Theorem fvcoe1 22146

Description: Value of a multivariate coefficient in terms of the coefficient vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
fvcoe1	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑋) = (𝐴‘(𝑋‘∅)))

Proof of Theorem fvcoe1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 8402	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
2		nn0ex 12405	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		0ex 5250	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4	1, 2, 3	mapsnconst 8828	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
6	5	fveq2d 6836	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘(1o × {(𝑋‘∅)})))
7		elmapi 8784	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑋:1o⟶ℕ0)
8		0lt1o 8429	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
9		ffvelcdm 7024	. . . 4 ⊢ ((𝑋:1o⟶ℕ0 ∧ ∅ ∈ 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
11		coe1fval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
12	11	coe1fv 22145	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋‘∅) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑋‘∅)) = (𝐹‘(1o × {(𝑋‘∅)})))
13	10, 12	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐴‘(𝑋‘∅)) = (𝐹‘(1o × {(𝑋‘∅)})))
14	6, 13	eqtr4d 2772	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑋) = (𝐴‘(𝑋‘∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∅c0 4283  {csn 4578   × cxp 5620  ⟶wf 6486  ‘cfv 6490  (class class class)co 7356  1_oc1o 8388   ↑_m cmap 8761  ℕ₀cn0 12399  coe₁cco1 22116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-cnex 11080  ax-1cn 11082  ax-addcl 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-tr 5204  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-lim 6320  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-1o 8395  df-map 8763  df-nn 12144  df-n0 12400  df-coe1 22121

This theorem is referenced by:  coe1mul2  22209  ply1coe  22240  deg1ldg  26051  deg1leb  26054