MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfsub 24559
Description: The difference of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfadd.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfadd.2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfsub (𝜑 → (𝐹f𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfsub
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfadd.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 mbff 24522 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
4 elinel1 4109 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
5 ffvelrn 6902 . . . . . . 7 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
63, 4, 5syl2an 599 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
7 mbfadd.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
8 mbff 24522 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ MblFn → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
10 elinel2 4110 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
11 ffvelrn 6902 . . . . . . 7 ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
129, 10, 11syl2an 599 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
136, 12negsubd 11195 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹𝑥) + -(𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)))
1413eqcomd 2743 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥)) = ((𝐹𝑥) + -(𝐺𝑥)))
1514mpteq2dva 5150 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) + -(𝐺𝑥))))
163ffnd 6546 . . . 4 (𝜑𝐹 Fn dom 𝐹)
179ffnd 6546 . . . 4 (𝜑𝐺 Fn dom 𝐺)
18 mbfdm 24523 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
191, 18syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
20 mbfdm 24523 . . . . 5 (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
217, 20syl 17 . . . 4 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ dom vol)
22 eqid 2737 . . . 4 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
23 eqidd 2738 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
24 eqidd 2738 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
2516, 17, 19, 21, 22, 23, 24offval 7477 . . 3 (𝜑 → (𝐹f𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) − (𝐺𝑥))))
26 inmbl 24439 . . . . 5 ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ dom 𝐺 ∈ dom vol) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
2719, 21, 26syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
2812negcld 11176 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → -(𝐺𝑥) ∈ ℂ)
29 eqidd 2738 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)))
30 eqidd 2738 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺𝑥)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺𝑥)))
3127, 6, 28, 29, 30offval2 7488 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) + -(𝐺𝑥))))
3215, 25, 313eqtr4d 2787 . 2 (𝜑 → (𝐹f𝐺) = ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺𝑥))))
33 inss1 4143 . . . . 5 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
34 resmpt 5905 . . . . 5 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)))
3533, 34mp1i 13 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)))
363feqmptd 6780 . . . . . 6 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)))
3736, 1eqeltrrd 2839 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn)
38 mbfres 24541 . . . . 5 (((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
3937, 27, 38syl2anc 587 . . . 4 (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
4035, 39eqeltrrd 2839 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn)
41 inss2 4144 . . . . . 6 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
42 resmpt 5905 . . . . . 6 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥)))
4341, 42mp1i 13 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥)))
449feqmptd 6780 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)))
4544, 7eqeltrrd 2839 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn)
46 mbfres 24541 . . . . . 6 (((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
4745, 27, 46syl2anc 587 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
4843, 47eqeltrrd 2839 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn)
4912, 48mbfneg 24547 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺𝑥)) ∈ MblFn)
5040, 49mbfadd 24558 . 2 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺𝑥))) ∈ MblFn)
5132, 50eqeltrd 2838 1 (𝜑 → (𝐹f𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399   = wceq 1543  wcel 2110  cin 3865  wss 3866  cmpt 5135  dom cdm 5551  cres 5553  wf 6376  cfv 6380  (class class class)co 7213  f cof 7467  cc 10727   + caddc 10732  cmin 11062  -cneg 11063  volcvol 24360  MblFncmbf 24511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-inf2 9256  ax-cc 10049  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-disj 5019  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-se 5510  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-isom 6389  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-of 7469  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-2o 8203  df-oadd 8206  df-omul 8207  df-er 8391  df-map 8510  df-pm 8511  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-oi 9126  df-dju 9517  df-card 9555  df-acn 9558  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-xadd 12705  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-ico 12941  df-icc 12942  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-fl 13367  df-seq 13575  df-exp 13636  df-hash 13897  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-clim 15049  df-rlim 15050  df-sum 15250  df-xmet 20356  df-met 20357  df-ovol 24361  df-vol 24362  df-mbf 24516
This theorem is referenced by:  mbfmul  24624  iblulm  25299
  Copyright terms: Public domain W3C validator