MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvcoe1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvcoe1 22209
Description: Value of a multivariate coefficient in terms of the coefficient vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1fval.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
fvcoe1 ((𝐹𝑉𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝐹𝑋) = (𝐴‘(𝑋‘∅)))

Proof of Theorem fvcoe1
StepHypRef Expression
1 df1o2 8513 . . . . 5 1o = {∅}
2 nn0ex 12532 . . . . 5 0 ∈ V
3 0ex 5307 . . . . 5 ∅ ∈ V
41, 2, 3mapsnconst 8932 . . . 4 (𝑋 ∈ (ℕ0m 1o) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
54adantl 481 . . 3 ((𝐹𝑉𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
65fveq2d 6910 . 2 ((𝐹𝑉𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝐹𝑋) = (𝐹‘(1o × {(𝑋‘∅)})))
7 elmapi 8889 . . . 4 (𝑋 ∈ (ℕ0m 1o) → 𝑋:1o⟶ℕ0)
8 0lt1o 8542 . . . 4 ∅ ∈ 1o
9 ffvelcdm 7101 . . . 4 ((𝑋:1o⟶ℕ0 ∧ ∅ ∈ 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
107, 8, 9sylancl 586 . . 3 (𝑋 ∈ (ℕ0m 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
11 coe1fval.a . . . 4 𝐴 = (coe1𝐹)
1211coe1fv 22208 . . 3 ((𝐹𝑉 ∧ (𝑋‘∅) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑋‘∅)) = (𝐹‘(1o × {(𝑋‘∅)})))
1310, 12sylan2 593 . 2 ((𝐹𝑉𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝐴‘(𝑋‘∅)) = (𝐹‘(1o × {(𝑋‘∅)})))
146, 13eqtr4d 2780 1 ((𝐹𝑉𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝐹𝑋) = (𝐴‘(𝑋‘∅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  c0 4333  {csn 4626   × cxp 5683  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  1oc1o 8499  m cmap 8866  0cn0 12526  coe1cco1 22179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-map 8868  df-nn 12267  df-n0 12527  df-coe1 22184
This theorem is referenced by:  coe1mul2  22272  ply1coe  22302  deg1ldg  26131  deg1leb  26134
  Copyright terms: Public domain W3C validator