Theorem coe1mul2lem1 22630

Description: An equivalence for coe1mul2 22632. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
coe1mul2lem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑋 ∘r ≤ (1o × {𝐴}) ↔ (𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴)))

Proof of Theorem coe1mul2lem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8525	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 1o ∈ On)
3		fvexd 6929	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑎 ∈ 1o) → (𝑋‘∅) ∈ V)
4		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑎 ∈ 1o) → 𝐴 ∈ ℕ0)
5		df1o2 8519	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
6		nn0ex 12650	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
7		0ex 5265	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
8	5, 6, 7	mapsnconst 8956	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
9	8	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
10		fconstmpt 5718	. . . 4 ⊢ (1o × {(𝑋‘∅)}) = (𝑎 ∈ 1o ↦ (𝑋‘∅))
11	9, 10	eqtrdi 2814	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 = (𝑎 ∈ 1o ↦ (𝑋‘∅)))
12		fconstmpt 5718	. . . 4 ⊢ (1o × {𝐴}) = (𝑎 ∈ 1o ↦ 𝐴)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (1o × {𝐴}) = (𝑎 ∈ 1o ↦ 𝐴))
14	2, 3, 4, 11, 13	ofrfval2 7744	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑋 ∘r ≤ (1o × {𝐴}) ↔ ∀𝑎 ∈ 1o (𝑋‘∅) ≤ 𝐴))
15		1n0 8531	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
16		r19.3rzv 4462	. . 3 ⊢ (1o ≠ ∅ → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ 1o (𝑋‘∅) ≤ 𝐴))
17	15, 16	mp1i 14	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ 1o (𝑋‘∅) ≤ 𝐴))
18		elmapi 8905	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑋:1o⟶ℕ0)
19		0lt1o 8548	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 1o
20		ffvelcdm 7111	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋:1o⟶ℕ0 ∧ ∅ ∈ 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
21	18, 19, 20	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
22	21	adantl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
23	22	biantrurd 542	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑋‘∅) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘∅) ≤ 𝐴)))
24		fznn0 13791	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴) ↔ ((𝑋‘∅) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘∅) ≤ 𝐴)))
25	24	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴) ↔ ((𝑋‘∅) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘∅) ≤ 𝐴)))
26	23, 25	bitr4d 285	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ (𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴)))
27	14, 17, 26	3bitr2d 310	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑋 ∘r ≤ (1o × {𝐴}) ↔ (𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  Vcvv 3454  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5106   ↦ cmpt 5190   × cxp 5654  Oncon0 6386  ⟶wf 6560  ‘cfv 6564  (class class class)co 7449   ∘_r cofr 7722  1_oc1o 8505   ↑_m cmap 8883  0cc0 11237   ≤ cle 11381  ℕ₀cn0 12644  ...cfz 13677

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7781  ax-cnex 11293  ax-resscn 11294  ax-1cn 11295  ax-icn 11296  ax-addcl 11297  ax-addrcl 11298  ax-mulcl 11299  ax-mulrcl 11300  ax-mulcom 11301  ax-addass 11302  ax-mulass 11303  ax-distr 11304  ax-i2m1 11305  ax-1ne0 11306  ax-1rid 11307  ax-rnegex 11308  ax-rrecex 11309  ax-cnre 11310  ax-pre-lttri 11311  ax-pre-lttrn 11312  ax-pre-ltadd 11313  ax-pre-mulgt0 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6328  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6518  df-fun 6566  df-fn 6567  df-f 6568  df-f1 6569  df-fo 6570  df-f1o 6571  df-fv 6572  df-riota 7406  df-ov 7452  df-oprab 7453  df-mpo 7454  df-ofr 7724  df-om 7910  df-1st 8033  df-2nd 8034  df-frecs 8335  df-wrecs 8366  df-recs 8415  df-rdg 8454  df-1o 8512  df-er 8753  df-map 8885  df-en 9010  df-dom 9011  df-sdom 9012  df-pnf 11382  df-mnf 11383  df-xr 11384  df-ltxr 11385  df-le 11386  df-sub 11580  df-neg 11581  df-nn 12374  df-n0 12645  df-z 12732  df-fz 13678

This theorem is used by:  coe1mul2lem2  22631  coe1mul2  22632