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Theorem bddiblnc 25206
Description: Choice-free proof of bddibl 25204. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Nov-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 6-Nov-2017.)
Assertion
Ref Expression
bddiblnc ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐹

Proof of Theorem bddiblnc
Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mbff 24989 . . . 4 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
21feqmptd 6910 . . 3 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 = (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)))
323ad2ant1 1133 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥) → 𝐹 = (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)))
4 rzal 4466 . . . . . . . 8 (dom 𝐹 = ∅ → ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝐹𝑧) = 0)
5 mpteq12 5197 . . . . . . . 8 ((dom 𝐹 = ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝐹𝑧) = 0) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)) = (𝑧 ∈ ∅ ↦ 0))
64, 5mpdan 685 . . . . . . 7 (dom 𝐹 = ∅ → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)) = (𝑧 ∈ ∅ ↦ 0))
7 fconstmpt 5694 . . . . . . . 8 (∅ × {0}) = (𝑧 ∈ ∅ ↦ 0)
8 0mbl 24903 . . . . . . . . 9 ∅ ∈ dom vol
9 ibl0 25151 . . . . . . . . 9 (∅ ∈ dom vol → (∅ × {0}) ∈ 𝐿1)
108, 9ax-mp 5 . . . . . . . 8 (∅ × {0}) ∈ 𝐿1
117, 10eqeltrri 2835 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ∅ ↦ 0) ∈ 𝐿1
126, 11eqeltrdi 2846 . . . . . 6 (dom 𝐹 = ∅ → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)) ∈ 𝐿1)
1312adantl 482 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ dom 𝐹 = ∅) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)) ∈ 𝐿1)
14 r19.2z 4452 . . . . . . . . . 10 ((dom 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)
1514anim1i 615 . . . . . . . . 9 (((dom 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥𝑥 ∈ ℝ))
1615an31s 652 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ dom 𝐹 ≠ ∅) → (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥𝑥 ∈ ℝ))
171ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
1817ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑦) ∈ ℂ)
1918absge0d 15329 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 0 ≤ (abs‘(𝐹𝑦)))
20 0red 11158 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 0 ∈ ℝ)
2118abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ)
22 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ ℝ)
23 letr 11249 . . . . . . . . . . . . . 14 ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (abs‘(𝐹𝑦)) ∧ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
2420, 21, 22, 23syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((0 ≤ (abs‘(𝐹𝑦)) ∧ (abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
2519, 24mpand 693 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝑥))
2625rexlimdva 3152 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝑥))
2726ex 413 . . . . . . . . . 10 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝑥)))
2827com23 86 . . . . . . . . 9 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥 → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝑥)))
2928imp32 419 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥𝑥 ∈ ℝ)) → 0 ≤ 𝑥)
3016, 29sylan2 593 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ dom 𝐹 ≠ ∅)) → 0 ≤ 𝑥)
3130anassrs 468 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ dom 𝐹 ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑥)
32 an32 644 . . . . . . . 8 (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥))
33 id 22 . . . . . . . . . . 11 (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ MblFn)
342, 33eqeltrrd 2839 . . . . . . . . . 10 (𝐹 ∈ MblFn → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)) ∈ MblFn)
3534ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)) ∈ MblFn)
361ad3antrrr 728 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
3736ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
3837recld 15079 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
3938rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
4039adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧)))) → (ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
41 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧)))) → 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧)))
42 elxrge0 13374 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))))
4340, 41, 42sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧)))) → (ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
44 0e0iccpnf 13376 . . . . . . . . . . . . . 14 0 ∈ (0[,]+∞)
4544a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧)))) → 0 ∈ (0[,]+∞))
4643, 45ifclda 4521 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) ∈ (0[,]+∞))
4746fmpttd 7063 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
48 mbfdm 24990 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
4948ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
50 simplr 767 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
51 elrege0 13371 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
5251biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
5352ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
54 itg2const 25105 . . . . . . . . . . . . 13 ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (0[,)+∞)) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) = (𝑥 · (vol‘dom 𝐹)))
5549, 50, 53, 54syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) = (𝑥 · (vol‘dom 𝐹)))
56 simprll 777 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
5756, 50remulcld 11185 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑥 · (vol‘dom 𝐹)) ∈ ℝ)
5855, 57eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) ∈ ℝ)
59 rexr 11201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ*)
60 elxrge0 13374 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
6160biimpri 227 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
6259, 61sylan 580 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
6362ad2antrl 726 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
6463adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
65 ifcl 4531 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0) ∈ (0[,]+∞))
6664, 44, 65sylancl 586 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0) ∈ (0[,]+∞))
6766fmpttd 7063 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
68 ifan 4539 . . . . . . . . . . . . . . 15 if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) = if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0), 0)
691ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
7069ffvelcdmda 7035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
7170recld 15079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
7270abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
7356adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ ℝ)
7470releabsd 15336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧)))
75 2fveq3 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 = 𝑧 → (abs‘(𝐹𝑦)) = (abs‘(𝐹𝑧)))
7675breq1d 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥))
7776rspccva 3580 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥)
7877adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥)
7978adantll 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥)
8071, 72, 73, 74, 79letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥)
81 simprlr 778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝑥)
8281adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 0 ≤ 𝑥)
83 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℜ‘(𝐹𝑧)) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) → ((ℜ‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
84 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) → (0 ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
8583, 84ifboth 4525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ℜ‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑥) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
8680, 82, 85syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
87 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0))
8887adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0))
89 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0) = 𝑥)
9089adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0) = 𝑥)
9186, 88, 903brtr4d 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
9291ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
93 0le0 12254 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 0 ≤ 0
9493a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ dom 𝐹 → 0 ≤ 0)
95 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) = 0)
96 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0) = 0)
9794, 95, 963brtr4d 5137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
9892, 97pm2.61d1 180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧)), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
9968, 98eqbrtrid 5140 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
10099ralrimivw 3147 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
101 reex 11142 . . . . . . . . . . . . . . 15 ℝ ∈ V
102101a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ℝ ∈ V)
103 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0)))
104 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
105102, 46, 66, 103, 104ofrfval2 7638 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0)) ∘r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
106100, 105mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0)) ∘r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
107 itg2le 25104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0)) ∘r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0))) ≤ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
10847, 67, 106, 107syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0))) ≤ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
109 itg2lecl 25103 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0))) ≤ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
11047, 58, 108, 109syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
11138renegcld 11582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
112111rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
113112adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧)))) → -(ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
114 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧)))) → 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧)))
115 elxrge0 13374 . . . . . . . . . . . . . 14 (-(ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (-(ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))))
116113, 114, 115sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧)))) → -(ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
11744a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧)))) → 0 ∈ (0[,]+∞))
118116, 117ifclda 4521 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) ∈ (0[,]+∞))
119118fmpttd 7063 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
120 ifan 4539 . . . . . . . . . . . . . . 15 if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) = if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧)), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0), 0)
12171renegcld 11582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
12271recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
123122abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑧))) ∈ ℝ)
124121leabsd 15299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘-(ℜ‘(𝐹𝑧))))
125122absnegd 15334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘-(ℜ‘(𝐹𝑧))) = (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑧))))
126124, 125breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑧))))
127 absrele 15193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑧) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑧))) ≤ (abs‘(𝐹𝑧)))
12870, 127syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(ℜ‘(𝐹𝑧))) ≤ (abs‘(𝐹𝑧)))
129121, 123, 72, 126, 128letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧)))
130121, 72, 73, 129, 79letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥)
131 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-(ℜ‘(𝐹𝑧)) = if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧)), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) → (-(ℜ‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧)), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
132 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 = if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧)), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) → (0 ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧)), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
133131, 132ifboth 4525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-(ℜ‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑥) → if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧)), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
134130, 82, 133syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧)), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
135 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧)), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧)), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0))
136135adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧)), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧)), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0))
137134, 136, 903brtr4d 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧)), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
138137ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧)), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
139 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧)), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) = 0)
14094, 139, 963brtr4d 5137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧)), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
141138, 140pm2.61d1 180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧)), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
142120, 141eqbrtrid 5140 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
143142ralrimivw 3147 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
144 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0)))
145102, 118, 66, 144, 104ofrfval2 7638 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0)) ∘r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
146143, 145mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0)) ∘r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
147 itg2le 25104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0)) ∘r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0))) ≤ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
148119, 67, 146, 147syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0))) ≤ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
149 itg2lecl 25103 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0))) ≤ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
150119, 58, 148, 149syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
151110, 150jca 512 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0))) ∈ ℝ))
15237imcld 15080 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
153152rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
154153adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧)))) → (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
155 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧)))) → 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧)))
156 elxrge0 13374 . . . . . . . . . . . . . 14 ((ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))))
157154, 155, 156sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧)))) → (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
15844a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧)))) → 0 ∈ (0[,]+∞))
159157, 158ifclda 4521 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) ∈ (0[,]+∞))
160159fmpttd 7063 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
161 ifan 4539 . . . . . . . . . . . . . . 15 if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) = if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0), 0)
16270imcld 15080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
163162recnd 11183 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
164163abscld 15321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑧))) ∈ ℝ)
165162leabsd 15299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑧))))
166 absimle 15194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((𝐹𝑧) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑧))) ≤ (abs‘(𝐹𝑧)))
16770, 166syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑧))) ≤ (abs‘(𝐹𝑧)))
168162, 164, 72, 165, 167letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧)))
169162, 72, 73, 168, 79letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥)
170 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((ℑ‘(𝐹𝑧)) = if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) → ((ℑ‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
171 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 = if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) → (0 ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
172170, 171ifboth 4525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((ℑ‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑥) → if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
173169, 82, 172syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
174 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0))
175174adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0))
176173, 175, 903brtr4d 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
177176ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
178 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) = 0)
17994, 178, 963brtr4d 5137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
180177, 179pm2.61d1 180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧)), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
181161, 180eqbrtrid 5140 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
182181ralrimivw 3147 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
183 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0)))
184102, 159, 66, 183, 104ofrfval2 7638 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0)) ∘r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
185182, 184mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0)) ∘r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
186 itg2le 25104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0)) ∘r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0))) ≤ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
187160, 67, 185, 186syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0))) ≤ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
188 itg2lecl 25103 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0))) ≤ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
189160, 58, 187, 188syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
190152renegcld 11582 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
191190rexrd 11205 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
192191adantrr 715 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧)))) → -(ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ*)
193 simprr 771 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧)))) → 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧)))
194 elxrge0 13374 . . . . . . . . . . . . . 14 (-(ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (-(ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))))
195192, 193, 194sylanbrc 583 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧)))) → -(ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
19644a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧)))) → 0 ∈ (0[,]+∞))
197195, 196ifclda 4521 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) ∈ (0[,]+∞))
198197fmpttd 7063 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
199 ifan 4539 . . . . . . . . . . . . . . 15 if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) = if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧)), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0), 0)
200162renegcld 11582 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹𝑧)) ∈ ℝ)
201200leabsd 15299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘-(ℑ‘(𝐹𝑧))))
202163absnegd 15334 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘-(ℑ‘(𝐹𝑧))) = (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑧))))
203201, 202breqtrd 5131 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐹𝑧))))
204200, 164, 72, 203, 167letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹𝑧)))
205200, 72, 73, 204, 79letrd 11312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥)
206 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (-(ℑ‘(𝐹𝑧)) = if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧)), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) → (-(ℑ‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧)), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
207 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (0 = if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧)), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) → (0 ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧)), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
208206, 207ifboth 4525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((-(ℑ‘(𝐹𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑥) → if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧)), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
209205, 82, 208syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧)), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
210 iftrue 4492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧)), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧)), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0))
211210adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧)), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧)), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0))
212209, 211, 903brtr4d 5137 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧)), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
213212ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧)), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
214 iffalse 4495 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧)), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) = 0)
21594, 214, 963brtr4d 5137 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧)), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
216213, 215pm2.61d1 180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧)), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
217199, 216eqbrtrid 5140 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
218217ralrimivw 3147 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
219 eqidd 2737 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0)))
220102, 197, 66, 219, 104ofrfval2 7638 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0)) ∘r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
221218, 220mpbird 256 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0)) ∘r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
222 itg2le 25104 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0)) ∘r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0))) ≤ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
223198, 67, 221, 222syl3anc 1371 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0))) ≤ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
224 itg2lecl 25103 . . . . . . . . . . 11 (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0))) ≤ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
225198, 58, 223, 224syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
226189, 225jca 512 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0))) ∈ ℝ))
227 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0))) = (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0)))
228 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0))) = (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0)))
229 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0))) = (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0)))
230 eqid 2736 . . . . . . . . . 10 (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0))) = (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0)))
231227, 228, 229, 230, 70iblcnlem1 25152 . . . . . . . . 9 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)) ∈ 𝐿1 ↔ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)) ∈ MblFn ∧ ((∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹𝑧))), (ℜ‘(𝐹𝑧)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹𝑧))), -(ℜ‘(𝐹𝑧)), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹𝑧))), (ℑ‘(𝐹𝑧)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫2‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹𝑧))), -(ℑ‘(𝐹𝑧)), 0))) ∈ ℝ))))
23235, 151, 226, 231mpbir3and 1342 . . . . . . . 8 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)) ∈ 𝐿1)
23332, 232sylan2b 594 . . . . . . 7 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)) ∈ 𝐿1)
234233anassrs 468 . . . . . 6 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)) ∈ 𝐿1)
23531, 234syldan 591 . . . . 5 ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ dom 𝐹 ≠ ∅) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)) ∈ 𝐿1)
23613, 235pm2.61dane 3032 . . . 4 (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)) ∈ 𝐿1)
237236rexlimdvaa 3153 . . 3 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥 → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)) ∈ 𝐿1))
2382373impia 1117 . 2 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹𝑧)) ∈ 𝐿1)
2393, 238eqeltrd 2838 1 ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹𝑦)) ≤ 𝑥) → 𝐹 ∈ 𝐿1)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  Vcvv 3445  c0 4282  ifcif 4486  {csn 4586   class class class wbr 5105  cmpt 5188   × cxp 5631  dom cdm 5633  wf 6492  cfv 6496  (class class class)co 7357  r cofr 7616  cc 11049  cr 11050  0cc0 11051   · cmul 11056  +∞cpnf 11186  *cxr 11188  cle 11190  -cneg 11386  [,)cico 13266  [,]cicc 13267  cre 14982  cim 14983  abscabs 15119  volcvol 24827  MblFncmbf 24978  2citg2 24980  𝐿1cibl 24981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-disj 5071  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-ofr 7618  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-dju 9837  df-card 9875  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xadd 13034  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-sum 15571  df-xmet 20789  df-met 20790  df-ovol 24828  df-vol 24829  df-mbf 24983  df-itg1 24984  df-itg2 24985  df-ibl 24986  df-0p 25034
This theorem is referenced by:  cnicciblnc  25207
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