Theorem coe1mul2lem1 22232

Description: An equivalence for coe1mul2 22234. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
coe1mul2lem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑋 ∘r ≤ (1o × {𝐴}) ↔ (𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴)))

Proof of Theorem coe1mul2lem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8417	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 1o ∈ On)
3		fvexd 6855	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑎 ∈ 1o) → (𝑋‘∅) ∈ V)
4		simpll 767	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑎 ∈ 1o) → 𝐴 ∈ ℕ0)
5		df1o2 8412	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
6		nn0ex 12443	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
7		0ex 5242	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
8	5, 6, 7	mapsnconst 8840	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
10		fconstmpt 5693	. . . 4 ⊢ (1o × {(𝑋‘∅)}) = (𝑎 ∈ 1o ↦ (𝑋‘∅))
11	9, 10	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 = (𝑎 ∈ 1o ↦ (𝑋‘∅)))
12		fconstmpt 5693	. . . 4 ⊢ (1o × {𝐴}) = (𝑎 ∈ 1o ↦ 𝐴)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (1o × {𝐴}) = (𝑎 ∈ 1o ↦ 𝐴))
14	2, 3, 4, 11, 13	ofrfval2 7652	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑋 ∘r ≤ (1o × {𝐴}) ↔ ∀𝑎 ∈ 1o (𝑋‘∅) ≤ 𝐴))
15		1n0 8423	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
16		r19.3rzv 4443	. . 3 ⊢ (1o ≠ ∅ → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ 1o (𝑋‘∅) ≤ 𝐴))
17	15, 16	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ 1o (𝑋‘∅) ≤ 𝐴))
18		elmapi 8796	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑋:1o⟶ℕ0)
19		0lt1o 8439	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 1o
20		ffvelcdm 7033	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋:1o⟶ℕ0 ∧ ∅ ∈ 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
21	18, 19, 20	sylancl 587	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
22	21	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
23	22	biantrurd 532	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑋‘∅) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘∅) ≤ 𝐴)))
24		fznn0 13573	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴) ↔ ((𝑋‘∅) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘∅) ≤ 𝐴)))
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴) ↔ ((𝑋‘∅) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘∅) ≤ 𝐴)))
26	23, 25	bitr4d 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ (𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴)))
27	14, 17, 26	3bitr2d 307	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑋 ∘r ≤ (1o × {𝐴}) ↔ (𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932  ∀wral 3051  Vcvv 3429  ∅c0 4273  {csn 4567   class class class wbr 5085   ↦ cmpt 5166   × cxp 5629  Oncon0 6323  ⟶wf 6494  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367   ∘_r cofr 7630  1_oc1o 8398   ↑_m cmap 8773  0cc0 11038   ≤ cle 11180  ℕ₀cn0 12437  ...cfz 13461

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-ofr 7632  df-om 7818  df-1st 7942  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-1o 8405  df-er 8643  df-map 8775  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-n0 12438  df-z 12525  df-fz 13462

This theorem is referenced by:  coe1mul2lem2  22233  coe1mul2  22234