Theorem mbfsub 25570

Description: The difference of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfadd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfadd.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfsub	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfsub

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfadd.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		mbff 25533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3	1, 2	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
4		elinel1 4167	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
5		ffvelcdm 7056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
6	3, 4, 5	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
7		mbfadd.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
8		mbff 25533	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ MblFn → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
9	7, 8	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
10		elinel2 4168	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
11		ffvelcdm 7056	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
12	9, 10, 11	syl2an 596	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
13	6, 12	negsubd 11546	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹‘𝑥) + -(𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)))
14	13	eqcomd 2736	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥)) = ((𝐹‘𝑥) + -(𝐺‘𝑥)))
15	14	mpteq2dva 5203	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) + -(𝐺‘𝑥))))
16	3	ffnd 6692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
17	9	ffnd 6692	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn dom 𝐺)
18		mbfdm 25534	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
19	1, 18	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
20		mbfdm 25534	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
21	7, 20	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ dom vol)
22		eqid 2730	. . . 4 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
23		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
24		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
25	16, 17, 19, 21, 22, 23, 24	offval 7665	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) − (𝐺‘𝑥))))
26		inmbl 25450	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ dom 𝐺 ∈ dom vol) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
27	19, 21, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
28	12	negcld 11527	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → -(𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
29		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)))
30		eqidd 2731	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥)))
31	27, 6, 28, 29, 30	offval2 7676	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) + -(𝐺‘𝑥))))
32	15, 25, 31	3eqtr4d 2775	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) = ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥))))
33		inss1 4203	. . . . 5 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
34		resmpt 6011	. . . . 5 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)))
35	33, 34	mp1i 13	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)))
36	3	feqmptd 6932	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)))
37	36, 1	eqeltrrd 2830	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn)
38		mbfres 25552	. . . . 5 ⊢ (((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
39	37, 27, 38	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
40	35, 39	eqeltrrd 2830	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn)
41		inss2 4204	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
42		resmpt 6011	. . . . . 6 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥)))
43	41, 42	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥)))
44	9	feqmptd 6932	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)))
45	44, 7	eqeltrrd 2830	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn)
46		mbfres 25552	. . . . . 6 ⊢ (((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
47	45, 27, 46	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
48	43, 47	eqeltrrd 2830	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn)
49	12, 48	mbfneg 25558	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn)
50	40, 49	mbfadd 25569	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∘f + (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn)
51	32, 50	eqeltrd 2829	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f − 𝐺) ∈ MblFn)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∩ cin 3916   ⊆ wss 3917   ↦ cmpt 5191  dom cdm 5641   ↾ cres 5643  ⟶wf 6510  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654  ℂcc 11073   + caddc 11078   − cmin 11412  -cneg 11413  volcvol 25371  MblFncmbf 25522

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-inf2 9601  ax-cc 10395  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152  ax-pre-sup 11153

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-disj 5078  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-se 5595  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-isom 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-2o 8438  df-oadd 8441  df-omul 8442  df-er 8674  df-map 8804  df-pm 8805  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-sup 9400  df-inf 9401  df-oi 9470  df-dju 9861  df-card 9899  df-acn 9902  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-div 11843  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-q 12915  df-rp 12959  df-xadd 13080  df-ioo 13317  df-ioc 13318  df-ico 13319  df-icc 13320  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-fl 13761  df-seq 13974  df-exp 14034  df-hash 14303  df-cj 15072  df-re 15073  df-im 15074  df-sqrt 15208  df-abs 15209  df-clim 15461  df-rlim 15462  df-sum 15660  df-xmet 21264  df-met 21265  df-ovol 25372  df-vol 25373  df-mbf 25527

This theorem is referenced by:  mbfmul  25634  iblulm  26323