Theorem mbfsub 25563

Description: The difference of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfsub	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfsub

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfadd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		mbff 25526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
4		elinel1 4164	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
5		ffvelcdm 7053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
7		mbfadd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
8		mbff 25526	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ MblFn → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
10		elinel2 4165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
11		ffvelcdm 7053	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
12	9, 10, 11	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
13	6, 12	negsubd 11539	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹‘𝑥) + -(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
14	13	eqcomd 2735	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) + -(𝐺‘𝑥)))
15	14	mpteq2dva 5200	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) + -(𝐺‘𝑥))))
16	3	ffnd 6689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
17	9	ffnd 6689	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn dom 𝐺)
18		mbfdm 25527	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
19	1, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
20		mbfdm 25527	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
21	7, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ dom vol)
22		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
23		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
24		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
25	16, 17, 19, 21, 22, 23, 24	offval 7662	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
26		inmbl 25443	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ dom 𝐺 ∈ dom vol) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
27	19, 21, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
28	12	negcld 11520	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → -(𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
29		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)))
30		eqidd 2730	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥)))
31	27, 6, 28, 29, 30	offval2 7673	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) + -(𝐺‘𝑥))))
32	15, 25, 31	3eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) = ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥))))
33		inss1 4200	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
34		resmpt 6008	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)))
35	33, 34	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)))
36	3	feqmptd 6929	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)))
37	36, 1	eqeltrrd 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn)
38		mbfres 25545	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
39	37, 27, 38	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
40	35, 39	eqeltrrd 2829	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn)
41		inss2 4201	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
42		resmpt 6008	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥)))
43	41, 42	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥)))
44	9	feqmptd 6929	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)))
45	44, 7	eqeltrrd 2829	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn)
46		mbfres 25545	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
47	45, 27, 46	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
48	43, 47	eqeltrrd 2829	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn)
49	12, 48	mbfneg 25551	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn)
50	40, 49	mbfadd 25562	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn)
51	32, 50	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3913   ⊆ wss 3914   ↦ cmpt 5188  dom cdm 5638   ↾ cres 5640  ⟶wf 6507  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387   ∘_f cof 7651  ℂcc 11066   + caddc 11071   − cmin 11405  -cneg 11406  volcvol 25364  MblFncmbf 25515

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-inf2 9594  ax-cc 10388  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145  ax-pre-sup 11146

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-int 4911  df-iun 4957  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-se 5592  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-isom 6520  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-of 7653  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-2o 8435  df-oadd 8438  df-omul 8439  df-er 8671  df-map 8801  df-pm 8802  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-sup 9393  df-inf 9394  df-oi 9463  df-dju 9854  df-card 9892  df-acn 9895  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-div 11836  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-n0 12443  df-z 12530  df-uz 12794  df-q 12908  df-rp 12952  df-xadd 13073  df-ioo 13310  df-ioc 13311  df-ico 13312  df-icc 13313  df-fz 13469  df-fzo 13616  df-fl 13754  df-seq 13967  df-exp 14027  df-hash 14296  df-cj 15065  df-re 15066  df-im 15067  df-sqrt 15201  df-abs 15202  df-clim 15454  df-rlim 15455  df-sum 15653  df-xmet 21257  df-met 21258  df-ovol 25365  df-vol 25366  df-mbf 25520

This theorem is referenced by:  mbfmul  25627  iblulm  26316