MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem coe1mul2lem1 22160
Description: An equivalence for coe1mul2 22162. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem1 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (𝑋 ∘r ≀ (1o Γ— {𝐴}) ↔ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ (0...𝐴)))
Proof of Theorem coe1mul2lem1
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 8490 . . . 4 1o ∈ On
21a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ 1o ∈ On)
3 fvexd 6906 . . 3 (((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) ∧ π‘Ž ∈ 1o) β†’ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ V)
4 simpll 766 . . 3 (((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) ∧ π‘Ž ∈ 1o) β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
5 df1o2 8485 . . . . . 6 1o = {βˆ…}
6 nn0ex 12494 . . . . . 6 β„•0 ∈ V
7 0ex 5301 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
85, 6, 7mapsnconst 8900 . . . . 5 (𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ 𝑋 = (1o Γ— {(π‘‹β€˜βˆ…)}))
98adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ 𝑋 = (1o Γ— {(π‘‹β€˜βˆ…)}))
10 fconstmpt 5734 . . . 4 (1o Γ— {(π‘‹β€˜βˆ…)}) = (π‘Ž ∈ 1o ↦ (π‘‹β€˜βˆ…))
119, 10eqtrdi 2783 . . 3 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ 𝑋 = (π‘Ž ∈ 1o ↦ (π‘‹β€˜βˆ…)))
12 fconstmpt 5734 . . . 4 (1o Γ— {𝐴}) = (π‘Ž ∈ 1o ↦ 𝐴)
1312a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (1o Γ— {𝐴}) = (π‘Ž ∈ 1o ↦ 𝐴))
142, 3, 4, 11, 13ofrfval2 7698 . 2 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (𝑋 ∘r ≀ (1o Γ— {𝐴}) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 1o (π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴))
15 1n0 8500 . . 3 1o β‰  βˆ…
16 r19.3rzv 4494 . . 3 (1o β‰  βˆ… β†’ ((π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 1o (π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴))
1715, 16mp1i 13 . 2 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ ((π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 1o (π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴))
18 elmapi 8857 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ 𝑋:1oβŸΆβ„•0)
19 0lt1o 8516 . . . . . 6 βˆ… ∈ 1o
20 ffvelcdm 7085 . . . . . 6 ((𝑋:1oβŸΆβ„•0 ∧ βˆ… ∈ 1o) β†’ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ β„•0)
2118, 19, 20sylancl 585 . . . . 5 (𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ β„•0)
2221adantl 481 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ β„•0)
2322biantrurd 532 . . 3 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ ((π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴 ↔ ((π‘‹β€˜βˆ…) ∈ β„•0 ∧ (π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴)))
24 fznn0 13611 . . . 4 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ ((π‘‹β€˜βˆ…) ∈ (0...𝐴) ↔ ((π‘‹β€˜βˆ…) ∈ β„•0 ∧ (π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴)))
2524adantr 480 . . 3 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ ((π‘‹β€˜βˆ…) ∈ (0...𝐴) ↔ ((π‘‹β€˜βˆ…) ∈ β„•0 ∧ (π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴)))
2623, 25bitr4d 282 . 2 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ ((π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴 ↔ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ (0...𝐴)))
2714, 17, 263bitr2d 307 1 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (𝑋 ∘r ≀ (1o Γ— {𝐴}) ↔ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ (0...𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2935  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469  βˆ…c0 4318  {csn 4624   class class class wbr 5142   ↦ cmpt 5225   Γ— cxp 5670  Oncon0 6363  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘r cofr 7676  1oc1o 8471   ↑m cmap 8834  0cc0 11124   ≀ cle 11265  β„•0cn0 12488  ...cfz 13502
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-ofr 7678  df-om 7863  df-1st 7985  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8716  df-map 8836  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-n0 12489  df-z 12575  df-fz 13503
This theorem is referenced by:  coe1mul2lem2  22161  coe1mul2  22162
  Copyright terms: Public domain W3C validator