MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2lem1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem coe1mul2lem1 22190
Description: An equivalence for coe1mul2 22192. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
coe1mul2lem1 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (𝑋 ∘r ≀ (1o Γ— {𝐴}) ↔ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ (0...𝐴)))
Proof of Theorem coe1mul2lem1
Dummy variable π‘Ž is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1on 8492 . . . 4 1o ∈ On
21a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ 1o ∈ On)
3 fvexd 6905 . . 3 (((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) ∧ π‘Ž ∈ 1o) β†’ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ V)
4 simpll 765 . . 3 (((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) ∧ π‘Ž ∈ 1o) β†’ 𝐴 ∈ β„•0)
5 df1o2 8487 . . . . . 6 1o = {βˆ…}
6 nn0ex 12503 . . . . . 6 β„•0 ∈ V
7 0ex 5303 . . . . . 6 βˆ… ∈ V
85, 6, 7mapsnconst 8904 . . . . 5 (𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ 𝑋 = (1o Γ— {(π‘‹β€˜βˆ…)}))
98adantl 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ 𝑋 = (1o Γ— {(π‘‹β€˜βˆ…)}))
10 fconstmpt 5735 . . . 4 (1o Γ— {(π‘‹β€˜βˆ…)}) = (π‘Ž ∈ 1o ↦ (π‘‹β€˜βˆ…))
119, 10eqtrdi 2781 . . 3 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ 𝑋 = (π‘Ž ∈ 1o ↦ (π‘‹β€˜βˆ…)))
12 fconstmpt 5735 . . . 4 (1o Γ— {𝐴}) = (π‘Ž ∈ 1o ↦ 𝐴)
1312a1i 11 . . 3 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (1o Γ— {𝐴}) = (π‘Ž ∈ 1o ↦ 𝐴))
142, 3, 4, 11, 13ofrfval2 7700 . 2 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (𝑋 ∘r ≀ (1o Γ— {𝐴}) ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 1o (π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴))
15 1n0 8502 . . 3 1o β‰  βˆ…
16 r19.3rzv 4495 . . 3 (1o β‰  βˆ… β†’ ((π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 1o (π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴))
1715, 16mp1i 13 . 2 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ ((π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴 ↔ βˆ€π‘Ž ∈ 1o (π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴))
18 elmapi 8861 . . . . . 6 (𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ 𝑋:1oβŸΆβ„•0)
19 0lt1o 8518 . . . . . 6 βˆ… ∈ 1o
20 ffvelcdm 7084 . . . . . 6 ((𝑋:1oβŸΆβ„•0 ∧ βˆ… ∈ 1o) β†’ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ β„•0)
2118, 19, 20sylancl 584 . . . . 5 (𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ β„•0)
2221adantl 480 . . . 4 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ β„•0)
2322biantrurd 531 . . 3 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ ((π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴 ↔ ((π‘‹β€˜βˆ…) ∈ β„•0 ∧ (π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴)))
24 fznn0 13620 . . . 4 (𝐴 ∈ β„•0 β†’ ((π‘‹β€˜βˆ…) ∈ (0...𝐴) ↔ ((π‘‹β€˜βˆ…) ∈ β„•0 ∧ (π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴)))
2524adantr 479 . . 3 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ ((π‘‹β€˜βˆ…) ∈ (0...𝐴) ↔ ((π‘‹β€˜βˆ…) ∈ β„•0 ∧ (π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴)))
2623, 25bitr4d 281 . 2 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ ((π‘‹β€˜βˆ…) ≀ 𝐴 ↔ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ (0...𝐴)))
2714, 17, 263bitr2d 306 1 ((𝐴 ∈ β„•0 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (𝑋 ∘r ≀ (1o Γ— {𝐴}) ↔ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ (0...𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2930  βˆ€wral 3051  Vcvv 3463  βˆ…c0 4319  {csn 4625   class class class wbr 5144   ↦ cmpt 5227   Γ— cxp 5671  Oncon0 6365  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7413   ∘r cofr 7678  1oc1o 8473   ↑m cmap 8838  0cc0 11133   ≀ cle 11274  β„•0cn0 12497  ...cfz 13511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5281  ax-sep 5295  ax-nul 5302  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-pss 3961  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5145  df-opab 5207  df-mpt 5228  df-tr 5262  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-ofr 7680  df-om 7866  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8840  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-n0 12498  df-z 12584  df-fz 13512
This theorem is referenced by:  coe1mul2lem2  22191  coe1mul2  22192
  Copyright terms: Public domain W3C validator