MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfsub Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfsub 25170
Description: The difference of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 5-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfadd.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
mbfadd.2 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfsub (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfsub
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfadd.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
2 mbff 25133 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
31, 2syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
4 elinel1 4194 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐹)
5 ffvelcdm 7080 . . . . . . 7 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
63, 4, 5syl2an 596 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
7 mbfadd.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
8 mbff 25133 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ MblFn β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
97, 8syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
10 elinel2 4195 . . . . . . 7 (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ π‘₯ ∈ dom 𝐺)
11 ffvelcdm 7080 . . . . . . 7 ((𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
129, 10, 11syl2an 596 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
136, 12negsubd 11573 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) + -(πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)))
1413eqcomd 2738 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯)) = ((πΉβ€˜π‘₯) + -(πΊβ€˜π‘₯)))
1514mpteq2dva 5247 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + -(πΊβ€˜π‘₯))))
163ffnd 6715 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
179ffnd 6715 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 Fn dom 𝐺)
18 mbfdm 25134 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
191, 18syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
20 mbfdm 25134 . . . . 5 (𝐺 ∈ MblFn β†’ dom 𝐺 ∈ dom vol)
217, 20syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ dom 𝐺 ∈ dom vol)
22 eqid 2732 . . . 4 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
23 eqidd 2733 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘₯) = (πΉβ€˜π‘₯))
24 eqidd 2733 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘₯) = (πΊβ€˜π‘₯))
2516, 17, 19, 21, 22, 23, 24offval 7675 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) βˆ’ (πΊβ€˜π‘₯))))
26 inmbl 25050 . . . . 5 ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ dom 𝐺 ∈ dom vol) β†’ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
2719, 21, 26syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
2812negcld 11554 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ -(πΊβ€˜π‘₯) ∈ β„‚)
29 eqidd 2733 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
30 eqidd 2733 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(πΊβ€˜π‘₯)) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(πΊβ€˜π‘₯)))
3127, 6, 28, 29, 30offval2 7686 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∘f + (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(πΊβ€˜π‘₯))) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘₯) + -(πΊβ€˜π‘₯))))
3215, 25, 313eqtr4d 2782 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) = ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∘f + (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(πΊβ€˜π‘₯))))
33 inss1 4227 . . . . 5 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐹
34 resmpt 6035 . . . . 5 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐹 β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
3533, 34mp1i 13 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
363feqmptd 6957 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐹 = (π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)))
3736, 1eqeltrrd 2834 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn)
38 mbfres 25152 . . . . 5 (((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
3937, 27, 38syl2anc 584 . . . 4 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
4035, 39eqeltrrd 2834 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn)
41 inss2 4228 . . . . . 6 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐺
42 resmpt 6035 . . . . . 6 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐺 β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
4341, 42mp1i 13 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
449feqmptd 6957 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 = (π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)))
4544, 7eqeltrrd 2834 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn)
46 mbfres 25152 . . . . . 6 (((π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
4745, 27, 46syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) β†Ύ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
4843, 47eqeltrrd 2834 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΊβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn)
4912, 48mbfneg 25158 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(πΊβ€˜π‘₯)) ∈ MblFn)
5040, 49mbfadd 25169 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΉβ€˜π‘₯)) ∘f + (π‘₯ ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ -(πΊβ€˜π‘₯))) ∈ MblFn)
5132, 50eqeltrd 2833 1 (πœ‘ β†’ (𝐹 ∘f βˆ’ 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947   ↦ cmpt 5230  dom cdm 5675   β†Ύ cres 5677  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664  β„‚cc 11104   + caddc 11109   βˆ’ cmin 11440  -cneg 11441  volcvol 24971  MblFncmbf 25122
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xadd 13089  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-xmet 20929  df-met 20930  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127
This theorem is referenced by:  mbfmul  25235  iblulm  25910
  Copyright terms: Public domain W3C validator