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Theorem bddmulibl 25347
Description: A bounded function times an integrable function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
bddmulibl ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ 𝐿1)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐹   π‘₯,𝐺,𝑦

Proof of Theorem bddmulibl
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbff 25133 . . . . . . 7 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
21ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
32ffnd 6715 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
4 iblmbf 25276 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ 𝐿1 β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
54ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐺 ∈ MblFn)
6 mbff 25133 . . . . . . 7 (𝐺 ∈ MblFn β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
75, 6syl 17 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚)
87ffnd 6715 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐺 Fn dom 𝐺)
9 mbfdm 25134 . . . . . 6 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
109ad2antrr 724 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
11 mbfdm 25134 . . . . . 6 (𝐺 ∈ MblFn β†’ dom 𝐺 ∈ dom vol)
125, 11syl 17 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ dom 𝐺 ∈ dom vol)
13 eqid 2732 . . . . 5 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)
14 eqidd 2733 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
15 eqidd 2733 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘§) = (πΊβ€˜π‘§))
163, 8, 10, 12, 13, 14, 15offval 7675 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) = (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
17 ovexd 7440 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ V)
18 simpll 765 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
1918, 5mbfmul 25235 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ MblFn)
2016, 19eqeltrrd 2834 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ MblFn)
21 absf 15280 . . . . . . . . 9 abs:β„‚βŸΆβ„
2221a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ abs:β„‚βŸΆβ„)
2320, 17mbfmptcl 25144 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
2422, 23cofmpt 7126 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (abs ∘ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) = (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))))
2523fmpttd 7111 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)βŸΆβ„‚)
26 ax-resscn 11163 . . . . . . . . . . 11 ℝ βŠ† β„‚
27 ssid 4003 . . . . . . . . . . 11 β„‚ βŠ† β„‚
28 cncfss 24406 . . . . . . . . . . 11 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ β„‚ βŠ† β„‚) β†’ (ℂ–cn→ℝ) βŠ† (ℂ–cnβ†’β„‚))
2926, 27, 28mp2an 690 . . . . . . . . . 10 (ℂ–cn→ℝ) βŠ† (ℂ–cnβ†’β„‚)
30 abscncf 24408 . . . . . . . . . 10 abs ∈ (ℂ–cn→ℝ)
3129, 30sselii 3978 . . . . . . . . 9 abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)
3231a1i 11 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚))
33 cncombf 25166 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ MblFn ∧ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))):(dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)βŸΆβ„‚ ∧ abs ∈ (ℂ–cnβ†’β„‚)) β†’ (abs ∘ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ MblFn)
3420, 25, 32, 33syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (abs ∘ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ MblFn)
3524, 34eqeltrrd 2834 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ MblFn)
3623abscld 15379 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ ℝ)
3736rexrd 11260 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ ℝ*)
3823absge0d 15387 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
39 elxrge0 13430 . . . . . . . . . . 11 ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))))
4037, 38, 39sylanbrc 583 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ (0[,]+∞))
41 0e0iccpnf 13432 . . . . . . . . . . 11 0 ∈ (0[,]+∞)
4241a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
4340, 42ifclda 4562 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ∈ (0[,]+∞))
4443adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ∈ (0[,]+∞))
4544fmpttd 7111 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
46 reex 11197 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
4746a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ ℝ ∈ V)
48 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
4948ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
50 elinel2 4195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ 𝑧 ∈ dom 𝐺)
51 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝐺:dom πΊβŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
527, 50, 51syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
5352abscld 15379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
5452absge0d 15387 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
55 elrege0 13427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
5653, 54, 55sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ (0[,)+∞))
57 0e0icopnf 13431 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 0 ∈ (0[,)+∞)
5857a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ∈ (0[,)+∞))
5956, 58ifclda 4562 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0) ∈ (0[,)+∞))
6059ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0) ∈ (0[,)+∞))
61 fconstmpt 5736 . . . . . . . . . . . . . . 15 (ℝ Γ— {π‘₯}) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ π‘₯)
6261a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (ℝ Γ— {π‘₯}) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ π‘₯))
63 eqidd 2733 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)))
6447, 49, 60, 62, 63offval2 7686 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ ((ℝ Γ— {π‘₯}) ∘f Β· (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ Β· if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))))
65 ovif2 7503 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ Β· if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)) = if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), (π‘₯ Β· 0))
6648recnd 11238 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
6766adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
6867mul01d 11409 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (π‘₯ Β· 0) = 0)
6968ifeq2d 4547 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), (π‘₯ Β· 0)) = if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))
7065, 69eqtrid 2784 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (π‘₯ Β· if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)) = if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))
7170mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ (π‘₯ Β· if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)))
7264, 71eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ ((ℝ Γ— {π‘₯}) ∘f Β· (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)))
7372fveq2d 6892 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {π‘₯}) ∘f Β· (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)))) = (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))))
7459adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0) ∈ (0[,)+∞))
7574fmpttd 7111 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
7675adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)):β„βŸΆ(0[,)+∞))
77 inss2 4228 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐺
7877a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) βŠ† dom 𝐺)
7920, 17mbfdm2 25145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ∈ dom vol)
807ffvelcdmda 7083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐺) β†’ (πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
817feqmptd 6957 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐺 = (𝑧 ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘§)))
82 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐺 ∈ 𝐿1)
8381, 82eqeltrrd 2834 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐺 ↦ (πΊβ€˜π‘§)) ∈ 𝐿1)
8478, 79, 80, 83iblss 25313 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (πΊβ€˜π‘§)) ∈ 𝐿1)
8552, 84iblabs 25337 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ 𝐿1)
8653, 54iblpos 25301 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ)))
8785, 86mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ))
8887simprd 496 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ)
8988adantr 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ)
90 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
91 neq0 4344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… ↔ βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
92 0re 11212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 0 ∈ ℝ
9392a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ∈ ℝ)
94 elinel1 4194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ 𝑧 ∈ dom 𝐹)
95 ffvelcdm 7080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
962, 94, 95syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
9796abscld 15379 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
98 simplrl 775 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
9996absge0d 15387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
100 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
101 2fveq3 6893 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 = 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
102101breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 = 𝑧 β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯))
103102rspccva 3611 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
104100, 94, 103syl2an 596 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
10593, 97, 98, 99, 104letrd 11367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
106105ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ 0 ≀ π‘₯))
107106exlimdv 1936 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (βˆƒπ‘§ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ 0 ≀ π‘₯))
10891, 107biimtrid 241 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ 0 ≀ π‘₯))
109108imp 407 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ 0 ≀ π‘₯)
110 elrege0 13427 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
11190, 109, 110sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ π‘₯ ∈ (0[,)+∞))
11276, 89, 111itg2mulc 25256 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (∫2β€˜((ℝ Γ— {π‘₯}) ∘f Β· (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)))) = (π‘₯ Β· (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)))))
11373, 112eqtr3d 2774 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) = (π‘₯ Β· (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)))))
11490, 89remulcld 11240 . . . . . . . . . 10 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (π‘₯ Β· (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)), 0)))) ∈ ℝ)
115113, 114eqeltrd 2833 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ…) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ)
116115ex 413 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (Β¬ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ))
117 noel 4329 . . . . . . . . . . . . . 14 Β¬ 𝑧 ∈ βˆ…
118 eleq2 2822 . . . . . . . . . . . . . 14 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↔ 𝑧 ∈ βˆ…))
119117, 118mtbiri 326 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺))
120 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0) = 0)
121119, 120syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0) = 0)
122121mpteq2dv 5249 . . . . . . . . . . 11 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0))
123 fconstmpt 5736 . . . . . . . . . . 11 (ℝ Γ— {0}) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ 0)
124122, 123eqtr4di 2790 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)) = (ℝ Γ— {0}))
125124fveq2d 6892 . . . . . . . . 9 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) = (∫2β€˜(ℝ Γ— {0})))
126 itg20 25246 . . . . . . . . . 10 (∫2β€˜(ℝ Γ— {0})) = 0
127126, 92eqeltri 2829 . . . . . . . . 9 (∫2β€˜(ℝ Γ— {0})) ∈ ℝ
128125, 127eqeltrdi 2841 . . . . . . . 8 ((dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) = βˆ… β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ)
129116, 128pm2.61d2 181 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ)
13098, 53remulcld 11240 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ ℝ)
131130rexrd 11260 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ ℝ*)
13298, 53, 105, 54mulge0d 11787 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ 0 ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
133 elxrge0 13430 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))))
134131, 132, 133sylanbrc 583 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ∈ (0[,]+∞))
135134, 42ifclda 4562 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0) ∈ (0[,]+∞))
136135adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0) ∈ (0[,]+∞))
137136fmpttd 7111 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
13896, 52absmuld 15397 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) = ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
139 abscl 15221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
140 absge0 15230 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚ β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))
141139, 140jca 512 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πΊβ€˜π‘§) ∈ β„‚ β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
14252, 141syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
143 lemul1a 12064 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ ∧ ((absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)) ∈ ℝ ∧ 0 ≀ (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§)))) ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
14497, 98, 142, 104, 143syl31anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))) ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
145138, 144eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ≀ (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
146 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
147146adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))))
148 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0) = (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
149148adantl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0) = (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))))
150145, 147, 1493brtr4d 5179 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ≀ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))
151 0le0 12309 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ≀ 0
152151a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ 0 ≀ 0)
153 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . 13 (Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) = 0)
154152, 153, 1203brtr4d 5179 . . . . . . . . . . . 12 (Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ≀ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))
155154adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ Β¬ 𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ≀ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))
156150, 155pm2.61dan 811 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ≀ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))
157156ralrimivw 3150 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ≀ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))
15846a1i 11 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ℝ ∈ V)
159 eqidd 2733 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)))
160 eqidd 2733 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)))
161158, 44, 136, 159, 160ofrfval2 7687 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0) ≀ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)))
162157, 161mpbird 256 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)))
163 itg2le 25248 . . . . . . . 8 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))))
16445, 137, 162, 163syl3anc 1371 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))))
165 itg2lecl 25247 . . . . . . 7 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (π‘₯ Β· (absβ€˜(πΊβ€˜π‘§))), 0)))) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ)
16645, 129, 164, 165syl3anc 1371 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ)
16736, 38iblpos 25301 . . . . . 6 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ MblFn ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺), (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))), 0))) ∈ ℝ)))
16835, 166, 167mpbir2and 711 . . . . 5 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§)))) ∈ 𝐿1)
16917, 20, 168iblabsr 25338 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ (dom 𝐹 ∩ dom 𝐺) ↦ ((πΉβ€˜π‘§) Β· (πΊβ€˜π‘§))) ∈ 𝐿1)
17016, 169eqeltrd 2833 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ 𝐿1)
171170rexlimdvaa 3156 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ 𝐿1))
1721713impia 1117 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ 𝐺 ∈ 𝐿1 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ (𝐹 ∘f Β· 𝐺) ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675   ∘ ccom 5679  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405   ∘f cof 7664   ∘r cofr 7665  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106   Β· cmul 11111  +∞cpnf 11241  β„*cxr 11243   ≀ cle 11245  [,)cico 13322  [,]cicc 13323  abscabs 15177  β€“cnβ†’ccncf 24383  volcvol 24971  MblFncmbf 25122  βˆ«2citg2 25124  πΏ1cibl 25125
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-inf2 9632  ax-cc 10426  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-of 7666  df-ofr 7667  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-supp 8143  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-2o 8463  df-oadd 8466  df-omul 8467  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-dju 9892  df-card 9930  df-acn 9933  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ioc 13325  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-hash 14287  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19644  df-psmet 20928  df-xmet 20929  df-met 20930  df-bl 20931  df-mopn 20932  df-cnfld 20937  df-top 22387  df-topon 22404  df-topsp 22426  df-bases 22440  df-cn 22722  df-cnp 22723  df-cmp 22882  df-tx 23057  df-hmeo 23250  df-xms 23817  df-ms 23818  df-tms 23819  df-cncf 24385  df-ovol 24972  df-vol 24973  df-mbf 25127  df-itg1 25128  df-itg2 25129  df-ibl 25130  df-0p 25178
This theorem is referenced by:  bddibl  25348  itgsubstlem  25556  3factsumint1  40874  fourierdlem16  44825  fourierdlem21  44830  fourierdlem22  44831  fourierdlem83  44891
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