Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapss2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapss2 43122
Description: Subset inheritance for set exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mapss2.a (𝜑𝐴𝑉)
mapss2.b (𝜑𝐵𝑊)
mapss2.c (𝜑𝐶𝑍)
mapss2.n (𝜑𝐶 ≠ ∅)
Assertion
Ref Expression
mapss2 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶)))

Proof of Theorem mapss2
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mapss2.b . . . . 5 (𝜑𝐵𝑊)
21adantr 482 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐵𝑊)
3 simpr 486 . . . 4 ((𝜑𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
4 mapss 8753 . . . 4 ((𝐵𝑊𝐴𝐵) → (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶))
52, 3, 4syl2anc 585 . . 3 ((𝜑𝐴𝐵) → (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶))
65ex 414 . 2 (𝜑 → (𝐴𝐵 → (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶)))
7 mapss2.n . . . . . 6 (𝜑𝐶 ≠ ∅)
8 n0 4298 . . . . . 6 (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐶)
97, 8sylib 217 . . . . 5 (𝜑 → ∃𝑥 𝑥𝐶)
109adantr 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶)) → ∃𝑥 𝑥𝐶)
11 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → (𝑤𝐶𝑦) = (𝑤𝐶𝑦))
12 eqidd 2738 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐶) ∧ 𝑤 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑦)
13 simpr 486 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑥𝐶)
14 vex 3446 . . . . . . . . . . . . 13 𝑦 ∈ V
1514a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑦 ∈ V)
1611, 12, 13, 15fvmptd 6943 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐶) → ((𝑤𝐶𝑦)‘𝑥) = 𝑦)
1716eqcomd 2743 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐶) → 𝑦 = ((𝑤𝐶𝑦)‘𝑥))
1817ad4ant13 749 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦 = ((𝑤𝐶𝑦)‘𝑥))
19 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶))
20 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑦𝐴) ∧ 𝑤𝐶) → 𝑦𝐴)
2120fmpttd 7050 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦):𝐶𝐴)
22 mapss2.a . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐴𝑉)
2322adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐴𝑉)
24 mapss2.c . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐶𝑍)
2524adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦𝐴) → 𝐶𝑍)
2623, 25elmapd 8705 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦𝐴) → ((𝑤𝐶𝑦) ∈ (𝐴m 𝐶) ↔ (𝑤𝐶𝑦):𝐶𝐴))
2721, 26mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦) ∈ (𝐴m 𝐶))
2827adantlr 713 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦) ∈ (𝐴m 𝐶))
2919, 28sseldd 3937 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦) ∈ (𝐵m 𝐶))
30 elmapi 8713 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑤𝐶𝑦) ∈ (𝐵m 𝐶) → (𝑤𝐶𝑦):𝐶𝐵)
3129, 30syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶)) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦):𝐶𝐵)
3231adantlr 713 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐴) → (𝑤𝐶𝑦):𝐶𝐵)
33 simplr 767 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑 ∧ (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑥𝐶)
3432, 33ffvelcdmd 7023 . . . . . . . . 9 ((((𝜑 ∧ (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐴) → ((𝑤𝐶𝑦)‘𝑥) ∈ 𝐵)
3518, 34eqeltrd 2838 . . . . . . . 8 ((((𝜑 ∧ (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) ∧ 𝑦𝐴) → 𝑦𝐵)
3635ralrimiva 3140 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) → ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵)
37 dfss3 3924 . . . . . . 7 (𝐴𝐵 ↔ ∀𝑦𝐴 𝑦𝐵)
3836, 37sylibr 233 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶)) ∧ 𝑥𝐶) → 𝐴𝐵)
3938ex 414 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶)) → (𝑥𝐶𝐴𝐵))
4039exlimdv 1936 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶)) → (∃𝑥 𝑥𝐶𝐴𝐵))
4110, 40mpd 15 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶)) → 𝐴𝐵)
4241ex 414 . 2 (𝜑 → ((𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶) → 𝐴𝐵))
436, 42impbid 211 1 (𝜑 → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴m 𝐶) ⊆ (𝐵m 𝐶)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2941  wral 3062  Vcvv 3442  wss 3902  c0 4274  cmpt 5180  wf 6480  cfv 6484  (class class class)co 7342  m cmap 8691
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5248  ax-nul 5255  ax-pow 5313  ax-pr 5377  ax-un 7655
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3732  df-csb 3848  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4275  df-if 4479  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4858  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5181  df-id 5523  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6436  df-fun 6486  df-fn 6487  df-f 6488  df-fv 6492  df-ov 7345  df-oprab 7346  df-mpo 7347  df-1st 7904  df-2nd 7905  df-map 8693
This theorem is referenced by:  ovnovollem1  44581  ovnovollem2  44582
  Copyright terms: Public domain W3C validator