MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1mul2lem1 19910
Description: An equivalence for coe1mul2 19912. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝑋𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝐴}) ↔ (𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴)))

Proof of Theorem coe1mul2lem1
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 7771 . . . 4 1𝑜 ∈ On
21a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → 1𝑜 ∈ On)
3 fvexd 6390 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) ∧ 𝑎 ∈ 1𝑜) → (𝑋‘∅) ∈ V)
4 simpll 783 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) ∧ 𝑎 ∈ 1𝑜) → 𝐴 ∈ ℕ0)
5 df1o2 7777 . . . . . 6 1𝑜 = {∅}
6 nn0ex 11545 . . . . . 6 0 ∈ V
7 0ex 4950 . . . . . 6 ∅ ∈ V
85, 6, 7mapsnconst 8108 . . . . 5 (𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → 𝑋 = (1𝑜 × {(𝑋‘∅)}))
98adantl 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → 𝑋 = (1𝑜 × {(𝑋‘∅)}))
10 fconstmpt 5333 . . . 4 (1𝑜 × {(𝑋‘∅)}) = (𝑎 ∈ 1𝑜 ↦ (𝑋‘∅))
119, 10syl6eq 2815 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → 𝑋 = (𝑎 ∈ 1𝑜 ↦ (𝑋‘∅)))
12 fconstmpt 5333 . . . 4 (1𝑜 × {𝐴}) = (𝑎 ∈ 1𝑜𝐴)
1312a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (1𝑜 × {𝐴}) = (𝑎 ∈ 1𝑜𝐴))
142, 3, 4, 11, 13ofrfval2 7113 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝑋𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝐴}) ↔ ∀𝑎 ∈ 1𝑜 (𝑋‘∅) ≤ 𝐴))
15 1n0 7780 . . 3 1𝑜 ≠ ∅
16 r19.3rzv 4223 . . 3 (1𝑜 ≠ ∅ → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ 1𝑜 (𝑋‘∅) ≤ 𝐴))
1715, 16mp1i 13 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ 1𝑜 (𝑋‘∅) ≤ 𝐴))
18 elmapi 8082 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → 𝑋:1𝑜⟶ℕ0)
19 0lt1o 7789 . . . . . 6 ∅ ∈ 1𝑜
20 ffvelrn 6547 . . . . . 6 ((𝑋:1𝑜⟶ℕ0 ∧ ∅ ∈ 1𝑜) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
2118, 19, 20sylancl 580 . . . . 5 (𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
2221adantl 473 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
2322biantrurd 528 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑋‘∅) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘∅) ≤ 𝐴)))
24 fznn0 12639 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴) ↔ ((𝑋‘∅) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘∅) ≤ 𝐴)))
2524adantr 472 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → ((𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴) ↔ ((𝑋‘∅) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘∅) ≤ 𝐴)))
2623, 25bitr4d 273 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ (𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴)))
2714, 17, 263bitr2d 298 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0𝑚 1𝑜)) → (𝑋𝑟 ≤ (1𝑜 × {𝐴}) ↔ (𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384   = wceq 1652  wcel 2155  wne 2937  wral 3055  Vcvv 3350  c0 4079  {csn 4334   class class class wbr 4809  cmpt 4888   × cxp 5275  Oncon0 5908  wf 6064  cfv 6068  (class class class)co 6842  𝑟 cofr 7094  1𝑜c1o 7757  𝑚 cmap 8060  0cc0 10189  cle 10329  0cn0 11538  ...cfz 12533
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-ofr 7096  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-1o 7764  df-er 7947  df-map 8062  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-fz 12534
This theorem is referenced by:  coe1mul2lem2  19911  coe1mul2  19912
  Copyright terms: Public domain W3C validator