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Theorem bddmulibl 24122
Description: A bounded function times an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
bddmulibl ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐹   𝑥,𝐺,𝑦

Proof of Theorem bddmulibl
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbff 23909 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
21ad2antrr 722 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
32ffnd 6383 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝐹 Fn dom 𝐹)
4 iblmbf 24051 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ 𝐿1𝐺 ∈ MblFn)
54ad2antlr 723 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝐺 ∈ MblFn)
6 mbff 23909 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ MblFn → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝐺:dom 𝐺⟶ℂ)
87ffnd 6383 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝐺 Fn dom 𝐺)
9 mbfdm 23910 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
109ad2antrr 722 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
11 mbfdm 23910 . . . . . 6 (𝐺 ∈ MblFn → dom 𝐺 ∈ dom vol)
125, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → dom 𝐺 ∈ dom vol)
13 eqid 2795 . . . . 5 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
14 eqidd 2796 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) = (𝐹𝑧))
15 eqidd 2796 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑧) = (𝐺𝑧))
163, 8, 10, 12, 13, 14, 15offval 7274 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝐹𝑓 · 𝐺) = (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))))
17 ovexd 7050 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) ∈ V)
18 simpll 763 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝐹 ∈ MblFn)
1918, 5mbfmul 24010 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ MblFn)
2016, 19eqeltrrd 2884 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))) ∈ MblFn)
21 absf 14531 . . . . . . . . 9 abs:ℂ⟶ℝ
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → abs:ℂ⟶ℝ)
2320, 17mbfmptcl 23920 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)) ∈ ℂ)
2422, 23cofmpt 6757 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (abs ∘ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))) = (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))))
2523fmpttd 6742 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℂ)
26 ax-resscn 10440 . . . . . . . . . . 11 ℝ ⊆ ℂ
27 ssid 3910 . . . . . . . . . . 11 ℂ ⊆ ℂ
28 cncfss 23190 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ ℂ ⊆ ℂ) → (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ))
2926, 27, 28mp2an 688 . . . . . . . . . 10 (ℂ–cn→ℝ) ⊆ (ℂ–cn→ℂ)
30 abscncf 23192 . . . . . . . . . 10 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
3129, 30sselii 3886 . . . . . . . . 9 abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → abs ∈ (ℂ–cn→ℂ))
33 cncombf 23942 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))) ∈ MblFn ∧ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)⟶ℂ ∧ abs ∈ (ℂ–cn→ℂ)) → (abs ∘ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))) ∈ MblFn)
3420, 25, 32, 33syl3anc 1364 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (abs ∘ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))) ∈ MblFn)
3524, 34eqeltrrd 2884 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))) ∈ MblFn)
3623abscld 14630 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))) ∈ ℝ)
3736rexrd 10537 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))) ∈ ℝ*)
3823absge0d 14638 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))))
39 elxrge0 12695 . . . . . . . . . . 11 ((abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))))
4037, 38, 39sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))) ∈ (0[,]+∞))
41 0e0iccpnf 12697 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0[,]+∞)
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 0 ∈ (0[,]+∞))
4340, 42ifclda 4415 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) ∈ (0[,]+∞))
4443adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) ∈ (0[,]+∞))
4544fmpttd 6742 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
46 reex 10474 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ℝ ∈ V)
48 simprl 767 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
4948ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ ℝ)
50 elinel2 4094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑧 ∈ dom 𝐺)
51 ffvelrn 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺:dom 𝐺⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
527, 50, 51syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
5352abscld 14630 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
5452absge0d 14638 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑧)))
55 elrege0 12692 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((abs‘(𝐺𝑧)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑧))))
5653, 54, 55sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ (0[,)+∞))
57 0e0icopnf 12696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ (0[,)+∞)
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 0 ∈ (0[,)+∞))
5956, 58ifclda 4415 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0) ∈ (0[,)+∞))
6059ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0) ∈ (0[,)+∞))
61 fconstmpt 5500 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ × {𝑥}) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑥)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (ℝ × {𝑥}) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 𝑥))
63 eqidd 2796 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)))
6447, 49, 60, 62, 63offval2 7284 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((ℝ × {𝑥}) ∘𝑓 · (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0))))
65 ovif2 7108 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 · if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)) = if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), (𝑥 · 0))
6648recnd 10515 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℂ)
6766adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → 𝑥 ∈ ℂ)
6867mul01d 10686 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (𝑥 · 0) = 0)
6968ifeq2d 4400 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), (𝑥 · 0)) = if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))
7065, 69syl5eq 2843 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (𝑥 · if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)) = if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))
7170mpteq2dv 5056 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ (𝑥 · if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)))
7264, 71eqtrd 2831 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → ((ℝ × {𝑥}) ∘𝑓 · (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)))
7372fveq2d 6542 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (∫2‘((ℝ × {𝑥}) ∘𝑓 · (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)))) = (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))))
7459adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0) ∈ (0[,)+∞))
7574fmpttd 6742 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
7675adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,)+∞))
77 inss2 4126 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ⊆ dom 𝐺)
7920, 17mbfdm2 23921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
807ffvelrnda 6716 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑧) ∈ ℂ)
817feqmptd 6601 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝐺 = (𝑧 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑧)))
82 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝐺 ∈ 𝐿1)
8381, 82eqeltrrd 2884 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐺 ↦ (𝐺𝑧)) ∈ 𝐿1)
8478, 79, 80, 83iblss 24088 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (𝐺𝑧)) ∈ 𝐿1)
8552, 84iblabs 24112 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (abs‘(𝐺𝑧))) ∈ 𝐿1)
8653, 54iblpos 24076 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (abs‘(𝐺𝑧))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (abs‘(𝐺𝑧))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0))) ∈ ℝ)))
8785, 86mpbid 233 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (abs‘(𝐺𝑧))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0))) ∈ ℝ))
8887simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
8988adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
90 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → 𝑥 ∈ ℝ)
91 neq0 4229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
92 0re 10489 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 0 ∈ ℝ)
94 elinel1 4093 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 𝑧 ∈ dom 𝐹)
95 ffvelrn 6714 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
962, 94, 95syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
9796abscld 14630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
98 simplrl 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 𝑥 ∈ ℝ)
9996absge0d 14638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑧)))
100 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)
101 2fveq3 6543 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑧 → (abs‘(𝐹𝑦)) = (abs‘(𝐹𝑧)))
102101breq1d 4972 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥))
103102rspccva 3558 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥)
104100, 94, 103syl2an 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥)
10593, 97, 98, 99, 104letrd 10644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 0 ≤ 𝑥)
106105ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 0 ≤ 𝑥))
107106exlimdv 1911 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∃𝑧 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 0 ≤ 𝑥))
10891, 107syl5bi 243 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → 0 ≤ 𝑥))
109108imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → 0 ≤ 𝑥)
110 elrege0 12692 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
11190, 109, 110sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
11276, 89, 111itg2mulc 24031 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (∫2‘((ℝ × {𝑥}) ∘𝑓 · (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)))) = (𝑥 · (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)))))
11373, 112eqtr3d 2833 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))) = (𝑥 · (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)))))
11490, 89remulcld 10517 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (𝑥 · (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘(𝐺𝑧)), 0)))) ∈ ℝ)
115113, 114eqeltrd 2883 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))) ∈ ℝ)
116115ex 413 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))) ∈ ℝ))
117 noel 4216 . . . . . . . . . . . . . 14 ¬ 𝑧 ∈ ∅
118 eleq2 2871 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↔ 𝑧 ∈ ∅))
119117, 118mtbiri 328 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → ¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
120 iffalse 4390 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0) = 0)
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0) = 0)
122121mpteq2dv 5056 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0))
123 fconstmpt 5500 . . . . . . . . . . 11 (ℝ × {0}) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0)
124122, 123syl6eqr 2849 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)) = (ℝ × {0}))
125124fveq2d 6542 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))) = (∫2‘(ℝ × {0})))
126 itg20 24021 . . . . . . . . . 10 (∫2‘(ℝ × {0})) = 0
127126, 92eqeltri 2879 . . . . . . . . 9 (∫2‘(ℝ × {0})) ∈ ℝ
128125, 127syl6eqel 2891 . . . . . . . 8 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = ∅ → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))) ∈ ℝ)
129116, 128pm2.61d2 182 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))) ∈ ℝ)
13098, 53remulcld 10517 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))) ∈ ℝ)
131130rexrd 10537 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))) ∈ ℝ*)
13298, 53, 105, 54mulge0d 11065 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → 0 ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))))
133 elxrge0 12695 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧)))))
134131, 132, 133sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))) ∈ (0[,]+∞))
135134, 42ifclda 4415 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0) ∈ (0[,]+∞))
136135adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0) ∈ (0[,]+∞))
137136fmpttd 6742 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
13896, 52absmuld 14648 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))) = ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(𝐺𝑧))))
139 abscl 14472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝑧) ∈ ℂ → (abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ)
140 absge0 14481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝑧) ∈ ℂ → 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑧)))
141139, 140jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐺𝑧) ∈ ℂ → ((abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑧))))
14252, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑧))))
143 lemul1a 11342 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ ∧ ((abs‘(𝐺𝑧)) ∈ ℝ ∧ 0 ≤ (abs‘(𝐺𝑧)))) ∧ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥) → ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(𝐺𝑧))) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))))
14497, 98, 142, 104, 143syl31anc 1366 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → ((abs‘(𝐹𝑧)) · (abs‘(𝐺𝑧))) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))))
145138, 144eqbrtrd 4984 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))) ≤ (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))))
146 iftrue 4387 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) = (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))))
147146adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) = (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))))
148 iftrue 4387 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0) = (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))))
149148adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0) = (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))))
150145, 147, 1493brtr4d 4994 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) ≤ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))
151 0le0 11586 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≤ 0
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → 0 ≤ 0)
153 iffalse 4390 . . . . . . . . . . . . 13 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) = 0)
154152, 153, 1203brtr4d 4994 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) ≤ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))
155154adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ ¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) ≤ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))
156150, 155pm2.61dan 809 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) ≤ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))
157156ralrimivw 3150 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) ≤ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))
15846a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ℝ ∈ V)
159 eqidd 2796 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0)))
160 eqidd 2796 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)))
161158, 44, 136, 159, 160ofrfval2 7285 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0) ≤ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)))
162157, 161mpbird 258 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)))
163 itg2le 24023 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0)) ∘𝑟 ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))))
16445, 137, 162, 163syl3anc 1364 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))))
165 itg2lecl 24022 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0))) ≤ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (𝑥 · (abs‘(𝐺𝑧))), 0)))) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0))) ∈ ℝ)
16645, 129, 164, 165syl3anc 1364 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0))) ∈ ℝ)
16736, 38iblpos 24076 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))) ∈ MblFn ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))), 0))) ∈ ℝ)))
16835, 166, 167mpbir2and 709 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (abs‘((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧)))) ∈ 𝐿1)
16917, 20, 168iblabsr 24113 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((𝐹𝑧) · (𝐺𝑧))) ∈ 𝐿1)
17016, 169eqeltrd 2883 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ 𝐿1)
171170rexlimdvaa 3248 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥 → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ 𝐿1))
1721713impia 1110 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥) → (𝐹𝑓 · 𝐺) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wex 1761  wcel 2081  wral 3105  wrex 3106  Vcvv 3437  cin 3858  wss 3859  c0 4211  ifcif 4381  {csn 4472   class class class wbr 4962  cmpt 5041   × cxp 5441  dom cdm 5443  ccom 5447  wf 6221  cfv 6225  (class class class)co 7016  𝑓 cof 7265  𝑟 cofr 7266  cc 10381  cr 10382  0cc0 10383   · cmul 10388  +∞cpnf 10518  *cxr 10520  cle 10522  [,)cico 12590  [,]cicc 12591  abscabs 14427  cnccncf 23167  volcvol 23747  MblFncmbf 23898  2citg2 23900  𝐿1cibl 23901
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-inf2 8950  ax-cc 9703  ax-cnex 10439  ax-resscn 10440  ax-1cn 10441  ax-icn 10442  ax-addcl 10443  ax-addrcl 10444  ax-mulcl 10445  ax-mulrcl 10446  ax-mulcom 10447  ax-addass 10448  ax-mulass 10449  ax-distr 10450  ax-i2m1 10451  ax-1ne0 10452  ax-1rid 10453  ax-rnegex 10454  ax-rrecex 10455  ax-cnre 10456  ax-pre-lttri 10457  ax-pre-lttrn 10458  ax-pre-ltadd 10459  ax-pre-mulgt0 10460  ax-pre-sup 10461  ax-addf 10462  ax-mulf 10463
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-fal 1535  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-nel 3091  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-pss 3876  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-tp 4477  df-op 4479  df-uni 4746  df-int 4783  df-iun 4827  df-iin 4828  df-disj 4931  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-tr 5064  df-id 5348  df-eprel 5353  df-po 5362  df-so 5363  df-fr 5402  df-se 5403  df-we 5404  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-pred 6023  df-ord 6069  df-on 6070  df-lim 6071  df-suc 6072  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-isom 6234  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-of 7267  df-ofr 7268  df-om 7437  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-supp 7682  df-wrecs 7798  df-recs 7860  df-rdg 7898  df-1o 7953  df-2o 7954  df-oadd 7957  df-omul 7958  df-er 8139  df-map 8258  df-pm 8259  df-ixp 8311  df-en 8358  df-dom 8359  df-sdom 8360  df-fin 8361  df-fsupp 8680  df-fi 8721  df-sup 8752  df-inf 8753  df-oi 8820  df-dju 9176  df-card 9214  df-acn 9217  df-pnf 10523  df-mnf 10524  df-xr 10525  df-ltxr 10526  df-le 10527  df-sub 10719  df-neg 10720  df-div 11146  df-nn 11487  df-2 11548  df-3 11549  df-4 11550  df-5 11551  df-6 11552  df-7 11553  df-8 11554  df-9 11555  df-n0 11746  df-z 11830  df-dec 11948  df-uz 12094  df-q 12198  df-rp 12240  df-xneg 12357  df-xadd 12358  df-xmul 12359  df-ioo 12592  df-ioc 12593  df-ico 12594  df-icc 12595  df-fz 12743  df-fzo 12884  df-fl 13012  df-mod 13088  df-seq 13220  df-exp 13280  df-hash 13541  df-cj 14292  df-re 14293  df-im 14294  df-sqrt 14428  df-abs 14429  df-limsup 14662  df-clim 14679  df-rlim 14680  df-sum 14877  df-struct 16314  df-ndx 16315  df-slot 16316  df-base 16318  df-sets 16319  df-ress 16320  df-plusg 16407  df-mulr 16408  df-starv 16409  df-sca 16410  df-vsca 16411  df-ip 16412  df-tset 16413  df-ple 16414  df-ds 16416  df-unif 16417  df-hom 16418  df-cco 16419  df-rest 16525  df-topn 16526  df-0g 16544  df-gsum 16545  df-topgen 16546  df-pt 16547  df-prds 16550  df-xrs 16604  df-qtop 16609  df-imas 16610  df-xps 16612  df-mre 16686  df-mrc 16687  df-acs 16689  df-mgm 17681  df-sgrp 17723  df-mnd 17734  df-submnd 17775  df-mulg 17982  df-cntz 18188  df-cmn 18635  df-psmet 20219  df-xmet 20220  df-met 20221  df-bl 20222  df-mopn 20223  df-cnfld 20228  df-top 21186  df-topon 21203  df-topsp 21225  df-bases 21238  df-cn 21519  df-cnp 21520  df-cmp 21679  df-tx 21854  df-hmeo 22047  df-xms 22613  df-ms 22614  df-tms 22615  df-cncf 23169  df-ovol 23748  df-vol 23749  df-mbf 23903  df-itg1 23904  df-itg2 23905  df-ibl 23906  df-0p 23954
This theorem is referenced by:  bddibl  24123  itgsubstlem  24328  fourierdlem16  41950  fourierdlem21  41955  fourierdlem22  41956  fourierdlem83  42016
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