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Theorem bddmulibl 25125
Description: A bounded function times an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
bddmulibl ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐺,𝑦

Proof of Theorem bddmulibl
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbff 24911 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
21ad2antrr 725 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
32ffnd 6665 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
4 iblmbf 25054 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ 𝐿1 β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
54ad2antlr 726 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
6 mbff 24911 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ MblFn β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
87ffnd 6665 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐺 Fn dom 𝐺)
9 mbfdm 24912 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
109ad2antrr 725 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
11 mbfdm 24912 . . . . . 6 (𝐺 ∈ MblFn β†’ dom 𝐺 ∈ dom vol)
125, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ dom 𝐺 ∈ dom vol)
13 eqid 2738 . . . . 5 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
14 eqidd 2739 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
15 eqidd 2739 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
163, 8, 10, 12, 13, 14, 15offval 7617 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
17 ovexd 7385 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ V)
18 simpll 766 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
1918, 5mbfmul 25013 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn)
2016, 19eqeltrrd 2840 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ MblFn)
21 absf 15157 . . . . . . . . 9 abs:β„‚βŸΆβ„
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
2320, 17mbfmptcl 24922 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
2422, 23cofmpt 7073 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (abs ∘ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) = (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))))
2523fmpttd 7058 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)βŸΆβ„‚)
26 ax-resscn 11042 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
27 ssid 3965 . . . . . . . . . . 11 β„‚ βŠ† β„‚
28 cncfss 24184 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℂ–cn→ℝ) βŠ† (ℂ–cnβ†’β„‚))
2926, 27, 28mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (ℂ–cn→ℝ) βŠ† (ℂ–cnβ†’β„‚)
30 abscncf 24186 . . . . . . . . . 10 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
3129, 30sselii 3940 . . . . . . . . 9 abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
33 cncombf 24944 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ MblFn ∧ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)βŸΆβ„‚ ∧ abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)) β†’ (abs ∘ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ MblFn)
3420, 25, 32, 33syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (abs ∘ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ MblFn)
3524, 34eqeltrrd 2840 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ MblFn)
3623abscld 15256 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ ℝ)
3736rexrd 11139 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ ℝ*)
3823absge0d 15264 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
39 elxrge0 13303 . . . . . . . . . . 11 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))))
4037, 38, 39sylanbrc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ (0[,]+∞))
41 0e0iccpnf 13305 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0[,]+∞)
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
4340, 42ifclda 4520 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ∈ (0[,]+∞))
4443adantr 482 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ∈ (0[,]+∞))
4544fmpttd 7058 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
46 reex 11076 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ ℝ ∈ V)
48 simprl 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4948ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
50 elinel2 4155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ 𝑧 ∈ dom 𝐺)
51 ffvelcdm 7028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
527, 50, 51syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
5352abscld 15256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
5452absge0d 15264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
55 elrege0 13300 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
5653, 54, 55sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ (0[,)+∞))
57 0e0icopnf 13304 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ (0[,)+∞)
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ∈ (0[,)+∞))
5956, 58ifclda 4520 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0) ∈ (0[,)+∞))
6059ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0) ∈ (0[,)+∞))
61 fconstmpt 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ Γ— {π‘₯}) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ π‘₯)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (ℝ Γ— {π‘₯}) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ π‘₯))
63 eqidd 2739 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)))
6447, 49, 60, 62, 63offval2 7628 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ ((ℝ Γ— {π‘₯}) ∘f Β· (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ Β· if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))))
65 ovif2 7448 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ Β· if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)) = if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), (π‘₯ Β· 0))
6648recnd 11117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
6766adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
6867mul01d 11288 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (π‘₯ Β· 0) = 0)
6968ifeq2d 4505 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), (π‘₯ Β· 0)) = if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))
7065, 69eqtrid 2790 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (π‘₯ Β· if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)) = if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))
7170mpteq2dv 5206 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ Β· if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)))
7264, 71eqtrd 2778 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ ((ℝ Γ— {π‘₯}) ∘f Β· (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)))
7372fveq2d 6842 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {π‘₯}) ∘f Β· (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)))) = (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))))
7459adantr 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0) ∈ (0[,)+∞))
7574fmpttd 7058 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
7675adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
77 inss2 4188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐺
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐺)
7920, 17mbfdm2 24923 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
807ffvelcdmda 7030 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
817feqmptd 6906 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
82 simplr 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
8381, 82eqeltrrd 2840 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘§)) ∈ 𝐿1)
8478, 79, 80, 83iblss 25091 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) ∈ 𝐿1)
8552, 84iblabs 25115 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ 𝐿1)
8653, 54iblpos 25079 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ)))
8785, 86mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ))
8887simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ)
8988adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ)
90 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
91 neq0 4304 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
92 0re 11091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ∈ ℝ)
94 elinel1 4154 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ 𝑧 ∈ dom 𝐹)
95 ffvelcdm 7028 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
962, 94, 95syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
9796abscld 15256 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
98 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
9996absge0d 15264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
100 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
101 2fveq3 6843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
102101breq1d 5114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑧 β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯))
103102rspccva 3579 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
104100, 94, 103syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
10593, 97, 98, 99, 104letrd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
106105ex 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ 0 ≀ π‘₯))
107106exlimdv 1937 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ 0 ≀ π‘₯))
10891, 107biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ 0 ≀ π‘₯))
109108imp 408 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ 0 ≀ π‘₯)
110 elrege0 13300 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
11190, 109, 110sylanbrc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ π‘₯ ∈ (0[,)+∞))
11276, 89, 111itg2mulc 25034 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {π‘₯}) ∘f Β· (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)))) = (π‘₯ Β· (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)))))
11373, 112eqtr3d 2780 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) = (π‘₯ Β· (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)))))
11490, 89remulcld 11119 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (π‘₯ Β· (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)))) ∈ ℝ)
115113, 114eqeltrd 2839 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ)
116115ex 414 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ))
117 noel 4289 . . . . . . . . . . . . . 14 Β¬ 𝑧 ∈ βˆ…
118 eleq2 2827 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↔ 𝑧 ∈ βˆ…))
119117, 118mtbiri 327 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
120 iffalse 4494 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0) = 0)
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0) = 0)
122121mpteq2dv 5206 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0))
123 fconstmpt 5691 . . . . . . . . . . 11 (ℝ Γ— {0}) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0)
124122, 123eqtr4di 2796 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)) = (ℝ Γ— {0}))
125124fveq2d 6842 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) = (∫2β€˜(ℝ Γ— {0})))
126 itg20 25024 . . . . . . . . . 10 (∫2β€˜(ℝ Γ— {0})) = 0
127126, 92eqeltri 2835 . . . . . . . . 9 (∫2β€˜(ℝ Γ— {0})) ∈ ℝ
128125, 127eqeltrdi 2847 . . . . . . . 8 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ)
129116, 128pm2.61d2 181 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ)
13098, 53remulcld 11119 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ ℝ)
131130rexrd 11139 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ ℝ*)
13298, 53, 105, 54mulge0d 11666 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
133 elxrge0 13303 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))))
134131, 132, 133sylanbrc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ (0[,]+∞))
135134, 42ifclda 4520 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0) ∈ (0[,]+∞))
136135adantr 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0) ∈ (0[,]+∞))
137136fmpttd 7058 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
13896, 52absmuld 15274 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) = ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
139 abscl 15098 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
140 absge0 15107 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚ β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
141139, 140jca 513 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚ β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
14252, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
143 lemul1a 11943 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))) ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
14497, 98, 142, 104, 143syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
145138, 144eqbrtrd 5126 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
146 iftrue 4491 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
147146adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
148 iftrue 4491 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0) = (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
149148adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0) = (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
150145, 147, 1493brtr4d 5136 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ≀ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))
151 0le0 12188 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≀ 0
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ 0 ≀ 0)
153 iffalse 4494 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) = 0)
154152, 153, 1203brtr4d 5136 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ≀ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))
155154adantl 483 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ≀ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))
156150, 155pm2.61dan 812 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ≀ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))
157156ralrimivw 3146 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ≀ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))
15846a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ℝ ∈ V)
159 eqidd 2739 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)))
160 eqidd 2739 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)))
161158, 44, 136, 159, 160ofrfval2 7629 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ≀ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)))
162157, 161mpbird 257 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)))
163 itg2le 25026 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))))
16445, 137, 162, 163syl3anc 1372 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))))
165 itg2lecl 25025 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)))) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ)
16645, 129, 164, 165syl3anc 1372 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ)
16736, 38iblpos 25079 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ)))
16835, 166, 167mpbir2and 712 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ 𝐿1)
16917, 20, 168iblabsr 25116 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ 𝐿1)
17016, 169eqeltrd 2839 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ 𝐿1)
171170rexlimdvaa 3152 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ 𝐿1))
1721713impia 1118 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3063  βˆƒwrex 3072  Vcvv 3444   ∩ cin 3908   βŠ† wss 3909  βˆ…c0 4281  ifcif 4485  {csn 4585   class class class wbr 5104   ↦ cmpt 5187   Γ— cxp 5629  dom cdm 5631   ∘ ccom 5635  βŸΆwf 6488  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350   ∘f cof 7606   ∘r cofr 7607  β„‚cc 10983  β„cr 10984  0cc0 10985   Β· cmul 10990  +∞cpnf 11120  β„*cxr 11122   ≀ cle 11124  [,)cico 13195  [,]cicc 13196  abscabs 15053  β€“cnβ†’ccncf 24161  volcvol 24749  MblFncmbf 24900  βˆ«2citg2 24902  πΏ1cibl 24903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-rep 5241  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-inf2 9511  ax-cc 10305  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062  ax-pre-sup 11063  ax-addf 11064  ax-mulf 11065
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-int 4907  df-iun 4955  df-iin 4956  df-disj 5070  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-se 5587  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-of 7608  df-ofr 7609  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-supp 8061  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-2o 8381  df-oadd 8384  df-omul 8385  df-er 8582  df-map 8701  df-pm 8702  df-ixp 8770  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-fsupp 9240  df-fi 9281  df-sup 9312  df-inf 9313  df-oi 9380  df-dju 9771  df-card 9809  df-acn 9812  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-div 11747  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12552  df-uz 12697  df-q 12803  df-rp 12845  df-xneg 12962  df-xadd 12963  df-xmul 12964  df-ioo 13197  df-ioc 13198  df-ico 13199  df-icc 13200  df-fz 13354  df-fzo 13497  df-fl 13626  df-mod 13704  df-seq 13836  df-exp 13897  df-hash 14159  df-cj 14918  df-re 14919  df-im 14920  df-sqrt 15054  df-abs 15055  df-limsup 15288  df-clim 15305  df-rlim 15306  df-sum 15506  df-struct 16954  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-starv 17083  df-sca 17084  df-vsca 17085  df-ip 17086  df-tset 17087  df-ple 17088  df-ds 17090  df-unif 17091  df-hom 17092  df-cco 17093  df-rest 17239  df-topn 17240  df-0g 17258  df-gsum 17259  df-topgen 17260  df-pt 17261  df-prds 17264  df-xrs 17319  df-qtop 17324  df-imas 17325  df-xps 17327  df-mre 17401  df-mrc 17402  df-acs 17404  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-submnd 18537  df-mulg 18807  df-cntz 19029  df-cmn 19493  df-psmet 20711  df-xmet 20712  df-met 20713  df-bl 20714  df-mopn 20715  df-cnfld 20720  df-top 22165  df-topon 22182  df-topsp 22204  df-bases 22218  df-cn 22500  df-cnp 22501  df-cmp 22660  df-tx 22835  df-hmeo 23028  df-xms 23595  df-ms 23596  df-tms 23597  df-cncf 24163  df-ovol 24750  df-vol 24751  df-mbf 24905  df-itg1 24906  df-itg2 24907  df-ibl 24908  df-0p 24956
This theorem is referenced by:  bddibl  25126  itgsubstlem  25334  3factsumint1  40364  fourierdlem16  44074  fourierdlem21  44079  fourierdlem22  44080  fourierdlem83  44140
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