MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mbfmul Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mbfmul 25747
Description: The product of two measurable functions is measurable. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
mbfmul.1 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
mbfmul.2 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
Assertion
Ref Expression
mbfmul (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) ∈ MblFn)

Proof of Theorem mbfmul
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfmul.1 . . . . 5 (𝜑𝐹 ∈ MblFn)
2 mbff 25645 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
31, 2syl 17 . . . 4 (𝜑𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
43ffnd 6729 . . 3 (𝜑𝐹 Fn dom 𝐹)
5 mbfmul.2 . . . . 5 (𝜑𝐺 ∈ MblFn)
6 mbff 25645 . . . . 5 (𝐺 ∈ MblFn → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
75, 6syl 17 . . . 4 (𝜑𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
87ffnd 6729 . . 3 (𝜑𝐺 Fn dom 𝐺)
9 mbfdm 25646 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
101, 9syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝐹 ∈ dom vol)
11 mbfdm 25646 . . . 4 (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
125, 11syl 17 . . 3 (𝜑 → dom 𝐺 ∈ dom vol)
13 eqid 2726 . . 3 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
14 eqidd 2727 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) = (𝐹𝑥))
15 eqidd 2727 . . 3 ((𝜑𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) = (𝐺𝑥))
164, 8, 10, 12, 13, 14, 15offval 7699 . 2 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))))
17 elinel1 4196 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
18 ffvelcdm 7095 . . . . . . . 8 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
193, 17, 18syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹𝑥) ∈ ℂ)
20 elinel2 4197 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
21 ffvelcdm 7095 . . . . . . . 8 ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
227, 20, 21syl2an 594 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺𝑥) ∈ ℂ)
2319, 22remuld 15223 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℜ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) = (((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))) − ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥)))))
2423mpteq2dva 5253 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))) − ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))))))
25 inmbl 25562 . . . . . . 7 ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ dom 𝐺 ∈ dom vol) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
2610, 12, 25syl2anc 582 . . . . . 6 (𝜑 → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
27 ovexd 7459 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))) ∈ V)
28 ovexd 7459 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))) ∈ V)
2919recld 15199 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℜ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
3022recld 15199 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℜ‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
31 eqidd 2727 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))))
32 eqidd 2727 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))))
3326, 29, 30, 31, 32offval2 7710 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥)))))
3419imcld 15200 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℑ‘(𝐹𝑥)) ∈ ℝ)
3522imcld 15200 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℑ‘(𝐺𝑥)) ∈ ℝ)
36 eqidd 2727 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))))
37 eqidd 2727 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))))
3826, 34, 35, 36, 37offval2 7710 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥)))))
3926, 27, 28, 33, 38offval2 7710 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) ∘f − ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))) − ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))))))
4024, 39eqtr4d 2769 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) = (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) ∘f − ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))))))
41 inss1 4230 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹
42 resmpt 6046 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐹 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)))
4341, 42ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥))
443feqmptd 6971 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹 = (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)))
4544, 1eqeltrrd 2827 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn)
46 mbfres 25664 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
4745, 26, 46syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
4843, 47eqeltrrid 2831 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn)
4919ismbfcn2 25658 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐹𝑥)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)))
5048, 49mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn))
5150simpld 493 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
52 inss2 4231 . . . . . . . . . 10 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
53 resmpt 6046 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥)))
5452, 53ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥))
557feqmptd 6971 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐺 = (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)))
5655, 5eqeltrrd 2827 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn)
57 mbfres 25664 . . . . . . . . . 10 (((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol) → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
5856, 26, 57syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑥 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑥)) ↾ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) ∈ MblFn)
5954, 58eqeltrrid 2831 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn)
6022ismbfcn2 25658 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑥)) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn)))
6159, 60mpbid 231 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn))
6261simpld 493 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn)
6329fmpttd 7129 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
6430fmpttd 7129 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
6551, 62, 63, 64mbfmullem 25746 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
6650simprd 494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∈ MblFn)
6761simprd 494 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))) ∈ MblFn)
6834fmpttd 7129 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
6935fmpttd 7129 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℝ)
7066, 67, 68, 69mbfmullem 25746 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
7165, 70mbfsub 25682 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) ∘f − ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥))))) ∈ MblFn)
7240, 71eqeltrd 2826 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
7319, 22immuld 15224 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (ℑ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) = (((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))) + ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥)))))
7473mpteq2dva 5253 . . . . 5 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))) + ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))))))
75 ovexd 7459 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))) ∈ V)
76 ovexd 7459 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))) ∈ V)
7726, 29, 35, 31, 37offval2 7710 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥)))))
7826, 34, 30, 36, 32offval2 7710 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥)))))
7926, 75, 76, 77, 78offval2 7710 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) ∘f + ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))))) = (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (((ℜ‘(𝐹𝑥)) · (ℑ‘(𝐺𝑥))) + ((ℑ‘(𝐹𝑥)) · (ℜ‘(𝐺𝑥))))))
8074, 79eqtr4d 2769 . . . 4 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) = (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) ∘f + ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))))))
8151, 67, 63, 69mbfmullem 25746 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
8266, 62, 68, 64mbfmullem 25746 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
8381, 82mbfadd 25681 . . . 4 (𝜑 → (((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐹𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐺𝑥)))) ∘f + ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘(𝐹𝑥))) ∘f · (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘(𝐺𝑥))))) ∈ MblFn)
8480, 83eqeltrd 2826 . . 3 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)
8519, 22mulcld 11284 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)) ∈ ℂ)
8685ismbfcn2 25658 . . 3 (𝜑 → ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ MblFn ↔ ((𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℜ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ MblFn ∧ (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (ℑ‘((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥)))) ∈ MblFn)))
8772, 84, 86mpbir2and 711 . 2 (𝜑 → (𝑥 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑥) · (𝐺𝑥))) ∈ MblFn)
8816, 87eqeltrd 2826 1 (𝜑 → (𝐹f · 𝐺) ∈ MblFn)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 394   = wceq 1534  wcel 2099  Vcvv 3462  cin 3946  wss 3947  cmpt 5236  dom cdm 5682  cres 5684  wf 6550  cfv 6554  (class class class)co 7424  f cof 7688  cc 11156  cr 11157   + caddc 11161   · cmul 11163  cmin 11494  cre 15102  cim 15103  volcvol 25483  MblFncmbf 25634
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5290  ax-sep 5304  ax-nul 5311  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-inf2 9684  ax-cc 10478  ax-cnex 11214  ax-resscn 11215  ax-1cn 11216  ax-icn 11217  ax-addcl 11218  ax-addrcl 11219  ax-mulcl 11220  ax-mulrcl 11221  ax-mulcom 11222  ax-addass 11223  ax-mulass 11224  ax-distr 11225  ax-i2m1 11226  ax-1ne0 11227  ax-1rid 11228  ax-rnegex 11229  ax-rrecex 11230  ax-cnre 11231  ax-pre-lttri 11232  ax-pre-lttrn 11233  ax-pre-ltadd 11234  ax-pre-mulgt0 11235  ax-pre-sup 11236
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4914  df-int 4955  df-iun 5003  df-disj 5119  df-br 5154  df-opab 5216  df-mpt 5237  df-tr 5271  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6312  df-ord 6379  df-on 6380  df-lim 6381  df-suc 6382  df-iota 6506  df-fun 6556  df-fn 6557  df-f 6558  df-f1 6559  df-fo 6560  df-f1o 6561  df-fv 6562  df-isom 6563  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-of 7690  df-ofr 7691  df-om 7877  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-frecs 8296  df-wrecs 8327  df-recs 8401  df-rdg 8440  df-1o 8496  df-2o 8497  df-oadd 8500  df-omul 8501  df-er 8734  df-map 8857  df-pm 8858  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-fin 8978  df-fi 9454  df-sup 9485  df-inf 9486  df-oi 9553  df-dju 9944  df-card 9982  df-acn 9985  df-pnf 11300  df-mnf 11301  df-xr 11302  df-ltxr 11303  df-le 11304  df-sub 11496  df-neg 11497  df-div 11922  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-n0 12525  df-z 12611  df-uz 12875  df-q 12985  df-rp 13029  df-xneg 13146  df-xadd 13147  df-xmul 13148  df-ioo 13382  df-ioc 13383  df-ico 13384  df-icc 13385  df-fz 13539  df-fzo 13682  df-fl 13812  df-seq 14022  df-exp 14082  df-hash 14348  df-cj 15104  df-re 15105  df-im 15106  df-sqrt 15240  df-abs 15241  df-limsup 15473  df-clim 15490  df-rlim 15491  df-sum 15691  df-rest 17437  df-topgen 17458  df-psmet 21335  df-xmet 21336  df-met 21337  df-bl 21338  df-mopn 21339  df-top 22887  df-topon 22904  df-bases 22940  df-cmp 23382  df-ovol 25484  df-vol 25485  df-mbf 25639  df-itg1 25640  df-0p 25690
This theorem is referenced by:  bddmulibl  25859
  Copyright terms: Public domain W3C validator