Theorem fvcoe1 19937

Description: Value of a multivariate coefficient in terms of the coefficient vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
fvcoe1	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o)) → (𝐹‘𝑋) = (𝐴‘(𝑋‘∅)))

Proof of Theorem fvcoe1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 7839	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
2		nn0ex 11625	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		0ex 5014	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4	1, 2, 3	mapsnconst 8170	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
5	4	adantl 475	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o)) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
6	5	fveq2d 6437	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o)) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘(1o × {(𝑋‘∅)})))
7		elmapi 8144	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) → 𝑋:1o⟶ℕ0)
8		0lt1o 7851	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
9		ffvelrn 6606	. . . 4 ⊢ ((𝑋:1o⟶ℕ0 ∧ ∅ ∈ 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
10	7, 8, 9	sylancl 582	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
11		coe1fval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
12	11	coe1fv 19936	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋‘∅) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑋‘∅)) = (𝐹‘(1o × {(𝑋‘∅)})))
13	10, 12	sylan2 588	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o)) → (𝐴‘(𝑋‘∅)) = (𝐹‘(1o × {(𝑋‘∅)})))
14	6, 13	eqtr4d 2864	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑𝑚 1o)) → (𝐹‘𝑋) = (𝐴‘(𝑋‘∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166  ∅c0 4144  {csn 4397   × cxp 5340  ⟶wf 6119  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  1_oc1o 7819   ↑_𝑚 cmap 8122  ℕ₀cn0 11618  coe₁cco1 19908

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-1cn 10310  ax-addcl 10312

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-map 8124  df-nn 11351  df-n0 11619  df-coe1 19913

This theorem is referenced by:  coe1mul2  19999  ply1coe  20026  deg1ldg  24251  deg1leb  24254