Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapss2 39909
Description: Subset inheritance for set exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mapss2.a (𝜑𝐴𝑉)
mapss2.b (𝜑𝐵𝑊)
mapss2.c (𝜑𝐶𝑍)
mapss2.n (𝜑𝐶 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
mapss2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)))

Proof of Theorem mapss2
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapss2.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑊)
21adantr 466 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑊)
3 simpr 471 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
4 mapss 8053 . . . 4 ((𝐵𝑊𝐴𝐵) → (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
52, 3, 4syl2anc 565 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
65ex 397 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)))
7 mapss2.n . . . . . 6 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
8 n0 4076 . . . . . 6 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐶)
97, 8sylib 208 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐶)
109adantr 466 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) → ∃𝑥 𝑥𝐶)
11 eqidd 2771 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑤𝐶𝑦) = (𝑤𝐶𝑦))
12 eqidd 2771 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑦)
13 simpr 471 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
14 vex 3352 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑦 ∈ V)
1611, 12, 13, 15fvmptd 6430 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑤𝐶𝑦)‘𝑥) = 𝑦)
1716eqcomd 2776 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑦 = ((𝑤𝐶𝑦)‘𝑥))
1817ad4ant13 1205 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 = ((𝑤𝐶𝑦)‘𝑥))
19 simplr 744 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶))
20 simplr 744 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑦𝐴)
21 eqid 2770 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑤𝐶𝑦) = (𝑤𝐶𝑦)
2220, 21fmptd 6527 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦):𝐶𝐴)
23 mapss2.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴𝑉)
2423adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴𝑉)
25 mapss2.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐶𝑍)
2625adantr 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐶𝑍)
2724, 26elmapd 8022 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑤𝐶𝑦) ∈ (𝐴𝑚 𝐶) ↔ (𝑤𝐶𝑦):𝐶𝐴))
2822, 27mpbird 247 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦) ∈ (𝐴𝑚 𝐶))
2928adantlr 686 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦) ∈ (𝐴𝑚 𝐶))
3019, 29sseldd 3751 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦) ∈ (𝐵𝑚 𝐶))
31 elmapi 8030 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐶𝑦) ∈ (𝐵𝑚 𝐶) → (𝑤𝐶𝑦):𝐶𝐵)
3230, 31syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦):𝐶𝐵)
3332adantlr 686 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦):𝐶𝐵)
34 simplr 744 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥𝐶)
3533, 34ffvelrnd 6503 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑤𝐶𝑦)‘𝑥) ∈ 𝐵)
3618, 35eqeltrd 2849 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐵)
3736ralrimiva 3114 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵)
38 dfss3 3739 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵)
3937, 38sylibr 224 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐴𝐵)
4039ex 397 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) → (𝑥𝐶𝐴𝐵))
4140exlimdv 2012 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) → (∃𝑥 𝑥𝐶𝐴𝐵))
4210, 41mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)) → 𝐴𝐵)
4342ex 397 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶) → 𝐴𝐵))
446, 43impbid 202 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴𝑚 𝐶) ⊆ (𝐵𝑚 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382   = wceq 1630  wex 1851  wcel 2144  wne 2942  wral 3060  Vcvv 3349  wss 3721  c0 4061  cmpt 4861  wf 6027  cfv 6031  (class class class)co 6792  𝑚 cmap 8008
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-ral 3065  df-rex 3066  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-op 4321  df-uni 4573  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-fv 6039  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-map 8010
This theorem is referenced by:  ovnovollem1  41384  ovnovollem2  41385
  Copyright terms: Public domain W3C validator