MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  bddibl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem bddibl 25782
Description: A bounded function is integrable. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Aug-2014.)
Assertion
Ref Expression
bddibl ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝐹

Proof of Theorem bddibl
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbfdm 25568 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
213ad2ant1 1131 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
3 mbff 25567 . . . . 5 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
433ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
54ffnd 6723 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹 Fn dom 𝐹)
6 1cnd 11240 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ 1 ∈ β„‚)
7 fnconstg 6785 . . . 4 (1 ∈ β„‚ β†’ (dom 𝐹 Γ— {1}) Fn dom 𝐹)
86, 7syl 17 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ (dom 𝐹 Γ— {1}) Fn dom 𝐹)
9 eqidd 2729 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) = (πΉβ€˜π‘§))
10 1ex 11241 . . . . 5 1 ∈ V
1110fvconst2 7216 . . . 4 (𝑧 ∈ dom 𝐹 β†’ ((dom 𝐹 Γ— {1})β€˜π‘§) = 1)
1211adantl 481 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((dom 𝐹 Γ— {1})β€˜π‘§) = 1)
134ffvelcdmda 7094 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
1413mulridd 11262 . . 3 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ ((πΉβ€˜π‘§) Β· 1) = (πΉβ€˜π‘§))
152, 5, 8, 5, 9, 12, 14offveq 7709 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ (𝐹 ∘f Β· (dom 𝐹 Γ— {1})) = 𝐹)
16 simp2 1135 . . . 4 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ)
17 iblconst 25760 . . . 4 ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ 1 ∈ β„‚) β†’ (dom 𝐹 Γ— {1}) ∈ 𝐿1)
182, 16, 6, 17syl3anc 1369 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ (dom 𝐹 Γ— {1}) ∈ 𝐿1)
19 bddmulibl 25781 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (dom 𝐹 Γ— {1}) ∈ 𝐿1 ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ (𝐹 ∘f Β· (dom 𝐹 Γ— {1})) ∈ 𝐿1)
2018, 19syld3an2 1409 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ (𝐹 ∘f Β· (dom 𝐹 Γ— {1})) ∈ 𝐿1)
2115, 20eqeltrrd 2830 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3058  βˆƒwrex 3067  {csn 4629   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5676  dom cdm 5678   Fn wfn 6543  βŸΆwf 6544  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420   ∘f cof 7683  β„‚cc 11137  β„cr 11138  1c1 11140   Β· cmul 11144   ≀ cle 11280  abscabs 15214  volcvol 25405  MblFncmbf 25556  πΏ1cibl 25559
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-inf2 9665  ax-cc 10459  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217  ax-addf 11218
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4909  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-se 5634  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-isom 6557  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-of 7685  df-ofr 7686  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-supp 8166  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-2o 8488  df-oadd 8491  df-omul 8492  df-er 8725  df-map 8847  df-pm 8848  df-ixp 8917  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-fsupp 9387  df-fi 9435  df-sup 9466  df-inf 9467  df-oi 9534  df-dju 9925  df-card 9963  df-acn 9966  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-2 12306  df-3 12307  df-4 12308  df-5 12309  df-6 12310  df-7 12311  df-8 12312  df-9 12313  df-n0 12504  df-z 12590  df-dec 12709  df-uz 12854  df-q 12964  df-rp 13008  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-ico 13363  df-icc 13364  df-fz 13518  df-fzo 13661  df-fl 13790  df-mod 13868  df-seq 14000  df-exp 14060  df-hash 14323  df-cj 15079  df-re 15080  df-im 15081  df-sqrt 15215  df-abs 15216  df-limsup 15448  df-clim 15465  df-rlim 15466  df-sum 15666  df-struct 17116  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-ress 17210  df-plusg 17246  df-mulr 17247  df-starv 17248  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-tset 17252  df-ple 17253  df-ds 17255  df-unif 17256  df-hom 17257  df-cco 17258  df-rest 17404  df-topn 17405  df-0g 17423  df-gsum 17424  df-topgen 17425  df-pt 17426  df-prds 17429  df-xrs 17484  df-qtop 17489  df-imas 17490  df-xps 17492  df-mre 17566  df-mrc 17567  df-acs 17569  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18741  df-mulg 19024  df-cntz 19268  df-cmn 19737  df-psmet 21271  df-xmet 21272  df-met 21273  df-bl 21274  df-mopn 21275  df-cnfld 21280  df-top 22809  df-topon 22826  df-topsp 22848  df-bases 22862  df-cn 23144  df-cnp 23145  df-cmp 23304  df-tx 23479  df-hmeo 23672  df-xms 24239  df-ms 24240  df-tms 24241  df-cncf 24811  df-ovol 25406  df-vol 25407  df-mbf 25561  df-itg1 25562  df-itg2 25563  df-ibl 25564  df-0p 25612
This theorem is referenced by:  cniccibl  25783  iblulm  26356  ftc2re  34230  cnioobibld  42642  cnbdibl  45350
  Copyright terms: Public domain W3C validator