Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvcoe1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fvcoe1 20845
 Description: Value of a multivariate coefficient in terms of the coefficient vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1fval.a 𝐴 = (coe1𝐹)
Assertion
Ref Expression
fvcoe1 ((𝐹𝑉𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝐹𝑋) = (𝐴‘(𝑋‘∅)))

Proof of Theorem fvcoe1
StepHypRef Expression
1 df1o2 8114 . . . . 5 1o = {∅}
2 nn0ex 11902 . . . . 5 0 ∈ V
3 0ex 5198 . . . . 5 ∅ ∈ V
41, 2, 3mapsnconst 8454 . . . 4 (𝑋 ∈ (ℕ0m 1o) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
54adantl 485 . . 3 ((𝐹𝑉𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
65fveq2d 6667 . 2 ((𝐹𝑉𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝐹𝑋) = (𝐹‘(1o × {(𝑋‘∅)})))
7 elmapi 8426 . . . 4 (𝑋 ∈ (ℕ0m 1o) → 𝑋:1o⟶ℕ0)
8 0lt1o 8127 . . . 4 ∅ ∈ 1o
9 ffvelrn 6842 . . . 4 ((𝑋:1o⟶ℕ0 ∧ ∅ ∈ 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
107, 8, 9sylancl 589 . . 3 (𝑋 ∈ (ℕ0m 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
11 coe1fval.a . . . 4 𝐴 = (coe1𝐹)
1211coe1fv 20844 . . 3 ((𝐹𝑉 ∧ (𝑋‘∅) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑋‘∅)) = (𝐹‘(1o × {(𝑋‘∅)})))
1310, 12sylan2 595 . 2 ((𝐹𝑉𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝐴‘(𝑋‘∅)) = (𝐹‘(1o × {(𝑋‘∅)})))
146, 13eqtr4d 2862 1 ((𝐹𝑉𝑋 ∈ (ℕ0m 1o)) → (𝐹𝑋) = (𝐴‘(𝑋‘∅)))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2115  ∅c0 4276  {csn 4550   × cxp 5541  ⟶wf 6341  ‘cfv 6345  (class class class)co 7151  1oc1o 8093   ↑m cmap 8404  ℕ0cn0 11896  coe1cco1 20816 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-1cn 10595  ax-addcl 10597 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-1o 8100  df-map 8406  df-nn 11637  df-n0 11897  df-coe1 20821 This theorem is referenced by:  coe1mul2  20907  ply1coe  20934  deg1ldg  24702  deg1leb  24705
 Copyright terms: Public domain W3C validator