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Theorem bddiblnc 25006

Description: Choice-free proof of bddibl 25004. (Contributed by Brendan Leahy, 2-Nov-2017.) (Revised by Brendan Leahy, 6-Nov-2017.)

**Assertion**
Ref	Expression
bddiblnc	⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → 𝐹 ∈ 𝐿¹)

Distinct variable group: 𝑥,𝑦,𝐹

Proof of Theorem bddiblnc Dummy variable 𝑧 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mbff 24789	. . . 4 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
2	1	feqmptd 6837	. . 3 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 = (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)))
3	2	3ad2ant1 1132	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → 𝐹 = (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)))
4		rzal 4439	. . . . . . . 8 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ → ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑧) = 0)
5		mpteq12 5166	. . . . . . . 8 ⊢ ((dom 𝐹 = ∅ ∧ ∀𝑧 ∈ dom 𝐹(𝐹‘𝑧) = 0) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) = (𝑧 ∈ ∅ ↦ 0))
6	4, 5	mpdan 684	. . . . . . 7 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) = (𝑧 ∈ ∅ ↦ 0))
7		fconstmpt 5649	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ × {0}) = (𝑧 ∈ ∅ ↦ 0)
8		0mbl 24703	. . . . . . . . 9 ⊢ ∅ ∈ dom vol
9		ibl0 24951	. . . . . . . . 9 ⊢ (∅ ∈ dom vol → (∅ × {0}) ∈ 𝐿¹)
10	8, 9	ax-mp 5	. . . . . . . 8 ⊢ (∅ × {0}) ∈ 𝐿¹
11	7, 10	eqeltrri 2836	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ∅ ↦ 0) ∈ 𝐿¹
12	6, 11	eqeltrdi 2847	. . . . . 6 ⊢ (dom 𝐹 = ∅ → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
13	12	adantl 482	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ dom 𝐹 = ∅) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
14		r19.2z 4425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((dom 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → ∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)
15	14	anim1i 615	. . . . . . . . 9 ⊢ (((dom 𝐹 ≠ ∅ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
16	15	an31s 651	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ dom 𝐹 ≠ ∅) → (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
17	1	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
18	17	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑦) ∈ ℂ)
19	18	absge0d 15156	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦)))
20		0red 10978	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 0 ∈ ℝ)
21	18	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹‘𝑦)) ∈ ℝ)
22		simplr 766	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ ℝ)
23		letr 11069	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
24	20, 21, 22, 23	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((0 ≤ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ∧ (abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → 0 ≤ 𝑥))
25	19, 24	mpand 692	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ dom 𝐹) → ((abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝑥))
26	25	rexlimdva 3213	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝑥))
27	26	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) → (𝑥 ∈ ℝ → (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 → 0 ≤ 𝑥)))
28	27	com23 86	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) → (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 → (𝑥 ∈ ℝ → 0 ≤ 𝑥)))
29	28	imp32 419	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (∃𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ ℝ)) → 0 ≤ 𝑥)
30	16, 29	sylan2 593	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ dom 𝐹 ≠ ∅)) → 0 ≤ 𝑥)
31	30	anassrs 468	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ dom 𝐹 ≠ ∅) → 0 ≤ 𝑥)
32		an32 643	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥) ↔ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥))
33		id 22	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → 𝐹 ∈ MblFn)
34	2, 33	eqeltrrd 2840	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ MblFn)
35	34	ad2antrr 723	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ MblFn)
36	1	ad3antrrr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
37	36	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
38	37	recld 14905	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
39	38	rexrd 11025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
40	39	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
41		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)))
42		elxrge0 13189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))))
43	40, 41, 42	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
44		0e0iccpnf 13191	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
45	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ∈ (0[,]+∞))
46	43, 45	ifclda 4494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ∈ (0[,]+∞))
47	46	fmpttd 6989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
48		mbfdm 24790	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐹 ∈ MblFn → dom 𝐹 ∈ dom vol)
49	48	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → dom 𝐹 ∈ dom vol)
50		simplr 766	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ)
51		elrege0 13186	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥))
52	51	biimpri 227	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
53	52	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
54		itg2const 24905	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((dom 𝐹 ∈ dom vol ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ (0[,)+∞)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) = (𝑥 · (vol‘dom 𝐹)))
55	49, 50, 53, 54	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) = (𝑥 · (vol‘dom 𝐹)))
56		simprll 776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ ℝ)
57	56, 50	remulcld 11005	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑥 · (vol‘dom 𝐹)) ∈ ℝ)
58	55, 57	eqeltrd 2839	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) ∈ ℝ)
59		rexr 11021	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℝ^*)
60		elxrge0 13189	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ 𝑥))
61	60	biimpri 227	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
62	59, 61	sylan 580	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
63	62	ad2antrl 725	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
64	63	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → 𝑥 ∈ (0[,]+∞))
65		ifcl 4504	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞)) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0) ∈ (0[,]+∞))
66	64, 44, 65	sylancl 586	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0) ∈ (0[,]+∞))
67	66	fmpttd 6989	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
68		ifan 4512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) = if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0)
69	1	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → 𝐹:dom 𝐹⟶ℂ)
70	69	ffvelrnda 6961	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
71	70	recld 14905	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
72	70	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
73	56	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 𝑥 ∈ ℝ)
74	70	releabsd 15163	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
75		2fveq3 6779	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (abs‘(𝐹‘𝑦)) = (abs‘(𝐹‘𝑧)))
76	75	breq1d 5084	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → ((abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 ↔ (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥))
77	76	rspccva 3560	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥)
78	77	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥)
79	78	adantll 711	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥)
80	71, 72, 73, 74, 79	letrd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥)
81		simprlr 777	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → 0 ≤ 𝑥)
82	81	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → 0 ≤ 𝑥)
83		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℜ‘(𝐹‘𝑧)) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → ((ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
84		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → (0 ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
85	83, 84	ifboth 4498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑥) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
86	80, 82, 85	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
87		iftrue 4465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
88	87	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
89		iftrue 4465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0) = 𝑥)
90	89	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0) = 𝑥)
91	86, 88, 90	3brtr4d 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
92	91	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
93		0le0 12074	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 0 ≤ 0
94	93	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → 0 ≤ 0)
95		iffalse 4468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = 0)
96		iffalse 4468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0) = 0)
97	94, 95, 96	3brtr4d 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
98	92, 97	pm2.61d1 180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
99	68, 98	eqbrtrid 5109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
100	99	ralrimivw 3104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
101		reex 10962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ∈ V
102	101	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ℝ ∈ V)
103		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
104		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
105	102, 46, 66, 103, 104	ofrfval2 7554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
106	100, 105	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
107		itg2le 24904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
108	47, 67, 106, 107	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
109		itg2lecl 24903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
110	47, 58, 108, 109	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
111	38	renegcld 11402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
112	111	rexrd 11025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
113	112	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
114		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)))
115		elxrge0 13189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (-(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))))
116	113, 114, 115	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
117	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ∈ (0[,]+∞))
118	116, 117	ifclda 4494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ∈ (0[,]+∞))
119	118	fmpttd 6989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
120		ifan 4512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) = if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0)
121	71	renegcld 11402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
122	71	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
123	122	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑧))) ∈ ℝ)
124	121	leabsd 15126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘-(ℜ‘(𝐹‘𝑧))))
125	122	absnegd 15161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘-(ℜ‘(𝐹‘𝑧))) = (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑧))))
126	124, 125	breqtrd 5100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑧))))
127		absrele 15020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ → (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑧))) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
128	70, 127	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(ℜ‘(𝐹‘𝑧))) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
129	121, 123, 72, 126, 128	letrd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
130	121, 72, 73, 129, 79	letrd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥)
131		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) = if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → (-(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
132		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 = if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → (0 ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
133	131, 132	ifboth 4498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((-(ℜ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑥) → if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
134	130, 82, 133	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
135		iftrue 4465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
136	135	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
137	134, 136, 90	3brtr4d 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
138	137	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
139		iffalse 4468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = 0)
140	94, 139, 96	3brtr4d 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
141	138, 140	pm2.61d1 180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
142	120, 141	eqbrtrid 5109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
143	142	ralrimivw 3104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
144		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
145	102, 118, 66, 144, 104	ofrfval2 7554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
146	143, 145	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
147		itg2le 24904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
148	119, 67, 146, 147	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
149		itg2lecl 24903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
150	119, 58, 148, 149	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
151	110, 150	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ))
152	37	imcld 14906	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
153	152	rexrd 11025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
154	153	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
155		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)))
156		elxrge0 13189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞) ↔ ((ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))))
157	154, 155, 156	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
158	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ∈ (0[,]+∞))
159	157, 158	ifclda 4494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ∈ (0[,]+∞))
160	159	fmpttd 6989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
161		ifan 4512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) = if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0)
162	70	imcld 14906	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
163	162	recnd 11003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
164	163	abscld 15148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑧))) ∈ ℝ)
165	162	leabsd 15126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑧))))
166		absimle 15021	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝐹‘𝑧) ∈ ℂ → (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑧))) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
167	70, 166	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑧))) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
168	162, 164, 72, 165, 167	letrd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
169	162, 72, 73, 168, 79	letrd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥)
170		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((ℑ‘(𝐹‘𝑧)) = if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → ((ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
171		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 = if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → (0 ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
172	170, 171	ifboth 4498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑥) → if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
173	169, 82, 172	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
174		iftrue 4465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
175	174	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
176	173, 175, 90	3brtr4d 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
177	176	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
178		iffalse 4468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = 0)
179	94, 178, 96	3brtr4d 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
180	177, 179	pm2.61d1 180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
181	161, 180	eqbrtrid 5109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
182	181	ralrimivw 3104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
183		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
184	102, 159, 66, 183, 104	ofrfval2 7554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
185	182, 184	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
186		itg2le 24904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
187	160, 67, 185, 186	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
188		itg2lecl 24903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
189	160, 58, 187, 188	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
190	152	renegcld 11402	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
191	190	rexrd 11025	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
192	191	adantrr 714	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^*)
193		simprr 770	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)))
194		elxrge0 13189	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (-(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞) ↔ (-(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ^* ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))))
195	192, 193, 194	sylanbrc 583	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ (0[,]+∞))
196	44	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) ∧ ¬ (𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)))) → 0 ∈ (0[,]+∞))
197	195, 196	ifclda 4494	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ∈ (0[,]+∞))
198	197	fmpttd 6989	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞))
199		ifan 4512	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) = if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0)
200	162	renegcld 11402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℝ)
201	200	leabsd 15126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘-(ℑ‘(𝐹‘𝑧))))
202	163	absnegd 15161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → (abs‘-(ℑ‘(𝐹‘𝑧))) = (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑧))))
203	201, 202	breqtrd 5100	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(ℑ‘(𝐹‘𝑧))))
204	200, 164, 72, 203, 167	letrd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ (abs‘(𝐹‘𝑧)))
205	200, 72, 73, 204, 79	letrd 11132	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥)
206		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (-(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) = if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → (-(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
207		breq1 5077	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (0 = if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) → (0 ≤ 𝑥 ↔ if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥))
208	206, 207	ifboth 4498	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((-(ℑ‘(𝐹‘𝑧)) ≤ 𝑥 ∧ 0 ≤ 𝑥) → if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
209	205, 82, 208	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ 𝑥)
210		iftrue 4465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
211	210	adantl 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))
212	209, 211, 90	3brtr4d 5106	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 𝑧 ∈ dom 𝐹) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
213	212	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
214		iffalse 4468	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) = 0)
215	94, 214, 96	3brtr4d 5106	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (¬ 𝑧 ∈ dom 𝐹 → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
216	213, 215	pm2.61d1 180	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if(𝑧 ∈ dom 𝐹, if(0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
217	199, 216	eqbrtrid 5109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
218	217	ralrimivw 3104	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))
219		eqidd 2739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) = (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
220	102, 197, 66, 219, 104	ofrfval2 7554	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)) ↔ ∀𝑧 ∈ ℝ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0) ≤ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
221	218, 220	mpbird 256	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))
222		itg2le 24904	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)) ∘_r ≤ (𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
223	198, 67, 221, 222	syl3anc 1370	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))))
224		itg2lecl 24903	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)):ℝ⟶(0[,]+∞) ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ≤ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if(𝑧 ∈ dom 𝐹, 𝑥, 0)))) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
225	198, 58, 223, 224	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ)
226	189, 225	jca 512	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ))
227		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) = (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
228		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) = (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
229		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) = (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
230		eqid 2738	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) = (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0)))
231	227, 228, 229, 230, 70	iblcnlem1 24952	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹ ↔ ((𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ MblFn ∧ ((∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℜ‘(𝐹‘𝑧))), (ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℜ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℜ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ) ∧ ((∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ (ℑ‘(𝐹‘𝑧))), (ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ ∧ (∫₂‘(𝑧 ∈ ℝ ↦ if((𝑧 ∈ dom 𝐹 ∧ 0 ≤ -(ℑ‘(𝐹‘𝑧))), -(ℑ‘(𝐹‘𝑧)), 0))) ∈ ℝ))))
232	35, 151, 226, 231	mpbir3and 1341	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝑥) ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
233	32, 232	sylan2b 594	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) ∧ 0 ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
234	233	anassrs 468	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
235	31, 234	syldan 591	. . . . 5 ⊢ ((((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) ∧ dom 𝐹 ≠ ∅) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
236	13, 235	pm2.61dane 3032	. . . 4 ⊢ (((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) ∧ (𝑥 ∈ ℝ ∧ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥)) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
237	236	rexlimdvaa 3214	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ) → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥 → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹))
238	237	3impia 1116	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → (𝑧 ∈ dom 𝐹 ↦ (𝐹‘𝑧)) ∈ 𝐿¹)
239	3, 238	eqeltrd 2839	1 ⊢ ((𝐹 ∈ MblFn ∧ (vol‘dom 𝐹) ∈ ℝ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ dom 𝐹(abs‘(𝐹‘𝑦)) ≤ 𝑥) → 𝐹 ∈ 𝐿¹)

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: ¬ wn 3 → wi 4 ∧ wa 396 ∧ w3a 1086 = wceq 1539 ∈ wcel 2106 ≠ wne 2943 ∀wral 3064 ∃wrex 3065 Vcvv 3432 ∅c0 4256 ifcif 4459 {csn 4561 class class class wbr 5074 ↦ cmpt 5157 × cxp 5587 dom cdm 5589 ⟶wf 6429 ‘cfv 6433 (class class class)co 7275 ∘_r cofr 7532 ℂcc 10869 ℝcr 10870 0cc0 10871 · cmul 10876 +∞cpnf 11006 ℝ^*cxr 11008 ≤ cle 11010 -cneg 11206 [,)cico 13081 [,]cicc 13082 ℜcre 14808 ℑcim 14809 abscabs 14945 volcvol 24627 MblFncmbf 24778 ∫₂citg2 24780 𝐿¹cibl 24781

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2709 ax-rep 5209 ax-sep 5223 ax-nul 5230 ax-pow 5288 ax-pr 5352 ax-un 7588 ax-inf2 9399 ax-cnex 10927 ax-resscn 10928 ax-1cn 10929 ax-icn 10930 ax-addcl 10931 ax-addrcl 10932 ax-mulcl 10933 ax-mulrcl 10934 ax-mulcom 10935 ax-addass 10936 ax-mulass 10937 ax-distr 10938 ax-i2m1 10939 ax-1ne0 10940 ax-1rid 10941 ax-rnegex 10942 ax-rrecex 10943 ax-cnre 10944 ax-pre-lttri 10945 ax-pre-lttrn 10946 ax-pre-ltadd 10947 ax-pre-mulgt0 10948 ax-pre-sup 10949 ax-addf 10950

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 845 df-3or 1087 df-3an 1088 df-tru 1542 df-fal 1552 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2068 df-mo 2540 df-eu 2569 df-clab 2716 df-cleq 2730 df-clel 2816 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3069 df-rex 3070 df-rmo 3071 df-reu 3072 df-rab 3073 df-v 3434 df-sbc 3717 df-csb 3833 df-dif 3890 df-un 3892 df-in 3894 df-ss 3904 df-pss 3906 df-nul 4257 df-if 4460 df-pw 4535 df-sn 4562 df-pr 4564 df-op 4568 df-uni 4840 df-int 4880 df-iun 4926 df-disj 5040 df-br 5075 df-opab 5137 df-mpt 5158 df-tr 5192 df-id 5489 df-eprel 5495 df-po 5503 df-so 5504 df-fr 5544 df-se 5545 df-we 5546 df-xp 5595 df-rel 5596 df-cnv 5597 df-co 5598 df-dm 5599 df-rn 5600 df-res 5601 df-ima 5602 df-pred 6202 df-ord 6269 df-on 6270 df-lim 6271 df-suc 6272 df-iota 6391 df-fun 6435 df-fn 6436 df-f 6437 df-f1 6438 df-fo 6439 df-f1o 6440 df-fv 6441 df-isom 6442 df-riota 7232 df-ov 7278 df-oprab 7279 df-mpo 7280 df-of 7533 df-ofr 7534 df-om 7713 df-1st 7831 df-2nd 7832 df-frecs 8097 df-wrecs 8128 df-recs 8202 df-rdg 8241 df-1o 8297 df-2o 8298 df-er 8498 df-map 8617 df-pm 8618 df-en 8734 df-dom 8735 df-sdom 8736 df-fin 8737 df-sup 9201 df-inf 9202 df-oi 9269 df-dju 9659 df-card 9697 df-pnf 11011 df-mnf 11012 df-xr 11013 df-ltxr 11014 df-le 11015 df-sub 11207 df-neg 11208 df-div 11633 df-nn 11974 df-2 12036 df-3 12037 df-n0 12234 df-z 12320 df-uz 12583 df-q 12689 df-rp 12731 df-xadd 12849 df-ioo 13083 df-ico 13085 df-icc 13086 df-fz 13240 df-fzo 13383 df-fl 13512 df-seq 13722 df-exp 13783 df-hash 14045 df-cj 14810 df-re 14811 df-im 14812 df-sqrt 14946 df-abs 14947 df-clim 15197 df-sum 15398 df-xmet 20590 df-met 20591 df-ovol 24628 df-vol 24629 df-mbf 24783 df-itg1 24784 df-itg2 24785 df-ibl 24786 df-0p 24834

This theorem is referenced by: cnicciblnc 25007

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