MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  coe1mul2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem coe1mul2 22011
Description: The coefficient vector of multiplication in the univariate power series ring. (Contributed by Stefan O'Rear, 25-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
coe1mul2.s 𝑆 = (PwSer1β€˜π‘…)
coe1mul2.t βˆ™ = (.rβ€˜π‘†)
coe1mul2.u Β· = (.rβ€˜π‘…)
coe1mul2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
Assertion
Ref Expression
coe1mul2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜(𝐹 βˆ™ 𝐺)) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))))))
Distinct variable groups:   π‘₯,π‘˜,𝐡   π‘˜,𝐹,π‘₯   Β· ,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝐺,π‘₯   𝑅,π‘˜,π‘₯   βˆ™ ,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝑆(π‘₯,π‘˜)   βˆ™ (π‘₯)
Proof of Theorem coe1mul2
Dummy variables π‘Ž 𝑏 𝑐 𝑑 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fconst6g 6779 . . . . 5 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (1o Γ— {π‘˜}):1oβŸΆβ„•0)
2 nn0ex 12482 . . . . . 6 β„•0 ∈ V
3 1on 8480 . . . . . . 7 1o ∈ On
43elexi 3492 . . . . . 6 1o ∈ V
52, 4elmap 8867 . . . . 5 ((1o Γ— {π‘˜}) ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↔ (1o Γ— {π‘˜}):1oβŸΆβ„•0)
61, 5sylibr 233 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (1o Γ— {π‘˜}) ∈ (β„•0 ↑m 1o))
76adantl 480 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (1o Γ— {π‘˜}) ∈ (β„•0 ↑m 1o))
8 eqidd 2731 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘˜})) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘˜})))
9 eqid 2730 . . . 4 (1o mPwSer 𝑅) = (1o mPwSer 𝑅)
10 coe1mul2.s . . . . 5 𝑆 = (PwSer1β€˜π‘…)
11 coe1mul2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘†)
1210, 11, 9psr1bas2 21933 . . . 4 𝐡 = (Baseβ€˜(1o mPwSer 𝑅))
13 coe1mul2.u . . . 4 Β· = (.rβ€˜π‘…)
14 coe1mul2.t . . . . 5 βˆ™ = (.rβ€˜π‘†)
1510, 9, 14psr1mulr 21965 . . . 4 βˆ™ = (.rβ€˜(1o mPwSer 𝑅))
16 psr1baslem 21928 . . . 4 (β„•0 ↑m 1o) = {π‘Ž ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ (β—‘π‘Ž β€œ β„•) ∈ Fin}
17 simp2 1135 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
18 simp3 1136 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
199, 12, 13, 15, 16, 17, 18psrmulfval 21723 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 βˆ™ 𝐺) = (𝑏 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))))))
20 breq2 5151 . . . . . 6 (𝑏 = (1o Γ— {π‘˜}) β†’ (𝑑 ∘r ≀ 𝑏 ↔ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})))
2120rabbidv 3438 . . . . 5 (𝑏 = (1o Γ— {π‘˜}) β†’ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} = {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})})
22 fvoveq1 7434 . . . . . 6 (𝑏 = (1o Γ— {π‘˜}) β†’ (πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)) = (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐)))
2322oveq2d 7427 . . . . 5 (𝑏 = (1o Γ— {π‘˜}) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))) = ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐))))
2421, 23mpteq12dv 5238 . . . 4 (𝑏 = (1o Γ— {π‘˜}) β†’ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐)))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐)))))
2524oveq2d 7427 . . 3 (𝑏 = (1o Γ— {π‘˜}) β†’ (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ 𝑏} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜(𝑏 ∘f βˆ’ 𝑐))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐))))))
267, 8, 19, 25fmptco 7128 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ ((𝐹 βˆ™ 𝐺) ∘ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘˜}))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐)))))))
2710psr1ring 21989 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑆 ∈ Ring)
2811, 14ringcl 20144 . . . 4 ((𝑆 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 βˆ™ 𝐺) ∈ 𝐡)
2927, 28syl3an1 1161 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (𝐹 βˆ™ 𝐺) ∈ 𝐡)
30 eqid 2730 . . . 4 (coe1β€˜(𝐹 βˆ™ 𝐺)) = (coe1β€˜(𝐹 βˆ™ 𝐺))
31 eqid 2730 . . . 4 (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘˜})) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘˜}))
3230, 11, 10, 31coe1fval3 21951 . . 3 ((𝐹 βˆ™ 𝐺) ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜(𝐹 βˆ™ 𝐺)) = ((𝐹 βˆ™ 𝐺) ∘ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘˜}))))
3329, 32syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜(𝐹 βˆ™ 𝐺)) = ((𝐹 βˆ™ 𝐺) ∘ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (1o Γ— {π‘˜}))))
34 eqid 2730 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
35 eqid 2730 . . . . 5 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
36 simpl1 1189 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
37 ringcmn 20170 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
3836, 37syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ 𝑅 ∈ CMnd)
39 fzfi 13941 . . . . . 6 (0...π‘˜) ∈ Fin
4039a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (0...π‘˜) ∈ Fin)
41 simpll1 1210 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
42 simpll2 1211 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
43 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (coe1β€˜πΉ) = (coe1β€˜πΉ)
4443, 11, 10, 34coe1f2 21952 . . . . . . . . 9 (𝐹 ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜πΉ):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
4542, 44syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0...π‘˜)) β†’ (coe1β€˜πΉ):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
46 elfznn0 13598 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) β†’ π‘₯ ∈ β„•0)
4746adantl 480 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0...π‘˜)) β†’ π‘₯ ∈ β„•0)
4845, 47ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0...π‘˜)) β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
49 simpll3 1212 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0...π‘˜)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
50 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (coe1β€˜πΊ) = (coe1β€˜πΊ)
5150, 11, 10, 34coe1f2 21952 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ 𝐡 β†’ (coe1β€˜πΊ):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
5249, 51syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0...π‘˜)) β†’ (coe1β€˜πΊ):β„•0⟢(Baseβ€˜π‘…))
53 fznn0sub 13537 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) β†’ (π‘˜ βˆ’ π‘₯) ∈ β„•0)
5453adantl 480 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0...π‘˜)) β†’ (π‘˜ βˆ’ π‘₯) ∈ β„•0)
5552, 54ffvelcdmd 7086 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0...π‘˜)) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5634, 13ringcl 20144 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ ((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)) ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5741, 48, 55, 56syl3anc 1369 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ π‘₯ ∈ (0...π‘˜)) β†’ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯))) ∈ (Baseβ€˜π‘…))
5857fmpttd 7115 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))):(0...π‘˜)⟢(Baseβ€˜π‘…))
5939elexi 3492 . . . . . . . . 9 (0...π‘˜) ∈ V
6059mptex 7226 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) ∈ V
61 funmpt 6585 . . . . . . . 8 Fun (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯))))
62 fvex 6903 . . . . . . . 8 (0gβ€˜π‘…) ∈ V
6360, 61, 623pm3.2i 1337 . . . . . . 7 ((π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) ∈ V ∧ Fun (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ V)
64 suppssdm 8164 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† dom (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯))))
65 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯))))
6665dmmptss 6239 . . . . . . . . 9 dom (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) βŠ† (0...π‘˜)
6764, 66sstri 3990 . . . . . . . 8 ((π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (0...π‘˜)
6839, 67pm3.2i 469 . . . . . . 7 ((0...π‘˜) ∈ Fin ∧ ((π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (0...π‘˜))
69 suppssfifsupp 9380 . . . . . . 7 ((((π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) ∈ V ∧ Fun (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) ∧ (0gβ€˜π‘…) ∈ V) ∧ ((0...π‘˜) ∈ Fin ∧ ((π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) supp (0gβ€˜π‘…)) βŠ† (0...π‘˜))) β†’ (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
7063, 68, 69mp2an 688 . . . . . 6 (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) finSupp (0gβ€˜π‘…)
7170a1i 11 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) finSupp (0gβ€˜π‘…))
72 eqid 2730 . . . . . . 7 {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} = {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}
7372coe1mul2lem2 22010 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ β„•0 β†’ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ (π‘β€˜βˆ…)):{𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}–1-1-ontoβ†’(0...π‘˜))
7473adantl 480 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ (π‘β€˜βˆ…)):{𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}–1-1-ontoβ†’(0...π‘˜))
7534, 35, 38, 40, 58, 71, 74gsumf1o 19825 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯))))) = (𝑅 Ξ£g ((π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ (π‘β€˜βˆ…)))))
76 breq1 5150 . . . . . . . . . . 11 (𝑑 = 𝑐 β†’ (𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜}) ↔ 𝑐 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})))
7776elrab 3682 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↔ (𝑐 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∧ 𝑐 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})))
7877simprbi 495 . . . . . . . . 9 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} β†’ 𝑐 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜}))
7978adantl 480 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ 𝑐 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜}))
80 simplr 765 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ π‘˜ ∈ β„•0)
81 elrabi 3676 . . . . . . . . . 10 (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} β†’ 𝑐 ∈ (β„•0 ↑m 1o))
8281adantl 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ 𝑐 ∈ (β„•0 ↑m 1o))
83 coe1mul2lem1 22009 . . . . . . . . 9 ((π‘˜ ∈ β„•0 ∧ 𝑐 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (𝑐 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜}) ↔ (π‘β€˜βˆ…) ∈ (0...π‘˜)))
8480, 82, 83syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ (𝑐 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜}) ↔ (π‘β€˜βˆ…) ∈ (0...π‘˜)))
8579, 84mpbid 231 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ (π‘β€˜βˆ…) ∈ (0...π‘˜))
86 eqidd 2731 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ (π‘β€˜βˆ…)) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ (π‘β€˜βˆ…)))
87 eqidd 2731 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) = (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))))
88 fveq2 6890 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘β€˜βˆ…) β†’ ((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) = ((coe1β€˜πΉ)β€˜(π‘β€˜βˆ…)))
89 oveq2 7419 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = (π‘β€˜βˆ…) β†’ (π‘˜ βˆ’ π‘₯) = (π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…)))
9089fveq2d 6894 . . . . . . . 8 (π‘₯ = (π‘β€˜βˆ…) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)) = ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))))
9188, 90oveq12d 7429 . . . . . . 7 (π‘₯ = (π‘β€˜βˆ…) β†’ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯))) = (((coe1β€˜πΉ)β€˜(π‘β€˜βˆ…)) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…)))))
9285, 86, 87, 91fmptco 7128 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ (π‘β€˜βˆ…))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜(π‘β€˜βˆ…)) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))))))
93 simpll2 1211 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ 𝐹 ∈ 𝐡)
9443fvcoe1 21950 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝑐 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (πΉβ€˜π‘) = ((coe1β€˜πΉ)β€˜(π‘β€˜βˆ…)))
9593, 82, 94syl2anc 582 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ (πΉβ€˜π‘) = ((coe1β€˜πΉ)β€˜(π‘β€˜βˆ…)))
96 df1o2 8475 . . . . . . . . . . . . . 14 1o = {βˆ…}
97 0ex 5306 . . . . . . . . . . . . . 14 βˆ… ∈ V
9896, 2, 97mapsnconst 8888 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ 𝑐 = (1o Γ— {(π‘β€˜βˆ…)}))
9982, 98syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ 𝑐 = (1o Γ— {(π‘β€˜βˆ…)}))
10099oveq2d 7427 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ ((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐) = ((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ (1o Γ— {(π‘β€˜βˆ…)})))
1013a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ 1o ∈ On)
102 vex 3476 . . . . . . . . . . . . 13 π‘˜ ∈ V
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ π‘˜ ∈ V)
104 fvexd 6905 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ (π‘β€˜βˆ…) ∈ V)
105101, 103, 104ofc12 7700 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ ((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ (1o Γ— {(π‘β€˜βˆ…)})) = (1o Γ— {(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))}))
106100, 105eqtrd 2770 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ ((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐) = (1o Γ— {(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))}))
107106fveq2d 6894 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐)) = (πΊβ€˜(1o Γ— {(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))})))
108 simpll3 1212 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ 𝐺 ∈ 𝐡)
109 fznn0sub 13537 . . . . . . . . . . 11 ((π‘β€˜βˆ…) ∈ (0...π‘˜) β†’ (π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…)) ∈ β„•0)
11085, 109syl 17 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ (π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…)) ∈ β„•0)
11150coe1fv 21949 . . . . . . . . . 10 ((𝐺 ∈ 𝐡 ∧ (π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…)) ∈ β„•0) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))) = (πΊβ€˜(1o Γ— {(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))})))
112108, 110, 111syl2anc 582 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))) = (πΊβ€˜(1o Γ— {(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))})))
113107, 112eqtr4d 2773 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐)) = ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))))
11495, 113oveq12d 7429 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) ∧ 𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})}) β†’ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐))) = (((coe1β€˜πΉ)β€˜(π‘β€˜βˆ…)) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…)))))
115114mpteq2dva 5247 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐)))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜(π‘β€˜βˆ…)) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ (π‘β€˜βˆ…))))))
11692, 115eqtr4d 2773 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ ((π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ (π‘β€˜βˆ…))) = (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐)))))
117116oveq2d 7427 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑅 Ξ£g ((π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))) ∘ (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ (π‘β€˜βˆ…)))) = (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐))))))
11875, 117eqtrd 2770 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) ∧ π‘˜ ∈ β„•0) β†’ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯))))) = (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐))))))
119118mpteq2dva 5247 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))))) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (𝑐 ∈ {𝑑 ∈ (β„•0 ↑m 1o) ∣ 𝑑 ∘r ≀ (1o Γ— {π‘˜})} ↦ ((πΉβ€˜π‘) Β· (πΊβ€˜((1o Γ— {π‘˜}) ∘f βˆ’ 𝑐)))))))
12026, 33, 1193eqtr4d 2780 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐹 ∈ 𝐡 ∧ 𝐺 ∈ 𝐡) β†’ (coe1β€˜(𝐹 βˆ™ 𝐺)) = (π‘˜ ∈ β„•0 ↦ (𝑅 Ξ£g (π‘₯ ∈ (0...π‘˜) ↦ (((coe1β€˜πΉ)β€˜π‘₯) Β· ((coe1β€˜πΊ)β€˜(π‘˜ βˆ’ π‘₯)))))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {crab 3430  Vcvv 3472   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675   ∘ ccom 5679  Oncon0 6363  Fun wfun 6536  βŸΆwf 6538  β€“1-1-ontoβ†’wf1o 6541  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘f cof 7670   ∘r cofr 7671   supp csupp 8148  1oc1o 8461   ↑m cmap 8822  Fincfn 8941   finSupp cfsupp 9363  0cc0 11112   ≀ cle 11253   βˆ’ cmin 11448  β„•0cn0 12476  ...cfz 13488  Basecbs 17148  .rcmulr 17202  0gc0g 17389   Ξ£g cgsu 17390  CMndccmn 19689  Ringcrg 20127   mPwSer cmps 21676  PwSer1cps1 21918  coe1cco1 21921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-supp 8149  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-ixp 8894  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-fsupp 9364  df-sup 9439  df-oi 9507  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-seq 13971  df-hash 14295  df-struct 17084  df-sets 17101  df-slot 17119  df-ndx 17131  df-base 17149  df-ress 17178  df-plusg 17214  df-mulr 17215  df-sca 17217  df-vsca 17218  df-ip 17219  df-tset 17220  df-ple 17221  df-ds 17223  df-hom 17225  df-cco 17226  df-0g 17391  df-gsum 17392  df-prds 17397  df-pws 17399  df-mre 17534  df-mrc 17535  df-acs 17537  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-mhm 18705  df-submnd 18706  df-grp 18858  df-minusg 18859  df-mulg 18987  df-ghm 19128  df-cntz 19222  df-cmn 19691  df-abl 19692  df-mgp 20029  df-rng 20047  df-ur 20076  df-ring 20129  df-psr 21681  df-opsr 21685  df-psr1 21923  df-coe1 21926
This theorem is referenced by:  coe1mul  22012
  Copyright terms: Public domain W3C validator