Theorem mbfmul 25960

Description: The product of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
mbfmul.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)

Assertion

Ref	Expression
mbfmul	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmul

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbfmul.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ MblFn)
2		mbff 25859	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3	1, 2	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
4	3	ffnd 6707	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Fn dom 𝐹)
5		mbfmul.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ MblFn)
6		mbff 25859	. . . . 5 ⊢ (𝐺 ∈ MblFn → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
7	5, 6	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
8	7	ffnd 6707	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 Fn dom 𝐺)
9		mbfdm 25860	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
10	1, 9	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
11		mbfdm 25860	. . . 4 ⊢ (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
12	5, 11	syl 18	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom 𝐺 ∈ dom vol)
13		eqid 2762	. . 3 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
14		eqidd 2763	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))
15		eqidd 2763	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) = (𝐺‘𝑥))
16	4, 8, 10, 12, 13, 14, 15	offval 7691	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))))
17		elinel1 4150	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
18		ffvelcdm 7078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
19	3, 17, 18	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹‘𝑥) ∈ ℂ)
20		elinel2 4151	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
21		ffvelcdm 7078	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
22	7, 20, 21	syl2an 608	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺‘𝑥) ∈ ℂ)
23	19, 22	remuld 15309	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℜ‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) = (((ℜ‘(𝐹‘𝑥)) · (ℜ‘(𝐺‘𝑥))) − ((ℑ‘(𝐹‘𝑥)) · (ℑ‘(𝐺‘𝑥)))))
24	23	mpteq2dva 5202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (((ℜ‘(𝐹‘𝑥)) · (ℜ‘(𝐺‘𝑥))) − ((ℑ‘(𝐹‘𝑥)) · (ℑ‘(𝐺‘𝑥))))))
25		inmbl 25776	. . . . . . 7 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ dom 𝐺 ∈ dom vol) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
26	10, 12, 25	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
27		ovexd 7452	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((ℜ‘(𝐹‘𝑥)) · (ℜ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ V)
28		ovexd 7452	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((ℑ‘(𝐹‘𝑥)) · (ℑ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ V)
29	19	recld 15285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℜ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
30	22	recld 15285	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℜ‘(𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ)
31		eqidd 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))))
32		eqidd 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥))))
33	26, 29, 30, 31, 32	offval2 7702	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℜ‘(𝐹‘𝑥)) · (ℜ‘(𝐺‘𝑥)))))
34	19	imcld 15286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℑ‘(𝐹‘𝑥)) ∈ ℝ)
35	22	imcld 15286	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℑ‘(𝐺‘𝑥)) ∈ ℝ)
36		eqidd 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))))
37		eqidd 2763	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥))))
38	26, 34, 35, 36, 37	offval2 7702	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℑ‘(𝐹‘𝑥)) · (ℑ‘(𝐺‘𝑥)))))
39	26, 27, 28, 33, 38	offval2 7702	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥)))) ∘f − ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (((ℜ‘(𝐹‘𝑥)) · (ℜ‘(𝐺‘𝑥))) − ((ℑ‘(𝐹‘𝑥)) · (ℑ‘(𝐺‘𝑥))))))
40	24, 39	eqtr4d 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))) = (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥)))) ∘f − ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥))))))
41		inss1 4185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
42		resmpt 6037	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)))
43	41, 42	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥))
44	3	feqmptd 6950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)))
45	44, 1	eqeltrrd 2863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn)
46		mbfres 25878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
47	45, 26, 46	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
48	43, 47	eqeltrrid 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn)
49	19	ismbfcn2 25872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹‘𝑥)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)))
50	48, 49	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn))
51	50	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)
52		inss2 4186	. . . . . . . . . 10 ⊢ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
53		resmpt 6037	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥)))
54	52, 53	ax-mp 5	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥))
55	7	feqmptd 6950	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 = (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)))
56	55, 5	eqeltrrd 2863	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn)
57		mbfres 25878	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
58	56, 26, 57	syl2anc 596	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺‘𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
59	54, 58	eqeltrrid 2867	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn)
60	22	ismbfcn2 25872	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺‘𝑥)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn)))
61	59, 60	mpbid 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn))
62	61	simpld 500	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn)
63	29	fmpttd 7112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
64	30	fmpttd 7112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
65	51, 62, 63, 64	mbfmullem 25959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥)))) ∈ MblFn)
66	50	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∈ MblFn)
67	61	simprd 501	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn)
68	34	fmpttd 7112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
69	35	fmpttd 7112	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
70	66, 67, 68, 69	mbfmullem 25959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥)))) ∈ MblFn)
71	65, 70	mbfsub 25896	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥)))) ∘f − ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥))))) ∈ MblFn)
72	40, 71	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))) ∈ MblFn)
73	19, 22	immuld 15310	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℑ‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) = (((ℜ‘(𝐹‘𝑥)) · (ℑ‘(𝐺‘𝑥))) + ((ℑ‘(𝐹‘𝑥)) · (ℜ‘(𝐺‘𝑥)))))
74	73	mpteq2dva 5202	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (((ℜ‘(𝐹‘𝑥)) · (ℑ‘(𝐺‘𝑥))) + ((ℑ‘(𝐹‘𝑥)) · (ℜ‘(𝐺‘𝑥))))))
75		ovexd 7452	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((ℜ‘(𝐹‘𝑥)) · (ℑ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ V)
76		ovexd 7452	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((ℑ‘(𝐹‘𝑥)) · (ℜ‘(𝐺‘𝑥))) ∈ V)
77	26, 29, 35, 31, 37	offval2 7702	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℜ‘(𝐹‘𝑥)) · (ℑ‘(𝐺‘𝑥)))))
78	26, 34, 30, 36, 32	offval2 7702	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℑ‘(𝐹‘𝑥)) · (ℜ‘(𝐺‘𝑥)))))
79	26, 75, 76, 77, 78	offval2 7702	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥)))) ∘f + ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥))))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (((ℜ‘(𝐹‘𝑥)) · (ℑ‘(𝐺‘𝑥))) + ((ℑ‘(𝐹‘𝑥)) · (ℜ‘(𝐺‘𝑥))))))
80	74, 79	eqtr4d 2800	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))) = (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥)))) ∘f + ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥))))))
81	51, 67, 63, 69	mbfmullem 25959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥)))) ∈ MblFn)
82	66, 62, 68, 64	mbfmullem 25959	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥)))) ∈ MblFn)
83	81, 82	mbfadd 25895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺‘𝑥)))) ∘f + ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹‘𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺‘𝑥))))) ∈ MblFn)
84	80, 83	eqeltrd 2862	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))) ∈ MblFn)
85	19, 22	mulcld 11257	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)) ∈ ℂ)
86	85	ismbfcn2 25872	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥)))) ∈ MblFn)))
87	72, 84, 86	mpbir2and 726	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹‘𝑥) · (𝐺‘𝑥))) ∈ MblFn)
88	16, 87	eqeltrd 2862	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘f · 𝐺) ∈ MblFn)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  Vcvv 3453   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902   ↦ cmpt 5190  dom cdm 5659   ↾ cres 5661  ⟶wf 6533  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∘_f cof 7680  ℂcc 11126  ℝcr 11127   + caddc 11131   · cmul 11133   − cmin 11469  ℜcre 15188  ℑcim 15189  volcvol 25697  MblFncmbf 25848

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-inf2 9624  ax-cc 10441  ax-cnex 11184  ax-resscn 11185  ax-1cn 11186  ax-icn 11187  ax-addcl 11188  ax-addrcl 11189  ax-mulcl 11190  ax-mulrcl 11191  ax-mulcom 11192  ax-addass 11193  ax-mulass 11194  ax-distr 11195  ax-i2m1 11196  ax-1ne0 11197  ax-1rid 11198  ax-rnegex 11199  ax-rrecex 11200  ax-cnre 11201  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203  ax-pre-ltadd 11204  ax-pre-mulgt0 11205  ax-pre-sup 11206

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-disj 5075  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-se 5613  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7374  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-2o 8460  df-oadd 8463  df-omul 8464  df-er 8700  df-map 8832  df-pm 8833  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-fin 8960  df-fi 9385  df-sup 9416  df-inf 9417  df-oi 9486  df-dju 9910  df-card 9948  df-acn 9951  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-xr 11275  df-ltxr 11276  df-le 11277  df-sub 11471  df-neg 11472  df-div 11900  df-nn 12262  df-2 12331  df-3 12332  df-n0 12533  df-z 12620  df-uz 12892  df-q 13002  df-rp 13047  df-xneg 13167  df-xadd 13168  df-xmul 13169  df-ioo 13406  df-ioc 13407  df-ico 13408  df-icc 13409  df-fz 13566  df-fzo 13714  df-fl 13857  df-seq 14070  df-exp 14130  df-hash 14399  df-cj 15190  df-re 15191  df-im 15192  df-sqrt 15326  df-abs 15327  df-limsup 15562  df-clim 15579  df-rlim 15580  df-sum 15778  df-rest 17513  df-topgen 17534  df-psmet 21583  df-xmet 21584  df-met 21585  df-bl 21586  df-mopn 21587  df-top 23125  df-topon 23142  df-bases 23177  df-cmp 23618  df-ovol 25698  df-vol 25699  df-mbf 25853  df-itg1 25854  df-0p 25904

This theorem is used by:  bddmulibl  26073