Theorem coe1mul2lem1 22237

Description: An equivalence for coe1mul2 22239. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
coe1mul2lem1	⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑋 ∘r ≤ (1o × {𝐴}) ↔ (𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴)))

Proof of Theorem coe1mul2lem1

Dummy variable 𝑎 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		1on 8501	. . . 4 ⊢ 1o ∈ On
2	1	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 1o ∈ On)
3		fvexd 6902	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑎 ∈ 1o) → (𝑋‘∅) ∈ V)
4		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) ∧ 𝑎 ∈ 1o) → 𝐴 ∈ ℕ0)
5		df1o2 8496	. . . . . 6 ⊢ 1o = {∅}
6		nn0ex 12516	. . . . . 6 ⊢ ℕ0 ∈ V
7		0ex 5289	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ V
8	5, 6, 7	mapsnconst 8915	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
9	8	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
10		fconstmpt 5729	. . . 4 ⊢ (1o × {(𝑋‘∅)}) = (𝑎 ∈ 1o ↦ (𝑋‘∅))
11	9, 10	eqtrdi 2785	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 = (𝑎 ∈ 1o ↦ (𝑋‘∅)))
12		fconstmpt 5729	. . . 4 ⊢ (1o × {𝐴}) = (𝑎 ∈ 1o ↦ 𝐴)
13	12	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (1o × {𝐴}) = (𝑎 ∈ 1o ↦ 𝐴))
14	2, 3, 4, 11, 13	ofrfval2 7701	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑋 ∘r ≤ (1o × {𝐴}) ↔ ∀𝑎 ∈ 1o (𝑋‘∅) ≤ 𝐴))
15		1n0 8509	. . 3 ⊢ 1o ≠ ∅
16		r19.3rzv 4481	. . 3 ⊢ (1o ≠ ∅ → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ 1o (𝑋‘∅) ≤ 𝐴))
17	15, 16	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ ∀𝑎 ∈ 1o (𝑋‘∅) ≤ 𝐴))
18		elmapi 8872	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑋:1o⟶ℕ0)
19		0lt1o 8525	. . . . . 6 ⊢ ∅ ∈ 1o
20		ffvelcdm 7082	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋:1o⟶ℕ0 ∧ ∅ ∈ 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
21	18, 19, 20	sylancl 586	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
22	21	adantl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
23	22	biantrurd 532	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ ((𝑋‘∅) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘∅) ≤ 𝐴)))
24		fznn0 13642	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ0 → ((𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴) ↔ ((𝑋‘∅) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘∅) ≤ 𝐴)))
25	24	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴) ↔ ((𝑋‘∅) ∈ ℕ0 ∧ (𝑋‘∅) ≤ 𝐴)))
26	23, 25	bitr4d 282	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → ((𝑋‘∅) ≤ 𝐴 ↔ (𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴)))
27	14, 17, 26	3bitr2d 307	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ0 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝑋 ∘r ≤ (1o × {𝐴}) ↔ (𝑋‘∅) ∈ (0...𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931  ∀wral 3050  Vcvv 3464  ∅c0 4315  {csn 4608   class class class wbr 5125   ↦ cmpt 5207   × cxp 5665  Oncon0 6365  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414   ∘_r cofr 7679  1_oc1o 8482   ↑_m cmap 8849  0cc0 11138   ≤ cle 11279  ℕ₀cn0 12510  ...cfz 13530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5261  ax-sep 5278  ax-nul 5288  ax-pow 5347  ax-pr 5414  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3773  df-csb 3882  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3950  df-pss 3953  df-nul 4316  df-if 4508  df-pw 4584  df-sn 4609  df-pr 4611  df-op 4615  df-uni 4890  df-iun 4975  df-br 5126  df-opab 5188  df-mpt 5208  df-tr 5242  df-id 5560  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-we 5621  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-pred 6303  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-ofr 7681  df-om 7871  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8289  df-wrecs 8320  df-recs 8394  df-rdg 8433  df-1o 8489  df-er 8728  df-map 8851  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11477  df-neg 11478  df-nn 12250  df-n0 12511  df-z 12598  df-fz 13531

This theorem is referenced by:  coe1mul2lem2  22238  coe1mul2  22239