Theorem fvcoe1 22068

Description: Value of a multivariate coefficient in terms of the coefficient vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
fvcoe1	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑋) = (𝐴‘(𝑋‘∅)))

Proof of Theorem fvcoe1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 8418	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
2		nn0ex 12424	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		0ex 5257	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4	1, 2, 3	mapsnconst 8842	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
6	5	fveq2d 6844	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘(1o × {(𝑋‘∅)})))
7		elmapi 8799	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑋:1o⟶ℕ0)
8		0lt1o 8445	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
9		ffvelcdm 7035	. . . 4 ⊢ ((𝑋:1o⟶ℕ0 ∧ ∅ ∈ 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
10	7, 8, 9	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
11		coe1fval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
12	11	coe1fv 22067	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋‘∅) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑋‘∅)) = (𝐹‘(1o × {(𝑋‘∅)})))
13	10, 12	sylan2 593	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐴‘(𝑋‘∅)) = (𝐹‘(1o × {(𝑋‘∅)})))
14	6, 13	eqtr4d 2767	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑋) = (𝐴‘(𝑋‘∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∅c0 4292  {csn 4585   × cxp 5629  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  1_oc1o 8404   ↑_m cmap 8776  ℕ₀cn0 12418  coe₁cco1 22038

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-1cn 11102  ax-addcl 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-map 8778  df-nn 12163  df-n0 12419  df-coe1 22043

This theorem is referenced by:  coe1mul2  22131  ply1coe  22161  deg1ldg  25973  deg1leb  25976