβ€˜π‘€)})

Proof of Theorem lco0
Dummy variables 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elpw 5350 . . 3 βˆ… ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)
2 eqid 2727 . . . 4 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
3 eqid 2727 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
4 eqid 2727 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
52, 3, 4lcoop 47402 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ βˆ… ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑀 LinCo βˆ…) = {𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∣ βˆƒπ‘€ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…)(𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…))})
61, 5mpan2 690 . 2 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑀 LinCo βˆ…) = {𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∣ βˆƒπ‘€ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…)(𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…))})
7 fvex 6904 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V
8 map0e 8892 . . . . . . 7 ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…) = 1o)
97, 8mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…) = 1o)
10 df1o2 8487 . . . . . 6 1o = {βˆ…}
119, 10eqtrdi 2783 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…) = {βˆ…})
1211rexeqdv 3321 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…)(𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…))))
13 lincval0 47406 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€))
1413adantr 480 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€))
1514eqeq2d 2738 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑣 = (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…) ↔ 𝑣 = (0gβ€˜π‘€)))
1615anbi2d 628 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((βˆ… ∈ Fin ∧ 𝑣 = (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…)) ↔ (βˆ… ∈ Fin ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘€))))
17 0ex 5301 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
18 breq1 5145 . . . . . . . . 9 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↔ βˆ… finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
19 fvex 6904 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V
20 0fsupp 9405 . . . . . . . . . . 11 ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V β†’ βˆ… finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 βˆ… finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
22 0fin 9187 . . . . . . . . . 10 βˆ… ∈ Fin
2321, 222th 264 . . . . . . . . 9 (βˆ… finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↔ βˆ… ∈ Fin)
2418, 23bitrdi 287 . . . . . . . 8 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↔ βˆ… ∈ Fin))
25 oveq1 7421 . . . . . . . . 9 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…))
2625eqeq2d 2738 . . . . . . . 8 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…) ↔ 𝑣 = (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…)))
2724, 26anbi12d 630 . . . . . . 7 (𝑀 = βˆ… β†’ ((𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…)) ↔ (βˆ… ∈ Fin ∧ 𝑣 = (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…))))
2827rexsng 4674 . . . . . 6 (βˆ… ∈ V β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…)) ↔ (βˆ… ∈ Fin ∧ 𝑣 = (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…))))
2917, 28mp1i 13 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…)) ↔ (βˆ… ∈ Fin ∧ 𝑣 = (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…))))
3022a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ βˆ… ∈ Fin)
3130biantrurd 532 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑣 = (0gβ€˜π‘€) ↔ (βˆ… ∈ Fin ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘€))))
3216, 29, 313bitr4d 311 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…)) ↔ 𝑣 = (0gβ€˜π‘€)))
3312, 32bitrd 279 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…)(𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…)) ↔ 𝑣 = (0gβ€˜π‘€)))
3433rabbidva 3434 . 2 (𝑀 ∈ Mnd β†’ {𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∣ βˆƒπ‘€ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…)(𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…))} = {𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∣ 𝑣 = (0gβ€˜π‘€)})
35 eqid 2727 . . . 4 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
362, 35mndidcl 18700 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
37 rabsn 4721 . . 3 ((0gβ€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ {𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∣ 𝑣 = (0gβ€˜π‘€)} = {(0gβ€˜π‘€)})
3836, 37syl 17 . 2 (𝑀 ∈ Mnd β†’ {𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∣ 𝑣 = (0gβ€˜π‘€)} = {(0gβ€˜π‘€)})
396, 34, 383eqtrd 2771 1 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑀 LinCo βˆ…) = {(0gβ€˜π‘€)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆƒwrex 3065  {crab 3427  Vcvv 3469  βˆ…c0 4318  π’« cpw 4598  {csn 4624   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  1oc1o 8473   ↑m cmap 8836  Fincfn 8955   finSupp cfsupp 9377  Basecbs 17171  Scalarcsca 17227  0gc0g 17412  Mndcmnd 18685   linC clinc 47395   LinCo clinco 47396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-supp 8160  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-map 8838  df-en 8956  df-fin 8959  df-fsupp 9378  df-seq 13991  df-0g 17414  df-gsum 17415  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-linc 47397  df-lco 47398
This theorem is referenced by:  lcoel0  47419
  Copyright terms: Public domain W3C validator