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Theorem bddmulibl 25786
Description: A bounded function times an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
bddmulibl ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐺,𝑦
Proof of Theorem bddmulibl
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbff 25572 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
21ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
32ffnd 6718 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
4 iblmbf 25715 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ 𝐿1 β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
54ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
6 mbff 25572 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ MblFn β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
87ffnd 6718 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐺 Fn dom 𝐺)
9 mbfdm 25573 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
109ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
11 mbfdm 25573 . . . . . 6 (𝐺 ∈ MblFn β†’ dom 𝐺 ∈ dom vol)
125, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ dom 𝐺 ∈ dom vol)
13 eqid 2725 . . . . 5 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
14 eqidd 2726 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
15 eqidd 2726 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
163, 8, 10, 12, 13, 14, 15offval 7691 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
17 ovexd 7451 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ V)
18 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
1918, 5mbfmul 25674 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn)
2016, 19eqeltrrd 2826 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ MblFn)
21 absf 15316 . . . . . . . . 9 abs:β„‚βŸΆβ„
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
2320, 17mbfmptcl 25583 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
2422, 23cofmpt 7137 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (abs ∘ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) = (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))))
2523fmpttd 7120 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)βŸΆβ„‚)
26 ax-resscn 11195 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
27 ssid 3995 . . . . . . . . . . 11 β„‚ βŠ† β„‚
28 cncfss 24837 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℂ–cn→ℝ) βŠ† (ℂ–cnβ†’β„‚))
2926, 27, 28mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (ℂ–cn→ℝ) βŠ† (ℂ–cnβ†’β„‚)
30 abscncf 24839 . . . . . . . . . 10 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
3129, 30sselii 3969 . . . . . . . . 9 abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
33 cncombf 25605 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ MblFn ∧ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)βŸΆβ„‚ ∧ abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)) β†’ (abs ∘ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ MblFn)
3420, 25, 32, 33syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (abs ∘ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ MblFn)
3524, 34eqeltrrd 2826 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ MblFn)
3623abscld 15415 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ ℝ)
3736rexrd 11294 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ ℝ*)
3823absge0d 15423 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
39 elxrge0 13466 . . . . . . . . . . 11 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))))
4037, 38, 39sylanbrc 581 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ (0[,]+∞))
41 0e0iccpnf 13468 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0[,]+∞)
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
4340, 42ifclda 4559 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ∈ (0[,]+∞))
4443adantr 479 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ∈ (0[,]+∞))
4544fmpttd 7120 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
46 reex 11229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ ℝ ∈ V)
48 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4948ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
50 elinel2 4190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ 𝑧 ∈ dom 𝐺)
51 ffvelcdm 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
527, 50, 51syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
5352abscld 15415 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
5452absge0d 15423 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
55 elrege0 13463 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
5653, 54, 55sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ (0[,)+∞))
57 0e0icopnf 13467 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ (0[,)+∞)
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ∈ (0[,)+∞))
5956, 58ifclda 4559 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0) ∈ (0[,)+∞))
6059ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0) ∈ (0[,)+∞))
61 fconstmpt 5734 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ Γ— {π‘₯}) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ π‘₯)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (ℝ Γ— {π‘₯}) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ π‘₯))
63 eqidd 2726 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)))
6447, 49, 60, 62, 63offval2 7702 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ ((ℝ Γ— {π‘₯}) ∘f Β· (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ Β· if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))))
65 ovif2 7516 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ Β· if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)) = if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), (π‘₯ Β· 0))
6648recnd 11272 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
6766adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
6867mul01d 11443 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (π‘₯ Β· 0) = 0)
6968ifeq2d 4544 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), (π‘₯ Β· 0)) = if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))
7065, 69eqtrid 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (π‘₯ Β· if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)) = if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))
7170mpteq2dv 5245 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ Β· if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)))
7264, 71eqtrd 2765 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ ((ℝ Γ— {π‘₯}) ∘f Β· (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)))
7372fveq2d 6896 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {π‘₯}) ∘f Β· (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)))) = (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))))
7459adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0) ∈ (0[,)+∞))
7574fmpttd 7120 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
7675adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
77 inss2 4224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐺
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐺)
7920, 17mbfdm2 25584 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
807ffvelcdmda 7089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
817feqmptd 6962 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
82 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
8381, 82eqeltrrd 2826 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘§)) ∈ 𝐿1)
8478, 79, 80, 83iblss 25752 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) ∈ 𝐿1)
8552, 84iblabs 25776 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ 𝐿1)
8653, 54iblpos 25740 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ)))
8785, 86mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ))
8887simprd 494 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ)
8988adantr 479 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ)
90 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
91 neq0 4341 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
92 0re 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ∈ ℝ)
94 elinel1 4189 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ 𝑧 ∈ dom 𝐹)
95 ffvelcdm 7086 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
962, 94, 95syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
9796abscld 15415 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
98 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
9996absge0d 15423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
100 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
101 2fveq3 6897 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
102101breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑧 β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯))
103102rspccva 3600 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
104100, 94, 103syl2an 594 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
10593, 97, 98, 99, 104letrd 11401 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
106105ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ 0 ≀ π‘₯))
107106exlimdv 1928 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ 0 ≀ π‘₯))
10891, 107biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ 0 ≀ π‘₯))
109108imp 405 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ 0 ≀ π‘₯)
110 elrege0 13463 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
11190, 109, 110sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ π‘₯ ∈ (0[,)+∞))
11276, 89, 111itg2mulc 25695 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {π‘₯}) ∘f Β· (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)))) = (π‘₯ Β· (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)))))
11373, 112eqtr3d 2767 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) = (π‘₯ Β· (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)))))
11490, 89remulcld 11274 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (π‘₯ Β· (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)))) ∈ ℝ)
115113, 114eqeltrd 2825 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ)
116115ex 411 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ))
117 noel 4326 . . . . . . . . . . . . . 14 Β¬ 𝑧 ∈ βˆ…
118 eleq2 2814 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↔ 𝑧 ∈ βˆ…))
119117, 118mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
120 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0) = 0)
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0) = 0)
122121mpteq2dv 5245 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0))
123 fconstmpt 5734 . . . . . . . . . . 11 (ℝ Γ— {0}) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0)
124122, 123eqtr4di 2783 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)) = (ℝ Γ— {0}))
125124fveq2d 6896 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) = (∫2β€˜(ℝ Γ— {0})))
126 itg20 25685 . . . . . . . . . 10 (∫2β€˜(ℝ Γ— {0})) = 0
127126, 92eqeltri 2821 . . . . . . . . 9 (∫2β€˜(ℝ Γ— {0})) ∈ ℝ
128125, 127eqeltrdi 2833 . . . . . . . 8 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ)
129116, 128pm2.61d2 181 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ)
13098, 53remulcld 11274 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ ℝ)
131130rexrd 11294 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ ℝ*)
13298, 53, 105, 54mulge0d 11821 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
133 elxrge0 13466 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))))
134131, 132, 133sylanbrc 581 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ (0[,]+∞))
135134, 42ifclda 4559 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0) ∈ (0[,]+∞))
136135adantr 479 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0) ∈ (0[,]+∞))
137136fmpttd 7120 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
13896, 52absmuld 15433 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) = ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
139 abscl 15257 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
140 absge0 15266 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚ β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
141139, 140jca 510 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚ β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
14252, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
143 lemul1a 12098 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))) ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
14497, 98, 142, 104, 143syl31anc 1370 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
145138, 144eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
146 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
147146adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
148 iftrue 4530 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0) = (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
149148adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0) = (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
150145, 147, 1493brtr4d 5175 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ≀ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))
151 0le0 12343 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≀ 0
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ 0 ≀ 0)
153 iffalse 4533 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) = 0)
154152, 153, 1203brtr4d 5175 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ≀ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))
155154adantl 480 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ≀ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))
156150, 155pm2.61dan 811 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ≀ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))
157156ralrimivw 3140 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ≀ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))
15846a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ℝ ∈ V)
159 eqidd 2726 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)))
160 eqidd 2726 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)))
161158, 44, 136, 159, 160ofrfval2 7703 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ≀ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)))
162157, 161mpbird 256 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)))
163 itg2le 25687 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))))
16445, 137, 162, 163syl3anc 1368 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))))
165 itg2lecl 25686 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)))) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ)
16645, 129, 164, 165syl3anc 1368 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ)
16736, 38iblpos 25740 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ)))
16835, 166, 167mpbir2and 711 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ 𝐿1)
16917, 20, 168iblabsr 25777 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ 𝐿1)
17016, 169eqeltrd 2825 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ 𝐿1)
171170rexlimdvaa 3146 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ 𝐿1))
1721713impia 1114 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533  βˆƒwex 1773   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051  βˆƒwrex 3060  Vcvv 3463   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318  ifcif 4524  {csn 4624   class class class wbr 5143   ↦ cmpt 5226   Γ— cxp 5670  dom cdm 5672   ∘ ccom 5676  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416   ∘f cof 7680   ∘r cofr 7681  β„‚cc 11136  β„cr 11137  0cc0 11138   Β· cmul 11143  +∞cpnf 11275  β„*cxr 11277   ≀ cle 11279  [,)cico 13358  [,]cicc 13359  abscabs 15213  β€“cnβ†’ccncf 24814  volcvol 25410  MblFncmbf 25561  βˆ«2citg2 25563  πΏ1cibl 25564
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-inf2 9664  ax-cc 10458  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216  ax-addf 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-disj 5109  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-of 7682  df-ofr 7683  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-supp 8164  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-2o 8486  df-oadd 8489  df-omul 8490  df-er 8723  df-map 8845  df-pm 8846  df-ixp 8915  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-fsupp 9386  df-fi 9434  df-sup 9465  df-inf 9466  df-oi 9533  df-dju 9924  df-card 9962  df-acn 9965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-9 12312  df-n0 12503  df-z 12589  df-dec 12708  df-uz 12853  df-q 12963  df-rp 13007  df-xneg 13124  df-xadd 13125  df-xmul 13126  df-ioo 13360  df-ioc 13361  df-ico 13362  df-icc 13363  df-fz 13517  df-fzo 13660  df-fl 13789  df-mod 13867  df-seq 13999  df-exp 14059  df-hash 14322  df-cj 15078  df-re 15079  df-im 15080  df-sqrt 15214  df-abs 15215  df-limsup 15447  df-clim 15464  df-rlim 15465  df-sum 15665  df-struct 17115  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17180  df-ress 17209  df-plusg 17245  df-mulr 17246  df-starv 17247  df-sca 17248  df-vsca 17249  df-ip 17250  df-tset 17251  df-ple 17252  df-ds 17254  df-unif 17255  df-hom 17256  df-cco 17257  df-rest 17403  df-topn 17404  df-0g 17422  df-gsum 17423  df-topgen 17424  df-pt 17425  df-prds 17428  df-xrs 17483  df-qtop 17488  df-imas 17489  df-xps 17491  df-mre 17565  df-mrc 17566  df-acs 17568  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-submnd 18740  df-mulg 19028  df-cntz 19272  df-cmn 19741  df-psmet 21275  df-xmet 21276  df-met 21277  df-bl 21278  df-mopn 21279  df-cnfld 21284  df-top 22814  df-topon 22831  df-topsp 22853  df-bases 22867  df-cn 23149  df-cnp 23150  df-cmp 23309  df-tx 23484  df-hmeo 23677  df-xms 24244  df-ms 24245  df-tms 24246  df-cncf 24816  df-ovol 25411  df-vol 25412  df-mbf 25566  df-itg1 25567  df-itg2 25568  df-ibl 25569  df-0p 25617
This theorem is referenced by:  bddibl  25787  itgsubstlem  26001  3factsumint1  41548  fourierdlem16  45574  fourierdlem21  45579  fourierdlem22  45580  fourierdlem83  45640
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