MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem coe1mul2 21791
Description: The coefficient vector of multiplication in the univariate power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1mul2.s 𝑆 = (PwSer1β€˜π‘…)
coe1mul2.t βˆ™ = (.rβ€˜π‘†)
coe1mul2.u Β· = (.rβ€˜π‘…)
coe1mul2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
coe1mul2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜(𝐹 βˆ™ 𝐺)) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))))))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝐡   π‘˜,𝐹,π‘₯   Β· ,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝐺,π‘₯   𝑅,π‘˜,π‘₯   βˆ™ ,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,π‘˜)   βˆ™ (π‘₯)

Proof of Theorem coe1mul2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 6781 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (1o Γ— {π‘˜}):1oβŸΆβ„•0)
2 nn0ex 12478 . . . . . 6 β„•0 ∈ V
3 1on 8478 . . . . . . 7 1o ∈ On
43elexi 3494 . . . . . 6 1o ∈ V
52, 4elmap 8865 . . . . 5 ((1o Γ— {π‘˜}) ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↔ (1o Γ— {π‘˜}):1oβŸΆβ„•0)
61, 5sylibr 233 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (1o Γ— {π‘˜}) ∈ (β„•0 ↑m 1o))
76adantl 483 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (1o Γ— {π‘˜}) ∈ (β„•0 ↑m 1o))
8 eqidd 2734 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘˜})) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘˜})))
9 eqid 2733 . . . 4 (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
10 coe1mul2.s . . . . 5 𝑆 = (PwSer1β€˜π‘…)
11 coe1mul2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
1210, 11, 9psr1bas2 21714 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅))
13 coe1mul2.u . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
14 coe1mul2.t . . . . 5 βˆ™ = (.rβ€˜π‘†)
1510, 9, 14psr1mulr 21746 . . . 4 βˆ™ = (.rβ€˜(1o mPwSer 𝑅))
16 psr1baslem 21709 . . . 4 (β„•0 ↑m 1o) = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
17 simp2 1138 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
18 simp3 1139 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
199, 12, 13, 15, 16, 17, 18psrmulfval 21504 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 βˆ™ 𝐺) = (𝑏 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))))))
20 breq2 5153 . . . . . 6 (𝑏 = (1o Γ— {π‘˜}) β†’ (𝑑 ∘r ≀ 𝑏 ↔ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})))
2120rabbidv 3441 . . . . 5 (𝑏 = (1o Γ— {π‘˜}) β†’ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} = {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})})
22 fvoveq1 7432 . . . . . 6 (𝑏 = (1o Γ— {π‘˜}) β†’ (πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)) = (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐)))
2322oveq2d 7425 . . . . 5 (𝑏 = (1o Γ— {π‘˜}) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))) = ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐))))
2421, 23mpteq12dv 5240 . . . 4 (𝑏 = (1o Γ— {π‘˜}) β†’ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐)))))
2524oveq2d 7425 . . 3 (𝑏 = (1o Γ— {π‘˜}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐))))))
267, 8, 19, 25fmptco 7127 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 βˆ™ 𝐺) ∘ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘˜}))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐)))))))
2710psr1ring 21769 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑆 ∈ Ring)
2811, 14ringcl 20073 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 βˆ™ 𝐺) ∈ 𝐡)
2927, 28syl3an1 1164 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 βˆ™ 𝐺) ∈ 𝐡)
30 eqid 2733 . . . 4 (coe1β€˜(𝐹 βˆ™ 𝐺)) = (coe1β€˜(𝐹 βˆ™ 𝐺))
31 eqid 2733 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘˜})) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘˜}))
3230, 11, 10, 31coe1fval3 21732 . . 3 ((𝐹 βˆ™ 𝐺) ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜(𝐹 βˆ™ 𝐺)) = ((𝐹 βˆ™ 𝐺) ∘ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘˜}))))
3329, 32syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜(𝐹 βˆ™ 𝐺)) = ((𝐹 βˆ™ 𝐺) ∘ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘˜}))))
34 eqid 2733 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
35 eqid 2733 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
36 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
37 ringcmn 20099 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
3836, 37syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
39 fzfi 13937 . . . . . 6 (0...π‘˜) ∈ Fin
4039a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (0...π‘˜) ∈ Fin)
41 simpll1 1213 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
42 simpll2 1214 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
43 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (coe1β€˜πΉ) = (coe1β€˜πΉ)
4443, 11, 10, 34coe1f2 21733 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜πΉ):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
4542, 44syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0...π‘˜)) β†’ (coe1β€˜πΉ):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
46 elfznn0 13594 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ β„•0)
4746adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0...π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ β„•0)
4845, 47ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0...π‘˜)) β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
49 simpll3 1215 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
50 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (coe1β€˜πΊ) = (coe1β€˜πΊ)
5150, 11, 10, 34coe1f2 21733 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜πΊ):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
5249, 51syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0...π‘˜)) β†’ (coe1β€˜πΊ):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
53 fznn0sub 13533 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) β†’ (π‘˜ βˆ’ π‘₯) ∈ β„•0)
5453adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0...π‘˜)) β†’ (π‘˜ βˆ’ π‘₯) ∈ β„•0)
5552, 54ffvelcdmd 7088 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0...π‘˜)) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5634, 13ringcl 20073 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5741, 48, 55, 56syl3anc 1372 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0...π‘˜)) β†’ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5857fmpttd 7115 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))):(0...π‘˜)⟢(Baseβ€˜π‘…))
5939elexi 3494 . . . . . . . . 9 (0...π‘˜) ∈ V
6059mptex 7225 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) ∈ V
61 funmpt 6587 . . . . . . . 8 Fun (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯))))
62 fvex 6905 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
6360, 61, 623pm3.2i 1340 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) ∈ V ∧ Fun (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
64 suppssdm 8162 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† dom (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯))))
65 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯))))
6665dmmptss 6241 . . . . . . . . 9 dom (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) βŠ† (0...π‘˜)
6764, 66sstri 3992 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (0...π‘˜)
6839, 67pm3.2i 472 . . . . . . 7 ((0...π‘˜) ∈ Fin ∧ ((π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (0...π‘˜))
69 suppssfifsupp 9378 . . . . . . 7 ((((π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) ∈ V ∧ Fun (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ V) ∧ ((0...π‘˜) ∈ Fin ∧ ((π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (0...π‘˜))) β†’ (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
7063, 68, 69mp2an 691 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) finSupp (0gβ€˜π‘…)
7170a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
72 eqid 2733 . . . . . . 7 {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} = {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}
7372coe1mul2lem2 21790 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ (π‘β€˜βˆ…)):{𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}–1-1-ontoβ†’(0...π‘˜))
7473adantl 483 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ (π‘β€˜βˆ…)):{𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}–1-1-ontoβ†’(0...π‘˜))
7534, 35, 38, 40, 58, 71, 74gsumf1o 19784 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯))))) = (𝑅 Ξ£g ((π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ (π‘β€˜βˆ…)))))
76 breq1 5152 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑐 β†’ (𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜}) ↔ 𝑐 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})))
7776elrab 3684 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↔ (𝑐 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∧ 𝑐 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})))
7877simprbi 498 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} β†’ 𝑐 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜}))
7978adantl 483 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ 𝑐 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜}))
80 simplr 768 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
81 elrabi 3678 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} β†’ 𝑐 ∈ (β„•0 ↑m 1o))
8281adantl 483 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ 𝑐 ∈ (β„•0 ↑m 1o))
83 coe1mul2lem1 21789 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑐 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (𝑐 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜}) ↔ (π‘β€˜βˆ…) ∈ (0...π‘˜)))
8480, 82, 83syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ (𝑐 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜}) ↔ (π‘β€˜βˆ…) ∈ (0...π‘˜)))
8579, 84mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ (π‘β€˜βˆ…) ∈ (0...π‘˜))
86 eqidd 2734 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ (π‘β€˜βˆ…)) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ (π‘β€˜βˆ…)))
87 eqidd 2734 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))))
88 fveq2 6892 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘β€˜βˆ…) β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) = ((coe1β€˜πΉ)β€˜(π‘β€˜βˆ…)))
89 oveq2 7417 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (π‘β€˜βˆ…) β†’ (π‘˜ βˆ’ π‘₯) = (π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…)))
9089fveq2d 6896 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘β€˜βˆ…) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)) = ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))))
9188, 90oveq12d 7427 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘β€˜βˆ…) β†’ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯))) = (((coe1β€˜πΉ)β€˜(π‘β€˜βˆ…)) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…)))))
9285, 86, 87, 91fmptco 7127 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ (π‘β€˜βˆ…))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜(π‘β€˜βˆ…)) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))))))
93 simpll2 1214 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
9443fvcoe1 21731 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = ((coe1β€˜πΉ)β€˜(π‘β€˜βˆ…)))
9593, 82, 94syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ (πΉβ€˜π‘) = ((coe1β€˜πΉ)β€˜(π‘β€˜βˆ…)))
96 df1o2 8473 . . . . . . . . . . . . . 14 1o = {βˆ…}
97 0ex 5308 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ… ∈ V
9896, 2, 97mapsnconst 8886 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ 𝑐 = (1o Γ— {(π‘β€˜βˆ…)}))
9982, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ 𝑐 = (1o Γ— {(π‘β€˜βˆ…)}))
10099oveq2d 7425 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ ((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐) = ((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ (1o Γ— {(π‘β€˜βˆ…)})))
1013a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ 1o ∈ On)
102 vex 3479 . . . . . . . . . . . . 13 π‘˜ ∈ V
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ π‘˜ ∈ V)
104 fvexd 6907 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ (π‘β€˜βˆ…) ∈ V)
105101, 103, 104ofc12 7698 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ ((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ (1o Γ— {(π‘β€˜βˆ…)})) = (1o Γ— {(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))}))
106100, 105eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ ((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐) = (1o Γ— {(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))}))
107106fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐)) = (πΊβ€˜(1o Γ— {(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))})))
108 simpll3 1215 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
109 fznn0sub 13533 . . . . . . . . . . 11 ((π‘β€˜βˆ…) ∈ (0...π‘˜) β†’ (π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…)) ∈ β„•0)
11085, 109syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ (π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…)) ∈ β„•0)
11150coe1fv 21730 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ 𝐡 ∧ (π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…)) ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))) = (πΊβ€˜(1o Γ— {(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))})))
112108, 110, 111syl2anc 585 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))) = (πΊβ€˜(1o Γ— {(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))})))
113107, 112eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐)) = ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))))
11495, 113oveq12d 7427 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐))) = (((coe1β€˜πΉ)β€˜(π‘β€˜βˆ…)) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…)))))
115114mpteq2dva 5249 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐)))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜(π‘β€˜βˆ…)) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))))))
11692, 115eqtr4d 2776 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ (π‘β€˜βˆ…))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐)))))
117116oveq2d 7425 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑅 Ξ£g ((π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ (π‘β€˜βˆ…)))) = (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐))))))
11875, 117eqtrd 2773 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐))))))
119118mpteq2dva 5249 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐)))))))
12026, 33, 1193eqtr4d 2783 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜(𝐹 βˆ™ 𝐺)) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  {crab 3433  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  {csn 4629   class class class wbr 5149   ↦ cmpt 5232   Γ— cxp 5675  dom cdm 5677   ∘ ccom 5681  Oncon0 6365  Fun wfun 6538  βŸΆwf 6540  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6543  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   ∘f cof 7668   ∘r cofr 7669   supp csupp 8146  1oc1o 8459   ↑m cmap 8820  Fincfn 8939   finSupp cfsupp 9361  0cc0 11110   ≀ cle 11249   βˆ’ cmin 11444  β„•0cn0 12472  ...cfz 13484  Basecbs 17144  .rcmulr 17198  0gc0g 17385   Ξ£g cgsu 17386  CMndccmn 19648  Ringcrg 20056   mPwSer cmps 21457  PwSer1cps1 21699  coe1cco1 21702
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-of 7670  df-ofr 7671  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-supp 8147  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-ixp 8892  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-fsupp 9362  df-sup 9437  df-oi 9505  df-card 9934  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-seq 13967  df-hash 14291  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-ip 17215  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-hom 17221  df-cco 17222  df-0g 17387  df-gsum 17388  df-prds 17393  df-pws 17395  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-mulg 18951  df-ghm 19090  df-cntz 19181  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-psr 21462  df-opsr 21466  df-psr1 21704  df-coe1 21707
This theorem is referenced by:  coe1mul  21792
  Copyright terms: Public domain W3C validator