Theorem coe1mul2lem1 21426

Description: An equivalence for coe1mul2 21428. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
coe1mul2lem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑋 ∘r ≤ (1o × {𝐴}) ↔ (𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴)))

Proof of Theorem coe1mul2lem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8297	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 1o ∈ On)
3		fvexd 6782	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑎 ∈ 1o) → (𝑋‘∅) ∈ V)
4		simpll 764	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑎 ∈ 1o) → 𝐴 ∈ ℕ0)
5		df1o2 8292	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
6		nn0ex 12227	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
7		0ex 5230	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
8	5, 6, 7	mapsnconst 8668	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
9	8	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
10		fconstmpt 5645	. . . 4 ⊢ (1o × {(𝑋‘∅)}) = (𝑎 ∈ 1o ↦ (𝑋‘∅))
11	9, 10	eqtrdi 2794	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 = (𝑎 ∈ 1o ↦ (𝑋‘∅)))
12		fconstmpt 5645	. . . 4 ⊢ (1o × {𝐴}) = (𝑎 ∈ 1o ↦ 𝐴)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (1o × {𝐴}) = (𝑎 ∈ 1o ↦ 𝐴))
14	2, 3, 4, 11, 13	ofrfval2 7545	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑋 ∘r ≤ (1o × {𝐴}) ↔ ∀𝑎 ∈ 1o (𝑋‘∅) ≤ 𝐴))
15		1n0 8306	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
16		r19.3rzv 4430	. . 3 ⊢ (1o ≠ ∅ → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ 1o (𝑋‘∅) ≤ 𝐴))
17	15, 16	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ 1o (𝑋‘∅) ≤ 𝐴))
18		elmapi 8625	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑋:1o⟶ℕ0)
19		0lt1o 8322	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 1o
20		ffvelrn 6952	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋:1o⟶ℕ0 ∧ ∅ ∈ 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
21	18, 19, 20	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
22	21	adantl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
23	22	biantrurd 533	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑋‘∅) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘∅) ≤ 𝐴)))
24		fznn0 13336	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴) ↔ ((𝑋‘∅) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘∅) ≤ 𝐴)))
25	24	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴) ↔ ((𝑋‘∅) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘∅) ≤ 𝐴)))
26	23, 25	bitr4d 281	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ (𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴)))
27	14, 17, 26	3bitr2d 307	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑋 ∘r ≤ (1o × {𝐴}) ↔ (𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943  ∀wral 3064  Vcvv 3430  ∅c0 4257  {csn 4562   class class class wbr 5074   ↦ cmpt 5157   × cxp 5583  Oncon0 6260  ⟶wf 6423  ‘cfv 6427  (class class class)co 7268   ∘_r cofr 7523  1_oc1o 8278   ↑_m cmap 8603  0cc0 10859   ≤ cle 10998  ℕ₀cn0 12221  ...cfz 13227

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5222  ax-nul 5229  ax-pow 5287  ax-pr 5351  ax-un 7579  ax-cnex 10915  ax-resscn 10916  ax-1cn 10917  ax-icn 10918  ax-addcl 10919  ax-addrcl 10920  ax-mulcl 10921  ax-mulrcl 10922  ax-mulcom 10923  ax-addass 10924  ax-mulass 10925  ax-distr 10926  ax-i2m1 10927  ax-1ne0 10928  ax-1rid 10929  ax-rnegex 10930  ax-rrecex 10931  ax-cnre 10932  ax-pre-lttri 10933  ax-pre-lttrn 10934  ax-pre-ltadd 10935  ax-pre-mulgt0 10936

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-reu 3071  df-rab 3073  df-v 3432  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-iun 4927  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5485  df-eprel 5491  df-po 5499  df-so 5500  df-fr 5540  df-we 5542  df-xp 5591  df-rel 5592  df-cnv 5593  df-co 5594  df-dm 5595  df-rn 5596  df-res 5597  df-ima 5598  df-pred 6196  df-ord 6263  df-on 6264  df-lim 6265  df-suc 6266  df-iota 6385  df-fun 6429  df-fn 6430  df-f 6431  df-f1 6432  df-fo 6433  df-f1o 6434  df-fv 6435  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-ofr 7525  df-om 7704  df-1st 7821  df-2nd 7822  df-frecs 8085  df-wrecs 8116  df-recs 8190  df-rdg 8229  df-1o 8285  df-er 8486  df-map 8605  df-en 8722  df-dom 8723  df-sdom 8724  df-pnf 10999  df-mnf 11000  df-xr 11001  df-ltxr 11002  df-le 11003  df-sub 11195  df-neg 11196  df-nn 11962  df-n0 12222  df-z 12308  df-fz 13228

This theorem is referenced by:  coe1mul2lem2  21427  coe1mul2  21428