Theorem mbfsub 25596

Description: The difference of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfsub	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfsub

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfadd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		mbff 25559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
4		elinel1 4160	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
5		ffvelcdm 7035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
7		mbfadd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
8		mbff 25559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ MblFn → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
10		elinel2 4161	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
11		ffvelcdm 7035	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
12	9, 10, 11	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
13	6, 12	negsubd 11515	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹‘𝑥) + -(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
14	13	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) + -(𝐺‘𝑥)))
15	14	mpteq2dva 5195	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) + -(𝐺‘𝑥))))
16	3	ffnd 6671	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
17	9	ffnd 6671	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn dom 𝐺)
18		mbfdm 25560	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
19	1, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
20		mbfdm 25560	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
21	7, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ dom vol)
22		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
23		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
24		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
25	16, 17, 19, 21, 22, 23, 24	offval 7642	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
26		inmbl 25476	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ dom 𝐺 ∈ dom vol) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
27	19, 21, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
28	12	negcld 11496	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → -(𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
29		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)))
30		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥)))
31	27, 6, 28, 29, 30	offval2 7653	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) + -(𝐺‘𝑥))))
32	15, 25, 31	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) = ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥))))
33		inss1 4196	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
34		resmpt 5997	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)))
35	33, 34	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)))
36	3	feqmptd 6911	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)))
37	36, 1	eqeltrrd 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn)
38		mbfres 25578	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
39	37, 27, 38	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
40	35, 39	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn)
41		inss2 4197	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
42		resmpt 5997	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥)))
43	41, 42	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥)))
44	9	feqmptd 6911	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)))
45	44, 7	eqeltrrd 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn)
46		mbfres 25578	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
47	45, 27, 46	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
48	43, 47	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn)
49	12, 48	mbfneg 25584	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn)
50	40, 49	mbfadd 25595	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn)
51	32, 50	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3910   ⊆ wss 3911   ↦ cmpt 5183  dom cdm 5631   ↾ cres 5633  ⟶wf 6495  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369   ∘_f cof 7631  ℂcc 11042   + caddc 11047   − cmin 11381  -cneg 11382  volcvol 25397  MblFncmbf 25548

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-inf2 9570  ax-cc 10364  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4907  df-iun 4953  df-disj 5070  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-se 5585  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-isom 6508  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-of 7633  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-1o 8411  df-2o 8412  df-oadd 8415  df-omul 8416  df-er 8648  df-map 8778  df-pm 8779  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-sup 9369  df-inf 9370  df-oi 9439  df-dju 9830  df-card 9868  df-acn 9871  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-2 12225  df-3 12226  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-rp 12928  df-xadd 13049  df-ioo 13286  df-ioc 13287  df-ico 13288  df-icc 13289  df-fz 13445  df-fzo 13592  df-fl 13730  df-seq 13943  df-exp 14003  df-hash 14272  df-cj 15041  df-re 15042  df-im 15043  df-sqrt 15177  df-abs 15178  df-clim 15430  df-rlim 15431  df-sum 15629  df-xmet 21289  df-met 21290  df-ovol 25398  df-vol 25399  df-mbf 25553

This theorem is referenced by:  mbfmul  25660  iblulm  26349