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Theorem bddiblnc 25591
Description: Choice-free proof of bddibl 25589. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Nov-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 6-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
bddiblnc ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
Distinct variable group:   π‘₯,𝑦,𝐹

Proof of Theorem bddiblnc
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbff 25374 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
21feqmptd 6959 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
323ad2ant1 1131 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹 = (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘§)))
4 rzal 4507 . . . . . . . 8 (dom 𝐹 = βˆ… β†’ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(πΉβ€˜π‘§) = 0)
5 mpteq12 5239 . . . . . . . 8 ((dom 𝐹 = βˆ… ∧ βˆ€π‘§ ∈ dom 𝐹(πΉβ€˜π‘§) = 0) β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘§)) = (𝑧 ∈ βˆ… ↦ 0))
64, 5mpdan 683 . . . . . . 7 (dom 𝐹 = βˆ… β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘§)) = (𝑧 ∈ βˆ… ↦ 0))
7 fconstmpt 5737 . . . . . . . 8 (βˆ… Γ— {0}) = (𝑧 ∈ βˆ… ↦ 0)
8 0mbl 25288 . . . . . . . . 9 βˆ… ∈ dom vol
9 ibl0 25536 . . . . . . . . 9 (βˆ… ∈ dom vol β†’ (βˆ… Γ— {0}) ∈ 𝐿1)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 (βˆ… Γ— {0}) ∈ 𝐿1
117, 10eqeltrri 2828 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ βˆ… ↦ 0) ∈ 𝐿1
126, 11eqeltrdi 2839 . . . . . 6 (dom 𝐹 = βˆ… β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝐿1)
1312adantl 480 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ dom 𝐹 = βˆ…) β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝐿1)
14 r19.2z 4493 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)
1514anim1i 613 . . . . . . . . 9 (((dom 𝐹 β‰  βˆ… ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ ℝ))
1615an31s 650 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ dom 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ ℝ))
171ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
1817ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘¦) ∈ β„‚)
1918absge0d 15395 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ 0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)))
20 0red 11221 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ 0 ∈ ℝ)
2118abscld 15387 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ)
22 simplr 765 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
23 letr 11312 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ ((0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ 0 ≀ π‘₯))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ ((0 ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ∧ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ 0 ≀ π‘₯))
2519, 24mpand 691 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ β†’ 0 ≀ π‘₯))
2625rexlimdva 3153 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ π‘₯ ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ β†’ 0 ≀ π‘₯))
2726ex 411 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ β†’ 0 ≀ π‘₯)))
2827com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ β†’ (π‘₯ ∈ ℝ β†’ 0 ≀ π‘₯)))
2928imp32 417 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (βˆƒπ‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ∈ ℝ)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
3016, 29sylan2 591 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ dom 𝐹 β‰  βˆ…)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
3130anassrs 466 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ dom 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ 0 ≀ π‘₯)
32 an32 642 . . . . . . . 8 (((π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 0 ≀ π‘₯) ↔ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯))
33 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ MblFn β†’ 𝐹 ∈ MblFn)
342, 33eqeltrrd 2832 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ MblFn β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘§)) ∈ MblFn)
3534ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘§)) ∈ MblFn)
361ad3antrrr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
3736ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
3837recld 15145 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
3938rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ*)
4039adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ*)
41 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))) β†’ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
42 elxrge0 13438 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))
4340, 41, 42sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (0[,]+∞))
44 0e0iccpnf 13440 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ (0[,]+∞)
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
4643, 45ifclda 4562 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ∈ (0[,]+∞))
4746fmpttd 7115 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
48 mbfdm 25375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ MblFn β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
4948ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ dom 𝐹 ∈ dom vol)
50 simplr 765 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ)
51 elrege0 13435 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ (0[,)+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯))
5251biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (0[,)+∞))
5352ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ (0[,)+∞))
54 itg2const 25490 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ π‘₯ ∈ (0[,)+∞)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))) = (π‘₯ Β· (volβ€˜dom 𝐹)))
5549, 50, 53, 54syl3anc 1369 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))) = (π‘₯ Β· (volβ€˜dom 𝐹)))
56 simprll 775 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
5756, 50remulcld 11248 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (π‘₯ Β· (volβ€˜dom 𝐹)) ∈ ℝ)
5855, 57eqeltrd 2831 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))) ∈ ℝ)
59 rexr 11264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ ∈ ℝ β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
60 elxrge0 13438 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯))
6160biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (0[,]+∞))
6259, 61sylan 578 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ (0[,]+∞))
6362ad2antrl 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ π‘₯ ∈ (0[,]+∞))
6463adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ π‘₯ ∈ (0[,]+∞))
65 ifcl 4572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0) ∈ (0[,]+∞))
6664, 44, 65sylancl 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0) ∈ (0[,]+∞))
6766fmpttd 7115 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
68 ifan 4580 . . . . . . . . . . . . . . 15 if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) = if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0)
691ad2antrr 722 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚)
7069ffvelcdmda 7085 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
7170recld 15145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
7270abscld 15387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
7356adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
7470releabsd 15402 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
75 2fveq3 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = 𝑧 β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) = (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
7675breq1d 5157 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑧 β†’ ((absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ ↔ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯))
7776rspccva 3610 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
7877adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
7978adantll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
8071, 72, 73, 74, 79letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
81 simprlr 776 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ 0 ≀ π‘₯)
8281adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ 0 ≀ π‘₯)
83 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = if(0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) β†’ ((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ↔ if(0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ π‘₯))
84 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 = if(0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) β†’ (0 ≀ π‘₯ ↔ if(0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ π‘₯))
8583, 84ifboth 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ if(0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ π‘₯)
8680, 82, 85syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ if(0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ π‘₯)
87 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ dom 𝐹 β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) = if(0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))
8887adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) = if(0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))
89 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ dom 𝐹 β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0) = π‘₯)
9089adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0) = π‘₯)
9186, 88, 903brtr4d 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))
9291ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐹 β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)))
93 0le0 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ≀ 0
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 β†’ 0 ≀ 0)
95 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) = 0)
96 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0) = 0)
9794, 95, 963brtr4d 5179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))
9892, 97pm2.61d1 180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))
9968, 98eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))
10099ralrimivw 3148 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))
101 reex 11203 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ℝ ∈ V)
103 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)))
104 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)))
105102, 46, 66, 103, 104ofrfval2 7693 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)))
106100, 105mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)))
107 itg2le 25489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))))
10847, 67, 106, 107syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))))
109 itg2lecl 25488 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)))) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ)
11047, 58, 108, 109syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ)
11138renegcld 11645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
112111rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ*)
113112adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))) β†’ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ*)
114 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))) β†’ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
115 elxrge0 13438 . . . . . . . . . . . . . 14 (-(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (-(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))
116113, 114, 115sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))) β†’ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (0[,]+∞))
11744a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
118116, 117ifclda 4562 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ∈ (0[,]+∞))
119118fmpttd 7115 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
120 ifan 4580 . . . . . . . . . . . . . . 15 if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) = if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0)
12171renegcld 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
12271recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
123122abscld 15387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) ∈ ℝ)
124121leabsd 15365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜-(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))
125122absnegd 15400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜-(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) = (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))
126124, 125breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))
127 absrele 15259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
12870, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
129121, 123, 72, 126, 128letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
130121, 72, 73, 129, 79letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
131 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) = if(0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) β†’ (-(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ↔ if(0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ π‘₯))
132 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 = if(0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) β†’ (0 ≀ π‘₯ ↔ if(0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ π‘₯))
133131, 132ifboth 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ if(0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ π‘₯)
134130, 82, 133syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ if(0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ π‘₯)
135 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ dom 𝐹 β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) = if(0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))
136135adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) = if(0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))
137134, 136, 903brtr4d 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))
138137ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐹 β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)))
139 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) = 0)
14094, 139, 963brtr4d 5179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))
141138, 140pm2.61d1 180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))
142120, 141eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))
143142ralrimivw 3148 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))
144 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)))
145102, 118, 66, 144, 104ofrfval2 7693 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)))
146143, 145mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)))
147 itg2le 25489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))))
148119, 67, 146, 147syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))))
149 itg2lecl 25488 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)))) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ)
150119, 58, 148, 149syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ)
151110, 150jca 510 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ((∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ))
15237imcld 15146 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
153152rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ*)
154153adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ*)
155 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))) β†’ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))
156 elxrge0 13438 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))))
157154, 155, 156sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (0[,]+∞))
15844a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
159157, 158ifclda 4562 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ∈ (0[,]+∞))
160159fmpttd 7115 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
161 ifan 4580 . . . . . . . . . . . . . . 15 if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) = if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0)
16270imcld 15146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
163162recnd 11246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
164163abscld 15387 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))) ∈ ℝ)
165162leabsd 15365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))))
166 absimle 15260 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚ β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
16770, 166syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
168162, 164, 72, 165, 167letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
169162, 72, 73, 168, 79letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
170 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) = if(0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) β†’ ((β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ↔ if(0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ π‘₯))
171 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 = if(0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) β†’ (0 ≀ π‘₯ ↔ if(0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ π‘₯))
172170, 171ifboth 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ if(0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ π‘₯)
173169, 82, 172syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ if(0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ π‘₯)
174 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ dom 𝐹 β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) = if(0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))
175174adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) = if(0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))
176173, 175, 903brtr4d 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))
177176ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐹 β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)))
178 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) = 0)
17994, 178, 963brtr4d 5179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))
180177, 179pm2.61d1 180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))
181161, 180eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))
182181ralrimivw 3148 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))
183 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)))
184102, 159, 66, 183, 104ofrfval2 7693 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)))
185182, 184mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)))
186 itg2le 25489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))))
187160, 67, 185, 186syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))))
188 itg2lecl 25488 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)))) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ)
189160, 58, 187, 188syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ)
190152renegcld 11645 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
191190rexrd 11268 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ*)
192191adantrr 713 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))) β†’ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ*)
193 simprr 769 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))) β†’ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))
194 elxrge0 13438 . . . . . . . . . . . . . 14 (-(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (-(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))))
195192, 193, 194sylanbrc 581 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))) β†’ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ (0[,]+∞))
19644a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ Β¬ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)))) β†’ 0 ∈ (0[,]+∞))
197195, 196ifclda 4562 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) β†’ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ∈ (0[,]+∞))
198197fmpttd 7115 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞))
199 ifan 4580 . . . . . . . . . . . . . . 15 if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) = if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0)
200162renegcld 11645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ ℝ)
201200leabsd 15365 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜-(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))))
202163absnegd 15400 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ (absβ€˜-(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))) = (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))))
203201, 202breqtrd 5173 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))))
204200, 164, 72, 203, 167letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ (absβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
205200, 72, 73, 204, 79letrd 11375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯)
206 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) = if(0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) β†’ (-(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ↔ if(0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ π‘₯))
207 breq1 5150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 = if(0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) β†’ (0 ≀ π‘₯ ↔ if(0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ π‘₯))
208206, 207ifboth 4566 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)) ≀ π‘₯ ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ if(0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ π‘₯)
209205, 82, 208syl2anc 582 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ if(0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ π‘₯)
210 iftrue 4533 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ dom 𝐹 β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) = if(0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))
211210adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) = if(0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))
212209, 211, 903brtr4d 5179 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))
213212ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐹 β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)))
214 iffalse 4536 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Β¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) = 0)
21594, 214, 963brtr4d 5179 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Β¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))
216213, 215pm2.61d1 180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))
217199, 216eqbrtrid 5182 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))
218217ralrimivw 3148 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))
219 eqidd 2731 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)))
220102, 197, 66, 219, 104ofrfval2 7693 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)) ↔ βˆ€π‘§ ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0) ≀ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)))
221218, 220mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)))
222 itg2le 25489 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)) ∘r ≀ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))))
223198, 67, 221, 222syl3anc 1369 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))))
224 itg2lecl 25488 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)):β„βŸΆ(0[,]+∞) ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ≀ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, π‘₯, 0)))) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ)
225198, 58, 223, 224syl3anc 1369 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ)
226189, 225jca 510 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ((∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ))
227 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) = (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)))
228 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) = (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)))
229 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) = (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)))
230 eqid 2730 . . . . . . . . . 10 (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) = (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0)))
231227, 228, 229, 230, 70iblcnlem1 25537 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘§)) ∈ MblFn ∧ ((∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„œβ€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), (β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2β€˜(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≀ -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§))), -(β„‘β€˜(πΉβ€˜π‘§)), 0))) ∈ ℝ))))
23235, 151, 226, 231mpbir3and 1340 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 0 ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝐿1)
23332, 232sylan2b 592 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) ∧ 0 ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝐿1)
234233anassrs 466 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝐿1)
23531, 234syldan 589 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) ∧ dom 𝐹 β‰  βˆ…) β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝐿1)
23613, 235pm2.61dane 3027 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (π‘₯ ∈ ℝ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯)) β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝐿1)
237236rexlimdvaa 3154 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ) β†’ (βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯ β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝐿1))
2382373impia 1115 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (πΉβ€˜π‘§)) ∈ 𝐿1)
2393, 238eqeltrd 2831 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (volβ€˜dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ βˆƒπ‘₯ ∈ ℝ βˆ€π‘¦ ∈ dom 𝐹(absβ€˜(πΉβ€˜π‘¦)) ≀ π‘₯) β†’ 𝐹 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2104   β‰  wne 2938  βˆ€wral 3059  βˆƒwrex 3068  Vcvv 3472  βˆ…c0 4321  ifcif 4527  {csn 4627   class class class wbr 5147   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  dom cdm 5675  βŸΆwf 6538  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411   ∘r cofr 7671  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112   Β· cmul 11117  +∞cpnf 11249  β„*cxr 11251   ≀ cle 11253  -cneg 11449  [,)cico 13330  [,]cicc 13331  β„œcre 15048  β„‘cim 15049  abscabs 15185  volcvol 25212  MblFncmbf 25363  βˆ«2citg2 25365  πΏ1cibl 25366
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-inf2 9638  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-disj 5113  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-isom 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-of 7672  df-ofr 7673  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-2o 8469  df-er 8705  df-map 8824  df-pm 8825  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9507  df-dju 9898  df-card 9936  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-n0 12477  df-z 12563  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12979  df-xadd 13097  df-ioo 13332  df-ico 13334  df-icc 13335  df-fz 13489  df-fzo 13632  df-fl 13761  df-seq 13971  df-exp 14032  df-hash 14295  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-clim 15436  df-sum 15637  df-xmet 21137  df-met 21138  df-ovol 25213  df-vol 25214  df-mbf 25368  df-itg1 25369  df-itg2 25370  df-ibl 25371  df-0p 25419
This theorem is referenced by:  cnicciblnc  25592
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