Theorem mapss2 45780

Description: Subset inheritance for set exponentiation. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapss2.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
mapss2.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
mapss2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)
mapss2.n	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ ∅)

Assertion

Ref	Expression
mapss2	⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶)))

Proof of Theorem mapss2

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapss2.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑊)
2	1	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐵 ∈ 𝑊)
3		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
4		mapss 8875	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑊 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶))
5	2, 3, 4	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ⊆ 𝐵) → (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶))
6	5	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 → (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶)))
7		mapss2.n	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≠ ∅)
8		n0 4308	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶)
9	7, 8	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶)
10	9	adantr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶)) → ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶)
11		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦) = (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦))
12		eqidd 2766	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑤 = 𝑥) → 𝑦 = 𝑦)
13		simpr 489	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑥 ∈ 𝐶)
14		vex 3461	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑦 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ V)
16	11, 12, 13, 15	fvmptd 6987	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ((𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦)‘𝑥) = 𝑦)
17	16	eqcomd 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝑦 = ((𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦)‘𝑥))
18	17	ad4ant13 763	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 = ((𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦)‘𝑥))
19		simplr 780	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶))
20		simplr 780	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) ∧ 𝑤 ∈ 𝐶) → 𝑦 ∈ 𝐴)
21	20	fmpttd 7100	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦):𝐶⟶𝐴)
22		mapss2.a	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
23	22	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ 𝑉)
24		mapss2.c	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑍)
25	24	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝑍)
26	23, 25	elmapd 8825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦) ∈ (𝐴 ↑m 𝐶) ↔ (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦):𝐶⟶𝐴))
27	21, 26	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦) ∈ (𝐴 ↑m 𝐶))
28	27	adantlr 727	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦) ∈ (𝐴 ↑m 𝐶))
29	19, 28	sseldd 3940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦) ∈ (𝐵 ↑m 𝐶))
30		elmapi 8834	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦) ∈ (𝐵 ↑m 𝐶) → (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦):𝐶⟶𝐵)
31	29, 30	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶)) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦):𝐶⟶𝐵)
32	31	adantlr 727	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦):𝐶⟶𝐵)
33		simplr 780	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐶)
34	32, 33	ffvelcdmd 7070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑤 ∈ 𝐶 ↦ 𝑦)‘𝑥) ∈ 𝐵)
35	18, 34	eqeltrd 2865	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐵)
36	35	ralrimiva 3157	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)
37		dfss3 3928	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵)
38	36, 37	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
39	38	ex 417	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶)) → (𝑥 ∈ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
40	39	exlimdv 1956	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶)) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐶 → 𝐴 ⊆ 𝐵))
41	10, 40	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶)) → 𝐴 ⊆ 𝐵)
42	41	ex 417	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶) → 𝐴 ⊆ 𝐵))
43	6, 42	impbid 215	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐴 ↑m 𝐶) ⊆ (𝐵 ↑m 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1563  ∃wex 1802   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∀wral 3079  Vcvv 3457   ⊆ wss 3907  ∅c0 4288   ↦ cmpt 5186  ⟶wf 6521  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   ↑_m cmap 8812

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5547  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-fv 6533  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-map 8814

This theorem is referenced by:  ovnovollem1  47228  ovnovollem2  47229