Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lco0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lco0 47192
Description: The set of empty linear combinations over a monoid is the singleton with the identity element of the monoid. (Contributed by AV, 12-Apr-2019.)
Assertion
Ref Expression
lco0 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑀 LinCo βˆ…) = {(0gβ€˜π‘€)})

Proof of Theorem lco0
Dummy variables 𝑣 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0elpw 5354 . . 3 βˆ… ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)
2 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
3 eqid 2732 . . . 4 (Scalarβ€˜π‘€) = (Scalarβ€˜π‘€)
4 eqid 2732 . . . 4 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
52, 3, 4lcoop 47176 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ βˆ… ∈ 𝒫 (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑀 LinCo βˆ…) = {𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∣ βˆƒπ‘€ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…)(𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…))})
61, 5mpan2 689 . 2 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑀 LinCo βˆ…) = {𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∣ βˆƒπ‘€ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…)(𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…))})
7 fvex 6904 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V
8 map0e 8878 . . . . . . 7 ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…) = 1o)
97, 8mp1i 13 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…) = 1o)
10 df1o2 8475 . . . . . 6 1o = {βˆ…}
119, 10eqtrdi 2788 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…) = {βˆ…})
1211rexeqdv 3326 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…)(𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…)) ↔ βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…))))
13 lincval0 47180 . . . . . . . 8 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€))
1413adantr 481 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (0gβ€˜π‘€))
1514eqeq2d 2743 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑣 = (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…) ↔ 𝑣 = (0gβ€˜π‘€)))
1615anbi2d 629 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ ((βˆ… ∈ Fin ∧ 𝑣 = (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…)) ↔ (βˆ… ∈ Fin ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘€))))
17 0ex 5307 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
18 breq1 5151 . . . . . . . . 9 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↔ βˆ… finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))))
19 fvex 6904 . . . . . . . . . . 11 (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V
20 0fsupp 9387 . . . . . . . . . . 11 ((0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∈ V β†’ βˆ… finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)))
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . 10 βˆ… finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€))
22 0fin 9173 . . . . . . . . . 10 βˆ… ∈ Fin
2321, 222th 263 . . . . . . . . 9 (βˆ… finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↔ βˆ… ∈ Fin)
2418, 23bitrdi 286 . . . . . . . 8 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↔ βˆ… ∈ Fin))
25 oveq1 7418 . . . . . . . . 9 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…) = (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…))
2625eqeq2d 2743 . . . . . . . 8 (𝑀 = βˆ… β†’ (𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…) ↔ 𝑣 = (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…)))
2724, 26anbi12d 631 . . . . . . 7 (𝑀 = βˆ… β†’ ((𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…)) ↔ (βˆ… ∈ Fin ∧ 𝑣 = (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…))))
2827rexsng 4678 . . . . . 6 (βˆ… ∈ V β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…)) ↔ (βˆ… ∈ Fin ∧ 𝑣 = (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…))))
2917, 28mp1i 13 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…)) ↔ (βˆ… ∈ Fin ∧ 𝑣 = (βˆ…( linC β€˜π‘€)βˆ…))))
3022a1i 11 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ βˆ… ∈ Fin)
3130biantrurd 533 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (𝑣 = (0gβ€˜π‘€) ↔ (βˆ… ∈ Fin ∧ 𝑣 = (0gβ€˜π‘€))))
3216, 29, 313bitr4d 310 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ {βˆ…} (𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…)) ↔ 𝑣 = (0gβ€˜π‘€)))
3312, 32bitrd 278 . . 3 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (βˆƒπ‘€ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…)(𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…)) ↔ 𝑣 = (0gβ€˜π‘€)))
3433rabbidva 3439 . 2 (𝑀 ∈ Mnd β†’ {𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∣ βˆƒπ‘€ ∈ ((Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ↑m βˆ…)(𝑀 finSupp (0gβ€˜(Scalarβ€˜π‘€)) ∧ 𝑣 = (𝑀( linC β€˜π‘€)βˆ…))} = {𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∣ 𝑣 = (0gβ€˜π‘€)})
35 eqid 2732 . . . 4 (0gβ€˜π‘€) = (0gβ€˜π‘€)
362, 35mndidcl 18642 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (0gβ€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘€))
37 rabsn 4725 . . 3 ((0gβ€˜π‘€) ∈ (Baseβ€˜π‘€) β†’ {𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∣ 𝑣 = (0gβ€˜π‘€)} = {(0gβ€˜π‘€)})
3836, 37syl 17 . 2 (𝑀 ∈ Mnd β†’ {𝑣 ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∣ 𝑣 = (0gβ€˜π‘€)} = {(0gβ€˜π‘€)})
396, 34, 383eqtrd 2776 1 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑀 LinCo βˆ…) = {(0gβ€˜π‘€)})
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆƒwrex 3070  {crab 3432  Vcvv 3474  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  {csn 4628   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  1oc1o 8461   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  Basecbs 17146  Scalarcsca 17202  0gc0g 17387  Mndcmnd 18627   linC clinc 47169   LinCo clinco 47170
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-map 8824  df-en 8942  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-seq 13969  df-0g 17389  df-gsum 17390  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-linc 47171  df-lco 47172
This theorem is referenced by:  lcoel0  47193
  Copyright terms: Public domain W3C validator