MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1mul2lem1 20365
Description: An equivalence for coe1mul2 20367. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝑋r ≤ (1o × {𝐴}) ↔ (𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴)))

Proof of Theorem coe1mul2lem1
Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 8100 . . . 4 1o ∈ On
21a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → 1o ∈ On)
3 fvexd 6679 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) ∧ 𝑎 ∈ 1o) → (𝑋‘∅) ∈ V)
4 simpll 763 . . 3 (((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) ∧ 𝑎 ∈ 1o) → 𝐴 ∈ ℕ0)
5 df1o2 8107 . . . . . 6 1o = {∅}
6 nn0ex 11892 . . . . . 6 0 ∈ V
7 0ex 5203 . . . . . 6 ∅ ∈ V
85, 6, 7mapsnconst 8445 . . . . 5 (𝑋 ∈ (ℕ0m 1o) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
98adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
10 fconstmpt 5608 . . . 4 (1o × {(𝑋‘∅)}) = (𝑎 ∈ 1o ↦ (𝑋‘∅))
119, 10syl6eq 2872 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → 𝑋 = (𝑎 ∈ 1o ↦ (𝑋‘∅)))
12 fconstmpt 5608 . . . 4 (1o × {𝐴}) = (𝑎 ∈ 1o𝐴)
1312a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → (1o × {𝐴}) = (𝑎 ∈ 1o𝐴))
142, 3, 4, 11, 13ofrfval2 7416 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝑋r ≤ (1o × {𝐴}) ↔ ∀𝑎 ∈ 1o (𝑋‘∅) ≤ 𝐴))
15 1n0 8110 . . 3 1o ≠ ∅
16 r19.3rzv 4442 . . 3 (1o ≠ ∅ → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ 1o (𝑋‘∅) ≤ 𝐴))
1715, 16mp1i 13 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ 1o (𝑋‘∅) ≤ 𝐴))
18 elmapi 8418 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (ℕ0m 1o) → 𝑋:1o⟶ℕ0)
19 0lt1o 8120 . . . . . 6 ∅ ∈ 1o
20 ffvelrn 6842 . . . . . 6 ((𝑋:1o⟶ℕ0 ∧ ∅ ∈ 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
2118, 19, 20sylancl 586 . . . . 5 (𝑋 ∈ (ℕ0m 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
2221adantl 482 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
2322biantrurd 533 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑋‘∅) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘∅) ≤ 𝐴)))
24 fznn0 12989 . . . 4 (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴) ↔ ((𝑋‘∅) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘∅) ≤ 𝐴)))
2524adantr 481 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → ((𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴) ↔ ((𝑋‘∅) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘∅) ≤ 𝐴)))
2623, 25bitr4d 283 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ (𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴)))
2714, 17, 263bitr2d 308 1 ((𝐴 ∈ ℕ0𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝑋r ≤ (1o × {𝐴}) ↔ (𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3016  wral 3138  Vcvv 3495  c0 4290  {csn 4559   class class class wbr 5058  cmpt 5138   × cxp 5547  Oncon0 6185  wf 6345  cfv 6349  (class class class)co 7145  r cofr 7397  1oc1o 8086  m cmap 8396  0cc0 10526  cle 10665  0cn0 11886  ...cfz 12882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-tp 4564  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-ofr 7399  df-om 7569  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-wrecs 7938  df-recs 7999  df-rdg 8037  df-1o 8093  df-er 8279  df-map 8398  df-en 8499  df-dom 8500  df-sdom 8501  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11628  df-n0 11887  df-z 11971  df-fz 12883
This theorem is referenced by:  coe1mul2lem2  20366  coe1mul2  20367
  Copyright terms: Public domain W3C validator