MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  fvcoe1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem fvcoe1 21950
Description: Value of a multivariate coefficient in terms of the coefficient vector. (Contributed by Stefan O'Rear, 21-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
coe1fval.a 𝐴 = (coe1β€˜πΉ)
Assertion
Ref Expression
fvcoe1 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (π΄β€˜(π‘‹β€˜βˆ…)))
Proof of Theorem fvcoe1
StepHypRef Expression
1 df1o2 8475 . . . . 5 1o = {βˆ…}
2 nn0ex 12482 . . . . 5 β„•0 ∈ V
3 0ex 5306 . . . . 5 βˆ… ∈ V
41, 2, 3mapsnconst 8888 . . . 4 (𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ 𝑋 = (1o Γ— {(π‘‹β€˜βˆ…)}))
54adantl 480 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ 𝑋 = (1o Γ— {(π‘‹β€˜βˆ…)}))
65fveq2d 6894 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (πΉβ€˜(1o Γ— {(π‘‹β€˜βˆ…)})))
7 elmapi 8845 . . . 4 (𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ 𝑋:1oβŸΆβ„•0)
8 0lt1o 8506 . . . 4 βˆ… ∈ 1o
9 ffvelcdm 7082 . . . 4 ((𝑋:1oβŸΆβ„•0 ∧ βˆ… ∈ 1o) β†’ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ β„•0)
107, 8, 9sylancl 584 . . 3 (𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o) β†’ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ β„•0)
11 coe1fval.a . . . 4 𝐴 = (coe1β€˜πΉ)
1211coe1fv 21949 . . 3 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ (π‘‹β€˜βˆ…) ∈ β„•0) β†’ (π΄β€˜(π‘‹β€˜βˆ…)) = (πΉβ€˜(1o Γ— {(π‘‹β€˜βˆ…)})))
1310, 12sylan2 591 . 2 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (π΄β€˜(π‘‹β€˜βˆ…)) = (πΉβ€˜(1o Γ— {(π‘‹β€˜βˆ…)})))
146, 13eqtr4d 2773 1 ((𝐹 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ (β„•0 ↑m 1o)) β†’ (πΉβ€˜π‘‹) = (π΄β€˜(π‘‹β€˜βˆ…)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  βˆ…c0 4321  {csn 4627   Γ— cxp 5673  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  1oc1o 8461   ↑m cmap 8822  β„•0cn0 12476  coe1cco1 21921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-1cn 11170  ax-addcl 11172
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-map 8824  df-nn 12217  df-n0 12477  df-coe1 21926
This theorem is referenced by:  coe1mul2  22011  ply1coe  22040  deg1ldg  25845  deg1leb  25848
  Copyright terms: Public domain W3C validator