Theorem fvcoe1 22113

Description: Value of a multivariate coefficient in terms of the coefficient vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
coe1fval.a	⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)

Assertion

Ref	Expression
fvcoe1	⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑋) = (𝐴‘(𝑋‘∅)))

Proof of Theorem fvcoe1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df1o2 8487	. . . . 5 ⊢ 1o = {∅}
2		nn0ex 12500	. . . . 5 ⊢ ℕ0 ∈ V
3		0ex 5301	. . . . 5 ⊢ ∅ ∈ V
4	1, 2, 3	mapsnconst 8902	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
5	4	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → 𝑋 = (1o × {(𝑋‘∅)}))
6	5	fveq2d 6895	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘(1o × {(𝑋‘∅)})))
7		elmapi 8859	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → 𝑋:1o⟶ℕ0)
8		0lt1o 8518	. . . 4 ⊢ ∅ ∈ 1o
9		ffvelcdm 7085	. . . 4 ⊢ ((𝑋:1o⟶ℕ0 ∧ ∅ ∈ 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
10	7, 8, 9	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o) → (𝑋‘∅) ∈ ℕ0)
11		coe1fval.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (coe1‘𝐹)
12	11	coe1fv 22112	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (𝑋‘∅) ∈ ℕ0) → (𝐴‘(𝑋‘∅)) = (𝐹‘(1o × {(𝑋‘∅)})))
13	10, 12	sylan2 592	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐴‘(𝑋‘∅)) = (𝐹‘(1o × {(𝑋‘∅)})))
14	6, 13	eqtr4d 2770	1 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (ℕ0 ↑m 1o)) → (𝐹‘𝑋) = (𝐴‘(𝑋‘∅)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  ∅c0 4318  {csn 4624   × cxp 5670  ⟶wf 6538  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  1_oc1o 8473   ↑_m cmap 8836  ℕ₀cn0 12494  coe₁cco1 22084

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-1cn 11188  ax-addcl 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-map 8838  df-nn 12235  df-n0 12495  df-coe1 22089

This theorem is referenced by:  coe1mul2  22175  ply1coe  22204  deg1ldg  26015  deg1leb  26018