MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem coe1mul2lem1 21788
Description: An equivalence for coe1mul2 21790. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem1 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (𝑋 ∘r ≀ (1o Γ— {𝐴}) ↔ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ (0...𝐴)))
Proof of Theorem coe1mul2lem1
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 8477 . . . 4 1o ∈ On
21a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ 1o ∈ On)
3 fvexd 6906 . . 3 (((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) ∧ π‘Ž ∈ 1o) β†’ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ V)
4 simpll 765 . . 3 (((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) ∧ π‘Ž ∈ 1o) β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
5 df1o2 8472 . . . . . 6 1o = {βˆ…}
6 nn0ex 12477 . . . . . 6 β„•0 ∈ V
7 0ex 5307 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
85, 6, 7mapsnconst 8885 . . . . 5 (𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ 𝑋 = (1o Γ— {(π‘‹β€˜βˆ…)}))
98adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ 𝑋 = (1o Γ— {(π‘‹β€˜βˆ…)}))
10 fconstmpt 5738 . . . 4 (1o Γ— {(π‘‹β€˜βˆ…)}) = (π‘Ž ∈ 1o ↦ (π‘‹β€˜βˆ…))
119, 10eqtrdi 2788 . . 3 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ 𝑋 = (π‘Ž ∈ 1o ↦ (π‘‹β€˜βˆ…)))
12 fconstmpt 5738 . . . 4 (1o Γ— {𝐴}) = (π‘Ž ∈ 1o ↦ 𝐴)
1312a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (1o Γ— {𝐴}) = (π‘Ž ∈ 1o ↦ 𝐴))
142, 3, 4, 11, 13ofrfval2 7690 . 2 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (𝑋 ∘r ≀ (1o Γ— {𝐴}) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 1o (π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴))
15 1n0 8487 . . 3 1o β‰  βˆ…
16 r19.3rzv 4498 . . 3 (1o β‰  βˆ… β†’ ((π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 1o (π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴))
1715, 16mp1i 13 . 2 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ ((π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 1o (π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴))
18 elmapi 8842 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ 𝑋:1oβŸΆβ„•0)
19 0lt1o 8503 . . . . . 6 βˆ… ∈ 1o
20 ffvelcdm 7083 . . . . . 6 ((𝑋:1oβŸΆβ„•0 ∧ βˆ… ∈ 1o) β†’ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ β„•0)
2118, 19, 20sylancl 586 . . . . 5 (𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ β„•0)
2221adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ β„•0)
2322biantrurd 533 . . 3 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ ((π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴 ↔ ((π‘‹β€˜βˆ…) ∈ β„•0 ∧ (π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴)))
24 fznn0 13592 . . . 4 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ ((π‘‹β€˜βˆ…) ∈ (0...𝐴) ↔ ((π‘‹β€˜βˆ…) ∈ β„•0 ∧ (π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴)))
2524adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ ((π‘‹β€˜βˆ…) ∈ (0...𝐴) ↔ ((π‘‹β€˜βˆ…) ∈ β„•0 ∧ (π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴)))
2623, 25bitr4d 281 . 2 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ ((π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴 ↔ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ (0...𝐴)))
2714, 17, 263bitr2d 306 1 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (𝑋 ∘r ≀ (1o Γ— {𝐴}) ↔ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ (0...𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆ€wral 3061  Vcvv 3474  βˆ…c0 4322  {csn 4628   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231   Γ— cxp 5674  Oncon0 6364  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   ∘r cofr 7668  1oc1o 8458   ↑m cmap 8819  0cc0 11109   ≀ cle 11248  β„•0cn0 12471  ...cfz 13483
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-ofr 7670  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-er 8702  df-map 8821  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-n0 12472  df-z 12558  df-fz 13484
This theorem is referenced by:  coe1mul2lem2  21789  coe1mul2  21790
  Copyright terms: Public domain W3C validator